ある本に
　1>a>0 のとき a_n=a^(1/n)-1 とおけば、Σ[n=1,∞]a_n は発散する。
とあるのですが、収束するように思いました。根拠を書きますので間違いを指摘して下さい。

m>0 のとき、Σ[n=1,∞]1/n^(1+1/m) が収束することを使う。
a^(1/n)-1≦1/n^(1+1/m) ⇔ a^(n^(1/m))≦(1+1/n^(1+1/m))^(n^(1+1/m))
n^(1+1/m)→∞(n→∞) だから、(1+1/n^(1+1/m))^(n^(1+1/m))→e(n→∞)　
n^(1/m)→∞(n→∞) だから、a^(n^(1/m))→0(n→∞)
よって、n が十分大きいとき常に、a^(1/n)-1≦1/n^(1+1/m) が成り立つ。
ゆえに Σ[n=1,∞]a_n は収束する。