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>・K/F がガロア拡大でGal(K/F) = S_3 とする．K はF 上の3 次既約多項式
>　の分解体となっているか？
以下に反例を示す。
2^(1/6)ζ6 は Q 上既約多項式 f(x)=x^6-2∈Q[x] の根である。
[Q(2^(1/6),ζ6):Q]=deg(f)=6
Gal(Q(2^(1/6),ζ6)/Q)=((Z/6Z)^*)×C3〜S3
3^(1/3) は Q 上既約多項式 g(x)=x^3-3∈Q[x] の根であるが、3^(1/3)∈/Q(2^(1/6),ζ6)■

>・f (x) ∈ Q[x] は既約な3 次式でただ1 つの実根をもつとする． f の分解
>　体をK とするとき，[K : Q] = 6 を示せ．
deg(f)=3 だから、f は 3 つの根を持つ。仮定と代数学の基本定理より、そのうち 1 つが実数根で 2 つが複素数根である。
φ:C→C、φ(x+yi)=x-yi は自己同型であるから、x+yi が f の根なら
f(x+yi)=0=φ(0)=φ(f(x+yi))=f(φ(x+yi))=f(x-yi) を満たす。
よって、f(x)=(x-a)(x-(b+ci))(x-(b-ci))=x^3-(2b+a)x^2+(b+c)^2x-a(b^2+c^2)、
但し、a,b,c∈R、c≠0、a∈/Q、2b+a,(b+c)^2,-a(b^2+c^2)∈Q・・・(※)
と書ける。
K を f の Q 上の最小分解体とすれば、K=Q(a,b+ci,b-ci) である。
f はモニックで Q 上既約であるから、a の Q 上の最小多項式である。
よって、[Q(a):Q]=deg(f)=3　
(※)より、ある p,q∈Q が存在し、2b+a=q だから -2b=a-q∈Q(a)、また a(b^2+c^2)=p だから b^2+c^2=p/a∈Q(a)
よって、g(x):=(x-(b+ci))(x-(b-ci))=x^2-2bx+b^2+c^2∈Q(a)[x]
g(x) はモニックで Q(a) 上既約だから、b+ci の Q(a) 上の最小多項式 である。
よって、[Q(a,b+ci):Q(a)]=deg(g)=2
(b-ci)=(b^2+c^2)/(b+ci)=p/(a(b+ci))∈Q(a,b+ci) だから、K=Q(a,b+ci,b-ci)=Q(a,b+ci)
ゆえに、[K:Q]=[Q(a,b+ci):Q(a)]×[Q(a):Q]=2×3=6■