>>366
>　< S> = { x1^(±1)…xn^(±1)| ∃n∈N, x1,...,xn∈S}
>
> これおかしくないですか？

前半部　で既にnが使われているのに、それをあらためて後半部で∃をつけて定義しなおすのはおかしい。
∃　を使うなら、次のようにするのがよい。
<S>はGの部分集合になるのだから
<S>=｛x∈G｜∃n∈N、∃x_1、∃x_2、・・・、∃x_n∈S、∃e_1、∃e_2、・・・、∃e_n∈｛1、-1｝　such that x=x_1^e_1・・・x_n^e_n　｝