数学の本の読み方に慣れていないので

「Gを群、S1⊂S2⊂Gを部分集合とするとき、S1⊂<S2>であることを示す」

場合に

【証明】
S1の任意の部分集合を{x1，…，xn}で表す。
S1⊂S2　より　{x1，…，xn}⊂S2　である。
よって　x1^(±1)…xn^(±1)∈<S2>　を得る。n＝0で1Gを表す。

ここで　{x1，…，xn}　は　S1　の任意の部分集合であったから
とくに　{x1}，…，{xn}　について　{x1}⊂S2，…，{xn}⊂S2
よって　x1^(±1)，…，xn^(±1)∈<S2> を得る。
したがって　{x1，…，xn}⊂<S2>　により
S1⊂<S2>　が得られた。【終】

と、くどく書いてしまいます。
「n∈N」と明記してくれれば後半

x1^(±1)…xn^(±1)∈<S2>　より　x1^(±1)，…，xn^(±1)∈<S2>
したがって　{x1，…，xn}⊂<S2>　∴S1⊂<S2>

で済むと思うのです。
あるいは、もっと良い証明ありますか？
（お風呂に入ってきます）