必要性(⇒)の(3)の証明が分からん
(3)はそもそも自明だが、いったんそれをおいとくとしても
この3行のスピリットが分からん
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群Gの部分集合HがGの部分群になるための必要十分条件は
(1)Gの単位元e、Hの単位元1について、1=eでe∈H
(2)x，y∈Hならxy∈H
(3)x∈Hならxの逆元x^についてx^∈H


必要性(⇒)
(3)の証明
x∈Hに対し、Hでの逆元をyとする。するとGの演算により
xy=yx=1=e
これはyがxのGでの逆元であることを意味する。
よってy=x^∈Hとなり(3)が成り立つ。