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dimV=n とおく。f:V→W は線型写像とする。

(Ⅰ)f は同型写像であると仮定。
f は全単射だから、
∀w∈W に対し v∈V が一意に存在し、w=f(v) を満たす。・・・(1)
V の基底 <e_1,...,e_n> を取る。定義より
∀v∈V に対し k_i∈K(i=1,...,n) が一意に存在し v=Σ[i=1,n]k_ie_i を満たす。・・・(2)
f は線型写像だから、
f(v)=f(Σ[i=1,n]k_ie_i)=Σ[i=1,n]k_if(e_i)・・・(3)
(1)、(2)、(3)より
∀w∈W に対し k_i∈K(i=1,...,n) が一意に存在し w=Σ[i=1,n]k_if(e_i) を満たす。
よって <f(e_1),...,f(e_n)> は W の基底である。ゆえに dimW=dimV
また
V,W の基底を定めれば、f は線型写像だから行列で表現できる。・・・(4)
f は全単射だから逆写像が存在する。・・・(5)
(4)、(5)より f の表現行列は正則である。

(Ⅱ)dimV=dimW かつ f の表現行列は正則であると仮定。
dimV=dimW=n との仮定により、V,W の基底をそれぞれ定めれば、f は n次正方行列 A で表現される。
A は正則であるとの仮定により、n次正方行列 A^-1 が存在する。
上の基底に関し、A^-1 で表現される W から V への線型写像は f^-1 である。
よって f は全単射、すなわち同型写像である。