(>>12の続き)
(1')、(2')から、ω＝－25/16としたとき、1変数zの2次方程式f(－25/16,z)＝z^2－2z＋(25/16)＝0の根z＝z'_j
について、確かにz＝z'_jは|1＋ω|の最小値を与え得て、更に|ω|の最大値を与え得る根となる。j＝1,2は任意である
から、1変数zの2次方程式f(－25/16,z)＝z^2－2z＋(25/16)＝0の2つの根z＝z'_1、z'_2つまりz＝1±(3/4)iは両方共に
|1＋ω|の最小値を与え得て、更に|ω|の最大値を与え得る根となる。複素数ωにより定まる1変数zの2次方程式f(ω,z)＝0
の平面C上の重複を許した2つの各根zが、①、②を両方共に満たすと仮定していたから、確かにz＝1±(3/4)iは|1＋ω|の
最小値を与え、更に|ω|の最大値を与える。従って、z＝1±(3/4)iとすると、ω＝－25/16となり、z＝1±(3/4)iのとき
|ω|は最大値|ω|＝25/16を取る。ここで、ωが満たす条件はω≠0、|ω|≦25/16なることに注意して、ωを複素変数として扱い、
0＜|ω|≦25/16なるωにより定まる1変数zの2次方程式f(ω,z)＝z^2－2z－ω＝0の重複を許した2つの解zが2つの条件①、②を
両方共に満たすとする。1変数zの2次方程式z^2－2z－ω＝0の2つの解をx、yとする。すると、根と係数の関係からx＋y＝2である。
また、条件①から、x、yはそれぞれ|x|≦5/4、|y|≦5/4を満たす。更に条件②から、x、yはそれぞれ|ω|≦(5/4)・|x－2|、
|ω|≦(5/4)・|y－2|を満たす。よって、平面C上で虚軸についての点0を中心とする閉円板の対称性に着目すると、x、yが
両方共にz^2－2z－ω＝0の2つの解となるためにωが満たすべき十分は平面C上においてωが点0を中心とする半径25/16の
閉円板D_1と、点2を中心とする半径25/16の閉円板D_2との共通部分である。従って、求める|ω|の範囲は(D_1)∩(D_2)である。

論理的には(2)を先に解く方が自然な気はする。代数学の基本定理を使わないとzの2次方程式z^2－2z－ω＝0を
与えるωの存在性が保証されない。先に|ω|の最大値を求めれば、|ω|の範囲は直観的に自然に求まる。