(>>11の続き)
(1)、(2)から、ωが満たす十分な条件はω≠0、|ω|≦25/16が両方共に成り立つことである。ここで、|ω|＝25/16で
あったとして、根号の定義と3角不等式の両方に共に着目して、ω＝－25/16とする。ω＝－25/16に対して定まる1変数z
の2次方程式f(－25/16,z)＝z^2－2z＋(25/16)＝0の根zを求めると、z＝1±(3/4)iとなる。ここでz'_1＝1＋(3/4)i、
z'_2＝1－(3/4)iとおき、j＝1,2を任意に取る。絶対値の定義に基づき|z'_j|を求めると、|z'_j|＝5/4となり、
①からz'_jが満たすべき条件は|z'_j|≦5/4…①''である。しかし、根号の定義と3角不等式の両方に共に着目すると、
オイラーの公式から、|ω|＝25/16なるωについて、|√(1＋ω)|が最小となり得るのは|1＋ω|が最小となるときであり、
このときに限る。また、平面C上で考えると、確かにω＝－25/16のとき、|1＋ω|は最小となり得る。従って、
ω＝－25/16のとき、|1＋ω|は最小となり得る。一方、②から、z'_jが更に満たすべき条件は|ω|≦(5/4)・|z'_j－2|…②''
である。|ω|＝25/16だから、②''から25/16≦(5/4)・|z'_j－2|であり、5/4≦|z'_j－2|である…②'''。
(1')：j＝1とする。1変数zの2次方程式f(－25/16,z)＝0の根z'_1が満たすべき条件は①'から|z'_1|≦5/4…③、②'''から
5/4≦|z'_1－2|…④となる。また、|z'_1－2|＝5/4である。従って、z'_1は満たすべき2つの条件③、④を両方共に満たす。
(2')：j＝2とする。1変数zの2次方程式f(－25/16,z)＝0の根z'_2が満たすべき条件は①'から|z'_2|≦5/4…③'、②'''から
5/4≦|z'_2－2|…④'となる。また、|z'_2－2|＝5/4である。従って、z'_2は満たすべき2つの条件③'、④'を両方共に満たす。