(>>10の続き)
すると、1変数zの2次方程式f(ω,z)＝z^2－2z－ω＝0の根zはz＝1±√(1＋ω)となる。ここで、f(ω,z)の2つの根を
z_1＝1＋√(1＋ω)、z_2＝1－√(1＋ω)とおく。i＝1,2を任意に取る。すると、f(ω,z)の根z＝z_iはzが満たす2つの条件
①、②を両方共に満たすから、z_iは|z_i|≦5/4…①'、|ω|≦(5/4)・|z_i－2|…②'を両方共に満たす。
(1)、i＝1とする。①'から|z_1|≦5/4だから、|1＋√(1＋ω)|≦5/4である。また、根号の定義に注意すると、
z_1＝1＋√(1＋ω)について|1＋√(1＋ω)|＞0である。よって、1≦(5/4)・(1/|1＋√(1＋ω)|)であり、右辺を
整理すると、1≦(5/4)・(|z_2|/|ω|)となる。従って、4/5≦|z_2|/|ω|を得る。i＝2とすると、②'から|z_2|≦5/4
だから、4/5≦|z_2|/|ω|≦(5/4)・(1/|ω|)であり、|ω|≦(5/4)^2＝25/16を得る。
(2)、i＝2とする。①'から|z_2|≦5/4だから、|1－√(1＋ω)|≦5/4である。
(2-1)：ω≠0とする。このとき根号の定義に注意すると、z_2について|1－√(1＋ω)|＞0だから、
(1)と同様に考えると、|ω|≦25/16を得る。
(2-2)：ω＝0とすると、元のzの2次方程式f(ω,z)＝z^2－2z－ω＝0はf(0,z)＝z^2－2z＝0となり、
f(0,z)の根はz＝0、2となり、根z_1はz_1＝2、根z_2はz_2＝0となる。よって、z_1＝2から|z_1|＞5/4となる。
しかし、①'からz_1は|z_1|≦5/4を満たすから、|z_1|＞5/4は|z_1|≦5/4に反する。よって、ω＝0により定まる
1変数zの2次方程式f(0,z)＝0の根z_1が満たすべき条件|z_1|≦5/4を満たさないことになる。従って、ω≠0となる。
(2-1)、(2-2)から、z＝z_2とすると、ωが満たす十分な条件はω≠0、|ω|≦25/16が両方共に成り立つことである。