現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止](c)2ch.net
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関連 有限群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
抜粋
20世紀の間数学者は、特に有限群の局所解析（英語版）や、可解群や冪零群 の理論などといった、有限群の理論のさまざまな面を深く研究していた。
全ての有限群の構造の完全な決定は余りに遠大な目標だった: あり得る構造の数はすぐに圧倒的に大きくなった。
しかし、単純群の完全な分類という目標は達成された。つまり任意の有限群の「組み立て部品」は現在では完全に知られている(任意の有限群は組成列を持つ)。

他方で、"連続的対称性（英語版）"を扱っているようにもみなせるリー群の理論は、関連するワイル群（英語版）の影響を強く受ける。

与えられた位数を持つ群の個数
シローの定理などの結果から、位数 n の群の構造には n の素因数分解に依存してある制限が加わる。
例えば素数 p , q に対して、 q < p かつ p -1が q で割り切れない場合は、位数 pq の群は必ず巡回群となる。
必要十分条件については巡回数 (群論)（英語版）を参照されたい。

n に平方因子が存在しない場合、位数 n の群はすべて可解である。群の指標の理論（英語版）を用いて証明されたウィリアム・バーンサイド（英語版）の定理によれば、n が2個以下の素因数でのみ割り切れるのであれば、位数 n の群はすべて可解である。
ファイト-トンプソンの定理（英語版）という、証明が長く複雑な定理によると、n が奇数ならば位数 n の群は可解である。

任意の正の整数 n について、位数 n の群のほとんどは可解群である。
特定の位数 n についてこの事実を確認することはそれほど困難なことではない(例えば位数60の群には、同型を除いて非可解なものが1個、可解なものが12個存在する)。
しかし、任意の位数 n についてこの事実を証明するには有限単純群の分類（英語版）を要する。
任意の正の整数 n に対して位数 n の単純群は最大でも2種類しか存在せず、位数 n の同型でない単純群が2種類存在するような正の整数 n は無限に存在する。

有限単純群の分類（英語版）
有限単純群の一覧（英語版）