>>218に書いた問題、証明できたっぽい。
あらためて書くと、こういう問題。

[問題]
正の整数からなる集合Aは次の条件(i),(ii),(iii)を全て満たす：

条件(i)：Aは3個以上の元を持つ
条件(ii)：a∈Aかつ d|a (d>0)ならばd∈A
条件(iii)：a, b∈Aかつ1<a<bならばa^2+b^2∈A

このとき, Aは4n+3型の素因数をもたない正整数を全て含むことを示せ.

証明は結構長くなってしまったけど、せっかくなので投稿する。

[1,2,4∈Aの証明]
1<a<bなるa,b∈Aをとるとa^2+b^2,b^2+(a^2+b^2)^2∈Aで、
b,a^2+b^2,b^2+(a^2+b^2)^2のどれかは4以上の偶数（=2dとおく）。
2d∈Aより2∈Aおよび(2d)^2+2^2=4(d^2+1)∈Aとなり、1,2,4∈Aがいえる。

[Sの定義]
{1,2,4}から出発し、この集合に属する数の約数(>0)をこの集合に付け加える、
またはこの集合に属する2つの数(≧2)の平方の和をこの集合に付け加える、
ということを繰り返して得られる数全体からなる集合をSとする。
Sは明らかに条件(i)〜(iii)を満たす最小の集合である。

つづく。