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面白い問題おしえて～な 二十一問目©5ch.io

レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0001１３２人目の素数さん 転載ダメ©2ch.net2015/05/22(金) 09:38:35.72ID:wNOlCA2c
過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
0002１３２人目の素数さん2015/05/22(金) 13:22:01.33ID:KVBOnSTu
>>http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/994
切断面が4角形以上なら立方体の対面を含み、断面図形は平行辺を持つ
正五角形は平行辺を持たないから断面図形になりえない
0003１３２人目の素数さん2015/05/23(土) 20:08:22.68ID:9Ox0BYbh
平面上に不等辺三角形ABCがあるとする。
このとき同じ平面上に点P,Q,R,S,T,Uが存在して次を満たすことを示せ。
三角形PQRおよびSTUはともに正三角形であり、それらの重心は一致し、
その重心をGとすると四角形GPAS,GQBT,GRCUはすべて平行四辺形である。
0004１３２人目の素数さん2015/05/24(日) 00:37:22.14ID:MMPYJdfM
実数に対して定義され, 実数値をとる関数fであって, 任意の実数x, yに対して
f(xf(y))=f(xy)+x
が成り立つようなものをすべて求めよ.
(レベル1)
0005１３２人目の素数さん2015/05/24(日) 01:19:51.34ID:Gnf8gD0x
a=f(0)とおく。
与式にy=0を代入するとf(ax)=x+a
a=0とするとa=xとなり矛盾。
よってa≠0なのでf(x)=x/a+a
与式にx=1を代入するとf(f(y))=f(y)+1
これよりa=1すなわちf(x)=x+1
0006１３２人目の素数さん2015/05/24(日) 08:39:17.88ID:MMPYJdfM
>>3
x軸とy軸のなす角が60°の斜交座標上に△ABCを任意の向きで置く.
△ABCをy軸に沿って平行移動することで, 3頂点のx座標を変えないままy座標の和を0にできる.
同様に, △ABCをx軸に沿って平行移動することで, 3頂点のy座標を変えないままx座標の和を0にできる.
そのように平行移動したあとのA, Bの座標をA(x_1, y_1), B(x_2, y_2)とする.
a,b,p,qに関する連立方程式[a+p=x_1, b+q=y_1 -a-b+q=x_2, a-p-q=y_2]を解いてa,b,p,qの値を求め,G(0,0),P(a,b),Q(-a-b,a),R(b,-a-b),S(p,q),T(q,-p-q),U(-p-q,p)とすれば, これらの点が条件を満たす.
0007１３２人目の素数さん2015/05/24(日) 09:32:05.44ID:MMPYJdfM
実数に対して定義され, 実数値をとる関数fであって, 任意の実数x, yに対して 
f(xf(x)+f(x)f(y)+y-1)=f(xf(x)+xy)+y-1 
が成り立つようなものをすべて求めよ. 
(レベル1) 
0008１３２人目の素数さん2015/05/24(日) 10:22:05.32ID:X29tvW+c
N:正の整数全体　f,g,h はそれぞれNからNへの関数　f(f(f(n))) を fff(n)と書く
次の(1)(2)(3)を満たす f,g,h は存在するか。存在しないなら証明し、存在するなら例をあげよ
(1) ∀n∈N に対して fff(n) = n+2015
(2) ∀n∈N に対して ggg(n) = 2015n
(3) ∀n∈N に対して hhh(n) = n^2015
0009１３２人目の素数さん2015/05/24(日) 23:15:58.78ID:Gnf8gD0x
>>7
与式にx=0を代入
f(f(0)f(y)+y-1)=f(0)+y-1・・・(#)
y=1-f(0)を代入
f(f(0)f(1-f(0))-f(0))=0
ここでa=f(0)f(1-f(0))-f(0)とおくと
f(a)=0
与式にx=a,y=1を代入すると
f(0)=f(a)=0
よって(#)よりf(y-1)=y-1
すなわちf(x)=x
0010１３２人目の素数さん2015/05/25(月) 18:25:36.30ID:Ic4oaJR1
nを正の整数とする.以下の条件を満たす2n桁の整数Nを全て求めよ：
【条件】Nの上n桁と下n桁をそれぞれ1つの整数とみたとき,それらの積がNの約数になる.
0011１３２人目の素数さん2015/05/25(月) 20:57:41.41ID:GTPxpkqC
>>10
11, 12, 15, 24, 36
1352, 1734
{(10^k+2)^2}/6
{(10^(6k-3)+1)^2}/7
0012１３２人目の素数さん2015/05/26(火) 20:41:40.76ID:2aztPFyt
αを, α^7=1を満たす複素数のうち虚部が最大であるものとする.
1/|α^2+α+1|-1/|α+1|
の値を求めよ.
0013１３２人目の素数さん2015/05/26(火) 21:45:25.08ID:MZa9woGS
>>8
(1) 存在しない
A={f(n):n∈N}
B={ff(n):n∈N}
C={fff(n):n∈N}とおくと
|N-A|=|A-B|=|B-C|
|N-A|+|A-B|+|B-C|=|N-C|=2015
2015は3の倍数でないので矛盾

(2) a(n)=Max{k∈N+{0}:n/2^k∈N}とおく
g(n)=2n (a(n)≡0,1(mod 3))
g(n)=2015n/4 (a(n)≡2(mod 3))

(3) b(n)=Max{k∈N:n^(1/k)∈N}とおく
h(1)=1
h(n)=n^2 (a(b(n))≡0,1(mod 3))
h(n)=n^(2015/4) (a(b(n))≡2(mod 3))
0014１３２人目の素数さん2015/05/26(火) 21:47:07.46ID:MZa9woGS
>>13
あ、(3)はナシで
0015１３２人目の素数さん2015/05/26(火) 22:36:13.03ID:dwAp1wFI
>>13
(1)(2)正解です
0016１３２人目の素数さん2015/05/27(水) 01:21:13.29ID:dfnaaauX
Nは正の整数とする。
X+Y+Z≦Nを満たす正の整数の組(X,Y,Z)は何通りあるか？
0017１３２人目の素数さん2015/05/27(水) 02:21:35.09ID:tuOMDtKz
>>16
宿題は他所で聞け！
0018１３２人目の素数さん2015/05/27(水) 14:00:02.49ID:PZMJUt71
nを2以上の整数とする. 任意の正の整数kに対して, kと書かれたボールが1個ずつある.
これらのボール全てを, 以下の条件(1),(2)をともに満たすようにボールがいくらでも入るn個の袋に分け入れることは出来るか.
　条件(1)：どの袋も空にはならない
　条件(2)：n個の袋のうちどのn-1個を選び, 選んだ各袋からボールを無作為に1個ずつ取り出しても, 取り出したボールに書かれた数の和をSとすると, Sと書かれたボールは残り1個の袋に入っている.
0019１３２人目の素数さん2015/05/28(木) 10:58:30.37ID:lVJ8cRpY
N：自然数全体の集合
R：自然数全体の集合
f ; R→N
∀x、∀y、f(x+f(x)) = (1+y)・f(x)

ときどき聞かれるが、自然数は 0 を含まない。
0020192015/05/28(木) 10:59:51.42ID:lVJ8cRpY
ゴメン訂正。左辺を書き間違った。あのままでも解けるならやって味噌。

N：自然数全体の集合
R：自然数全体の集合
f ; R→N
∀x、∀y、f(x+f(x)f(y)) = (1+y)・f(x)

ときどき聞かれるが、自然数は 0 を含まない。
0021１３２人目の素数さん2015/05/28(木) 11:11:07.18ID:lVJ8cRpY
ゴメンもひとつ訂正。

N：自然数全体の集合
f ; N→N
∀x、∀y∈N、f(x+f(x)f(y)) = (1+y)・f(x)
0022１３２人目の素数さん2015/05/28(木) 17:23:10.78ID:OzVozmQ7
>>12
複素数平面上で
4点A(1), B(cos2π/7+isin2π/7), C(α), D(α^2)にトレミーの定理を適用して
1/|α^3-1|-1/|α^2-1|=1/|α-1|
∴ 1/|α^2+α+1|-1/|α+1|=1 
0023１３２人目の素数さん2015/05/28(木) 23:08:18.47ID:OzVozmQ7
素数からなる数列{p_n}を以下のように定める：
p_1=2, n≧2においてp_nはΠ[k=1 to n-1]p_k +1の最大の素因数

(1)数列{p_n}に5は現れるか.
(2)数列{p_n}に11は現れるか.
0024１３２人目の素数さん2015/05/28(木) 23:09:55.13ID:lVJ8cRpY
>>22
すごいな！
0025１３２人目の素数さん2015/05/28(木) 23:42:41.84ID:61sb4mGP
>>22
おもすれー！
0026１３２人目の素数さん2015/05/29(金) 00:13:33.28ID:O8xAIr5P
>>23
(1)はなんとかなった。
p_n=5のとき
Π[k=1 to n-1]p_k +1 = (3^a)*(5^b)　ただし、aは非負整数，bは正の整数
ここで、p_2=3より左辺≡1 mod 3
よって、a=0
そのとき、右辺≡1 mod 4
よって、Π[k=1 to n-1]p_kは4の倍数となるが、それはありえない。

(2)も、
p_n=11のとき
Π[k=1 to n-1]p_k +1 = (3^a)*(5^b)*(7^c)*(11^d)　ただし、a,b,cは非負整数，dは正の整数
とおくと、p_2=3とp_3=7より、a=c=0と、
mod 4とmod 6における考察からbとdは奇数というところまではわかるが、
矛盾がまだ導けない…

ちなみに、これだよな
ttp://oeis.org/A000946
0027１３２人目の素数さん2015/05/29(金) 07:55:46.24ID:7uOmhxTR
>>26
ものすごい速さで増加してるから気になって調べたけど、単調増加ではないことが証明されているらしい
0028１３２人目の素数さん2015/05/29(金) 12:17:53.69ID:7uOmhxTR
>>26
そこまで来たらあとはmod○で見ればおしまいですぜ
0029１３２人目の素数さん2015/05/30(土) 00:10:39.16ID:DTDtTIAa
>>23 (2)
>>26 のようにしてbは奇数
よって5^b≡3,5,6 , 11^d≡1,2,4 (mod 7)より
5^b・11^d≡1になりえないので矛盾
0030１３２人目の素数さん2015/05/30(土) 01:08:03.54ID:cjrKKsVK
出題します
(1)無理数全体の集合は可付番か。
(2)有理数の無理数乗で有理数となるものは存在するか。
0031１３２人目の素数さん2015/05/30(土) 01:11:41.16ID:8C3h28FU
0
1
0032１３２人目の素数さん2015/05/30(土) 01:19:18.86ID:ALkUXCoP
>>30
なんで(1)を出題したのか泣くまで苛めたい
0033１３２人目の素数さん2015/05/30(土) 01:40:28.38ID:DTDtTIAa
>>30 (2)
2^log_(2)3=3など無数

<類題>
無理数の無理数乗で有理数となるものは存在するか。 

↑これの答え知ったときの感動といったらもう
0034１３２人目の素数さん2015/05/30(土) 05:41:31.12ID:WTsTfqJY
>>33
あの証明は排中律のうさんくささを物語っているのであり、
感動しちゃイカン

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/排中律
＞上記の例は直観主義では許されない「非構成的; non-constructive」証明の例である。
＞「この証明は、定理を満足する a と b という数を特定せずに可能性だけで論じているため、
＞非構成的である。実際には a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} は無理数だが、これを簡単に示す証明は
＞知られていない」(Davis 2000:220)
0035１３２人目の素数さん2015/05/30(土) 10:50:46.63ID:DTDtTIAa
nを2以上の整数とする. 黒板にnがn個書かれている.
このとき, 以下の操作を繰り返し行う：

操作：黒板に書かれた数のうち2つを任意に選んでa, bとする. 黒板に書かれたa, bを1つずつ消し, 代わりに(a+b)/4を1つ黒板に書き加える.

初めの状態から上記の操作を(n-1)回繰り返して黒板に数が1つだけ残ったとき, その残った数は1以上であることを示せ.
0036１３２人目の素数さん2015/05/30(土) 13:00:00.51ID:O0nWqd/h
１／ａ＋１／ｂ－４／（ａ＋ｂ）＝（ａ－ｂ）＾２／ａｂ（ａ＋ｂ）。
0037１３２人目の素数さん2015/05/30(土) 16:11:45.43ID:DTDtTIAa
nを2以上の整数とする. 黒板にnがn個書かれている. 
このとき, 以下の操作を繰り返し行う： 

操作：黒板に書かれた数のうち2つを任意に選んでa, bとする. 黒板に書かれたa, bを1つずつ消し, 代わりに√(ab/2)を1つ黒板に書き加える. 

初めの状態から上記の操作を(n-1)回繰り返して黒板に数が1つだけ残ったとき, その残った数は1以上であることを示せ. 
0038１３２人目の素数さん2015/05/30(土) 16:14:30.32ID:DTDtTIAa
訂正
✕1以上　○√n以上
0039１３２人目の素数さん2015/05/31(日) 00:33:48.52ID:fE/FMywr
(1/a)^2＋(1/b)^2－(1/√(ab/2))^2＝(a－b)^2/(a^2b^2)
0040１３２人目の素数さん2015/05/31(日) 04:14:16.21ID:sfLdmxRv
平面上の相異なる6点A, B, C, D, E, Fは次の(i)～(iii)を全て満たす.

(i)AB//CD
(ii)4点A, B, E, Fは同一円周上にある
(iii)4点C, D, E, Fは同一円周上にある

このとき, 6点A, B, C, D, E, Fを全て通る二次曲線が存在することを示せ.
ただし, 「二直線」も二次曲線に含めるものとする.
0041１３２人目の素数さん2015/06/01(月) 00:59:17.14ID:3Q/kEBod
>>30だけど(3)を書き忘れてつまらん問題になってるね
(3)任意の有理数と無理数の同数の組み合わせから四則演算とべき乗によって有理数を作ることは可能か。
あと>>33は例示が間違ってますね。無理数乗の要素も見当たらない
無理数の無視数乗の問題の方が簡単です。(2\を解く過程で背理法を使うと系として出てきます
有理数の無理数乗で無理数となるものも同様に存在します。
0042１３２人目の素数さん2015/06/01(月) 06:39:28.92ID:3uXQ8gBK
>>41
2を底とする3の対数って有理数だったのか…
0043１３２人目の素数さん2015/06/01(月) 14:31:50.05ID:e8HqnHNl
>>21
これか
https://www.toshin.com/sp/concours/mondai/mondai_25.php#kaitou

しかし、最後の３行が謎ちゅうか誤魔化してないか？誰か解説 please !
0044１３２人目の素数さん2015/06/01(月) 20:16:36.54ID:3uXQ8gBK
>>43
f(xl=cx (cは定数)
の形だとわかって、それを元の式に代入してc=1がわかるって意味だよ
0045１３２人目の素数さん2015/06/01(月) 20:22:57.45ID:oUH6EhHI
>>43
∀x、f(x) = f(1)xが成り立つので
元の式f(x+f(x)f(y)) = (1+y)f(x)にあてはめて

f(1)(x+f(x)f(y)) = (1+y)f(1)x
f(1)f(x)f(y) = f(1)xy
f(x)f(y) = xy
f(1)x・f(1)y = xy
f(1)^2=1
0046１３２人目の素数さん2015/06/01(月) 23:21:16.89ID:e8HqnHNl
>>44-45
なるほど～、ありがとうございます！
0047１３２人目の素数さん2015/06/02(火) 11:52:49.46ID:hznov9EH
ad-bc=1, ac+bd=72
を満たす正の整数a,b,c,dをすべて求めよ
0048１３２人目の素数さん2015/06/02(火) 15:40:04.20ID:311eJ5rc
(ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=5185=5*17*61
5=1^2+2^2,17*61=29^2+14^2=26^2+19^2
17=1^2+4^2,5*61=4^2+17^2=7^2+16^2
61=5^2+6^2,5*17=2^2+9^2=6^2+7^2

29*1-14*2=1,29*2+14*1=72
17*1-4*4=1,17*4+4*1=72
6*6-7*5=1,6*7+5*6=72

(a,b,c,d),(d,c,b,a)=(1,2,14,29),(1,4,4,17),(6,5,7,6)
0049１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 00:52:37.07ID:a8jU9vQT
y=ax^2 (a>0)で表される放物線はすべて相似であることを示せ
0050１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 06:27:25.51ID:aO76Pz1F
平面上に相異なる2015個の点を, 以下の(i)(ii)をともに満たすように配置できることを示せ.

(i)全ての点が同一円周上にある
(ii)どの2点間の距離も整数
0051１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 10:29:42.56ID:+7SpCnec
>>50
tanα=3/4（0<α<π/2）とすると、
α/πは無理数。（←これは別途証明要）

単位円周上に点P_1をとり、
中心から見てP_kを反時計回りに角度2αだけ回転させた点をP_{k+1}とする（k=1,…,2014）
α/πが無理数であることから、P_1～P_{2015}は全て異なる点。
このとき、２点P_i，P_j間の距離は｜2sin(j-i)α｜となるが、
sinα，cosαがともに有理数であることから数学的帰納法により自然数nに対しsin(nα)は有理数なので
P_1～P_{2015}のどの２点間の距離も有理数となる。

このようにして得られた全ての２点間距離を既約分数で表したときの分母の最小公倍数をNとし、
半径Nの円周上に同様に角度2αずつ離れた2015個の点を取ると、条件を満たす。
0052１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 11:49:30.77ID:aO76Pz1F
>>51
tを十分大きな有理数で
tan α=2t/(t^2-1) (0<α<π/2014)
を満たすようにとれば「別途証明」不要
0053１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 11:55:27.40ID:aO76Pz1F
nを4以上の整数とする.
凸n角形をその全ての対角線によっていくつかの小多角形に分割したとき, 小多角形の個数としてありうる最大値を, nの式で表せ.
0054１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 17:03:57.79ID:tA8LQoZR
(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24　かな？
0055１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 17:50:39.91ID:4qlGfN1X
nが奇数のとき、(n-1)(n-2)(n^2-3b+12)/24
0056１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 17:51:59.01ID:4qlGfN1X
訂正
奇数のとき、(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24
>>54と同じだった．．．
0057１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 17:57:16.64ID:4qlGfN1X
偶数のとき、1/24 (n^4-6 n^3+23 n^2-54 n+72)
0058１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 18:58:25.16ID:MHyXHGHf
>>54 が正解
0059１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 20:01:26.09ID:4qlGfN1X
>>58は不正解
n=6のときは24
0060１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 21:43:20.50ID:MHyXHGHf
>>59 は不正解
六角形の3本の対角線が1点で交わらないようにすれば25
0061１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 21:51:53.69ID:MHyXHGHf
>>60
無論頂点以外で
0062１３２人目の素数さん2015/06/03(水) 22:19:26.59ID:DLQt16A/
むしろ正ｎ角形の場合はどうなるんだ？
0063１３２人目の素数さん2015/06/04(木) 00:05:41.35ID:DlD1fgXL
>>62
www-math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf
0064１３２人目の素数さん2015/06/04(木) 00:10:22.67ID:DlD1fgXL
>>62
すまん
the number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon
っていう名のpdfがあるから検索してくれ
0065622015/06/04(木) 07:57:49.04ID:5CVBYIht
>>63-64 ありがとう
導入だけ読んでみたけど、けっこう面白いな
正奇数角形では、中心以外の点で３本以上の対角線が交わることがない
中心以外の点で８本以上の対角線が交わることがない
交点数は mod 2520 で場合分けされた多項式で表わせる、など
0066１３２人目の素数さん2015/06/04(木) 09:47:21.93ID:DlD1fgXL
(1)n!がn^2+1で割り切れるような正の整数nが無限に存在することを示せ.

(2)n!+1が2nより大きな素数で割り切れるような正の整数nが無限に存在することを示せ.
0067１３２人目の素数さん2015/06/04(木) 10:18:28.83ID:VK5AHYCS
最大値、1+C[n,2]-n+C[n,4]=(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24
0068１３２人目の素数さん2015/06/04(木) 11:37:55.53ID:VRhXXN4e
>>65
その議論の中で全ての三重点（３本以上の対角線が交わる点）が特定されることから
全ての整角四角形を特定できる。
0069１３２人目の素数さん2015/06/08(月) 10:00:02.69ID:SYFaGsUd
「フィボナッチ時計」現る　時刻をフィボナッチ数の正方形で表現
http://www.itmedia.co.jp/news/articles/1505/12/news088.html
0070１３２人目の素数さん2015/06/08(月) 14:18:26.14ID:kPVANlDn
サゲ
0071１３２人目の素数さん2015/06/08(月) 18:02:19.48ID:tVQ59KCQ
各桁に0,1,2,3,4,5,6,7,8,9がいずれも等しい回数現れるような2015の倍数が無限個存在することを示せ
0072１３２人目の素数さん2015/06/08(月) 23:21:01.18ID:C27RTUbC
2015=5×13×31
a=987654321098765432109876543210は5の倍数
1,10^30,10^60,... という長さ13×31の列の和bは13×31の倍数
abは2015の倍数
abは問題の条件を満たす
abを何回も繰り返した数も条件を満たす
このような数が無限に存在する
0073１３２人目の素数さん2015/06/09(火) 13:49:00.57ID:T0GLx/6H
2^n+n=m!を満たす正の整数の組(m,n)を全て求めよ.
0074１３２人目の素数さん2015/06/09(火) 23:44:26.68ID:C9PCsexr
m=4のとき、m!=24 は 2^3=8 の倍数。
2^n+n=m! が成り立つとすると、2^n+n は 2^3=8 の倍数。n自体が 2^3=8 の倍数。
すると 2^n+n は最低でも 2^8+8=264>24。関係式は成り立たない。
m≧5のときも同様
あとは m=1,2,3 の場合を考えれば n=2,m=3 でのみ成立
0075１３２人目の素数さん2015/06/10(水) 00:24:56.38ID:7AH0/qSj
m!は2^kを因数に持つけど、kをmで表すことってできる？
0076１３２人目の素数さん2015/06/10(水) 00:43:27.74ID:tY3zLt2n
k=[m/2]+[m/4]+[m/8]+[m/16]+…
（[]はガウス記号）
とかですかね
これから
(m-1)/2 ≦ k < m
が言える。（下はもう少しいい評価があるかも）
0077１３２人目の素数さん2015/06/10(水) 00:53:05.27ID:bFulPhM4
73を解くのにあたってって話なら
4は2^2の倍数
それ以外の偶数は2の倍数って考えて
「m!の中の2の因子の数は最低でもこれ以上」っていう評価をすれば
じゅうぶんみたい
0078１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:17:10.16ID:bGUttT8X
ちょっと出題してみる。経験的に初学者がやりがちなミスについての問題だけど、お前らは大丈夫だよな？

問：S大学数学科1年生のT君は、以下の定理を次のように証明した。

定理　ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）＝ｆ（P_1∨P_2）

（証明）
ｂ∈ｆ（P_1∨P_2）　（1）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1∨P_2）　（2）
⇔a∈P_1∨P_2　（3）
⇔a∈P_1またはa∈P_2　（4）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはa∈ｆ（P_2）　（5）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（6）
⇔ｂ∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（7）
（ただし、証明中の∨はcopを表している。）

（1）この定理は確かに正しいのだが、T君の証明には致命的な欠陥（誤り）がある。それはどの部分か。理由を含めて指摘せよ。
（2）T君の証明を正しく訂正せよ（誤っている部分のみでよい）。
（3）（2）に適切な証明を補い、定理の証明を完成させよ。
0079１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:22:33.65ID:bGUttT8X
>>78補足
ｆは集合Aから集合Bへの写像であり、a∈A、ｆ（a)=b∈Bとする。
0080１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:24:49.45ID:bGUttT8X
すいません訂正です。
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはa∈ｆ（P_2）　（5）
　訂正　→　⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはｆ（a）∈ｆ（P_2）　（5）
0081１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:26:02.12ID:wfdOlE04
aを実数とします。縦1/a，横aの長方形があるとして，その面積は１です。
しかし，ここでaを∞にすると，長方形は直線になりますが，直線には面積
がないにもかかわらず，面積１があることになってしまいます。これはどういう
ことなのでしょうか。
0082１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:35:03.48ID:bGUttT8X
>>81
長方形の面積をS（a）＝1/a * aとする。
この定義域は（0、∞）であるため、a=∞である場合にはこの式をそのまま用いてはならない。
そこで極限を利用するものとし、ロピタルの定理によれば、
lim[a→∞]S(a)（不定形）＝lim[a→∞]S’（a）＝-1/∞＝0
となり、直観に合う。
0083１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:45:55.24ID:wfdOlE04
意味が通らない。普通微分の世界では，h/hはh→∞の場合も１で
扱うことになっているから，a/aはa∞でも１である。これを否定するなら
微分を否定することになる。
0084１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:49:33.06ID:FCTGdr8N
「長方形は直線になります」が間違いなだけ
0085１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:53:42.28ID:wfdOlE04
半直線でもない，無限に長い直線になることは明らかである
0086１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:54:40.44ID:wfdOlE04
直線とは，縦の長さが∞で，横の長さが０であるものである
0087１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:55:04.31ID:3LGTbrht
>>78
>>79、>>80　を全部まとめて、　T　君の示した証明を”正確”に書き写すべし。
0088１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:55:38.31ID:3LGTbrht
>>85
ならない。
0089１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:57:23.86ID:bGUttT8X
>>83
お前の普通が普通じゃないだけ
h/hがh→∞のとき1っていうのは定義でもなんでもない。状況による
そうでないって言うなら証明しろ。

h/hの形で表される関数はh→∞において常に1である
0090１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 22:59:04.50ID:QtO61PaI
へんなのが湧いてきた
0091１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 23:02:33.19ID:kvq6G/61
超函数と似てる。
0092１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 23:02:39.28ID:bGUttT8X
>>87
（T君の示した証明）
ｂ∈ｆ（P_1∨P_2）　（1）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1∨P_2）　（2）
⇔a∈P_1∨P_2　（3）
⇔a∈P_1またはa∈P_2　（4）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはｆ（a）∈ｆ（P_2）　（5）
⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（6）
⇔ｂ∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（7）

各行末の（　）は式番号を表しています。
証明の形式が一般的なものと外れているという問題ではなくて、
あからさまにおかしな点が一か所存在していますので、
それを式番号で指摘し、おかしい理由を説明してください。
（2）、（3）はこの定理に馴染みがない人のための補足のようなものですので、
別段興味がわかなければやらなくてもいいです。
0093１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 23:21:42.97ID:wfdOlE04
aを無限大にしていくと，直線に「なる」ことは明白である
0094１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 23:26:47.17ID:bGUttT8X
>>93
うだうだ言ってないではやく>>83にある普通とやらを微分の定義から証明しろ
それができないなら消えろ
0095１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 23:28:54.63ID:3LGTbrht
>>92
「式番号」というよりは　「⇔が成立していない箇所」というべきか。
0096１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 23:30:13.81ID:3LGTbrht
>>93
ならない。
aがどれほど大きくなろうとも、そこにあるのは一辺がaもう一辺が1/aの長方形である。
0097１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 23:36:37.66ID:bGUttT8X
>>95
確かに、この問題についてはその認識で間違っていませんね。
細部を直せば証明が合うというものではなく、この議論だけでは不十分である
ということを指摘していただきたいです。
0098１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 23:44:39.82ID:3LGTbrht
T君の頭のなかでは
任意のX⊂Aに対して　X=f^(-1)(f（X))　となっているようなので
それを使った箇所は全て間違い。
0099１３２人目の素数さん2015/06/11(木) 23:58:47.37ID:bGUttT8X
>>98
「逆”対応”はもとの集合に一致する」は明らかに真ですので、
正解は分かっていると思うんですが、その解答は誤りです。

その解答を正しく訂正すると、
∀a∈Aに対してf:a│→f(a)＝ｂならばｆ^（-1）：ｂ＝ｆ（a）│→aが誤りです。
つまりおかしいのは（5）で、例えばｆ（a）=f（a'）∈ｆ（P_2）であるときに
a∈P_2は成り立たないということを指摘すべきでした。

>>98さんは写像ｆにどのような条件が成り立てば元の証明が成り立つかということについて
考察し、集合に関する理解を深めてください。
0100１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 00:04:31.41ID:GlaDXgea
>>99
間違い。
0101１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 00:05:53.41ID:bcUTKLj5
(2)⇔(3)も間違いだよ。
0102１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 00:09:58.41ID:d0ufml/3
>「逆”対応”はもとの集合に一致する」は明らかに真

語弊がありました。つまり
ｂ∈Γ（a）⇔a∈Γ^（-1）（ｂ）
逆対応の定義によりこれが成り立つので、Aの任意の部分集合Xに対する写像ｆによる像の集合をｆ（X）とすれば
b∈ｆ（X）⇔a∈f^(-1)(f（X))
したがって、a∈f^(-1)(f（X))⇔a∈Xが確かに成立します。
0103１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 00:12:52.05ID:d0ufml/3
>>101
すいません確かにそうでした。
⇔∃a∈P_1∨P_2　（3）
（これが最適とは言えませんが）せめてこうするべきですね。
（すなわち、ｂ＝ｆ（a）を満たすaが存在して、の意）
0104１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 00:19:33.30ID:bcUTKLj5
>>102
A={1,2}、B={1}、X={1}⊂A、ｆ：A→B　をf(1)=f(2)=1　とすれば
f^(-1)(f(X))={1,2}=A　であり　　明かにX≠f^(-1)(f(X))
0105１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 00:37:04.12ID:d0ufml/3
>>104
大変申し訳ありませんあなた様の御認識が正しくてわたくし目の節操のない
意見未満の戯言がすべて間違っています。

ご高説を参考にわたくし目の大変見苦しい証明を訂正いたしますと、
a∈X⇒a∈f^(-1)(f（X))
こうですね。
したがってX⊂f^(-1)(f（X))
0106１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 00:42:10.83ID:d0ufml/3
何度も書き込みして大変申し訳ないのですが、>>104様ありがとうございました。
具体的に考えてみればすぐに分かることとはいえ、長年勘違いしていたらしく、
恥ずかしい限りです。できれば貝になりたいです。

300年ROMります。
0107１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 01:12:17.78ID:bcUTKLj5
これで思い出した。
しばしば初心者が間違いに気付かないところ。

空でない集合A、B、写像ｆ：A→B、部分集合Y⊂Bに対して
（真）命題：　f(f^(-1)(Y))⊂Y
（嘘）証明
任意のy∈f(f^(-1)(Y))をとればあるx∈f^(-1)(Y)があってy=f(x)。
f^(-1)の定義とxの取り方から　f(x)∈Y　これより　y∈Y
即ち　f(f^(-1)(Y))⊂Y。
0108１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 01:38:18.11ID:d0ufml/3
>>107
先生、これはどこがまずいんですか？
∀x(f(x)＝y)、f(x)∈Yはほぼ自明に成り立っていると思うのですが。
0109１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 04:06:22.05ID:d0ufml/3
あるxがあってy＝……の順序が逆なんですかね。
間違いと言うより書き方の問題のような気がしますが。

ろm言った後にしゃしゃってすみません。
>>107の等号成立条件は何か、という問題を置いて今度こそ去ります
0110１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 19:02:34.86ID:Baaq2w5d
>>107は釣り
0111１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 20:20:24.55ID:bcUTKLj5
>>108
f^(-1)(Y)=φのときを別に言っておかなければならない。
0112１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 20:21:59.81ID:Baaq2w5d
>>111
するとあなたは φ⊂A をどうやって証明すると思ってるの
0113１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 21:35:06.49ID:bcUTKLj5
釣りと言ったからには何かを言わなきゃ、ね
0114１３２人目の素数さん2015/06/12(金) 21:42:06.44ID:Baaq2w5d
何を言ってるんだ
0115１３２人目の素数さん2015/06/13(土) 00:38:40.24ID:qxL5Q/0+
v^3空間中にx軸、y軸をそれぞれ軸としてz軸方向に進行するコサインカーブ
E_x=A_xcos(k_0z-ωt)
E_y=A_ycos(k_0z-ωt)
を考える。軸上の任意の点からE_x、E_yに垂直な方向でそのz座標における各関数値と
同じ大きさを持つベクトルe_xおよびe_bを取り、そので表現されるベクトルの集合を考える。
z軸正方向無限遠点に立ち、xy平面を見るとき、このベクトルによってどのような軌跡が描かれるか。

また、E_y=A_ycos(k_0z-ωt-π/2)のときはどうか。

ただし A_x、A_y、k_0、ωは比例定数であり、考察上1と置いても構わない。
0116１３２人目の素数さん2015/06/13(土) 00:42:07.76ID:qxL5Q/0+
>>115
……を、それぞれ軸として～は間違い。
軸はz軸に固定されていて、いわゆる振幅の方向がそれぞれx、yです。

数学ではあまり扱わない話題ですが、ぜひどうぞ。
0117１３２人目の素数さん2015/06/13(土) 00:44:18.82ID:qxL5Q/0+
5行目、e_bはe_yに訂正。
その直後のそのではその和でに訂正。
0118１３２人目の素数さん2015/06/13(土) 05:11:04.60ID:QxkJCEZQ
無駄に長い文章で読む者をヒかせるが、要するに
(x,y)=(A_xcos(k_0z-ωt),A_ycos(k_0z-ωt)),z∈実数
の軌跡を各 t ごとに求めよ ってことでしょ。
そう言えば簡単じゃない。
0119１３２人目の素数さん2015/06/13(土) 17:29:00.06ID:qxL5Q/0+
>>118
前半はそうなんですが、後半はベクトル和であることで単なる軌跡ではない
ある特別な性質が見られるのです。
(数学ではありませんが)物理学的に重要なので、あえてまどろっこしい言い方をした次第です。
0120１３２人目の素数さん2015/06/13(土) 22:19:15.17ID:QxkJCEZQ
>>119
物理方面の人は、ベクトルとか行列とかに
あらぬ感傷を抱きがちだけれど、ベクトルは
ベクトルに過ぎず、それ以外の意味は無い。
この問題の場合、「ベクトル和」は
x e_x + y e_y を構成しているだけだから、
単に (x,y) が直交座標になるだけ。
文系のロマンは、ここでは必要ない。
0121１３２人目の素数さん2015/06/13(土) 22:31:30.86ID:qxL5Q/0+
>>120
ベクトル和の集合ですよ。
余弦波の変域がx、yの各定義域になりますので、当然直交座標にはなり得ません。
>ベクトルはベクトルに過ぎず～
位置ベクトルが指し示す座標の集合、と言い換えます。
恐らくは>>118の、単なる軌跡ではない、に引きづられているのかと思いますが、
これについては説明が不足していますのでお詫びして訂正します。
各点をzの値によって添数付けて、その順序を追って見てください。
すると軌跡上の各点に対して変化の方向を定義できます。
これが、例えば問題後半の-π/2を-3π/4としたときに
軌跡としては同じなのですが、実質的な大きな違いとして現れます。面白いですよ。
0122１３２人目の素数さん2015/06/13(土) 23:25:10.90ID:QxkJCEZQ
ああ、e_x, e_y は定ベクトルではないのか、
それはすまなかった。しかし、
＞軸上の任意の点からE_x、E_yに垂直な方向で
＞そのz座標における各関数値と同じ大きさを持つ
＞ベクトルe_xおよびe_y
は、意味不明だな。言葉でうまく書けないなら、
式で定義したほうが伝わるんじゃないかね？
0123１３２人目の素数さん2015/06/13(土) 23:41:28.88ID:qxL5Q/0+
>>122
そうですねえ……
すぐに定式化とはいかないのでやはり言葉での説明なのですが、要するに
あるz軸上の値を決めたときに最初に挙げた二つの関数が取る値をx、yとして、
これをそのz軸上の値における座標(x、y)としてxy平面にプロットする訳です。
そうするとxy平面にはzで添数づけられた連続なグラフのようなものが描けるはずなので、それを求めてください。
0124１３２人目の素数さん2015/06/13(土) 23:55:31.45ID:qxL5Q/0+
問題（修正版）
V＾3空間においてｚ軸を変位中心とし、ｘ、ｙ軸に垂直な方向に変位する2つの余弦関数、

E_x=cos(z)、E_y=cos(z-φ)

を考える。あるｚにおける各関数の値をそれぞれｘ、ｙとし、
ｚにより添数づけられた座標（ｘ、ｙ）としてｘｙ平面にプロットするとき、
ｘｙ平面上の軌跡を求めよ。

ただし、関数中におけるφは初期位相を表しており、
今回は特にφ＝0、π/4、π/2、3π/4のいずれかであるものとする。
また、描かれた軌跡について添数ｚの値による変化の方向を調べ、
一方向に定まる場合には、それも併記すること。
0125１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 00:05:53.44ID:ovwdE92/
ああ、リサージュ曲線のこと話してたの
説明下手すぎでしょ…
最初の問題文のように下手な文章でわざわざ遠回しに表現する意味あったの？
0126１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 00:10:38.56ID:nchbPgqM
理紗汁
0127１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 00:28:15.70ID:yvZpfH/+
>>125今解いてきたけどリサージュ曲線じゃなくね？
0とπ/2のときはとりあえず直線になるね
π/4は円か？3π/4はまだやってない
0128１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 00:33:23.67ID:yvZpfH/+
すまん紛れもなくリサージュ曲線だったわ
0129１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 00:44:42.42ID:x/eXaC3E
lissajous は リサジュー と発音するんじゃね？
0130１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 00:47:22.00ID:yhbaX4/I
/ˈlɪsəʒuː/だそうです
0131１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 00:54:35.85ID:yvZpfH/+
>>130アクセントは？
0132１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 01:02:56.17ID:yhbaX4/I
第一音節です
かと思ったんですけど、元はフランス語なんですね
/lisaʒu/
フランス語にアクセントはないっぽいので、リサジュみたいな感じなんでしょうか
0133１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 01:03:00.80ID:GhoEuWAe
>>124
なんで3次元なの？
0134１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 01:04:45.60ID:yhbaX4/I
問題を複雑にするためだと思います
0135１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 01:09:17.92ID:ovwdE92/
そこは分かれよ
振動面の直交する電磁波の重ね合わせを定点観測する状況のことでしょ
0136１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 01:37:37.90ID:yvZpfH/+
>>135
物理どうのこうのだから多分それだよな
初期位相を変えるのは偏光のことを指していると思われ
0137１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 02:05:56.19ID:OzMn4BdF
黒４個、白４個、赤４個を円形に繋いでネックレスを作る方法をエレガントに求めよ。
同色の玉は見分けがつかず、回転や裏返しで一致する繋ぎ方は同じものと見做す。
0138１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 03:22:07.16ID:yV4TcWxT
宿題は自分でやれ
0139１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 05:13:55.99ID:OzMn4BdF
>>138
まぁやってみろよ。
0140１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 09:24:00.27ID:Imd90ide
ただの数珠順列やん。
0141１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 09:28:00.96ID:r3//wh8S
>>123-125
なんだ。結局>>118でよかったのか。
簡単なことは、簡単にすまそうよ。
0142１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 10:56:06.46ID:OzMn4BdF
>>140
いかに上手に計算するかが問題なんだけどな。
0143１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 11:26:20.13ID:r3//wh8S
>>137 >>140 >>142
この問題だと、
裏返して重なる
が面倒だよね。
0144１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 11:42:56.16ID:0jPi0lqx
バーンサイドの定理
0145１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 11:48:33.06ID:iM/KqZS8
お前ら問題をよく読めよ。求めるのはネックレスを作る方法だぞ。
手芸板とかの方がいいんじゃないか？
そんなのあるのかどうか知らんけど。
0146１３２人目の素数さん2015/06/14(日) 17:13:57.01ID:yvZpfH/+
>>141
他のレスも読んだらどうだ
0147１３２人目の素数さん2015/06/15(月) 12:18:46.06ID:wIc3lRqX
>>137
答えは？
0148１３２人目の素数さん2015/06/15(月) 14:02:26.11ID:jTvzDREJ
>>137
719
0149１３２人目の素数さん2015/06/15(月) 14:13:39.05ID:1SLeoFUz
冗談は芳江さん
0150１３２人目の素数さん2015/06/15(月) 22:59:41.61ID:w9Nq94Ln
7×7のマス目のいくつかのマスの中心に、以下の条件を満たすようにゴマを1つ置く。

条件：置かれたゴマのうちのどれか4つを頂点とする長方形で、その辺がマス目の辺に平行なものができてはならない。

最大でいくつゴマを置くことができるか。
0151１３２人目の素数さん2015/06/15(月) 23:11:35.53ID:O9+dQNu/
なんか日本語おかしいよ
0152１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 00:24:40.43ID:fqscTCpW
>>137
最初地道にやった結果と、
wikipediaの「バーンサイドの補題」を参考にしてやった結果が一致したから
合ってるかな
1493通り
0153１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 00:43:12.01ID:fqscTCpW
>>150
7列からどの２列を選んで重ねても、ゴマのあるマスが２箇所以上重なることがない
という条件なので、多分21個。
例：
(1,1)(1,2)(1,3)
(2,1)(2,4)(2,5)
(3,1)(3,6)(3,7)
(4,2)(4,4)(4,6)
(5,2)(5,5)(5,7)
(6,3)(6,4)(6,7)
(7,3)(7,5)(7,6)
0154１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 01:14:16.63ID:H1/I840P
>>152
俺も地道に計算して1493通りになったんだけど、ネットで見つけた問題の模範解答は違っていた…
どう思う？
http://www.y-sapix.com/articles/19267/
0155１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 03:30:19.03ID:fqscTCpW
>>154
そのsapixの解答は、明らかに間違ってるな。
(C)以外の(A)の場合と、(D)以外の(B)の場合において、上下反転をダブルカウントしてる。

実際は、(A)も(B)も
(90-3!)/2+3で45通りなので
45*2+(2896-45*2)/2=1493
が正解。

そりゃ「優秀賞に値する答案はいただけませんでした」になるわな（苦笑）
その間違った模範解答をエスパーするのは無理。
sapix大丈夫？
0156１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 03:36:36.67ID:fqscTCpW
（それ、最終回の問題だったのか…とんだ有終の美だな…）
0157１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 03:57:44.00ID:H1/I840P
やはり間違っていたようですね。安心した。

2007年頃に塾のバイトしていたときに、m色n個ずつの円順列や数珠順列を
(m、n)=(2、4)、(3、3)、(3、4)の場合を出題したことがあったんだけど、
当時の解答の手書きメモと、最近ネットで見かけたsapixの解答が違っていて>>137に書いた次第。

ちなみに私の解法は黒玉の連続する個数で５通りに場合分けして、エレガントとは程遠い解法でしたが…。
0158１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 05:24:18.29ID:goQtvF3x
プログラムでカウントさせたところ、1493通りでした。
ちなみに、色を入れ替えて一致するものも同一視すると297通り
0159１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 06:06:45.29ID:H1/I840P
>>158
ありがとうございます。プログラムは ご自分で作られたのですか？
模範解答と答えが違うとき、まず自分を疑ってしまいがちですが、こんなこともあるのですね。
0160１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 08:49:30.12ID:deTZhkJL
>>159
こんな感じのもので確かめました。
ttp://codepad.org/DmPnExwI
0161１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 13:35:34.98ID:TmgIPwFn
誰か>>18 >>40 >>66の解き方教えて
0162１３２人目の素数さん2015/06/16(火) 21:57:51.55ID:LTpWN3vT
>>66 (1)は解けた
(50k^2+20k+2)^2+1=5(10k^2+6k+1)(50k^2+10k+1)
よりn=50k^2+20k+2(k≧1)のときn!はn^2+1で割り切れる

(2)は素数pが4n-1型のとき、((p-1)/2)!≡±1 (mod p) になることまでは分かったが…
0163１３２人目の素数さん2015/06/17(水) 01:20:30.74ID:QCqizCQx
>>155-157
あまり責めないでやれ。
SAPIXというと、ある年代以降の生まれの人には
絶大な信用があるが、
要するに代ゼミだよと言えば、ある年代以前の人なら
多くを期待すべき相手でないことが解る。
M&Aは、ブランド名のロンダリングでもある。
0164１３２人目の素数さん2015/06/18(木) 09:44:50.83ID:XPs4xt6p
2015個の連続する正の整数からなる列であって, ちょうど155個の素数を含むようなものが存在することを示せ
0165１３２人目の素数さん2015/06/18(木) 11:26:36.76ID:pAuqikyi
>>164
nからn+2014までの自然数のうち素数の個数をf(n)とおくと、
f(1)=305であり、
素数定理などから、明らかにf(N)<155となるNが存在する。
ここで、任意の自然数nについて、
f(n+1)-f(n)は、1,0,-1のいずれかなので、
f(n)=155，1<n<Nを満たすnが存在する。

定義域が整数である場合の中間値の定理のようなものですな。
本当はf(N)<155となるNの具体例を示したかったのだが、
いきなりf(500000)=155となることを見つけてしまったので^^;
0166１３２人目の素数さん2015/06/18(木) 19:54:40.67ID:/w4mTADd
>>165
f(N)<155となるNの存在をいうだけなら素数定理を持ちださなくても
あきらかにf(2016!+2)=0だよね
0167１３２人目の素数さん2015/06/19(金) 18:55:13.73ID:n/Pn+0sj
>>40は上手くいきそうでいかない
「六角形」の辺を適当に結んで平行云々でパスカルの逆、って流れだと
いまいち綺麗にできない（場合分けが下手？）
数式に持ち込んでもごちゃごちゃ
前提条件が妙に強いからサクッとできるのだろうが
0168１３２人目の素数さん2015/06/21(日) 14:51:11.58ID:eRDPXgWJ
>>66 (2)
まず, 条件を満たすnを具体的に構成する方法を示す.
kを3以上の奇数とする. k!+1は奇数なのでp|(k!+1)である奇素数pが存在する.
k!+1は1,2,...,kで割り切れず, またk,pはともに奇数なのでp-1>k
ここで, ウィルソンの定理より(p-1)!≡-1(mod p)なので,
-1≡(p-1)!
≡k!*(k+1)*...*(p-1)
≡(-1)*(k+1)*...*(p-1)
≡(-1)^(p-k)*(p-k-1)!
≡(p-k-1)! (∵p-kは偶数)
よってp|((p-k-1)!+1)
k+(p-k-1)=p-1<pより, kかp-k-1の一方はp/2より小さい.
その小さい方をnとすれば, p|(n!+1)かつ2n<pが成り立つので, このnは条件を満たす.

次に条件を満たすnが無限個存在することを示す.
条件を満たすnとして n_1,n_2,...,n_m が与えられたとき, そのいずれとも異なるn_(m+1)が存在して条件を満たすことを示せばよい.
(n_1)!+1,(n_2)!+1,...,(n_m)!+1の素因数全体の集合をPとする.
Pの元のいずれよりも大きな3以上の奇数kをとり, 上記の構成法に従ってp,nを定める.
このときp>kよりp∉Pなので, nはn_1,n_2,...,n_mのいずれとも異なる.
よってn=n_(m+1)とすればよい. 以上より示された.
0169１３２人目の素数さん2015/06/21(日) 14:59:56.59ID:eRDPXgWJ
正の整数からなる集合Aは次の条件(i),(ii),(iii)を全て満たす：

条件(i)：Aは3個以上の元を持つ
条件(ii)：a∈Aかつ d|a (d>0)ならばd∈A
条件(iii)：a, b∈Aかつ1<a<bならば1+ab∈A

このとき, Aは全ての正の整数を含むことを示せ.
0170１３２人目の素数さん2015/06/22(月) 20:30:45.44ID:pYzkOfH1
>>169
条件より1<a<bなるa,bが存在して1,a,b,ab+1∈A
a,b,ab+1のうち少なくとも1つは偶数なので2∈A
よって2b+1,2(2b+1)+1∈A
b,2b+1,2(2b+1)+1のうち少なくとも1つは
3の倍数であるかまたは6で割った余りが2
前者の場合3∈A
後者の場合6k+2∈Aとして
3k+1∈A
2(3k+1)+1=3(2k+1)∈A
よって3∈A
ここまでで1,2,3∈Aが示せたので4,5∈Aもいえる
ここでn(≧5)以下の正整数が全てAに属すると仮定する
nが偶数のとき2<n/2∈Aよりn+1∈A
nが奇数のとき2<(n+1)/2∈Aよりn+2∈A
よってn(n+2)+1=(n+1)^2∈Aよりn+1∈A
以上よりAは全ての正整数を含む
0171１３２人目の素数さん2015/06/22(月) 21:01:14.59ID:pYzkOfH1
>>170
抜けがあったので訂正

＞b,2b+1,2(2b+1)+1のうち少なくとも1つは
＞3の倍数であるかまたは6で割った余りが2

b≡5(mod 6)の場合これは成り立たないが
このときはb(2b+1)+1≡2(mod 6)がAに属するので
「後者の場合」に帰着する
0172１３２人目の素数さん2015/06/22(月) 21:16:09.10ID:pYzkOfH1
＞よって2b+1,2(2b+1)+1∈A
＞b,2b+1,2(2b+1)+1のうち少なくとも1つは

よって2b+1,b(2b+1)+1∈A
b,2b+1,b(2b+1)+1のうち少なくとも1つは

とすればいいだけだった…
0173１３２人目の素数さん2015/06/23(火) 05:42:15.74ID:bZvTLbCC
>>169の条件(iii)を改変したバージョンも解けたので問題として出しておく

正の整数からなる集合Aは次の条件(i),(ii),(iii)を全て満たす：

条件(i)：Aは3個以上の元を持つ
条件(ii)：a∈Aかつ d|a (d>0)ならばd∈A
条件(iii)：a, b∈Aかつ1<a<bならばab-1∈A

このとき, Aは全ての正の整数を含むことを示せ.
0174１３２人目の素数さん2015/06/23(火) 23:32:20.59ID:rY+w350S
どことなくコラッツの問題に似てるから
実は解くのが難しいとかそういう話なのかと思ったら
解けるのか
0175１３２人目の素数さん2015/06/25(木) 21:00:57.54ID:35Y69c7I
表裏の出る確率が均等でないコインが1枚ある。
これを繰り返し投げて出た結果によって、確率1/2の試行を実現したい。
投げる回数の期待値を最小にするにはどうすればいいか。
0176１３２人目の素数さん2015/06/25(木) 22:22:23.83ID:2yBiznPm
右手か左手に表裏の出る確率が均等でないコインを隠し、選んで貰う
0177１３２人目の素数さん2015/06/26(金) 10:13:21.94ID:5yy/K2nU
>>175
最初「期待値」の意味がわからなかったけど、例えばこういうことかな。（これが期待値最小かどうかはおいといて）
判定結果は○／×で表すものとします。

偶数回目のみにチェックポイントを設け、以下の判定を行う。
そこまでに投げた回数をN=2^n*a（aは奇数、nは正の整数）とする。
次の判定を、決着がつかない限り、k=1からnまで順に繰り返す。
・N回目とN-2^(k-1)回目のコインの表裏が異なる場合、N回目は表なら○、裏なら×で決着。そうでない場合は決着せず。

有限回数で必ず決着する手段が存在しない以上、「ある条件を満たせば決着」という手法を考え
その条件に至るまでの回数の期待値ってのが問題になるわけね
0178１３２人目の素数さん2015/06/26(金) 10:42:50.12ID:5yy/K2nU
さっきの >>177 の判定の意味がわかりにくいので補足。

基本となる手法は以下

　偶数回目のみチェックする。
　直前の２回が「裏表」なら○、「表裏」なら×で決着
　それ以外は、その回では決着せず


この手法では、決着せずに試行を繰り返さないといけないケースは
２回ずつまとめてみると「表表」もしくは「裏裏」のパターンのみをくりかえす場合。

その決着しないケースをなるべく救済するために、今度は4の倍数回にチェックポイントを設け
直前４回が「裏裏表表」なら○、「表表裏裏」なら×とする。

この手法を追加しても、決着せずに試行を繰り返さないといけないケースは
４回ずつまとめてみると「表表表表」もしくは「裏裏裏裏」のパターンのみをくりかえす場合。

それををなるべく救済するため、8の倍数回にチェックポイントを設け
直前８回が「裏裏裏裏表表表表」なら○、「表表表表裏裏裏裏」なら×とする。

（以下略）

というのをまとめた結果。
0179１３２人目の素数さん2015/06/26(金) 12:09:01.54ID:IIy/cicI
1/2を期待できる方法（小道具を使うが、１回で完了）
コインの表を偶数、裏を奇数に対応づけ、コインを振り、止まった瞬間に時計の秒針を見て
偶数か奇数かをチェック。コインの偶奇と一致するかどうかで判定

ほぼ1/2を期待できる方法
でやすい面を表、でづらい面を裏と表すこととし、表のでる確率をpとする
コインを繰り返し振り、n回目の裏がでたのが、偶数回目だったか、奇数回目だったかで判定
確率pに対応して、下のようなｎを採用すれば、最大誤差1%程度になる。
0.99<p<1　なら、n=1で十分。
初めて裏がでるのが偶数回目となる確率＝p(1-p)+p^3(1-p)+...=p/(1+p)
初めて裏がでるのが奇数回目となる確率＝(1-p)+p^2(1-p)+...=1/(1+p)
0.8<p<0.99　なら、n=2辺りを用いる
二回目の裏がでるのが偶数回目となる確率＝(1-p)^2+C[3,1]p^2(1-p)^2+...=(1+p^2)/(1+p)^2
二回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝2p/(1+p)^2
0.6<p<0.8　なら、n=3辺り
３回目の裏がでるのが偶数回目となる確率＝3p(1-p)^3+C[5,2]p^3(1-p)^3+...=(3p+p^3)/(1+p)^3
３回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝(3p^2+1)/(1+p)^3
0.5<p<0.6　なら、n=4
４回目の裏がでるのが偶数回目となる確率＝(1-p)^4+C[5,3]p^2(1-p)^4+...=(p^4+6p^2+1)/(1+p)^4
４回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝(4p^3+4p)/(1+p)^3
0180１３２人目の素数さん2015/06/26(金) 12:13:45.71ID:ya3KuOPO
あ、最後の行、ミスってる
×：４回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝(4p^3+4p)/(1+p)^3
○：４回目の裏がでるのが奇数回目となる確率＝(4p^3+4p)/(1+p)^4

ごらんのように、パスカルの三角形が登場してます。
0181１３２人目の素数さん2015/06/26(金) 12:44:04.27ID:/ysslOVn
コイン以外のところから、確率1/2の事象を引っ張ってくるのは出題者の意図とはたぶん違うんじゃないかね。
それだったら、コインいらないし……。
0182１３２人目の素数さん2015/06/26(金) 20:46:11.23ID:h7iWFEKI
>>175
ちょっと考えた

pが既知かつ近似解で良い場合
中心極限定理で適当にやればp=0,1以外はどうにでもなる

pが既知かつ厳密解が欲しい場合
初めて表が出るまでの回数をNとしてNが特定の回数だった場合を
新たに「表」として定義する
N=nの確率はp*(1-p)^(n-1)となるので適当に組み合わせれば
p=0,1以外なら任意の精度で「表」の確率が定義できそう

pが未知の場合
ベイズ的には初回は必ず1/2
と言うのは冗談だがpを推定してから上記の場合に持ち込むのかな
0183１３２人目の素数さん2015/06/26(金) 20:53:56.32ID:h7iWFEKI
>>182に補足
元のお題は最小回数の作り方だから
pが既知かつ厳密解が欲しい場合については
N回投げて各出目の確率の和が1/2になる
組み合わせが見つかったらそれが最小のN
0184１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 00:30:06.71ID:/+u9NzxP
>>175 は、確率は未知という設定じゃないとつまんないので、自分はそっちで考える。
確率は未知であっても、確実に1/2の確率を実現できる方法を考えて、
回数の期待値は、未知だけど実際には存在する確率pの関数として表す。
「期待値最小」ということを厳密にどう判定するかは難しいが、
まずはよりよい関数となる手法を考え、もしかしたら
「pが未知でも成り立つ手法の中では、どんなpに対しても最小の期待値を持つ」手法が
存在するのかもしれない。

ちなみに、>>178 の「基本となる手法」で期待値を計算すると1/(p(1-p))となる。
（p=1/2で最小値4をとる）
>>177 の手法ではそれよりもどんなpにおいても小さい値になるのは明らかだが、
うまい計算方法が見つからなくて困ってる。
0185１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 03:03:16.58ID:/+u9NzxP
>>177 の期待値
f(p) = Π[n=0,∞](1+p^(2^n)+(1-p)^(2^n))
となるようだ。
>>178 の「基本となる手法」の期待値
g(p) = 1/(p(1-p))
と比較すると、こんな感じ。

p g(p) f(p)
0.1 11.111 10.585
0.2 6.250 5.698
0.3 4.762 4.186
0.4 4.167 3.574
0.5 4.000 3.401
0186１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 03:30:28.63ID:/+u9NzxP
pが未知なら、>>177が最強な気がしてきた。
誰か証明もしくは反証よろしく
0187１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 09:14:57.33ID:S/MSoatr
>>177の判定原理は表と裏の回数が等しい試行を組にして
「表」「裏」と名づけていると見ることができる
ゆえに>>178が最短の判定方法となっていることが証明できる
0188１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 12:56:11.26ID:AqwryHTX
177(178)の方法において、どの出方はAが勝ちか、どの出方はBが勝ちか決めてみることにする。
その決め方は複数(多数)候補があるけれど、いいやりかたを選べば、
(177(178)の方法を使ったときに)ある場面において、表がでても裏が出てもAが勝ち(あるいはBが勝ち)
という場面を作り出すことができそう。
そういう場面が出来たなら、そこは実はコインを投げる必要がないということになる。
そして期待値は下がる。
となりそうな気がする。
0189１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 14:30:27.03ID:/+u9NzxP
>>188
なるほど。>>177 のルールのままだと、最後が表なら○と決めているので
最後まで決着しないけど、判定の部分のルールをたとえば

・N回目とN-2^(k-1)回目のコインの表裏が異なる場合、
　kが奇数ならば、N回目は表なら○、裏なら×で決着。
　kが偶数ならば、N回目は表なら×、裏なら○で決着。

としておけば、
表表裏
となった時点で、４回目は表でも裏でも○になるから
追加ルールとして

・その後のコインの表裏によらず、○か×かが確定した時点で、コインは投げない

というのを入れとくと、さらに回数の期待値は減るわけですね。

ううむ、最強からはほど遠かったか。
0190１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 14:33:16.85ID:/+u9NzxP
（さすがに、>>189 のルールでの期待値の計算はあきらめた）
0191１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 14:50:27.11ID:/+u9NzxP
>>188-190
よく考えたら、チェックポイントの２手以上前に○×が確定することは
ありえない（最後の２回が表裏と裏表で必ず○×が異なる）ので、
>>177のルール変更を

・N回目とN-2^(k-1)回目のコインの表裏が異なる場合、
　N-1回目が表なら○、裏なら×で決着。

とでもしておくと、元のルールで表でも裏でも決着するケースでは
確実に１手減らすことができますね。
この方向性での改善としてはこれが最良かな。
0192１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 16:41:16.45ID:imKgYOrh
n次元空間にn+1個の頂点があり、全ての面が正三角形となる超立体の体積をエレガントに求めよ。
0193１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 19:40:48.41ID:n9T/LEaD
f(n)=2n^2+29と定める.
f(0),f)1),f(2),f(3)はいずれも素数であることが分かっている.
このとき,f(4),f(5),...,f(28)も全て素数であることを示せ.
ただし, 各fの値を実際に求めたり, 素数で順に割ったりしてはならない.
0194１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 19:41:47.15ID:iChne//v
>>175
これ、極端に考えればp=1.0でも題意を満たす必要があるんじゃ？
0195１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 20:29:05.21ID:iv70QRnH
p=1.0の場合はどのみち不可能なんだから期待値は∞ってことで問題なくね？
0196１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 21:37:06.11ID:1W0Ez/9a
(1)
自然数nに対して
(Σ[k=1..n],1/k)=P(n)/Q(n)
をみたす実数係数の多項式P(x),Q(x)は存在しないことを示せ

(2)
数列a(n)を
a(1)=2,a(n+1)=(1/(a(1)*a(2)*a(3)*....a(n)))-1
として定義する。
この時、nが偶然ならば、数列a(n)は定数数列であることを示し、その値を求めよ
0197１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 21:43:26.06ID:/+u9NzxP
>>192
1辺が1のn次元の正単体のn次元の体積をV(n)，中心から各頂点までの距離をR(n)とする。
V(1)=1，R(1)=1/2
n+1次元空間内に1辺1のn次元の正単体X(n)を配し、X(n)の各頂点から距離1となる点Aをとると、
AとX(n)はn+1次元の正単体X(n+1)を構成する。
AからX(n)におろした垂線の足をM、X(n+1)の中心をO、X(n)の1つの頂点をBとすると、
OA=OB=R(n+1)、MB=R(n)であり、
X(n+1)の各頂点に重さ1の質点を置いた時の重心がOであることからOA:OM=n+1:1となり、
OM=R(n+1)/(n+1)
OB^2-OM^2=MB^2（三平方の定理）より、整理すると(n(n+2)/(n+1)^2)(R(n+1))^2=(R(n))^2
∴ ((n+2)/(n+1))(R(n+1))^2=((n+1)/n)(R(n))^2=…=(2/1)(R(1))^2=1/2
∴ (R(n))^2=n/(2(n+1))
AM=((n+2)/(n+1))R(n+1)より、
V(n+1)=(1/(n+1))・AM・V(n)=((n+2)/(n+1)^2)R(n+1)V(n)
(V(n+1))^2=((n+2)^2/(n+1)^4)((n+1)/(2(n+2)))(V(n))^2=((n+2)/(2(n+1)^3))(V(n))^2
n≧2において
(V(n))^2=Π[k=1,n-1]((k+2)/(2(k+1)^3))
=((n+2)!/2)/(2^(n-1)・(n!)^3)=(n+1)/(2^n・(n!)^2)
∴ V(n)=(1/n!)√((n+1)/2^n)

n次元の錐体の体積が　(1/n)・底面積・高さ　であることは断りなく使った。
エレガント、ではない。
0198１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 21:45:05.79ID:1W0Ez/9a
(3)
面積および外接円の半径が全て整数であるような三角形は無数に存在することを示せ。
ただし相似な三角形は除く。
0199１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 21:48:38.69ID:/+u9NzxP
（数式を、カッコ多用ではなくちゃんと紙に書けば、そんなにゴチャゴチャはしてないんだよ…）
0200１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 21:52:29.64ID:/+u9NzxP
>>198
辺の長さは整数じゃなくていいのか？
0201１３２人目の素数さん2015/06/27(土) 21:58:42.68ID:1W0Ez/9a
>>200
どちらでも構わない
0202１３２人目の素数さん2015/06/29(月) 04:10:45.50ID:jBA8xQxN
>>196
(1) そのようなP(x),Q(x)が存在するとして矛盾を導く。
lim[n→∞](1/log n)Σ[k=1..n],1/k＝1であるから、
lim[n→∞](1/log n)(P(n)/Q(n))＝1 でなければならないが、
P(x)とQ(x)の最高次数に注目して計算すると矛盾することが分かる。■

(2) nが偶数なら a(n)＝－1/2, nが3以上の奇数なら a(n)＝－2が
成り立つことが数学的帰納法で証明できる。■
0203１３２人目の素数さん2015/06/29(月) 04:31:16.19ID:jBA8xQxN
>>198
そのような三角形の無限列であって、互いに相似でないものが
構成できることを証明しようかと思ったが、別にその必要はなかった。


(3) 面積と外接円の半径が整数であるような三角形の集合をMと置く。
M上の二項関係～を以下のように定義する。

a,b∈Mに対して、a～b ⇔ aとbは相似.

このとき、～はM上の同値関係となることが分かる。
a∈Mの同値類を[a]と書くことにする。同値類の集合M/～は
M/～＝{ [a]｜a∈M }と表せる。このM/～が無限集合であることを
示せばよい。以下の補題を使う(証明は後回しにする)。

補題：任意の正整数nに対して、次を満たすA⊂Mが存在する。
・Aはn元集合.
・Aの任意の異なる2元は相似でない.

この補題により、各nに対して対応するA⊂Mを取れば、次が成り立つ。
・{ [a]｜a∈A }⊂M/～.
・{ [a]｜a∈A }はn元集合.
従って、M/～は少なくともn個の元を含む。nは任意だから、
M/～は無限集合である。最後に、上の補題を証明する。
0204１３２人目の素数さん2015/06/29(月) 04:43:55.79ID:jBA8xQxN
補題の証明：半径がnの円Sを用意し、S上の3点A,B,Cを、三角形ABCが正三角形であるように取る。
円Sにおける弧BCは2つあるが、その中で短い方の弧をL1とする。L1から両端点B,Cを除いたものをL2とする。
L2上の点Pを任意に取ると、三角形APBについて、次が成り立つことが分かる。

(i) ∠PAB ＜ 60°＜∠PBA.
(ii) ∠APB＝60°.
(iii) APBの面積をs(P)と置くと、0＜s(P)＜(3√3/4)n^2 が成り立つ.
(iv) P→Bのときs(P)→0であり、P→Cのときs(P)→(3√3/4)n^2 である.

さて、s(P)はP∈L2に関して連続関数であるから、(iii)と(iv)にも注意して、中間値の定理から、
任意のλ∈(0, (3√3/4)n^2) に対して、s(P)＝λを満たすようなP∈L2が存在する。
特に、λが正整数のときを考える。(3√3/4)n^2＞nであるから、λとしては
少なくとも1,2,…,nまでが選べる。対応するPをP_1,…,P_n とする。
三角形AP_iBをa_iと置けば、a_iの面積は i であり、a_iの外接円の半径はnである。
従って、a_i∈Mである。A＝{ a_1,…,a_n } と置けば、このAが題意を満たす。
実際、Aがn元集合であることは明らか。Aの任意の異なる2元が相似でないことは、
a_iの3頂点の角度に注目すればすぐに従う(具体的には(i),(ii)を使う)。■
0205１３２人目の素数さん2015/06/30(火) 20:34:38.25ID:H5GoaVHE
>>198
3辺の長さを
4n+2, 4n^2*4n, 4n^2+4n+2
とすれば、面積は4n(n+1)(2n+1), 外接円の半径は2n^2+2n+1
0206１３２人目の素数さん2015/06/30(火) 22:09:05.54ID:M1LX+grn
>>198
0より大きく1未満の任意の有理数　t　を持ってきて、それを　t=b/a　と表したとき
(つまり、aとbは互いに素で、0<b<aの整数)
a^2-b^2,2ab,a^2+b^2
の3数は、原始ピタゴラス三角形の3辺を成す。その二倍形
2(a^2-b^2),4ab,2(a^2+b^2)
は、>>198の条件を満たす。


なお、205の例(4n^2*4nは4n^2+4nの誤植と思われる)は、ここに挙げたもので
a=b+1　としたものにあたる
0207１３２人目の素数さん2015/07/01(水) 01:01:33.17ID:rdTrEG2D
>>205-206
その答えは、おととい
「高校生が自作問題を世に問うスレ」
の ≫584 に書いといたのと、同じものだな。
0208１３２人目の素数さん2015/07/03(金) 23:23:02.20ID:rGXRJhyh
一次独立な２つのベクトルx↑、y↑について
|x↑|≦|x↑+y↑|が成り立っているならば
任意の実数a≧1に対して　|x↑+y↑|≦|x↑+a*y↑|となることを示せ。
0209１３２人目の素数さん2015/07/03(金) 23:43:12.41ID:hJIQsZ5a
最近話題のルーローの三角形形の掃除機ロボットを見て思いついた問題。

直径１の正方形の内部で、直径１のルーローの三角形が滑らかに回転するとき、
ルーローの三角形が通過する領域の面積を求めよ。
0210１３２人目の素数さん2015/07/04(土) 13:02:24.94ID:fKcIqKgn
わりときれいな値になるんだな。
それに検索してみると、この動き自体がなかなかおもしろい。
0211１３２人目の素数さん2015/07/04(土) 13:20:18.83ID:ZDm2eXaJ
内部に入らない。
02122092015/07/04(土) 21:29:26.26ID:TU5VZOTE
ちなみに俺は解けなかったぜ
02132092015/07/04(土) 23:13:12.35ID:TU5VZOTE
解けたかも
2√3+Π/6-3=0.9877…
あってる？
0214１３２人目の素数さん2015/07/05(日) 00:09:18.45ID:yb6nmQkj
>>213
πが大文字なのを除けば、同じ答えになった。
0215１３２人目の素数さん2015/07/05(日) 00:26:02.25ID:xGfPr6DD
たぶんそれであってる
http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Reuleaux_triangle
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/amoo_o/4 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:18e3ad85d511352dc19ab55963b20571)
02162092015/07/05(日) 09:16:02.23ID:38VAmmOq
おお、スッキリした。
正三角形の頂点の軌跡を求めて解いたけど、
頂点以外の部分がこの領域からはみ出ないことを示すのは、
（直感的には明らかだけど）まじめに証明するのは結構大変な気がする。
0217１３２人目の素数さん2015/07/05(日) 19:10:04.37ID:xGfPr6DD
たしかに証明しろって言われたら
えっ・・・ってなる
0218１３２人目の素数さん2015/07/05(日) 22:24:37.43ID:KtOLXaqd
>>169の条件(iii)を
「a, b∈Aかつ1<a<bならばa^2+b^2∈A」
に置き換えた場合を考えてみたんだけど、
「4n+3型の素因数をもたない正整数は全てAに属する」
ということが言えそうなのに、惜しくも証明ができない。
Aに必ず含まれるような正整数からなる集合をSとすると
1,2,5∈S
a,b∈Sならばab∈S
が証明できるので、
4n+1型の素数がすべてSに属することを示せればいいんだけど。
とりあえず200以下の4n+1型素数についてはSに属することが確認できた。
あとは誰かに任せた。
0219１３２人目の素数さん2015/07/05(日) 23:32:25.53ID:xGfPr6DD
コラッツの問題に似てるから
実は超難問みたいな地雷を踏みそうでこわい
0220１３２人目の素数さん2015/07/08(水) 16:40:03.46ID:dTJ+Tbfl
eを自然対数の底とする.
正の整数nに対して, 関数f_n(x), およびF_n(x)を
f_n(x)=x^n(1-x)^n/(n!), F_n(x)=納k=0~2n](-1)^k f_n{k}(x)　と定める.
(ただし, f_n{k}(x)はf_n(x)の第k次導関数を表す)

(1) 任意のnに対して, ∫[0 to 1]e^x f_n(x) dx=eF_n(1)-F_n(0) が成り立つことを示せ.
(2) eは無理数であることを示せ.
0221１３２人目の素数さん2015/07/09(木) 07:56:40.26ID:cP+R7nhb
>>218 ちょっと考えてみたけど、
pを4n+1型の素数とすると
平方剰余の相互法則から、1≦k≦p-1 に対して
n^2 + k^2 = 0 (mod p) となる nが存在する
このnをn(k)とおくと、各kに対してn(k)は２つある
また、aとbが異なるとき、a+b=p　なら n(a)=n(b)
それ以外のとき、n(a)とn(b)は全て異なる
n(n(k))=k,p-k が成り立つ
よって、n(k)をうまく選べば、 k → n(k) は
{1,2,・・・,p-1} から {1,2,・・・,p-1} への全単射となる

仮に、各pに対して、{1,2,・・・,p-1} のうち(p+3)/2個以上の数がAに含まれる・・・（※）
が証明できれば、鳩の巣原理より、あるkが存在して、
k,n(k)≠1 かつ kとn(k)が両方Aに含まれる
この時、n(k)^2 + k^2 ∈A となり、 p|n(k)^2 + k^2 より p∈A　が示せる

(※)の証明はわかりません
0222１３２人目の素数さん2015/07/09(木) 16:16:04.07ID:cP+R7nhb
と思ったけど、（※）は成り立ちそうにないな・・・・
0223１３２人目の素数さん2015/07/19(日) 22:16:09.84ID:4WcEMeLJ
任意の2以上の整数nに対して,
不等式　tan(π/(2n))≦2/((n-1)*n^(1/(n-1)))
が成り立つことを示せ.
0224１３２人目の素数さん2015/07/21(火) 11:08:25.82ID:kYxHbe+8
タスケテ。

複素数xyzがx+y+z=1,x³+y³+z³=10,xyz=2の時
xy+yz+zxとx²+y²+z²を求めよ。
またこの時x,y,zの値の組をそれぞれ求めよ。
0225１３２人目の素数さん2015/07/21(火) 12:32:55.45ID:yFoYYNcQ
スレ違い。最低限のルールを守れないやつは相手にしない
0226１３２人目の素数さん2015/07/21(火) 22:33:29.92ID:rZmsaMCj
>>218に書いた問題、証明できたっぽい。
あらためて書くと、こういう問題。

[問題]
正の整数からなる集合Aは次の条件(i),(ii),(iii)を全て満たす：

条件(i)：Aは3個以上の元を持つ
条件(ii)：a∈Aかつ d|a (d>0)ならばd∈A
条件(iii)：a, b∈Aかつ1<a<bならばa^2+b^2∈A

このとき, Aは4n+3型の素因数をもたない正整数を全て含むことを示せ.

証明は結構長くなってしまったけど、せっかくなので投稿する。

[1,2,4∈Aの証明]
1<a<bなるa,b∈Aをとるとa^2+b^2,b^2+(a^2+b^2)^2∈Aで、
b,a^2+b^2,b^2+(a^2+b^2)^2のどれかは4以上の偶数（=2dとおく）。
2d∈Aより2∈Aおよび(2d)^2+2^2=4(d^2+1)∈Aとなり、1,2,4∈Aがいえる。

[Sの定義]
{1,2,4}から出発し、この集合に属する数の約数(>0)をこの集合に付け加える、
またはこの集合に属する2つの数(≧2)の平方の和をこの集合に付け加える、
ということを繰り返して得られる数全体からなる集合をSとする。
Sは明らかに条件(i)～(iii)を満たす最小の集合である。

つづく。
0227１３２人目の素数さん2015/07/21(火) 22:34:56.32ID:rZmsaMCj
[a∈S⇒2a∈Sの証明]
a=1のときは明らか。a≧2とする。
あるk(≧2)が存在してa∈Sかつak∈Sならば、
2a|akまたは2a|a^2+(ak)^2より2a∈Sがいえる。
このようなkが存在しないような最小のa∈Sがあると仮定すると、
Sの定義より、あるb,c∈Sによってa=b^2+c^2と表せる。
b,c<aより2b,2c∈Sなので、(2b)^2+(2c)^2=4a∈Sとなり矛盾。
以上よりa∈S⇒2a∈Sが示せた。

[a,b∈S⇒ab∈Sの証明]
a,b∈Sとすると2a,4a∈Sである。
Sの定義で述べた方法によってbを生成する数列が存在するが、
この数列の各項をa倍したものを考えると、これはabを生成する数列となる。
（x,y,x^2+y^2をa倍するとax,ay,a(x^2+y^2)となるが、
(ax)^2+(ay)^2からa(x^2+y^2)が得られるので問題ない。）
よってSの定義によりab∈Sである。

[Sの性質]
a∈Sとすると、2a∈Sより(2a)^2+2^2=4(a^2+1)∈Sからa^2+1∈Sがいえる。
またa^2∈Sおよび2a^2∈Sもいえる。
これにより、Sにおいては条件(iii)の1<a<bは不要となる。
ここまでをまとめると、Sは次の性質をもつ。
(1)1,2,4∈S
(2)a∈Sかつd|a(d>0)ならばd∈S
(3)a,b∈Sならばa^2+b^2∈S
(4)a,b∈Sならばab∈S
る。
0228１３２人目の素数さん2015/07/21(火) 22:35:54.68ID:rZmsaMCj
[Sの元は4n+3型の素因数をもたないこと]
p=4n+3なる素数pについて、p|aなるa∈Sが存在すると仮定すると、
b^2+c^2≡0(mod p)なるb,c∈S（pの倍数ではない）があって、
b^2≡(-1)c^2(mod p)となるが、-1はmod pで平方非剰余なので矛盾。
よってSの元の素因数は2または4n+1型の素数となる。
よってもし
「任意の4n+1型素数はSに属する」
ということがいえれば、Sの性質(1),(4)より
「Sは4n+3型の素因数をもたない正整数からなる集合である」
といえ、Sの元が全て確定する。

[Mの定義]
4n+1型素数でSに属さないものがあると仮定し、その最小のものをpとする。
Sの元をpで割った剰余類として得られるもの全体からなる集合をMとする。
Mは
Z/pZ={[0],[1],…,[p-1]}（[a]はaを代表元とする剰余類）
の部分集合である。
pはSに属さないので、[0]はMの元ではない。
なお、以下の記述においてaと[a]を区別しない場合がある。

[Mの性質]
Sの性質(1),(3),(4)はそのまま（剰余類の演算として）Mにもあてはまる。
ただし(2)はMにおいては使えなくなる。
また、pより小なる4n+1型素数は全てMの元であり、
Sの性質(4)より、これらおよび[2]からなる積は全てMの元である。
0229１３２人目の素数さん2015/07/21(火) 22:36:27.59ID:rZmsaMCj
[Mは乗法に関して巡回群であること]
Mは乗法について閉じており、x∈Mなるxについてxの冪は全てMに属する。
x^m=1なるmが存在し、x^(m-1)がxの逆元となる。
よってMは乗法に関して群である。
とくにMはZ/pZ-{[0]}（巡回群）の部分群なので、あるg∈Sにより
M={[1],[g],[g]^2,…,[g]^(m-1)}
と表される。ただしmはMの位数であり[g]の位数である。

[m≡2(mod 4)の証明]
mが奇数と仮定すると、Mの任意の元[a]=[g]^kについて、
[a+1]=[a]+[1]=[g]^k+[1]={[g]^(m+1)}^k+[1]={[g]^(k(m+1)/2)}^2+[1]^2∈M
がいえるが、これにより[0]∈Mとなり矛盾。
mが偶数のとき、{[g]^(m/2)}^2=[1]より[g]^(m/2)=[-1]がいえる。
とくにmが4の倍数と仮定すると、{[g]^(m/4)}^2=[-1]より
{[g]^(m/4)}^2+[1]^2=[0]∈Mとなり矛盾。
以上よりm≡2(mod 4)である。
このことから、[-1]は[g]の奇数冪となる。

[q,rの仮定]
q<r<pなる素数q,rが存在して[q],[r]はMに属さないと仮定する。
（pはMの定義で登場した、Sに属さない最小の4n+1型素数）
ただしrより小なるq以外の素数は全てMに属するとする。
q,rは4n+3型の素数である。
0230１３２人目の素数さん2015/07/21(火) 22:36:59.06ID:rZmsaMCj
[命題P]
「rより小なるq以外の任意の素数sについて、
sがmod qで平方剰余ならば[s]は[g]の偶数冪
sがmod qで平方非剰余ならば[s]は[g]の奇数冪
である」
という命題Pを考える。
Pを満たさないような最小のsが存在すると仮定する。
このとき、[-1]が[g]の奇数冪であることから、
sはmod qで平方剰余であり、かつ[-s]は[g]の偶数冪
-sはmod qで平方剰余であり、かつ[s]は[g]の偶数冪
のいずれかが成り立つ。
前者の場合、s≡a^2(mod q)なるa(1≦a≦(q-1)/2)があり、
[-s]=[g]^(2k)と表せる。
よって[a^2-s]=[a]^2+([g]^k)^2∈Mとなるが、
(a^2-s)/qは整数でありその絶対値はqより小さいので
[(a^2-s)/q]∈Mであるから、
[q]=[a^2-s]*[(a^2-s)/q]^(m-1)∈M
となって矛盾（ここでmはMの位数）。
後者の場合も、sと-sを入れ替えて同様に矛盾。
したがって命題Pは成り立つ。

[命題Pからいえること]
平方剰余は乗法性をもつので、
「qの倍数を除いて、rより小なる任意の正整数sについて、
sがmod qで平方剰余ならば[s]は[g]の偶数冪
sがmod qで平方非剰余ならば[s]は[g]の奇数冪
である」
といえる。
0231１３２人目の素数さん2015/07/21(火) 22:37:21.75ID:rZmsaMCj
[q,rの仮定による矛盾]
(r+q)/2≡(r-q)/2(mod q)より、
(r+q)/2,(r-q)/2がともに[g]の偶数冪であるか、
または、-(r+q)/2,-(r-q)/2がともに[g]の偶数冪である。
よって[(r+q)/2]+[(r-q)/2]=[r]∈M
または[-(r+q)/2]+[-(r-q)/2]=[-r]∈Mより[r]∈M
となって矛盾。

[[1],[2],…,[p-1]∈Mの証明]
Mに属さない素数でpより小なるものが存在するならばただ1つである。
これをqとすると、(p+q)/2はpより小さくqの倍数でないので
[q]=[p+q]=[(p+q)/2]*[2]∈M
となって矛盾。
したがって、pより小なる任意の素数がMの元であり、
それらの積もMの元であるから[1],[2],…,[p-1]∈M

[Mは存在しない]
pは4n+1型の素数なので、p=a^2+b^2を満たすa,bが存在する。
よって[a],[b]∈Mより[a]^2+[b]^2=[p]=[0]∈Mとなって矛盾。
したがって、Mの定義を満たすpは存在しない。
すなわち、「任意の4n+1型素数はSに属する」。おしまい。
0232１３２人目の素数さん2015/07/22(水) 00:36:28.04ID:7w9t1PZg
4=b^2+c^2.
0233１３２人目の素数さん2015/07/22(水) 07:32:30.94ID:qRulk97x
>>232
>>226で4∈Aは証明してある。
4自体がb^2+c^2と表せる必要はない。
0234１３２人目の素数さん2015/07/28(火) 00:04:52.15ID:V0v013Ov
プログラムの問題

入力ストリームと出力ストリームととn個のスタックがある。
n個のスタックを使って入力の順番を入れ替えて出力へ出すことを考える。

１ステップで次のことができるとする
(1)入力ストリームから一文字取り出しスタックへ積む
(2)スタックから一文字取り出しほかのスタックへ積む
(3)スタックから一文字取り出し出力ストリームへ出力する

n個のスタックを使うと入力k文字に対して任意の順番に入れ替えて出力できるとき
n個のスタックはk文字互換完備であるという。
ある定数cに対しc個のスタックが任意の有限の数mに対しm文字互換完備であるとき
c個のスタックは任意互換完備であるという。
任意互換完備となる定数cは存在するか？
存在するとしたらその最少の数はいくつか？
0235１３２人目の素数さん2015/07/28(火) 02:28:28.92ID:QlC/V4UF
2
0236１３２人目の素数さん2015/07/28(火) 03:03:42.46ID:dO/BAI9e
スタックって何かわからんハノイの塔みたいなことが出来るってことでいいのか
0237１３２人目の素数さん2015/07/28(火) 06:14:44.23ID:A50AzsVE
思考停止のことじゃない？
0238１３２人目の素数さん2015/07/28(火) 08:22:48.08ID:V0v013Ov
同じスタックに何回も積みなおしていいんなら２個のスタックで簡単にできちゃうなぁ
各スタックに番号を振って、スタックからスタックへ積みなおすのは
取りだすスタックが積むスタックより番号が若いときに限る、
としたらちょっとは面白くなるかな？
0239１３２人目の素数さん2015/07/29(水) 16:20:02.76ID:CZbY/wc3
(cos(2π/7))^(1/3)+(cos(4π/7))^(1/3)+(cos(8π/7))^(1/3)の値を求めよ.
0240１３２人目の素数さん2015/07/29(水) 17:11:12.92ID:PHmkOzke
234-238のスタック２個っていうのは
入力から文字 x_i を取り出す前に
最終的な出力での登場位置が x_i より早い文字をスタック1に
最終的な出力での登場位置が x_i より遅い文字をスタック2に
集めるみたいなことをしてけばいいってことかな

スタック1個だと、x_1x_2x_3->x_3x_1x_2 みたいなことができなそうだな
0241１３２人目の素数さん2015/07/29(水) 19:47:09.55ID:s8W1tV31
スタック２個あれば取り出したい文字の上に積んであるやつを全部もう一個のスタックに移せば好きな文字が取り出せる。
0242１３２人目の素数さん2015/07/29(水) 19:52:11.28ID:/rcHIzs4
むしろ、スタック１つでできる置換できない置換の判別法が知りたい。簡明なものがあるか？
0243１３２人目の素数さん2015/07/29(水) 20:31:05.18ID:s8W1tV31
スタック１個なら入力からスタックへ積むかスタックから出力へ出すかだけだから、
探索しても分岐は起きないんじゃない？
0244１３２人目の素数さん2015/07/29(水) 22:18:24.98ID:PHmkOzke
ああ
スタックへの積み方を工夫する必要すらないのか
スタックが２つあれば、取り出したいものをどんなタイミングでも取り出せる
0245１３２人目の素数さん2015/07/29(水) 22:41:11.60ID:zneU1ISF
>>234
スタックを2個として、入力長Mの任意の置換に対して
a)最大スタック操作回数が最小となる手順とその回数
b)平均スタック操作回数が最小となる手順とその回数
0246１３２人目の素数さん2015/07/30(木) 04:50:38.94ID:2OyXzzbU
>>237
ギャザか
0247１３２人目の素数さん2015/07/31(金) 22:10:58.36ID:xqLCoXx2
スタックの操作の総数＜m文字の置換の総数
がいえれば任意互換完備がないことが言えるかな？
無理筋かな？
0248１３２人目の素数さん2015/08/01(土) 00:55:39.15ID:XcDx3Z/K
(a-x)(b-x)(c-x)......(z-x)=?
0249１３２人目の素数さん2015/08/01(土) 01:32:08.16ID:vYFLauxI
夏よのぉ…
0250１３２人目の素数さん2015/08/01(土) 02:02:17.28ID:6mU/08Ur
1/(a-x)(b-x)(c-x)......(z-x)=?
0251１３２人目の素数さん2015/08/06(木) 22:03:58.71ID:oMuFm5JZ
一辺の長さが１の正四面体に内接する球の半径を求めよ
0252１３２人目の素数さん2015/08/07(金) 00:18:58.40ID:eaPa7vGl
一辺の長さが１の正四面体に内接する球の直径を求めて1/2をかければいいんじゃね
0253１３２人目の素数さん2015/08/07(金) 00:23:09.54ID:hrxJfg1J
表面積×r×1/3=体積
0254１３２人目の素数さん2015/08/07(金) 00:35:20.90ID:q1KsZIY4
正四面体A(1,1,1),B(1,-1,-1),C(-1.1.-1),D(-1.-1.1)
正四面体ABCDの1辺の長さ2√2
原点から平面BCDx+y+z+1=0までの距離√3/3
x:√3/3=1:2√2 x=√6/12
0255１３２人目の素数さん2015/08/16(日) 15:05:36.67ID:Mpo3tyZH
cos(2π/n)が有理数係数の499次以下の方程式の解としては表せず、500次方程式の解としては表せる最小の自然数nを求めよ
0256１３２人目の素数さん2015/08/17(月) 17:57:52.99ID:nbwm9TMT
ルーレットで赤か黒に賭けて勝つ確率は、どちらも9/19。
毎回1ドルずつ賭け、元金900ドルを1000ドルに増やしたい。
1000ドルになるか、0ドルになるまで続ける。
p=9/19、x=900、y=1000 とおくとき、1000ドルに達する確率は
(((1-p)/p)^x-1)/(((1-p)/p)^y-1) で表せることを証明せよ。
0257１３２人目の素数さん2015/08/17(月) 19:48:33.53ID:5vZcEIGg
>>256
３SATをランダムウォークしたときに解にたどり着く確率みたいなもんか？
0258１３２人目の素数さん2015/08/17(月) 20:42:52.40ID:5vZcEIGg
pに1/2を代入して確かめてみようとしたら０割になったでござる。
怪しいな、ほんとに式あってる？
1/2が特殊な値になる理由がわからないんだが。
0259１３２人目の素数さん2015/08/17(月) 21:41:15.35ID:nbwm9TMT
P-1/2なら0になっても仕方ないでしょ。
0260１３２人目の素数さん2015/08/17(月) 21:56:22.05ID:5vZcEIGg
なぜ？
式が正しいなら勝つ確率が赤黒どちらも1/2のときも成り立たないとおかしいだろが。
0261１３２人目の素数さん2015/08/17(月) 23:21:39.04ID:5vZcEIGg
https://research.preferred.jp/2011/01/schoening-3sat/
とりあえず参考になるかもしれないから3SATランダムウォークのページ張っとくわ
そんな簡単な式にはならねーんじゃねーの
２項係数とか出てきそう
0262１３２人目の素数さん2015/08/18(火) 03:35:25.69ID:wBRgC8p/
>>258
さきに分母分子 ((1-p)/p)-1 で割ればいい
ちなみに 9/10 になるぞ
0263１３２人目の素数さん2015/08/18(火) 19:41:02.65ID:MskCv1Rn
どれに何を代入すると9/10になるって？
0264１３２人目の素数さん2015/08/18(火) 20:52:40.48ID:Mzx5k9aX
父親と母親の血液型は共にAOです。
2人の間には子が1人います。
①子の血液型がAOである確率は？
②子の血液型を調べると、A型(AAまたはAO)であることが分かった。
この子の血液型がAOである確率は？
0265１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 00:11:37.17ID:xDAP6+8Q
それは、数学じゃない。
生理学の板で訊け。

計算以前に、
配偶子の接合率、受精卵の着床率、胎児の成育率等
に対する血液型遺伝子の影響について
データが必要になるからな。
0266１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 00:31:53.34ID:iEpfrIWD
そういうこと聞いてるんじゃないだろ
0267１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 00:42:11.10ID:pWhVseNF
ていうか、別に質問じゃなくて出題してるんだろうに
0268１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 05:29:44.81ID:JCfyF7oM
>>263
(((1-p)/p)^900-1)/(((1-p)/p)^1000-1)
の分母分子を ((1-p)/p)-1 で割ったもの
に p=1/2 を代入
(A^n-1)/(A-1)=A^(n-1)+A^(n-2)+…+A+1
くらい知ってるよな？
p=1/2 は「特殊な値」じゃないんだよ
いわゆる除去可能特異点だ
lim_{p→1/2} (((1-p)/p)^900-1)/(((1-p)/p)^1000-1) = 9/10
0269１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 05:49:06.29ID:M30G+BZt
>>264
中学の宿題です。宿題は質問スレに書いてください。
0270１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 12:32:34.01ID:PxSTIIXg
cos(n°)が有理数係数の二次方程式の解として表せる最小の自然数nを求めよ
0271１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 22:47:59.59ID:9q/Al0IK
>>268
計算機で検算しようとしたけど値が収束するのかなり遅いっぽいね。
漸化式はかなり複雑なんだが。
どうやって極限もとめるのかアイディアわかない。
0272１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 23:07:41.48ID:9q/Al0IK
x,yに小さな値入れて試してみたけどやっぱ値合わねぇなぁ
俺がなんか間違ってんのかなぁ
0273１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 23:10:44.74ID:9q/Al0IK
値合ったっぽい
0274１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 23:20:13.20ID:9q/Al0IK
計算機の検算では>>256の式は正しいっぽい。
どうやって導き出すのかはさっぱりわからんが。
0275１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 23:44:32.69ID:xl3Qr54D
n=0,m=900からスタートし、m=0になることがないように移動し、n回目に初めてmが1000となる
経路の数をC(n,1000)として、n回目に1000ドルになる確率は
P(n,1000)=C(n,1000)(9/19)^n
0276１３２人目の素数さん2015/08/19(水) 23:57:41.89ID:eYTQUPX+
遷移行列の固有ベクトル計算したら(（1-p）/p)^nの項が
ずらっと出てくるから真面目に展開すれば解けると思うよ
0277１３２人目の素数さん2015/08/20(木) 22:45:14.68ID:art7FZLZ
あくしろよ！
0278１３２人目の素数さん2015/08/20(木) 23:13:30.49ID:xC1gH3/Y
>>264
①2/4
②2/3
0279１３２人目の素数さん2015/08/21(金) 05:26:12.66ID:cSey0xr3
>>256
どうやって証明するん？あく答えろよ！
0280１３２人目の素数さん2015/08/21(金) 10:52:26.15ID:cSey0xr3
あくしろよ
0281１３２人目の素数さん2015/08/21(金) 13:07:14.28ID:2OkXIMlt
命令すんな
0282１３２人目の素数さん2015/08/21(金) 18:22:13.66ID:cSey0xr3
あくしてね
0283１３２人目の素数さん2015/08/21(金) 21:02:40.64ID:cSey0xr3
あくあく！
0284１３２人目の素数さん2015/08/22(土) 04:43:36.55ID:fYdC/ab3
>>256
あくおしえろよ！

>>261
何か言うことはないの？ああ？
0285１３２人目の素数さん2015/08/23(日) 10:38:50.36ID:nzgmHyP9
http://suseum.jp/gq/question/2406
これコンテスト問題にしては面白い
高級な匂いがするし
0286１３２人目の素数さん2015/08/25(火) 04:40:01.08ID:QdxBqZp1
>>285
n≡r (mod p-1)
r=0,1,...,p-2
とするとき、rが奇数だとダメで、r=2だとOKであることはすぐ示せるのだが、
rが2以外の偶数の場合がよくわからない。
0287１３２人目の素数さん2015/08/25(火) 21:03:17.71ID:37rXHgeW
偏りのない１枚のコインを繰り返し投げるとき、表がn回連続するまでの投げる回数の期待値を求めよ。
0288１３２人目の素数さん2015/08/26(水) 15:52:24.71ID:soY25NWM
>>287
期待値が有限値であることを仮定して、それをa(n)とおく
表がn回連続した状態からn+1回連続するまでに投げる回数の期待値は
1+a(n+1)/2と表せるので，
a(n+1)=a(n)+1+a(n+1)/2、すなわち
a(n+1)=2a(n)+2
という漸化式が成り立つ
これとa(0)=0より
a(n)=2^(n+1)-2
0289１３２人目の素数さん2015/08/26(水) 19:46:25.90ID:9nc0affB
n=2～4までの期待値
31/4(n=2)、88(n=3)、416(n=4)
0290１３２人目の素数さん2015/08/26(水) 20:23:09.30ID:qCO/zAhu
意外と多いな。
表だけだからか？
02912872015/08/26(水) 20:32:01.77ID:BOAIrO3E
正解です。私も漸化式を立てる同じ解法でした。
問題を次のように変えたものを考えていますが、まだ解けていません。

偏りのない１枚のコインを繰り返しn回投げるとき、表が連続する最大回数の期待値を求めよ。
0292１３２人目の素数さん2015/08/26(水) 21:14:00.77ID:9nc0affB
n回投げたときに、表の確率をq(n)、裏となる確率をt(n)とすると
q(n)=t(n-1)/2
t(n)=(q(n-1)+t(n-1))/2
t(n+2)=t(n+1)/2+t(n)/4
t(1)=1/2 t(2)=1/2

T(n)=t(n)*2^nとするとT(n)はフィボナッチ数列であり
T(n+2)=T(n+1)+T(n)
T(0)=1 T(1)=1
となる。
n回投げたときに3回連続表が出る確率をp(n)とすると
2回連続するのは、表が出てから裏表表と出る場合か
裏が出てから2回表が連続する場合だから
p(n)=q(n-3)/8+t(n-2)/4
q(n)=t(n-1)/2から
p(n)=t(n-4)/16+t(n-2)/4

P(n)=p(n)*2^nとすると
P(n)=T(n-2)+T(n-4)=2*T(n-2)-T(n-3) (n≧5)
が成立する。

t(n)=C1((1+√5)/4)^n+C2((1-√5)/4)^n
t(1)=1/2 t(2)=1/2から
C1=(5+√5)/10 C2=(5-√5)/10
t(n)=(5+√5)((1+√5)/4)^n/10+(5-√5)((1-√5)/4)^n/10

E(n)=Σ[k=2,n]p(k)*k=p(2)*2+p(3)*3+p(4)*4+Σ[k=5,n]p(k)*k
=1/4*2+1/8*3+1/8*4+Σ[k=5,n]p(k)*k
=11/8+51/8=31/4
0293１３２人目の素数さん2015/08/26(水) 22:29:07.04ID:soY25NWM
すみません、 >>289 >>292 さんはどの問題の話をされているのでしょうか？

>>291
念のため確認ですが、正解というのは >>288 のことでいいのですよね
0294１３２人目の素数さん2015/08/27(木) 22:33:42.84ID:LWtuunFN
>>292
２行目で既に分からないのですが…
0295１３２人目の素数さん2015/08/27(木) 22:36:16.76ID:LWtuunFN
>>292
> n回投げたときに、表の確率をq(n)、裏となる確率をt(n)とすると

どういうこと？
n回投げたときに、n回目が表の確率をq(n)ということなのかな？
0296１３２人目の素数さん2015/08/27(木) 22:46:51.26ID:gn1uHFUy
>>295
この解は以前に検討して書いたもので正確性は定かではありません。

2回連続して表が出ると試行が終わるので、q(n)はn回目の試行で表が出て
n>1ではn-1回目に裏になっている確率という意味です。
0297１３２人目の素数さん2015/08/27(木) 22:49:33.65ID:gn1uHFUy
>>292　自己レス、11行目を
n回投げたときに2回連続表が出る確率をp(n)とすると
に訂正
0298１３２人目の素数さん2015/08/27(木) 23:01:04.87ID:LWtuunFN
>>291
> 偏りのない１枚のコインを繰り返しn回投げるとき、表が連続する最大回数の期待値を求めよ。

念のため、n=3 の場合で説明する。
表が連続する最大回数を kとおく。表を○、裏を×で表す。

　k=0のとき、×××となる確率は、1/8
　k=1のとき、○××、×○×、××○、○×○となる確率は、4/8
　k=2のとき、○○×、×○○となる確率は、2/8
　k=3のとき、○○○となる確率は、1/8

したがって、表が連続する最大回数の期待値 E(3) は、

　E(3) = 0・(1/8) + 1・(4/8) + 2・(2/8) + 3・(1/8) = 11/8
0299１３２人目の素数さん2015/08/28(金) 00:00:14.03ID:pJoVXbh5
ちなみに、 >>292 氏が書いてるのは、
>>291 の問題ではなく、 >>287 の問題のn=2のケースのようだぞ？
>>289 の数値との一致を見る限りでは。
0300１３２人目の素数さん2015/08/28(金) 00:08:09.53ID:pJoVXbh5
>>288 と >>291 で話が完結していることに気付いていないのか
あえて無視しているのか、何がやりたいんだ >>292は
0301１３２人目の素数さん2015/08/28(金) 04:18:33.21ID:LeKTMziP
>>298
表が連続する最大の回数の期待値は、表がn回連続するまでの回数の期待値とは違う。

>>300
前に検討した結果と異なるから書いているだけ。
0302287=298です2015/08/28(金) 05:23:15.87ID:UDTInPuv
>>301
> 表が連続する最大の回数の期待値は、表がn回連続するまでの回数の期待値とは違う。

そんなこと分かりきっていますが…
0303１３２人目の素数さん2015/08/28(金) 05:26:14.98ID:UDTInPuv
整理しておきます。

問題>>287
> 偏りのない１枚のコインを繰り返し投げるとき、表がn回連続するまでの投げる回数の期待値を求めよ。

解答>>288
> 期待値が有限値であることを仮定して、それをa(n)とおく
> 表がn回連続した状態からn+1回連続するまでに投げる回数の期待値は
> 1+a(n+1)/2と表せるので，
> a(n+1)=a(n)+1+a(n+1)/2、すなわち
> a(n+1)=2a(n)+2
> という漸化式が成り立つ
> これとa(0)=0より
> a(n)=2^(n+1)-2


問題>>291
> 偏りのない１枚のコインを繰り返しn回投げるとき、表が連続する最大回数の期待値を求めよ。

例(n=3の場合)>>298
> 念のため、n=3 の場合で説明する。 表が連続する最大回数を kとおく。表を○、裏を×で表す。
>
> 　k=0のとき、×××となる確率は、1/8
> 　k=1のとき、○××、×○×、××○、○×○となる確率は、4/8
> 　k=2のとき、○○×、×○○となる確率は、2/8
> 　k=3のとき、○○○となる確率は、1/8
>
> したがって、表が連続する最大回数の期待値 E(3) は、
>
> 　E(3) = 0・(1/8) + 1・(4/8) + 2・(2/8) + 3・(1/8) = 11/8
0304256=287=2912015/08/28(金) 05:34:33.89ID:UDTInPuv
まだ解かれていないもの

問題>>256
> ルーレットで赤か黒に賭けて勝つ確率は、どちらも9/19。
> 毎回1ドルずつ賭け、元金900ドルを1000ドルに増やしたい。
> 1000ドルになるか、0ドルになるまで続ける。
> p=9/19、x=900、y=1000 とおくとき、1000ドルに達する確率は
> (((1-p)/p)^x-1)/(((1-p)/p)^y-1) で表せることを証明せよ。
0305１３２人目の素数さん2015/08/28(金) 05:37:28.31ID:UDTInPuv
>>291
念を押すけど、>>291は答えが準備できていません。

>>299
> ちなみに、 >>292 氏が書いてるのは、
> >>291 の問題ではなく、 >>287 の問題のn=2のケースのようだぞ？

なるほど。
てっきり>>292氏が、>>291の問題を勘違いして解いていたのかと思っていました。
0306１３２人目の素数さん2015/08/28(金) 05:45:42.43ID:UDTInPuv
あたりき しゃりきの こんこんちき
0307１３２人目の素数さん2015/08/29(土) 14:49:44.64ID:lXTUasUq
>>256,304
xから始めて yに達する確率を P(x)とすると
P(0)=0, P(x) = (1-p)P(x-1) + pP(x+1) (0<x<y), P(y)=1.
これを解けば、 P(x) = (((1-p)/p)^x-1)/(((1-p)/p)^y-1).
0308１３２人目の素数さん2015/08/29(土) 16:06:35.07ID:YCiHvtOJ
この問題と同等の問題が、過去スレのどっかにあるはず。
出題者が「高校生に解けるはず」とか書いていたが、
ここで言うところのP(1)を結論から持ってきたようで、
P(0)、P(1)と漸化式から一般式を導いていたようだ。
確かに、P(0)、P(1)と漸化式があれば、高校生でも回答可能だ

だが、P(1)の計算方法を具体的に示し、
「このようにP(1)の計算は困難だが、それでも高校生に可能か」
のような質問をしたが、返答が無かったように記憶している。

その時の出題者と同一人物か？
0309１３２人目の素数さん2015/08/29(土) 17:05:44.69ID:SyRxSJon
どっちの出題者でもないけど、P(1)は P(y)=1 があるからわかる。

P(0)=0, P(x) = (1-p)P(x-1) + pP(x+1) (0<x<y), P(y)=1.
漸化式を変形すると、
P(x+1) - P(x) = ((1-p)/p) {P(x) - P(x-1)} (0<x<y).
数列{P(x+1) - P(x)}は初項 P(1)-P(0)、公比 r := (1-p)/p の等比数列だから、
P(x+1) - P(x) = r^x {P(1) - P(0)} (0<=x<y).
よって、
P(x) = P(0) + Σ[k=0, x-1] {P(k+1) - P(k)} = P(0) + {(1 - r^x)/(1-r)} {P(1) - P(0)}.
P(0)=0 より、P(x) = {(1 - r^x)/(1-r)}P(1).
P(y)=1 より、P(1) = (1-r)/(1 - r^y).
したがって、
P(x) = (1 - r^x)/(1 - r^y) = (((1-p)/p)^x-1)/(((1-p)/p)^y-1).
0310１３２人目の素数さん2015/08/29(土) 17:18:49.71ID:GXuWDarj
>>309
答えありきで逆算するならそれでもいいけど
真面目にやるなら下式で証明しないとダメでしょ

P(x,t+1) = (1-p)P(x-1,t) + pP(x+1,t) (0<x<y)

まあ、やることは大して変わらないけど
0311１３２人目の素数さん2015/08/29(土) 17:24:03.87ID:9tBeoMHo
>>308
別人だよ
0312１３２人目の素数さん2015/08/30(日) 21:55:58.20ID:lCKX1Y5g
pを奇素数とするとき, 任意の相異なる5つの正の整数に対して, そのうち2つを上手く選ぶことで, 選んだ2数の和がpでない奇素数で割り切れるようにできることを示せ.
0313１３２人目の素数さん2015/08/30(日) 22:32:00.01ID:/oWHA1w4
>>312
なんか微妙な表現で分かりにくくしてあるけど
うまく選ぶことで3で割り切れるようにすることもできるし
5で割り切れるようにすることもできることを示せばいいだけのような
0314１３２人目の素数さん2015/08/31(月) 12:27:28.60ID:YiMuchNW
>>313
5つとも15で割って1余る整数のとき、どの2つの和も3や5で割り切れない
0315１３２人目の素数さん2015/08/31(月) 13:09:06.91ID:yUZ5qTrj
>>314
あそうか、なんか問題読み違えてた。
任意の5つの正の整数があれば、
2数の和を割り切る奇素数が少なくとも2つ存在することを言えばいいのかな。
0316１３２人目の素数さん2015/09/02(水) 17:35:22.12ID:XNWv0rxl
>>312
S={a,b,c,d,e}をa<b<c<d<eなる5つの正整数からなる集合とし、
どの2つを選んでもその和はp以外の奇素数で割り切れないとする。
Sの元に共通因数があれば、それで割った数からなる集合S'も
やはり上の条件を満たす。
よって最初からSの元に共通因数は無いものとする。
このような集合Sが存在しないことを示せばよい。

A,B,C(A<B<C)をSの中から任意に選んだとき、
A+CとB+Cがともに2の冪乗と仮定すると2(A+C)≦B+C<2Cとなり矛盾。
よってA+CとB+Cのうち一方はpの倍数である。

よってa+d,b+d,c+dのうち2つはpの倍数。
同じくa+e,b+e,c+eのうち2つはpの倍数。
よってa+dとa+eがともにpの倍数であるか、
またはb+dとb+eがともにpの倍数であるか、
またはc+dとc+eがともにpの倍数である。
いずれの場合もe-dはpの倍数となる。

ここでd+eがpの倍数でないと仮定するとa+e,b+e,c+eはpの倍数。
よってc-aとc-bはともにpの倍数。
またa+cまたはb+cのうち一方はpの倍数。
よって(c-a)+(a+c)=(c-b)+(b+c)=2cはpの倍数なのでcはpの倍数。
これとc+eがpの倍数であることからeはpの倍数。
続いてa,b,dもpの倍数であることがいえる。
よってSの元に共通因数pがあることになり矛盾。
したがってd+eはpの倍数である。（続く）
0317１３２人目の素数さん2015/09/02(水) 17:36:14.61ID:XNWv0rxl
d+e,e-dがともにpの倍数であることからd,eはpの倍数。
これとa+d,b+d,c+dのうち2つはpの倍数であることから
a,b,cのうち2つはpの倍数。
これとa+c,b+cのうち一方がpの倍数であることからcはpの倍数。
さらにa,bがともにpの倍数とするとSの元に共通因数pが
あることになり矛盾するので、a,bのうち一方はpの倍数でない。

以下、aがpの倍数でないとする。
bがpの倍数でないとしても同様なのでこの場合は省略。
c,d,eはpの倍数でありaはpの倍数でないから、
a+b,a+c,a+d,a+eはpの倍数でないので2の冪乗である。
よってa+c,a+d,a+eは4の倍数でありe-c,e-dは4の倍数となる。

ここでc+eとd+eのうち一方が4の倍数と仮定すると、
(e-c)+(c+e)=(e-d)+(d+e)=2eは4の倍数となりeは偶数となる。
これとa+eが2の冪乗であることからaは偶数。
続いてb,c,dも偶数であることがいえる。
よってSの元に共通因数2があることになり矛盾。
したがってc+eとd+eはどちらも4の倍数ではない。

e-cとe-dが偶数であることからc+eとd+eはともに偶数である。
よって整数s,t(0<s<t)を用いて
c+e=2p^s
d+e=2p^t
と表せるが、
p(c+e)=2p^(s+1)≦2p^t=d+e<2eとなり矛盾。
したがって、条件を満たすような集合Sは存在しない。

ちなみに4つの場合は1,5,7,11のような例がある。
0318１３２人目の素数さん2015/09/03(木) 07:36:05.84ID:bNPipVA3
>>312
五つの相異なる正整数a,b,c,d,eに対し、十通りの和　a+b、a+c、a+d、．．．、d+e全てが、2^m*p^n　型になるような5数の選び方は無いことを証明すればよい。
これが示されれば、五つの相異なる正整数を選べば、必ずその中に、2^m*p^n型で無い二数の和が有ることになり、それは、2、p以外の素因数を持つ。

そのような5数a,b,c,d,eが見つかったとすると、2a,2b,2c,2d,2e、も自動的に条件を満たすので、５数の内少なくとも一つは奇数としてよい。（※）
同様に、pa,pb,pc,pd,pe、も自動的に条件を満たすので、５数の内少なくとも一つはpで割り切れないとしてよい。（※※）
(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)なので、(a+b),(a+c),(b+c)の中に奇数は０個か２個ある　→　a,b,cに奇数は１個か３個ある。
同様の議論を、(a+c),(a+d),(c+d)の間等でも行い、（※）も考慮すると、結局、a,b,c,d,e全てが奇数であるとしてよい。

(a+b)、(a+c)、(b+c)はいずれもpの倍数だとすると、(a+b) + (b+c) = (a+c) + 2b であるから、bもpの倍数でなければならない。
すると、aもc、pの倍数となる。この検討を(a+c),(a+d),(c+d)等へ波及していくと、結局、abcde全てが、pの倍数でなければならなくなり、(※※)に違反する
つまり、(a+b)、(a+c)、(b+c)の中に、2^m型の数がある。(mは明らかに2以上)

仮にそれをa+b=2^sとし、b+c=2^x*p^y,a+c=2^u*p^vとすると、(a+b) + (b+c) = 2^s + 2^x*p^y = (a+c) +2b = 2^u*p^v + 2b
b= 2^(s-1) + 2^(x-1)*p^y - 2^(u-1)*p^v　となるが、bは奇数なので、xかuの一方は1、他方は2以上でなければならない。

つまり、(a+b)、(a+c)、(b+c)のように、a,b,c,d,e中から3数を選び、その中の組み合わせで作った三つの和は、
一つは2^m型（以後Ａ型）、一つは2*p^n型（Ｂ型）、一つは、2^s*p^t　ただしs≧2（Ｃ型）と、明確に3種類に分けることができる。
しかし、十通りの和を、矛盾無くこの3種類に分類することはできなく（下参照）、文頭の命題が証明される。
0319１３２人目の素数さん2015/09/03(木) 07:36:34.50ID:bNPipVA3
４つならば、a=1、b=5、c=7、d=11の時
a+b
a+c　b+c
a+d　b+d　c+d　　とすると
06(Ｂ型)
08(Ａ型)　 12(Ｃ型)
12(Ｃ型)　 16(Ａ型)　 18(Ｂ型)　の様に可能。

２段目までは必然、3段目一番左a+dの位置を仮にＡ型にすると、b+dの位置はＣ型になるが、b+c、b+d、c+dの関係が矛盾する
従って3段目一番左a+dの位置はＣ型になり、残りも確定。このように、型の入れ替えを除いて、可能なパターンはこれだけ

５つならば
a+b
a+c　b+c
a+d　b+d　c+d
a+e　b+e　c+e　d+e
a+bがＢ型なので、a+eをＡ型とすると、b+eはＣ型とせねばならないが、b+cがＣ型なので、無理
従って、a+eをＣ型、b+eはＡ型となるが、b+dがＡ型なので、やはり矛盾する。
0320１３２人目の素数さん2015/09/03(木) 12:10:25.76ID:iq8wMPDx
>>318
間違いだらけだな。
0321１３２人目の素数さん2015/09/03(木) 13:42:51.33ID:Kz60zSMw
＞(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)なので、(a+b),(a+c),(b+c)の中に奇数は０個か２個ある　→　a,b,cに奇数は１個か３個ある。

a,b,cについての恒等式からa,b,cの偶奇の組合せが絞られるわけないわな
0322１３２人目の素数さん2015/09/03(木) 14:14:00.03ID:nh2qC05S
a,b,c,d,e全てが偶数であるケースを除いて考えてよいので、
可能性として残るのは、a,b,c,d,e全てが奇数の時のみ
0323１３２人目の素数さん2015/09/03(木) 14:19:43.64ID:77MtUAG6
確かにこの段階で、除外するのは早々なので、
誤：(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)なので、(a+b),(a+c),(b+c)の中に奇数は０個か２個ある　→　a,b,cに奇数は１個か３個ある。
正：(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)なので、(a+b),(a+c),(b+c)の中に奇数は０個か２個ある　→　a,b,cに奇数は０個か１個か３個ある。
と訂正しておく
0324１３２人目の素数さん2015/09/03(木) 15:15:01.98ID:Kz60zSMw
a,b,cについての恒等式から（以下略
0325１３２人目の素数さん2015/09/03(木) 20:06:53.92ID:ZTPCiJii
あ、なるほど、いろいろ検討している内に、a+b、a+c、...、d+e の十個の和は、全て偶数であることが
当たり前と思っていたので、それを前提に議論を進めていたが、そうで無い場合についても言及せねばならなかった。

a,b,c,d,eの中の奇数の数が０個の時、a+b,a+c,,,,,d+eの１０個の和の内、奇数の数は０個
a,b,c,d,eの中の奇数の数が１個の時、同、４個
a,b,c,d,eの中の奇数の数が２個の時、同、６個
a,b,c,d,eの中の奇数の数が３個の時、同、６個
a,b,c,d,eの中の奇数の数が４個の時、同、４個
a,b,c,d,eの中の奇数の数が５個の時、同、０個
となるが、a+b,a+c,,,,,d+eの１０個の和全てが偶数なら、a,b,c,d,e全てが偶数か、全てが奇数と結論できる。
前者を除いたので、a,b,c,d,e全てが奇数となり、その後の内容が>>318の通り

ここで、10個の和全てが偶数では無い場合について少し説明を加えると、
10個の和の内、４個が奇数の場合は、a,b,c,d,e全てが、pの倍数か、残り６個の和が全てが2の冪数と要請される。
前者は前提から除かれ、後者も、(b+d)+(c+e)=(b+e)+(c+d)という関係式から、
x<u、x<v、u<y、v<yという条件で、2^x+2^y=2^u+2^vという関係を満たす必要があり、不可能と判る。
６個が奇数の場合は、a,b,c,d,e全てが、pの倍数となり、やはり除かれる。
0326１３２人目の素数さん2015/09/03(木) 21:20:52.95ID:eePIZyAA
>>285誰か解けた？
0327１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 16:18:20.31ID:I2InW5r5
円周上にランダムに5点を取るとき、それらが半円弧に収まる確率を求めよ。
0328１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 16:22:09.35ID:+AZVzaso
>>312 の一般化
kを正の整数, p_1, p_2,...,p_kをk個の相異なる素数とするとき, 任意の相異なる2^k+1個の正の整数に対して, そのうち2つを上手く選ぶことで, 選んだ2数の和がp_1,p_2,...,p_kのいずれとも異なる素数で割り切れるようにできることを示せ. 
0329１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 16:38:08.52ID:wfaRDC6Y
>>327
1/16
0330１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 17:02:48.59ID:I2InW5r5
>>329
ハズレ。
そもそも答えだけ書く者は、以降荒らしと見做して無視することにする。
0331１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 18:29:41.26ID:KNPzHhFF
ランダムにとった５点はいずれも重ならないの？
0332１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 18:45:19.70ID:KNPzHhFF
そもそも実数をランダムに選択ってのが出来たんだっけ？
よくわからんくなってきた。
03333292015/09/04(金) 19:05:43.41ID:wfaRDC6Y
>>331
単位円上に点を設定することとし、5点の内x軸との角度が最小な点をAとすると
他の1点がある半円の方に他の3点が存在すればよいから
(1/2)^3=1/8
0334１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 19:56:58.23ID:wfaRDC6Y
訂正
単位円上に点を設定することとし、初めの1点を原点として座標を設定し
次の1点がある半円の方に他の3点が存在すればよいから
0335１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 19:59:51.48ID:Qh2v0xn2
＞次の1点がある半円
その半円は一つに定まるのかいな
0336１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 20:22:26.79ID:RexkMsQ0
第１点第２点の成す角をαとして、αは0～πの一様分布。
第３点が第１点に対して成す角を
第２点が正になるように測った偏角をβとすると
βは-π～πの一様分布で、
α-π≦β≦πのとき題意は成立する。
そのうち、0≦β≦αのときは
第３点γがα-π≦γ≦πならよく、
α≦β≦πのときはβ-π≦γ≦πならよい。
これを同様に第５点まで繰り返して、
題意の成立範囲を積分すれば終了。
単純だが面倒な作業なんで、誰かやって。
03373272015/09/04(金) 20:31:51.84ID:I2InW5r5
紛らわしいので相異なる5点としておきますね。結果はたぶん変わらないかと…。
とりあえず正解は出ていない。

（再掲）
円周上にランダムに相異なる5点を取るとき、それらが半円弧に収まる確率を求めよ。
0338１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 21:14:10.21ID:wfaRDC6Y
>>329
は間違っていた。

>>337
3点目以降の場合分けにより、角度/360の掛け算により計算できると思われる。
0339１３２人目の素数さん2015/09/04(金) 21:38:47.86ID:I2InW5r5
ちゃんと答案作ってから書いてください。
思いつきで適当なこと書いているのと変わらないから。
0340１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 00:08:11.86ID:qNbCyIHq
やだよ、めんどくさいから。>>336
0341１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 00:11:55.70ID:YJSRpv0h
360などという人工的な数字が出てくるなんてビックリだよ
0342１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 00:20:32.24ID:FBLHJ4e5
まさか、
「ランダムに相異なる5点を取る」
では問題が定義できていないことに気付いてないわけではないよな？
ただの釣りだよな？

それにしても、Wikipediaの「ベルトランの逆説」の項もたいがいだな…
エムシラも暴れてるし
0343１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 00:27:40.58ID:YJSRpv0h
この場合、ベルトランの逆説のような多義性は産まれるのか？
ワイルの一様分布定理の「一様」って何だよ、などと文句言う人がいないのと同程度には明確な文章だと思うけど
0344１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 00:35:25.88ID:B7UAE1rW
>>341
当然、360[°]=2π[rad]
0345１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 01:06:21.18ID:qNbCyIHq
>>343
台が有界だから、一様分布は普通にあるだろ。あと、
五点の分布が独立とすれば、分布は定義できてる。
問題はないよ。
0346１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 01:12:01.76ID:FBLHJ4e5
通し番号を付けた5点がそれぞれ独立に円周上の一様分布で選ばれるものとする。
2点以上が一致する場合は確率としては0になるので無視して構わない。
5点が異なり、なおかつ全てが半円周内に含まれるとき、
その半円周内での反時計回りの並び順は半円周の取り方によらない。
したがって、どの点がその半円周の中で最初に出現するかで場合分けして確率を求めればよい。
条件を満たし、１番目の点が半円周内で最初に出現する確率は、他の点がその点から始まる半円周内に含まれればよいので、1/16
以下いずれも1/16なので、
条件を満たす確率は5/16

一般に、n個の点なら
n/(2^(n-1))
0347１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 01:32:00.22ID:qNbCyIHq
そりゃ、違うだろ。
03483272015/09/05(土) 01:44:50.07ID:KPdtalXu
>>346
正解です。
0349１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 01:52:53.10ID:tC0sbvGS
>>346
シミュレーションでも、それを支持しているようです。
http://codepad.org/WJLaAYes
http://codepad.org/wHVR0dWc
0350１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 02:11:01.03ID:Z/YUQy9A
本日の赤っ恥　ID:qNbCyIHq
0351１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 07:28:47.36ID:9SCQre6I
>>346
n点が1/3円周に含まれる確率はいくつか
n点が2/3円周に含まれる確率はいくつか
0352１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 11:58:09.69ID:FBLHJ4e5
>>351
1/3だと同様の考え方でできますが．
2/3だと（つまり1/2を超えると）問題が複雑化しそうですね
0353１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 13:31:07.44ID:FBLHJ4e5
>>351
5点だと

1/3円周の場合は同様にして5/(3^4)=5/81


2/3円周の場合は、隣り合う点と点の間隔が1/3以上となる箇所が
1箇所のみの場合と2箇所の場合を考える必要がある。（3箇所の場合は確率0なので無視）
5×(2/3)^4 = 80/81 という計算では、2箇所の場合をダブルカウントしているので
それを引く必要がある。

以下、隣り合う点と点の間隔が1/3以上となる箇所が2箇所ある場合について考える。
その２つのインターバルで区切られる点のグループは
「1個と4個」の場合と「2個と3個」の場合がある。

1個と4個の場合、単独の1個をA、4個の先頭をBとして、AとBの選び方が5Ｐ2 = 20通り
以下、1周を1として、AB間の距離をrとすると、1/3≦r＜2/3
ABを固定して考えると、残りの3点はBに続く長さ(2/3)-rの範囲に存在すればよいので
1個と4個の場合の確率をまとめると
20×∫[1/3～2/3]((2/3)-r)^3 dr = 5/81

2個と3個の場合、2個を順にA，B、3個の先頭をCとして、ABCの選び方が5Ｐ2 = 60通り
AB間の距離をx、BC間の距離をyとすると、0＜x＜1/3、1/3≦y＜(2/3)-x
残り2点の存在範囲は(2/3)-x-y以内となり、確率は
60×∫[0～1/3]∫[1/3～(2/3)-x]((2/3)-x-y)^2 dydx = 5/81

よって、求める確率は
80/81 - (5/81 + 5/81) = 70/81

…とここまで書いて、あることに気付いたので続く
0354１３２人目の素数さん2015/09/05(土) 14:09:39.00ID:FBLHJ4e5
>>351 >>353
n点が2/3円周に含まれる場合
n×(2/3)^(n-1)では、隣り合う2点の間隔が1/3以上となるのが2箇所ある場合を
ダブルカウントしている

隣り合う2点の間隔が1/3以上となるのが2箇所ある配置を１つ考える。
その2箇所で分断される2つのブロックの先頭をA,Bとすると、
Aから始まるブロックまたはBから始まるブロックを前に1/3だけ詰めることで、
n点が1/3円周に含まれる配置を計2つ作ることができる。
また、そのような操作で同じ「n点が1/3円周に含まれるパターン」となるような元の配置は
n-1個存在する。
したがって、隣り合う2点の間隔が1/3以上となるのが2箇所ある配置となる確率をp、
n点が1/3円周に含まれる確率をqとすると、
2p=(n-1)qとなり、p=(n-1)q/2
q=n×(1/3)^(n-1)より、p=(n(n-1)/2)×(1/3)^(n-1)=(nＣ2)×(1/3)^(n-1)

よって、n点が2/3円周に含まれる確率は
n×(2/3)^(n-1) - (nＣ2)×(1/3)^(n-1) = n(2^n-n+1)/(2・3^(n-1))


ちなみに、p=(nＣ2)×(1/3)^(n-1)となるところはもっと簡単に説明できそうだ。
1/2円周～2/3円周の間なら同様の考え方。
0355１３２人目の素数さん2015/09/06(日) 16:18:23.20ID:C64RsHHe
一般化した。

m,nを自然数とし、(m-1)/m < r ≦ m/(m+1) とする。
通し番号をつけたn個の点を、円周上からそれぞれ独立に一様分布に従いランダムに選ぶとき、
n点が、円周全体のr倍の長さの範囲に全て含まれる確率をPとすると、

P = Σ[k=1～m]Σ[j=1～k](-1)^(k-j)・(nＣk)・(kＣj)・(1-k(1-r))^(n-1)

となることを示せ。

ただし、二項係数aＣbは、0≦a<bのとき0となるものとする。
（この注釈を認めない場合は、n≧mという制約が必要となる）
0356 ◆z2JTMx230M 2015/09/07(月) 11:23:30.81ID:gh2mDV64
半径1の半球を底円と並行な平面で体積が半分になるように切断した
このとき、断面積は{(ア)cos(イウ°)-(エ)}π

アイウエに当てはまる数字はなにか？
答えはトリップ
#ｱｲｳｴ
の形で
0357 ◆z2JTMx230M 2015/09/07(月) 12:04:12.25ID:8ic4L5sE
どうだ。
0358１３２人目の素数さん2015/09/07(月) 12:07:16.62ID:8ic4L5sE
ちょっと面白かった。カルダノさんのおかげ
0359１３２人目の素数さん2015/09/08(火) 08:42:20.02ID:mvj/sh7U
警察による税金を使ったいやがらせ犯罪、集団ストーカー。犯行内容
盗聴、盗撮、尾行、待ち伏せ、家宅侵入、窃盗、器物破損、風評のばらまき、就職妨害、リストラ工作、
暴走族や暴走大型車両による騒音攻撃の繰り返し、住居周辺での事件のでっちあげ、音声送信の強要、
電磁波による触覚攻撃、思考盗聴、無言電話、無実の人間を犯人にでっち上げ、ヘリによる威嚇、殺人、
メディアを使ってのほのめかし、パソコン遠隔操作で対象者のパソコン内部データをいじくる。
こういった犯罪組織に人を逮捕する権限をあたえているという、今の日本は恐ろしい国になっている。
0360１３２人目の素数さん2015/09/08(火) 09:23:37.41ID:aX2AWZyo
妄想はともかく、マイナンバーは酷いことになりそうだな。
0361１３２人目の素数さん2015/09/08(火) 13:36:28.23ID:zb04xocN
ヘリによる威嚇というのは間違いなく存在し、私が就職活動で東京に高速バスで行ったときに
蛯名パーキングエリアでバスから降りると、頭上に自衛隊のヘリが高度100m程度で
ホバーリングしていた。

上下関係ということでも示したかったのだろうか。小学生程度の頭の持ち主の行動だと考えられる。

そのことを盗聴されている部屋で「独り言」で言ったら、すぐに某テレビ局で蛯名パーキングエリアが
取り上げられていた。
0362１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 01:18:11.86ID:mShGGGhv
>>328

二つの素数、例えば、2,3なら、1,5,7,11の四つの数を取れるが、五つは無理（証明済み）
三つの素数、2,3,5なら、1,3,7,17,47や、1,5,31,49,59等５つの数を取れるが、おそらく６つは無理（2000以下でチェック済み。以下同様）
四つの素数、2,3,5,7なら、1,2,3,5,7,13や、1,2,3,7,13,47等６つの数を取れるが、おそらく７つは無理
五つの素数、2,3,5,7,11なら、1,2,5,9,13,19,23,31や1,3,5,6,9,15,27,39等８つの数を取れるが、おそらく９つは無理
六つの素数、2,3,5,7,11,13なら、1,2,3,5,7,9,13,19,23,47や1,3,5,7,9,13,17,19,23,47等１０の数を取れるが、おそらく１１は無理

つまり、
k=3では、おそらく6つで無理なのに、9個では無理であることを
k=4では、おそらく7つで無理なのに、17個では無理であることを
k=5では、おそらく9つで無理なのに、33個では無理であることを
k=6では、おそらく11で無理なのに、65個では無理であることを証明せよという一般化になっている
保険を掛けすぎ。
（最初に指摘しておくべきだが、問題文にも問題があると思われる）
0363１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 02:07:36.57ID:8SrfUZPd
>>362
328ではないが
その「保険をかけている」ものについてすら一般化した証明を示してないのに
何言ってんの？

それって、たとえば
「双子素数どころか、三つ子素数だろうが４つ子素数だろうが
可能な素数の並びはどれも無限に存在するっぽいのに、
双子素数だけ取り上げて無限にあるという命題立てるなんて保険かけすぎ」
とか言ってるのと同じ。

証明ってなあに？

>>328は自分の証明できたものを問題として提示しているだけでしょうに
0364１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 02:56:08.65ID:m3YLRiSK
(1) cos1°は無理数であることを証明せよ

(2)cos1°は超越数か？そうでなければ最低何次の有理数係数の方程式で表せるか
0365１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 03:47:16.16ID:hpZpH5c5
>>364
cosの30倍角公式と60倍角公式が
整係数多項式であることから、
cos1゜が代数的無理数であることが判る。
次数は、どしたらよかろ？
0366１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 07:17:59.99ID:8SrfUZPd
>>365
自然数nについて、T_n(cosθ)=cos(nθ)を満たすような多項式T_n(x)
（n次のチェビシェフの多項式）について
T_n(x)=0の解は、x=cos((2k-1)π/(2n)) （k=1,2,…,n）
であることを踏まえると、
T_90(x)=0の解がcos1°，cos3°，cos5°，…，cos179°
T_30(x)=0の解がcos3°，cos9°，cos15°，…，cos177°
T_18(x)=0の解がcos5°，cos15°，cos25°，…，cos175°
T_6(x)=0の解がcos15°，cos45°，cos75°，…，cos165°
となるので、
T_90(x)*T_6(x)/(T_30(x)*T_18(x))なる48次の有理数係数の多項式が存在し、
～=0の解はcosN°（Nは180以下で180と互いに素なφ(180)=48個の各自然数）

解の1つがcos1°となっているので、48が最低次数の上界であることは確か。
0367１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 08:14:04.63ID:hpZpH5c5
48次の多項式がある
って話でしょ。
最低次数はどうしよう？
0368１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 10:03:56.77ID:iAt2BKmH
>>366
48は正解です
厳密な証明は有理数体にcos1°を添加して拡大次数を見る
あとは1の原始360乗根使ってφ(360)/2を計算するだけ
0369１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 10:27:59.54ID:iAt2BKmH
もう少し具体的に言うと
1の原始n乗根をζ_nとすると
オイラーの公式から
cos1°=cos(2π/360)=(ζ_360+ζ_360^-1)/2
よりQ(ζ_360)⊃Q(cos1°)
またcos1°は実数でζ_360は虚数を含むため[Q(ζ_360):Q(cos1°)]≧2
さらにオイラーの公式からQ(cos1°)上ζ_360を根に持つ二次方程式を実際に作れているので[Q(ζ_360):Q(cos1°)]=2が確定
拡大次数が乗法的なことから
[Q(ζ_360):Q]=[Q(ζ_360):Q(cos1°)][Q(cos1°):Q]
⇔[Q(cos1°):Q]=[Q(ζ_360):Q]/[Q(ζ_360):Q(cos1°)]=φ(360)/2=φ(2^3 3^2 5)/2=2^2(2-1)3(3-1)(5-1)/2=48
したがって最低次数は48であることが分かる
0370１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 12:58:38.19ID:8SrfUZPd
>>369
自分の知識では>>366の予想が限界だったことはよくわかった

＞1の原始n乗根をζ_nとすると
正確に言うと「ζ_n=e^(2πi/n)とすると」かな
まあわかるけど。
0371１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 13:26:04.64ID:Gaa20TDn
>>364
この問題か。最小多項式の次数を除いては、
もうとっくの昔に思い付いて解いちゃっているよ。
半倍角公式からsin^2(1°)＝(1-cos(2°))/2で、
cos(2°)も代数的無理数だから、sin(1°)の方も代数的無理数な。
0372１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 13:30:31.47ID:iAt2BKmH
>>370
高校生の知識でも実際に48次方程式作って判定法使って既約ってことを気合いで示す方法もあるにはあるよ
あまりにも無謀すぎるやり方だけど
>>371
いちおう次数がメインの問題として作ったつもり(1)はおまけ問題程度だと思って
0373１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 15:12:57.74ID:8SrfUZPd
>>372
その48次方程式が既約であることが示せても、
それ以外にcos1°を解として持つもっと次数の低い方程式が存在しないことを示すのは
高校生の知識では無理かと。
0374１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 15:27:49.15ID:Ar2FfDWa
>>373
いやそれを根に持つ多項式が既約ならその多項式の次数が最低次数ってことは言えるよ
最小多項式(最高次の係数が1で既約なもの)の一意性から言える
一意性の証明は高校生レベルでも出来るには出来るよ
多項式の剰余を使う
0375１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 15:35:26.17ID:7pNKW7ME
高校レベルだと既約性を示す方が難しいんじゃないか
0376１３２人目の素数さん2015/09/09(水) 15:37:01.63ID:Ar2FfDWa
>>375
それも確かに問題だね
アイゼンシュタイン判定法は数学オリンピックでも使うくらいだからいちおう高校生レベルと言えるのかな？
0377１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 08:13:40.43ID:q7HF0xVJ
a(1)=1,a(n+1)=a(n)/2+1/a(n)のとき、
a(n)を求めよ
Wolframとか使わずに初見で解いたらバケモノ
0378１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 09:25:33.48ID:FE0uoLCP
１次分数式だから高校数学レベル
0379１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 09:26:09.96ID:FE0uoLCP
低レベル掲示板だったか
これはすまぬ
0380１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 10:24:22.44ID:q7HF0xVJ
>>378
通分して分子二次式になるから普通の分数型と違うぞ
解けるなら解いてみろよ
0381１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 10:26:56.48ID:fwhHKoME
>>378
１次分数式の定義は？
0382１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 11:23:27.03ID:fwhHKoME
>>377
a(n+1) = (a(n)^2+2)/(2a(n))
a(n+1)+√2 = (a(n)+√2)^2/(2a(n))
1/(a(n+1)+√2) = 2/(a(n)+√2)-2√2/(a(n)+√2)^2

b(n) = √2/(a(n)+√2)とおくと
b(n+1) = 2b(n)-2b(n)^2
1-2b(n+1) = (1-b(n))^2

c(n) = 1-2b(n)とおくと
c(n+1) = c(n)^2
c(1) = 2√2-3
c(n) = (2√2-3)^(2^(n-1))

a(n) = √2(2/(1-c(n))-1)
= √2(2/(1-(2√2-3)^(2^(n-1)))-1)

なんか、等価でもっときれいな形式もありそうではあるが。
a(n) = √2(1+c(n))/(1-c(n))のほうがまだまし？
0383１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 11:43:27.03ID:1+1gfes7
>>377
a(n)=√2b(n)/c(n), b(1)=1 c(1)=√2 とおいて元の式に代入すると
√2b(n+1)/c(n+1) = b(n)/√2c(n) + c(n)/√2b(n) = √2{b(n)^2+c(n)^2}/2b(n)c(n)
分母分子比較して、 b(n+1)=b(n)^2+c(n)^2, c(n+1)=2b(n)c(n)
b(n+1)+c(n+1)=(b(n)+c(n))^2, b(n+1)－c(n+1)=(b(n)－c(n))^2
よって、 b(n)+c(n)=(1+√2)^(2^(n-1)), b(n)－c(n)=(1－√2)^(2^(n-1))
a(n)=√2・{(1+√2)^(2^(n-1))+(1－√2)^(2^(n-1)}/{(1+√2)^(2^(n-1))－(1－√2)^(2^(n-1)}
整理すると、a(1)=1, n≧2のとき a(n)=√2・{(1+√2)^(2^n)+1}/{(1+√2)^(2^n)－1}
0384１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 13:55:41.73ID:UqiYOrwz
>>383
> 分母分子比較して、 b(n+1)=b(n)^2+c(n)^2, c(n+1)=2b(n)c(n)

なんだよ、このトンデモ数学は！ ああ？
0385１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 14:05:04.55ID:fg01Fu9/
その等式を満たすb(n)とc(n)を何でもいいから見つければいい、という意味だろう
文脈を読め
0386１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 14:07:55.34ID:fUpTwTtH
>>377
問題の条件「a(n+1)＝a(n)/2+1/a(n)」の右辺が普通の解釈になるように「a(n+1)＝(a(n)/2)＋(1/a(n))」を指すのか、
それとも右辺が連分数のような形で表される「a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n))」を指すのか、任意に2通りの解釈が出来るため、
条件を満たす解a(n)の一意性が保証されず、非適切な問題になって、国語辞書に書いてある多くの人が用いる意味での問題
になっていないと思われる (紙ではなく同じ大きさの1行の中に書くため、初期条件「a(1)=1」から、
「a(n+1)=a(n)/2+1/a(n)」という書き方では、大きい「＋」が小さい「+」になっていて、容易にこのような解釈が出来るとは思う)。
0387１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 14:10:29.20ID:fg01Fu9/
一方を普通の解釈と認めておきながら、直後に中立の立場をとるのかｗ
0388１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 14:12:15.99ID:fUpTwTtH
>>377
(>>386の続き)

非適切性の証明]：nはn≧1なる自然数変数なることを仮定してよい。そこで、nはn≧1なる自然数変数と仮定する。
2つの与えられた条件を両方共に満たす解a(n)が存在しないときは与えられた問題は確かに非適切である。
そこで、2つの与えられた条件を両方共に満たす解a(n)が存在するとする。そして、
2つの与えられた条件を両方共に満たす解a(n)が一意に存在したとする。初期条件a(1)＝1から
a(n+1)＝(a(n)/2)＋(1/a(n)) と解釈すると、任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)≧1
であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。同様に、a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n)) と解釈すると、
任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)≧1であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。
よって、与えられた条件を満たすような、解の一意性が保証された解a(n)について、
任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)≧1であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。
ここで、再度解の一意性が保証された解a(n)は、任意のn≧1なる自然数nに対して
a(n+1)＝(a(n)/2)＋(1/a(n))、a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n)) を両方共に満たすことに注意する。
n≧1なる自然数nを任意に取る。実数列{a(n)}の第n項a(n)を＝kとおけば、a(n+1)＝(k/2)＋(1/k)、
a(n+1)＝k/(2＋1/k) が両方共に成り立つから、(k/2)＋(1/k)＝k/(2＋1/k) から k^2＋2＝(2k^2)/(2＋1/k)
であり、(k^2＋2)(2＋1/k)＝2k^2 だから、(k^2＋2)(2k＋1)＝2k^2 。従って、kを元に戻すと、
((a(n))^2＋2)(2・a(n)＋1)＝2(a(n))^2 。n≧1なる自然数nは任意だから、nを条件n≧1の下で走らせれば、
実数列{a(n)}について、任意のn≧1なる自然数nに対して第n項a(n)は ((a(n))^2＋2)(2・a(n)＋1)＝2(a(n))^2 を満たす。
よって、n＝1とすると、((a(1))^2＋2)(2・a(1)＋1)＝2(a(1))^2 であり、初期条件a(1)＝1から、(1^2＋2)(2・1＋1)＝2・1^2
だから、両辺をそれぞれ計算すると、9＝2を得る。しかし、9＝2は9≠2に反し矛盾する。
0389１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 14:20:24.52ID:fUpTwTtH
>>377
いや、>>388の
>同様に、a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n)) と解釈すると、
>任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)≧1であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。
>よって、与えられた条件を満たすような、解の一意性が保証された解a(n)について、
>任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)≧1であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。
の部分は
>同様に、a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n)) と解釈すると、
>任意のn≧1なる自然数nに対して「a(n)≧0」であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。
>よって、与えられた条件を満たすような、解の一意性が保証された解a(n)について、
>任意のn≧1なる自然数nに対して「a(n)≧0」であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。
ですな。「a(n)≧1」の部分は「a(n)≧0」訂正。
0390１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 14:35:56.00ID:fUpTwTtH
>>387
普通は普通の他の何物でもない。普通の解釈とは、
多くの人が認めそれに従うと思われる基準に則った解釈だよ。
沢山の人は「a(n+1)＝a(n)/2+1/a(n)」を見たら、
連分数の形で表された「a(n+1)＝a(n)/(2+1/a(n))」では
なく「a(n+1)＝(a(n)/2)+(1/a(n))」と解釈するだろうよ。
0391１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 15:04:56.68ID:fUpTwTtH
>>377
ちなみに、すぐ分かるとは思うのだが、論理の飛躍があるから、>>388の
>初期条件a(1)＝1から
>a(n+1)＝(a(n)/2)＋(1/a(n)) と解釈すると、任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)≧1
>であり、
の部分は
>初期条件a(1)＝1から a(n+1)＝(a(n)/2)＋(1/a(n)) と解釈すると、任意のn≧1なる
>自然数nに対してa(n)＞0 。ここで、n≧2なる自然数nを任意に取ると、a(n)＞0だから、
>相加・相乗平均の関係により、a(n+1)＝(a(n)/2)＋(1/a(n))≧2√(1/2)＝√2 。
>n≧2なる自然数nは任意だから、nを条件n≧2の下で走らせると、任意のn≧2なる
>自然数nに対してa(n)≧√2 。よって、a(1)＝1＜√2 から、任意のn≧1なる自然数nに対して
>a(n)≧1 であり、
のような感じに訂正。さすがに任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)＞0なることは、
直観的にも明らかで、nに関する帰納法からすぐ分かるとは思う。
0392１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 15:16:34.87ID:fUpTwTtH
>>377
幾度も悪いが、>>389は取り消しで、>>388の
>同様に、a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n)) と解釈すると、
>任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)≧1であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。
>よって、与えられた条件を満たすような、解の一意性が保証された解a(n)について、
>任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)≧1であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。
の部分は
>同様に、a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n)) と解釈すると、
>任意のn≧1なる自然数nに対して「a(n)＞0」であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。
>よって、与えられた条件を満たすような、解の一意性が保証された解a(n)について、
>任意のn≧1なる自然数nに対して「a(n)＞0」であり、解(n)により1つの実数列{a(n)}が構成される。
でした。「a(n)≧1」の部分を「a(n)＞0」に訂正すべきだったにもかかわらず、「a(n)≧0」と書いてしまいました。
こういう風に解釈しても、任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)＞0なることは、
直観的にも明らかで、nに関する帰納法からすぐ分かるとは思う。
0393１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 16:06:11.07ID:fUpTwTtH
>>377
>>388の
>n≧1なる自然数nを任意に取る。実数列{a(n)}の第n項a(n)を＝kとおけば、a(n+1)＝(k/2)＋(1/k)、
>a(n+1)＝k/(2＋1/k) が両方共に成り立つから、(k/2)＋(1/k)＝k/(2＋1/k) から k^2＋2＝(2k^2)/(2＋1/k)
>であり、(k^2＋2)(2＋1/k)＝2k^2 だから、(k^2＋2)(2k＋1)＝2k^2 。従って、kを元に戻すと、
>((a(n))^2＋2)(2・a(n)＋1)＝2(a(n))^2 。n≧1なる自然数nは任意だから、nを条件n≧1の下で走らせれば、
>実数列{a(n)}について、任意のn≧1なる自然数nに対して第n項a(n)は ((a(n))^2＋2)(2・a(n)＋1)＝2(a(n))^2 を満たす。
>よって、n＝1とすると、((a(1))^2＋2)(2・a(1)＋1)＝2(a(1))^2 であり、初期条件a(1)＝1から、(1^2＋2)(2・1＋1)＝2・1^2
>だから、両辺をそれぞれ計算すると、9＝2を得る。しかし、9＝2は9≠2に反し矛盾する。
の部分は
>n≧1なる自然数nを任意に取る。実数列{a(n)}の第n項a(n)を＝kとおけば、a(n+1)＝(k/2)＋(1/k)、
>a(n+1)＝k/(2＋1/k) が両方共に成り立つから、(k/2)＋(1/k)＝k/(2＋1/k) から k^2＋2＝(2k^2)/(2＋1/k)
>であり、(k^2＋2)(2＋1/k)＝2k^2 だから、(k^2＋2)(2k＋1)＝2k^3 。従って、kを元に戻すと、
>((a(n))^2＋2)(2・a(n)＋1)＝2(a(n))^3 。n≧1なる自然数nは任意だから、nを条件n≧1の下で走らせれば、
>実数列{a(n)}について、任意のn≧1なる自然数nに対して第n項a(n)は ((a(n))^2＋2)(2・a(n)＋1)＝2(a(n))^3 を満たす。
>よって、n＝1とすると、((a(1))^2＋2)(2・a(1)＋1)＝2(a(1))^3 であり、初期条件a(1)＝1から、(1^2＋2)(2・1＋1)＝2・1^3
>だから、両辺をそれぞれ計算すると、9＝2を得る。しかし、9＝2は9≠2に反し矛盾する。
と訂正ですな。
0394１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 16:20:37.27ID:UqiYOrwz
(1) Σ[k=1 to 4^m] (1/k)^{1/m}、mは2以上の自然数
(2) m(4^{m-1}-1)/(m-1) + 5/8

(1)と(2)の整数部分は等しいことを示せ。
0395１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 21:48:53.01ID:fwhHKoME
なんか変な荒れ方してるが、まあどうでもいい

>>383
b(n)とc(n)の決め方が、３次方程式を解くカルダノの方法のuとvの探し方みたいですな。
2√2-3 = (1+√2)^(-2)だから、>>382は汚いけど答えは一致したってことで。
0396１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 22:19:31.06ID:fwhHKoME
あ、違う。(1+√2)^(-2) = 3-2√2だな。あれ？
ああそうか、だから>>383ではa(1)をまとめられなかったのか。
0397１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 22:24:24.58ID:Fdi5OLRB
>>377
蛇足だと思うが、一言
漸化式を見ると、右辺の非対称性が気になる。そこで全体を√2で割りたくなるが、すると
a_{n+1}/√2=(1/2){(a_n/√2)+(√2/a_n)}
と、数列a_{n}/√2は、「そのものと、そのものの逆数の平均」が次の項となるような数列にすることができる
このようなある種の平均が次の項になるという漸化式を、三角関数の加法定理を利用して解いた経験から、
その辺にヒントがあるだろうと、公式集を見てみると、coth(x)が将にそれにあたる
つまり、a_{n}/√2 ～ (e^x+e^(-x))/(e^x-e^(-x))　～　(X+1)/(X-1)
実際 (X+1)/(X-1) は、逆数と和を取って半分にすると言う変換を行うと
(1/2){(X+1)/(X-1) + (X-1)/(X+1)} = (X^2+1)/(X^2-1)
と指数部分が二倍になるという、形の変化に対応することが確認でき、外形が定まる。
a_{n}/√2 = (X^(2^n)+1)/(X^(2^n)-1)
後は、定数を定めれば良い。定数と言っても、ここでは、X=e^(2cx)としているので、Xそのもの
1/√2 = (X+1)/(X-1)を解いて、X=-3-2√2。整理すると
a_{n}=(X^Y+1)/(X^Y-1),X=-3-2√2,Y=2^(n-1)
あるいは、虚数単位Iを使い
a_{n}=(X^Y+1)/(X^Y-1),X=I(1+√2),Y=2^n
結局、これは、ニュートン法のはなしだね。決してバケモノクラスの問題では無い。
0398１３２人目の素数さん2015/09/10(木) 22:27:42.42ID:Fdi5OLRB
あ、ミスった
>> a_{n}=√2(X^Y+1)/(X^Y-1),X=-3-2√2,Y=2^(n-1)
>> あるいは、虚数単位Iを使い
>> a_{n}=√2(X^Y+1)/(X^Y-1),X=I(1+√2),Y=2^n
に訂正
0399１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 02:26:59.14ID:StCc9XNv
tan1°+√2は無理数であることを証明せよ
0400１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 07:37:43.35ID:jICTOxiG
>>395-398
nはn≧1なる自然数変数なることを仮定してよい。そこで、nはn≧1なる自然数変数と仮定する。
a(1)＝1、a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n)) と解釈すると、任意のn≧1なる自然数nに対してa(n)＞0 。
n≧1なる自然数nを任意に取る。すると、a(n)＞0 であり、a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n))＞0 だから、
1/(a(n+1))＝(2＋1/a(n))/(a(n))＝(2/a(n))＋(1/a(n))^2 。よって、各i＝n, n+1 に対して b(i)＝1/a(i) とおけば、
b(n)＝1/a(n)、b(n+1)＝1/a(n+1) が両方共に成り立ち、b(n+1)＝2・b(n)＋(b(n))^2 つまり b(n+1)＝(b(n))^2＋2・b(n) 。
n≧1なる自然数nは任意だから、nを条件n≧1の下で走らせると、与えられた問題は b(1)＝1、b(n+1)＝(b(n))^2＋2・b(n)
を満たし、任意のn≧1なる自然数nに対して b(n)＝1/a(n) と変換して定義される実数列{b(n)}を求める問題に帰着される。
そこで、b(1)＝1、b(n+1)＝(b(n))^2＋2・b(n) のときの解b(n)を求めることを考える。…… 。

仮に a(1)＝1、a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n)) だったと解釈すると、非線形の漸化式 b(1)＝1、b(n+1)＝(b(n))^2＋2・b(n)
の解b(n)を求める問題に帰着されるんだが、ここから先分かる？　>>377のいう
>Wolframとか使わずに初見で解いたらバケモノ
って、多分こっちの話だぞ。連分数の形で書かれた式 a(1)＝1、a(n+1)＝a(n)/(2＋1/a(n))
で書いたと解釈すると、線型の漸化式ではなく、非線形の漸化式を解く問題になる。
0401１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 08:03:25.27ID:jICTOxiG
>>395-398
あ～、この場合は条件式 b(n+1)＝(b(n))^2＋2・b(n) の両辺に1を足して
b(n+1)＋1＝(b(n))^2＋2・b(n)＋1＝(b(n)＋1)^2 になる。
また、n＝1 のときは、b(1)＝1 なので、b(1)＋1＝2。なので、
任意のn≧1なる自然数nに対して c(n)＝b(n)＋1 と変換すると
c(1)＝2、c(n+1)＝(c(n))^2 の解c(n)を求める問題に容易に帰着出来て、
この解c(n)はすぐ求まるのか。なので、解b(n)も容易に求まり、
従って、元々の解a(n)もすぐ求まるという仕組みというか方針か。

なるほど。これは失礼を致した。大抵、非線形の問題を解くことは難しいんだけど。
0402１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 09:05:02.17ID:V6ntLYDb
既出だったらすまんが

(無理数)^(無理数)が有理数になりえることを、初等的な例を挙げて示せ。
0403１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 09:26:41.76ID:AfBlc+HR
>>399
tan1°は代数的無理数で、tan1°を根とする既約多項式があり、次数はいくつだか分からないが、
少なくとも５次以上であることを、証明なしに使うこととする。

√2は、G(x)=x^2-2の根
tan1°+√2が有理数だと仮定すると、ある整数pとqを使って表せるH(x)=px+qの根となる
G(x)をH(x)で割った商を　ax+b　、余りを　c（cは有理数）とすると
G(x)=(ax+b)H(x) + c、と書ける。

G(tan1°+√2)=(tan1°+√2)^2-2=(a(tan1°+√2)+b)H(tan1°+√2)＋c=c
となるが、変形すると、
tan1°=-√2±√(c+2)
右辺は、せいぜい４次の多項式の根であり、tan1°が５次以上の既約多項式の根であることと矛盾する
0404１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 09:32:27.32ID:fRi0Wl2l
>>402
(2^√2)^√2 とかかな
0405１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 09:36:03.42ID:tWZwSoqi
>>402
ここで既出かどうかは知らないが、
世間的に有名なやつだ。

(√3)^√2が有理数なら、それが実例になり、
無理数なら、((√3)^√2)^√2=3が実例になる。
どっちなのかは、判らん。
0406１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 09:37:42.70ID:jICTOxiG
初等的がどういう意味かは知らないが、e^{log(5)}＝5 だな。
確かにeは無理数で、log(5)は超越数だから、無理数になる。5は確かに有理数。
eもlog(5)も高校で出て来るから、初等的になるでしょう。
0407１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 10:37:21.00ID:ZFHN8CXT
当然「初等的な範囲で証明できる例」という意味で>>405みたいなのを
想定してるんでしょうな。
（排中律を使った証明を嫌がる人が沸いてくる面倒な案件ではあるw）
0408１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 11:14:02.69ID:/suPxUqm
結構有名なのか
この証明法を知ったときは目から鱗だった
log(2)の無理性を示す方針も可


解答例

√2は無理数である
さて、a=(√2)^(√2)とすると
aは実数であるから
aは有理数、無理数のいずれかであるが

i) aを有理数と仮定すると
a自体が(無理数)^(無理数)=(有理数)の例である

ii) aを無理数と仮定すると
a^(√2)=2であり、これは(無理数)^(無理数)=(有理数)の例である

i)、ii)より、(無理数)^(無理数)が有理数になりえることが示された
0409１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 11:21:30.73ID:/suPxUqm
あ、俺は402ね
0410１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 12:32:47.97ID:FOBod9Ir
>>403
正解かな いちおうtan1°が5次以上ってのも示して欲しいけど

あとtan1°+√2=p (pは有理数)とすると

(tan1°)^2-2ptan1°+p^2-2=0と変形出来るから3次以上ってことさえ証明すれば十分
0411１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 13:51:57.87ID:y87/SChC
>>402
(√2)^(2log[2](3))=3
これなら無理数性の証明まで十分高校レベル
0412１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 15:03:07.40ID:26HmIQf3
xが無理数のときx^xが有理数となり得るか？
0413１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 15:28:54.94ID:FOBod9Ir
>>410のヒントは倍角の公式使ってcosに帰着させる
あとは>>364の応用だけ
0414１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 15:36:02.35ID:FOBod9Ir
倍角というより半角の公式か
0415１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 22:12:41.62ID:tWZwSoqi
>>411
log[2](3)が無理数であることは、
eが超越数であることから導かれる。
eの超越性は、超高校級かなと思う。
0416１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 22:19:01.24ID:JDCgBl3X
>>415
log[2](3)=p/q (p,qは整数 q≠0)とすると
3^q=2^p
素因数分解の一意性から矛盾

どこにeの超越性を使ってるんだ？ん？
0417１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 22:25:35.73ID:JDCgBl3X
ちなみに>>405はゲルフォント･シュナイダーの定理から(√3)^(√2)=3^(√(2)/2)は無理数
0418１３２人目の素数さん2015/09/11(金) 23:03:39.94ID:tWZwSoqi
>>416
ああ、そうか。
e^{log(5)}のとき思っていたことを
つい書いてしまったが、
君のは、底が2だった。
すまんかったな。
0419１３２人目の素数さん2015/09/12(土) 16:53:16.38ID:XRx2A6+T
>>412
x^x=2 となる実数 x が存在する。
（関数 f(x)=x^x は 区間 [1,2] で連続、f(1)=1, f(2)=4 と中間値の定理から）

その x が有理数 p/q (p,q は自然数で互いに素) であると仮定すると、
(p/q)^(p/q)=2
p^p=2^q*q^p (*)

p≠1 のとき
(*)の左辺は p 乗数だが右辺は p 乗数でないので矛盾。
p=1 のとき
(*)の左辺は 1、右辺は 2 以上なので矛盾。

したがって、この x は無理数。
∴ x が無理数のとき x^x は有理数となり得る。
0420１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 03:29:58.20ID:kfYtajnS
半円をいくつかの合同な図形に分割せよ
ただし扇形は用いてはいけない
0421１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 09:35:08.29ID:O6d93CqM
中心点対称なギザギザかグニャグニャで
放射状に分割すればいい。
扇形ではない。って、トンチかい！
0422１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 10:46:09.32ID:qG0LsQ64
>>421
少しでもギザやぐにゃあれば合同にならない気がするけど
0423１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 10:51:30.03ID:dnSa0BIn
無限個の三角形に分割
0424１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 12:00:35.58ID:OT7kPGqS
そもそも出来るの？
0425１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 12:43:05.62ID:GHCoaB5O
扇形に面積0の切れ目でも入れとけ
それとも4つの扇形にして扇形2つを1図形とするか
0426１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 13:07:38.24ID:eiNVFbFa
「円」じゃなくて「半円」だよね？
半円を合同な図形に分割するんだよね？
難しくね？
0427１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 18:02:17.18ID:hCCSNFoO
扇型の一部を切り抜いて、飛び地を持つ図形にすればいい
0428１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 18:09:26.69ID:72x0Si/g
>>427
飛び地と本体との間隔がそれぞれ違くならない？
0429１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 18:11:27.48ID:72x0Si/g
あぁ二つに
0430１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 18:12:03.03ID:72x0Si/g
すればいいだけか
0431１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 18:31:29.17ID:N6lFSlFA
裏返しになるから合同じゃなくね？
0432１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 18:34:32.94ID:Yv3jNlqx
えっ
0433１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 19:58:31.91ID:O6d93CqM
>>426
ああ、半円か！
バナッハタルスキ使う？
0434１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 22:12:07.21ID:W7Wo0lmA
合同じゃなくて相似なら（そして境界線が健全な曲線でなくていいなら）
なんとでもやりようがあるのだが
0435１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 22:24:43.97ID:KixLyrfi
有限個に分割とは書いてないので、半円状の各点について一点集合を考えれば…
0436１３２人目の素数さん2015/09/14(月) 22:49:53.17ID:/BVJmROY
いくつかの合同な図形=何種類かの合同な図形の組だったりしないよな
0437１３２人目の素数さん2015/09/15(火) 12:02:42.56ID:zynqzyx5
簡単かもしれんが…。

(1) 多項式 f(x) に対して、f(f(x))-x は f(x)-x で割り切れることを示せ。
(2) f(x) が分数式や無理式の場合はどうか？
0438１３２人目の素数さん2015/09/15(火) 12:15:35.76ID:GA6S6TvJ
>>437
http://kanae.2ch.net/test/read.cgi/prog/1436134409/58-59
0439１３２人目の素数さん2015/09/15(火) 15:51:40.50ID:eoTYkqja
>>437
f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(1/2)(x-a)^2f''(a)+(1/6)(x-a)^3f'''(a)+...
これは、f(x)をx=aの周りでテイラー展開したものだが、任意のfに対する、aとxの恒等式とも言える。
a=f(x)を代入すると
f(x)=f(f(x))+(x-f(x))f'(f(x))+(1/2)(x-f(x))^2f''(f(x))+(1/6)(x-f(x))^3f'''(f(x))+...
f(f(x))-x=(f(x)-x){1+f'(f(x))}+(1/2)(f(x)-x)^2f''(f(x))+(1/6)(f(x)-x)^3f'''(f(x))+...
(1)についてはこの式が示すとおり、右辺は　f(x)-x　をくくり出せる。
(2)については、多項式ならテイラー展開が有限項で終了するため、「割り切れる」と言えるが、
分数式や無理式の場合は、その限りではない。
0440１３２人目の素数さん2015/09/15(火) 21:09:35.48ID:8akIzv6y
テイラー展開て…(w)
f が多項式の場合は、
f(x) に x を代入すれば、因数定理から言える。
分数式の場合は、
「割りきれる」って何だよ？いったい。
0441１３２人目の素数さん2015/09/16(水) 22:01:39.84ID:S7UxYdIg
数学セミナーのエレガント問題の１問目の問題の意味がが分かりにくい
0442１３２人目の素数さん2015/09/17(木) 00:19:26.02ID:jFduSAB3
□に入る数は？

　 ┌┏━━━┳━━━┓
　 │┃03m^2 ┃05m^2 ┃
　 04┣━━━╋━━━┻━┓
　..ｍ┃□m^2 ┃07m^2 　 　 ┃
　 │┃　 　 　 ┃　 　 　 　 　 ┃
　 └┗━━━┻━━━━━┛
　 　 └───05ｍ────┘
0443１３２人目の素数さん2015/09/17(木) 05:24:54.19ID:06qzLFtg
>>442
(4-x)y=3 xy=z x(5-y)=7 (x,y,z)=(2,3/2,3)
0444１３２人目の素数さん2015/09/17(木) 20:34:26.60ID:jFduSAB3
>>443
(x,y,z)=(14/5,5/2,7)は？
0445１３２人目の素数さん2015/09/17(木) 20:39:10.68ID:06qzLFtg
>>444
z≦4×5-(3+5+7)
0446１３２人目の素数さん2015/09/18(金) 00:57:29.06ID:Tt4bLCB0
>>362
「これは全く甘い評価だが、よりきつくする方法は分からない」ってエルデシュが言ってた
0447１３２人目の素数さん2015/09/19(土) 15:25:20.95ID:Tw0+rA3T
とんでもない新発見が下記のレスに掲載されています。
誰でも普通の電卓で、対数の計算ができる方法です。それも、上位10ケタ以上の精度で。
　　　　スレ名　　雑談はここに書け！ 【52】　>>909,910
驚くべきことに、{÷1000…0} と {×,＝,＝,＝,＝,×,＝} の入力を交互に繰り返すだけで、対数の精密な計算ができる。
特に、常用対数の場合、メモですら不要(求める常用対数自体のメモを除いて)。
なお、後者の×と＝の入力は、カシオ製の場合、最初に×を二回入力して、{×,×,＝,＝,＝,＝,×,＝} と入力します。
0448１３２人目の素数さん2015/09/19(土) 19:03:31.01ID:YTsbvMiC
>>447
思いのほか「スレの反応が悪くて」自演までしているようだな。みっともない奴だ。
「とんでもない新発見」は言い過ぎ。せいぜい「小技」で終わること。

こういうのは、巷にあふれている「暗算が簡単にできる裏ワザ」と同じなんだよ。
あれも「とんでもない新発見」なんて大げさなトーンでは紹介されておらず、
せいぜい「そういう小技があるよ」っていうトーンで話すものだろ。
それもそもはず、既存の計算法をちょっと工夫しただけのシロモノだからな。
この対数計算も同じで、せいぜい「小技」で終わること。

あと、日常的に対数を計算したいような環境なら関数電卓があるはずだから、
この計算法が役に立つ場面は極めて少ない。ていうか、最近はスマホのアプリにも
関数電卓があるので、この計算法は実質的にはオワッテル。この計算法が役に立つ場面といえば、

「対数を計算したいけど、手元にはPCもスマホも関数電卓もなく、しかし普通の電卓だけはある」

という、極めて限定的な状況に限られる。なので、この計算法は実質的には役に立たない。
そういう実用上の意味においても、「暗算が簡単にできる裏ワザ」と同じニオイを感じる。
ああいう話をマジメに実践する人間は ほとんどいないだろ？
読んだ瞬間は「へー面白いね」と思うかもしれないけど。
この対数計算も同じで、せいぜい「へー面白いね」で終わる話。

ちょっと頭を冷やしてこい。
0449１３２人目の素数さん2015/09/19(土) 19:40:25.05ID:4/EES2cC
自然数x,y,zと3以上の実数nについて、
x^n+y^n=z^nを満たし、xは平方因子を含まないとき、nは無理数であることを証明せよ
0450１３２人目の素数さん2015/09/19(土) 20:15:13.80ID:sajS/Wje
電卓に強くなる―すぐに役立つ公式と実例
http://www.amazon.co.jp/dp/4061179276/

電卓で遊ぶ数学―これぞ究極の電卓使用術
http://www.amazon.co.jp/dp/4061329413/
0451１３２人目の素数さん2015/09/19(土) 22:32:25.46ID:Eg02OxQq
俺は>>449を信頼している
だから正しいと思う
0452１３２人目の素数さん2015/09/19(土) 22:40:30.50ID:4/EES2cC
>>449はフェルマーの最終定理を無条件に使っていいです
一応ヒントとしてはまずnは非整数の負の有理数ということを示して両辺z^nで割ってうまく二項定理を使います
0453１３２人目の素数さん2015/09/19(土) 22:41:08.24ID:4/EES2cC
ごめんなさい
非整数の負の有理数を示すじゃなくて仮定してでした
0454１３２人目の素数さん2015/09/19(土) 22:44:27.63ID:4/EES2cC
最訂正すいません
負を仮定じゃなくて正ならそのまま二項定理で負なら分子分母逆にして二項定理と場合分けするということです
0455１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 00:28:52.83ID:Wk6WNlkk
フェルマーの最終定理を持ち出しておいて、残りの鍵は二項定理なのかｗ
0456１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 01:32:32.42ID:zUm7npkW
a + b = cd
c + d = ab
を満たす自然数a,b,c,dの組を求めよ
0457１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 02:13:42.00ID:z6zgCrRD
>>455
あくまで最初のとっかかりのヒントです
実際に解くには体論を使う必要があります
0458１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 04:11:25.72ID:MKiplsKL
夜中に一人でシコシコ考えちまったよ。
式の対称性よりa,b,c,dの中で最大のものをxとおき残りをy,z,wとおくと
x+y=zw
z+w=xy
が成り立つ
xが最大なので3x>z+wが成り立つ-(1)
xy=z+wと(1)よりyは1か2に限定される
a)y=1のとき
x+1=zw
z+w=x
z+w+1=zw
z(w-1)=w+1
z=(w+1)/(w-1)
w>=4では5/3>=(w+1)/(w-1)>1となりzが整数であることに矛盾する
よってwは2,3に限定される
w=2のときはx=5,z=3
w=3のときはx=5,z=2
が導き出せる
b)y=2のとき
x+2=zw
z+w=2x
x=zw-2
z+w=2zw-4
w+4=z(2w-1)
z=(w+4)/(2w-1)
w>=6では10/11>=(w+4)/(2w-1)>0となりzが整数であることに矛盾する
よってwは2,3,4,5に限定される。
w=2のときx=2,z=2。w=3,4のときzが整数でない。w=5のときz=1,x=3でxが最大に矛盾する

以上より(x,y,z,w)=(2,2,2,2),(5,1,2,3),(5,1,3,2)
よって(a,b,c,d)=(2,2,2,2)(1,5,2,3)(1,5,3,2)(2,3,1,5)(2,3,5,1)(3,2,1,5)(3,2,5,1)(5,1,2,3)(5,1,3,2)
0459１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 09:11:04.85ID:ukEOKbPU
>>458
正解

引用元
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1138083296

引用元の解答
2式を辺々足すと
a+b+c+d=ab+cd⇔(a-1)(b-1)+(c-1)(d-1)=2
(a-1)(b-1)≧0, (c-1)(d-1)≧0より
i) (a-1)(b-1)=0, (c-1)(d-1)=2
ii) (a-1)(b-1)=1, (c-1)(d-1)=1
iii) (a-1)(b-1)=2, (c-1)(d-1)=0
のいずれか
（後略）
0460１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 09:38:05.79ID:MKiplsKL
>>459
上手いもんだな。
感心するわ。
0461１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 09:46:35.03ID:MKiplsKL
よく見返してみると俺の回答微妙にミスってるな。
まあいいや、大筋はあってると思うし。
0462１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 09:53:15.35ID:bOB7SjJG
A:=a-1 とか置けばほぼ終了
0463１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 12:18:32.34ID:DTuQtUB8
n^2+n+2016が平方数となるような自然数nをすべて求めよ
0464１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 14:11:29.93ID:1+OHl2Py
>>463
nが有限であることは証明されているのですか？
0465１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 14:20:14.34ID:CgP4KDd+
>>463
180と2015

8063の素因数分解さえできれば、
最近は高校でも二次の不定方程式を普通に教えるからなあ。
0466１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 14:30:23.94ID:CMvyaFYq
nn+n+2016=:kk
(2n+1)^2-(2k)^2=1-4*2016
(2n+2k+1)(2n-2k+1)=-8063
…
tasikani 8063 no soinsuubunkaiga mendokusai
0467１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 15:13:14.72ID:CgP4KDd+
(1)　(3n-1)(3n+1)+10^7が平方数となる自然数nを全て求めよ
(2)　(3n-1)(3n+1)+10^17が平方数となる自然数nを全て求めよ

こうですかわかりません
0468１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 15:19:34.28ID:CgP4KDd+
(3)　(3n-1)(3n+1)+10^23が平方数となる自然数nを全て求めよ
0469１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 16:09:20.88ID:r8IEuWih
(3n+1)(3n-1)+10^s=k^2
⇔9n^2-1-k^2+10^s=0
⇔(k+3n)(k-3n)=10^s-1

(1) s=7
10^7-1=9R_7=3^2*239*4649
(2) s=17
10^17-1=9R_17=3^2*2,071,723*5,363,222,357
(3) s=23
10^23-1=9R_23=3^2*11111111111111111111111

https://ja.wikipedia.org/wiki/レピュニット/
0470１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 16:21:31.42ID:CgP4KDd+
>>469
(3n-1)(3n+1)+10^7=9n^2+(10^7-1)が９の倍数なので
9n^2+(10^7-1)=9k^2としておくと
(k-n)(k+n)=(10^7-1)/9
となって、レピュニット数のみの素因数分解の問題になる、という流れを想定してた。
0471１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 16:25:53.81ID:CgP4KDd+
（sageたはずだったのだが、おかしいな）
別スレで4649という数を見かけたので、つい。
0472１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 16:29:07.97ID:r8IEuWih
>>470
なるほど
確認する組も少なくて楽
0473１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 19:11:39.38ID:CuFRKXU3
既出だったらすまない

単位円上に有理点が無限に存在することを示せ

なお、出題者は証明を3つ用意してある
0474１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 19:16:53.47ID:Wk6WNlkk
ググったら出てきた
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_of_rational_points_on_the_unit_circle#Group_structure
0475１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 19:17:40.94ID:08dwf8K0
ぱっと浮かんだ３つは
･tan(x/2)
･ちぇびしぇふ
･ぺる方程式
0476１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 19:31:34.08ID:CgP4KDd+
ピタゴラス数をいくらでも作れる有名な式を使うのが一番簡単か？

互いに素で偶奇の異なる自然数m,n（m>n）について
(m^2+n^2)^2 = (m^2-n^2)^2 + (2mn)^2
0477１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 19:45:51.67ID:CuFRKXU3
証明1（三角関数のパラメータ表示を使う方法）
tan(k/2)=tとおけば
cos(k)=(1-t^2)/(1+t^2), sin(k)=2t/(1+t^2)
(cos(k), sin(k))は単位円上の点

証明2（交点の座標を求める方法）
http://www.math.keio.ac.jp/~suuri-joshi/touch/quadratic

証明3（ピタゴラス数の生成式を用いる方法）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1324325308


俺が考えた証明とはいってない（小声）
0478１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 19:59:54.15ID:/j7kOe4r
その3つの違いがわからない
0479１３２人目の素数さん2015/09/20(日) 20:10:47.87ID:CuFRKXU3
>>477証明1,2は>>476,477証明3でm=1のとき

まあ、多少はね？
0480１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 00:06:52.53ID:wBw2X2WH
他にある？
0481１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 00:12:27.73ID:SidL6VZ2
「x^2+y^2=z^2　,z>0　を満たす三整数(x,y,z)がある。
　a=z-x、b=z-y　としたとき、x,y,zをa,bを使って表せ。」
という問題を想定し、解くと、次の二通りの解が得られる。
x=b±√(2ab)、y=a±√(2ab)、z=a+b±√(2ab)
一つは、最初に用意していた(x,y,z)に一致するが、
X^2+Y^2=Z^2、Z-X=z-x、Z-Y=z-y　を満たすもう一つの解（X,Y,Z）も見つかる。
これを共役解と呼ぶことにする。（お互いにもう一方の解を共役解と呼ぶことにする）

例えば、3^2+4^2=5^2からは、a=5-3=2、b=5-4=1となるが、√(2ab)=2なので、
x=1±2、y=2±2、z=1+2±2から、(x,y,z)=(3,4,5)と共役解(-1,0,1)が得られる。
ところが、(3,4,5)が解なら、(-3,4,5)も(-3,-4,5)も(3,-4,5)も
「x^2+y^2=z^2　,z>0」を満たす解で、(-3,4,5)から、a=8,b=1として、共役解(5,12,13)、
(-3,-4,5)からは共役解(21,20,29)、(3,-4,5)からは共役解(15,8,17)が得られる。
そして、さらに、(5,12,13)を基本の解と思って、(-5,12,13)の共役解
(7,24,25)、(5,-12,13)の共役解(45,28,53)、(-5,-12,13)の共役解(55,48,73)
のように、一つのピタゴラス数から三つの新しいピタゴラス数が見つかり、
新しく見つかったそれぞれのピタゴラス数からも、三つづつのさらに新しい
ピタゴラス数が見つかる。つまり、無限にピタゴラス数を見つけ出すことができる。
0482１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 00:13:01.08ID:SidL6VZ2
2ab=2(z-x)(z-y)=2z^2-2(x+y)z+2xy=x^2+y^2+z^2-2(x+y)z+2xy=(x+y-z)^2　に注意すると、要は
{(z-y)±(x+y-z)}^2+{(z-x)±(x+y-z)}^2={(2z-x-y)±(x+y-z)}^2
という　x^2+y^2=z^2下で成立する（条件付き）恒等式に集約される。
複合のプラス側を取ると、x^2+y^2=z^2　となり、価値は無いが
マイナス側を取ると、(2z-x-2y)^2+(2z-2x-y)^2=(3z-2x-2y)^2　　(※1)
という、共役解を陽に確認できる式が得られる。
x　→　-xと変換すると　(2z+x-2y)^2+(2z+2x-y)^2=(3z+2x-2y)^2　　（※2）
さらに、y　→　-yと変換すると　(2z+x+2y)^2+(2z+2x+y)^2=(3z+2x+2y)^2　　（※3）
さらに、x　→　-xと変換すると　(2z-x+2y)^2+(2z-2x+y)^2=(3z-2x+2y)^2　　（※4）
のように、一つのピタゴラス数から、三つのピタゴラス数を導く式が得られる。

ピタゴラス数は、(3,4,5)を出発点とする三分木構造に埋め込むことができ、
「適切な方法」を定めれば、ピタゴラス数に、「順番」を与えることが可能。
あるピタゴラス数が示されれば、それが、何番目のピタゴラス数かを言うことも
逆に順番を指定し、それに対応するピタゴラス数を答えることも可能。


過去に　「ひたすらピタゴラス数を書くスレッド」のような掲示板があったので、
そこにたくさんのピタゴラス数を挙げたが、その時、ピタゴラス数発生の
アルゴリズムとして用いたのがこの方法。
0483１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 00:31:06.05ID:m2zTshdB
ピタゴラス数を生み出す行列のはなしだよね
0484１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 01:02:26.15ID:zlQLS8Fa
原始ピタゴラス数が無数に存在する⇔単位円上に有利点が無数に存在する
0485１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 01:30:18.15ID:zebtZ9PG
ピタゴラス数に順番を付けると(a/cを小さい順に並べると)a/cは1/√2に収束するのかな？
感覚的に
0486１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 01:41:07.70ID:zebtZ9PG
全ての原始ピタゴラス数(a,b,c) (a<b)から、a/cを小さい順に並べた数列をa_nとする。
ただしa_0=3/5とする。
lim(n→∞)と lim(n→-∞)をそれぞれ求めよ
0487１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 02:16:00.42ID:CDfCY14T
((3+4i)/5)^a.
0488１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 02:54:59.56ID:zlQLS8Fa
ピタゴラス数は(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)で表せる

n=1のときを考える
m≧3でm^2-2m-1>0⇔m^2-1>2m
よってm≧3では(a, b, c)=(2m, m^2-1, m^2+1)
さて、Q_m=a/c=2m/(m^2+1) (m≧3)とすると
m→+∞のときQ_m=2/(m+(1/m))→0

0に収束するよ（予想）
0489１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 03:12:40.15ID:zlQLS8Fa
lim(n→-∞)a_n=0だよ（予想）

>>488はガバガバだったな
訂正
ピタゴラス数は自然数m, n (m>n)を用いて(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)で表せる

m=n+1とおいてnを飛ばすとa/cの上限が見えるか？
0490１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 03:31:03.55ID:BwSfAQxg
>>486
問題として成立していないように思えるが。
そんな数列は作れないでしょ。

言いたいのはこれか？

a^2+b^2=c^2，a<bを満たす互いに素な自然数の組(a,b,c)全ての集合をPとするとき、
{x | x=a/c, (a,b,c)∈P}の上限及び下限を求めよ。

>>486に言うような、小さい順に並べた数列が存在しえないことも証明したいところ。

上記集合Pの，異なる２つの要素を(a,b,c)，(d,e,f)（ただし a/c < d/f）とするとき，
あるPの要素(x,y,z)が存在し，a/c < x/z < d/fとなることを示せ。
0491１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 03:43:38.48ID:BwSfAQxg
>>490
というか、これって、前半の問題で上限が1/√2、下限が0であることと
後半の問題の証明を合わせて、
単位円上に有理点が稠密に分布することを言ってるだけだな…
04924862015/09/21(月) 04:22:23.64ID:zebtZ9PG
数列自体存在しないの？
単位円上の任意の2点の有理点の間には異なる有理点が存在するってこと？
高校数学までしかやってないので用語がわからん…
04934862015/09/21(月) 04:26:08.81ID:zebtZ9PG
俺の予想ではa/cは0～1/√2の範囲でa<bの条件を外すと0～1になると思われる
0494１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 05:01:19.05ID:BwSfAQxg
>>492
小さい順に並べた数列が存在しないというのは
例えば「全ての正の有理数を小さい方から並べた数列」が作れないことを考えてもらえば。
にもかかわらず、「全ての正の有理数を含む数列」は作れるというのが、
無限の数を扱う難しさなのですよ。

＞単位円上の任意の2点の有理点の間には異なる有理点が存在するってこと？
そゆことです
0495１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 06:11:57.62ID:fDJotWMa
a^2+(a+1)^2が平方数となるような自然数aは無限に存在するか
0496１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 11:39:04.22ID:BwSfAQxg
>>495
任意の自然数kについて、
(1+√2)^k = m+n√2 （m,nは自然数，mは奇数）と表せること、
さらに、そのm,nを用いて　(1-√2)^k = m-n√2と表せることは
数学的帰納法で容易に示せる

kが正の奇数のとき、(1+√2)^k × (1-√2)^k = -1となるので、
(m+n√2)(m-n√2) = -1　∴ m^2-2n^2 = -1
ここで，mは奇数なので、m=2a+1とおくと、4a^2+4a+1-2n^2 = -1
これを変形すると、a^2+(a+1)^2 = n^2が得られる
異なるkに対して、異なる(a,n)の組が得られるので、
a^2+(a+1)^2が平方数となるようなaは無限に存在する
0497１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 12:31:37.12ID:H+zc29yF
テレンスタオの美しい解き方面白いよ。
回答者目線で数学オリンピックの問題を解く形式。

暇つぶしになる
0498１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 13:52:24.45ID:fDJotWMa
ax^2+bx+c=y^2が無限個の整数解をもつような整数a,b,cの条件を求めよ
0499１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 13:53:22.27ID:bh279fIm
>>495

x_{n}^2+y_{n}^2=z_{n}^2、　が成立するとき

x_{n+1}=2*x_{n}+1*y_{n}+2*z_{n}
y_{n+1}=1*x_{n}+2*y_{n}+2*z_{n}
z_{n+1}=2*x_{n}+2*y_{n}+3*z_{n}　とすると、(>>482 の※3 で、xとyを入れ替えたものに相当）

x_{n+1}^2+y_{n+1}^2=z_{n+1}^2　が成立する　

このとき、y_{n+1}-x_{n+1} = y_{n}-x_{n} なので、差が保存される。

3^2 + 4^2 = 5^2 というものが存在するので、a^2+(a+1)^2が平方数となるようなものは無数にある。
0500１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 19:37:27.38ID:mNqic+mi
中卒で分かりませんがツエータ関数というものがあるらしいです
φも分かりませんでもユークリッド正三角形なるものは
a点ｂ点交わるところのq点が有るのでしょうか
分かりませんごめんなさいでした割り込んで
0501１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 19:48:26.68ID:zlQLS8Fa
ζ（ゼータ／ツェータ）関数？
何の問題かも分からんし
そもそもスレチでしょ

分らない問題はここに書いてね404 [転載禁止]©2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1442617810/
0502１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 21:17:29.58ID:gtDqKY3a
正方形を直角三角形を除く8枚の鋭角三角形のみで分割できることを示し、それが最小枚数であることを証明せよ
0503１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 21:52:18.63ID:Z3V2IWKL
鋭角三角形は無理じゃね？
どこかしら鈍角になりそうな
0504１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 22:07:19.88ID:BwSfAQxg
>>502
10枚ならできた。
８枚かあ…
0505１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 22:38:44.71ID:BwSfAQxg
８枚できた。
例：A(0,20)，B(0,0)，C(20,0)，D(20,20)，M(10,0)，N(10,20)，P(9,4)，Q(11,4)
PA,PB,QC,QD,PM,PN,QM,QN,PQを結ぶ
証明はまだ。
0506１３２人目の素数さん2015/09/21(月) 22:44:59.52ID:BwSfAQxg
ちなみに、P,Qを取る場所は，
AB，CD，BM，CM，AN，DNを直径とする６つの円のいずれにも含まれない
上下２箇所の領域の片方の中に，大体左右対称に取ればよい。
0507１３２人目の素数さん2015/09/22(火) 16:07:30.17ID:ZLtLRDuu
>>502
正方形ABCDを鋭角三角形で分割するとき、
A,B,C,Dからそれぞれ1本以上の辺が出ていなければならない。
仮に、辺BC上（Bを除く）に点EがあってAEを辺にもつ三角形があるとすると、
三角形ABEは直角三角形なので、AE上に頂点をとらなければ
鋭角三角形で分割できない。
点Eが辺CD上にある場合も同様。
よってAから出る辺は、正方形の内部にある頂点につながっている。
B,C,Dについても同じことがいえる。
仮に、正方形の内部に頂点が1個しかないとして、これを点Fとすると、
A,B,C,Dから出る辺はFにつながっていることになる。
∠AFB,∠BFC,∠CFD,∠DFAのいずれかは90°以上であるが、
どの場合も同様なので∠AFB≧90°とする。
このときFとAB上の点Gを結ぶ辺が無ければならない。
∠AGFか∠BGFのいずれかは90°以上なので、
Gから辺が出ていて、AFまたはBFと交わることになってしまい、
正方形の内部に頂点が1個しか無いという仮定に矛盾する。
よって正方形の内部には2個以上の頂点がある。
そのうちの2個をH,Iとする。
H,Iからそれぞれ5本以上の辺が出ていなければならず、
H,Iを頂点とする鋭角三角形は5個以上あることになる。
これらのうち重複するものがあるとすればHIを辺とするものであり、
その個数は最大2個である。
よって鋭角三角形の個数は少なくとも5+5-2=8個以上である。
0508１３２人目の素数さん2015/09/22(火) 21:03:47.21ID:lhGzKtWu
内部の点には頂点しか集まらないことが前提になってない？
1つの辺と3つの頂点が集まっている場合もある。
例えば、ある内部点の回りが180°、60°、60°、60°で区切られている場合とか
0509１３２人目の素数さん2015/09/22(火) 21:18:16.16ID:ZLtLRDuu
>>508
そういうものも含めて頂点と呼んでいるので、問題ないはず。
0510１３２人目の素数さん2015/09/22(火) 22:13:30.88ID:V9wMy4Aa
>>509
＞H,Iからそれぞれ5本以上の辺が出ていなければならず、
＞H,Iを頂点とする鋭角三角形は5個以上あることになる。
のあたりで、H,Iが辺の途中にある可能性を無視していることを
指摘しているのだと思うが。

自分も、三角形の辺の途中に他の三角形の頂点があるケースがあるせいで
（つまり、グラフとしては四角形もしくはそれ以上で頂点にできる角が180°の物
の存在を排除できないため）
シンプルな場合分けができず面倒になってギブアップした。

正方形の４頂点以外に辺上に最低でも１点、内部に最低でも２点が存在することまでは
すぐ言えるのだが。
0511１３２人目の素数さん2015/09/22(火) 22:26:29.90ID:ZLtLRDuu
>>510
あー、なるほど。その可能性をおもいっきり見逃してた。
>>507を土台にうまく修正できるかどうか。
それとも、まるっきり考え方を変える必要があるのかな？
0512１３２人目の素数さん2015/09/24(木) 03:04:42.06ID:VcRgqQ8I
n個の鋭角三角形に分割できたとして
正方形の頂点以外の頂点の個数をvとすると
各頂点に集まる内角の個数に関して
3v+8≦3nよりv≦n-3
ここでn≦7とするとv≦4
よってv≦4かつn≦7となるような分割が存在しないことが示せればよい
あとは頼んだ
0513１３２人目の素数さん2015/09/26(土) 01:59:16.33ID:KGE6XyvT
この問題か

Acute Square Triangulation
https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/acute-square/
0514１３２人目の素数さん2015/09/26(土) 01:59:41.85ID:KGE6XyvT
Survey of two-dimensional acute triangulations
Discrete Math. 313, Iss. 1 (2013) 35–49.
http://czamfirescu.tricube.de/CTZamfirescu-08.pdf


9頁

In the same busy year of 1960, Lindgren [54] described an acute triangulation of
the square (see Fig. 6), proving that it can be done with 8 triangles and that this is
optimal – Federico solved this independently in the same year. In 1966, Gardner also
gave a construction, which he reports in one of his mathematical columns (reprinted
in [35]), saying: “For days I was convinced that nine was the answer; then suddenly I
saw how to reduce it to eight”. We remark that, in fact, Gardner was trying to find
dissections of the square, and it happened that his configuration on eight triangles is a
triangulation. If he were looking for triangulations, this would have contradicted the
following matter.
Cassidy and Lord [15] continued the investigations of acutely triangulating the
square, publishing their results in 1980. They gave an alternative proof of the min-
imality (and combinatorial uniqueness) of the Federico-Lindgren construction on 8
triangles. They also showed that there is no triangulation consisting of exactly 9 tri-
angles, and proved that there exist acute triangulations of the square with k triangles
whenever k ≥ 10.


[54] H. Lindgren. A quadrilateral dissection. Austral. Math. Teacher 16 (1960) 64–65.
[15] Ch. Cassidy and G. Lord. A square acutely triangulated. J. Recr. Math. 13 (1980–
81) 263–268.
0515１３２人目の素数さん2015/09/26(土) 02:39:33.02ID:MgrWGZzr
Journal of Recreational Mathematicsが大学の図書館にあるか判らん
05165132015/09/26(土) 03:05:19.37ID:MgrWGZzr
あるっぽいな
0517１３２人目の素数さん2015/09/26(土) 04:08:58.11ID:jeE3BpXh
http://math.a.la9.jp/don.htm
正方形じゃなくて鈍角三角形バージョンの問題と解答を発見
0518１３２人目の素数さん2015/09/26(土) 10:46:23.47ID:aSIv8JvA
>>513
どうやって見つけたんだ？貴様は神か？
05195132015/09/26(土) 11:20:48.61ID:smOIV1i/
>>518
divide square into acute triangle
でググっただけです（小声）
0520１３２人目の素数さん2015/09/26(土) 19:43:56.60ID:Jz1cA5oo
よくわからんけど三角形分割ってことは
頂点が三角形の辺上にあるケースはそもそも考慮されて泣くね？
0521１３２人目の素数さん2015/09/27(日) 04:15:48.86ID:qZeHHCLI
>>514の[15]を上げるまでの暇潰しに

http://www.itmedia.co.jp/news/spv/1505/12/news088.html
この時計は全ての時刻を表現可能である
（証明はhttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1442617810/136-138）
この周辺で面白い問題を作ってよ
0522１３２人目の素数さん2015/09/27(日) 20:53:09.22ID:ONZsfJnq
上の時計で全ての正方形が光る回数の最小値と最大値を求めよ
0523１３２人目の素数さん2015/09/28(月) 03:41:57.77ID:NXSABs39
>>522
12時は0と12のどちらを表示するのかによって話は変わるな。
0524１３２人目の素数さん2015/09/28(月) 04:11:24.95ID:NXSABs39
>>522
ちなみに、最大の方では、時と分を表す数字を足して12以上になる場合のうち、
全ての正方形がひかる可能性がないのは8と8（8時40分）の場合のみ。

最小の方では、時または分が12を表示する場合のみ必ず全ての正方形がひかる。
分は12を表示することはないようなので、
時が1から12ならば12時台のみ必ず全てひかる。
0から11ならば、1の正方形のうちの片方は使わなくてもよくなる。
（ということは、やっぱり12時は12を表示するのだろうな）

（正確に言うと、「ひかる」ではなく「色がつく」だな）
0525１３２人目の素数さん2015/09/28(月) 06:44:31.35ID:VbfJNND9
このスレでは未出題のようだから

n,n+2,n+4がいずれも素数になる自然数nを全て求めよ
0526１３２人目の素数さん2015/09/28(月) 07:59:34.04ID:qwCqNxiY
つまらなすぎ
0527１３２人目の素数さん2015/09/28(月) 09:45:45.18ID:NCZ2EFYi
ひねりがなんもないよな
0528１３２人目の素数さん2015/09/28(月) 10:02:28.23ID:jlLelCrV
与えられた円の中心をコンパスのみで特定せよ
0529１３２人目の素数さん2015/09/28(月) 22:29:57.43ID:NXSABs39
>>528
円周上にAB=BCとなるような３点A,B,Cを適当にとって
AB=BC=a、CA=bとおくと、
円の半径はa^2/√(4a^2-b^2)なので、その長さを
ttps://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/mathematics/kirinuki/kirinuki29.html
あたりを参考に作図すればいいよ
0530１３２人目の素数さん2015/09/29(火) 02:25:06.10ID:nc3nLp6q
>>528
弦の垂直２等分線どうしの交点を求めるだけだが、
もしかして、定規は使っちゃいけないのか？
0531１３２人目の素数さん2015/09/29(火) 03:19:11.03ID:azN8533W
コンパスだけでしょ
0532１３２人目の素数さん2015/09/29(火) 04:16:04.08ID:/gO4uSCx
方眼紙上で定木のみを用いて面積7の正方形を作図できるか？
方眼紙の1つの升目の面積を1とする
0533１３２人目の素数さん2015/09/29(火) 04:20:11.75ID:/gO4uSCx
つまり、面積が2平方数の和ではない正方形は作図できるか？
0534１３２人目の素数さん2015/09/29(火) 08:15:26.52ID:2tetWzJ3
>>532
1x6のマス目の対角線は√7
これで正方形を作る
05355342015/09/29(火) 08:17:23.37ID:2tetWzJ3
間違ってた
上の無しで
0536１３２人目の素数さん2015/09/29(火) 16:03:39.90ID:b0As/vwW
>>532
まず、定木のみの作図で新たに作れる点は、
既に存在する２点間を結んだ２直線の交点だけなので、
最初に格子点のみが全て与えられている状態から作図できるのは有理数点のみ。
２つの有理数点間の距離が√7になるとすると
x^2+y^2=7（x,yは有理数）となり、
x=m/k、y=n/k（m,nは整数，kは自然数で，m,n,kの最大公約数は1）とおくと，
m^2+n^2=7k^2とおける
ここで、整数Nについて
N^2≡0,1,2,4（mod 7）であり、N^2≡0となるのはNが7の倍数のときだけなので、
m^2+n^2≡0（mod 7）より、mもnも7の倍数となるが、
その場合、kも7の倍数となり、m,n,kの最大公約数は1という条件に矛盾する
よって、そのような有理数x,yは存在しないので、√7は作図できない。

√7の場合は、m,nの偶奇で場合分けしてmod 4で議論する手もあるが、
>>533のように一般化した議論では
2平方数の和ではない自然数の条件が、
n=a^2×b（a,bは自然数で、bは平方因子を持たず4k+3型の素数を因数として持つ）
というものなので、bの素因数である4k+3型の素数をpとしてmod pで議論するのが
より一般性がありそうだと考えた
0537１３２人目の素数さん2015/09/29(火) 23:19:15.07ID:1WvbOcmu
F(1)=F(2)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
のときΣ[k=0~∞]1/F(2^k)を求めよ
0538１３２人目の素数さん2015/09/29(火) 23:40:04.23ID:MmwWCV56
F(0)の値が定義されてないぞ
0539１３２人目の素数さん2015/09/29(火) 23:45:51.82ID:sCkKbHjD
それが何か？
0540１３２人目の素数さん2015/09/30(水) 01:12:56.07ID:W4f7D5tC
>>573
たまげたなあ

ネタバレ注意
http://imgur.com/OtJ8VUd.jpg
0541１３２人目の素数さん2015/09/30(水) 01:14:25.58ID:W4f7D5tC
>>540は>>537に
0542１３２人目の素数さん2015/09/30(水) 09:58:15.18ID:dmcZQwC0
>>540
kwsk
0543１３２人目の素数さん2015/09/30(水) 10:50:49.83ID:lYRAE3q3
>>542
ウルフなんとかにぶちこんだだけ
0544１３２人目の素数さん2015/09/30(水) 16:06:49.22ID:P+qfF9ot
>>537
F_{k-1}/F_{k} - F_{2k-1}/F_{2k} = ... = (-1)^k/F_{2k}
特に、kが偶数なら　F_{k-1}/F_{k} - F_{2k-1}/F_{2k} = 1/F_{2k}

Σ[k=0~n]1/F(2^k) = 1/F(1) + 1/F(2) + Σ[k=2~n]1/F(2^k)
= 2 + Σ[k=2~n][ F_{2^(k-1)-1}/F_{2^(k-1)} - F_{2^k-1}/F_{2^k} ]
= 2+ F_{1}/F_{2} - F_{2^n-1}/F_{2^n} → 3 - 2/(1+√5) = (1/2)(7-√5)　(n→∞)
0545１３２人目の素数さん2015/10/02(金) 16:20:22.89ID:PIlMCyTn
F_1=F_2=1
F_(n+2)=F_(n+1)+F_n
のとき
Σ[n=1,∞](10^(-n))F_n
を求めよ

すなわち
0.1+0.01+0.002+0.0003+0.00005+0.000008+0.0000013+0.00000021+...
を求めよ
0546１３２人目の素数さん2015/10/02(金) 19:05:28.58ID:ibVc9iom
F0=0として
G(x)= F0 + F1*x + F2*x^2 + F3*x^3 + ... + Fn* x^n + ...　とすると
x*G(x)= F0*x + F1*x^2 + F2*x^3 + ... + F(n-1)* x^n + ...
x^2*G(x)= F0*x^2 + F1*x^3 + ... + F(n-2)* x^n + ...
ここで、Fn=F(n-1)+F(n-2)をつかうと
G(x) - F0 -F1*x = (x*G(x) - F0*x) + x^2 G(x)
つまり、G(x)=x/(1-x-x^2)
G(1/10)=10/89
0547１３２人目の素数さん2015/10/03(土) 02:38:38.28ID:YaYUqMJy
F(1)=F(2)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
としてF(n)が2015の倍数となるような最小の正整数nは偶数かそれとも奇数か
0548１３２人目の素数さん2015/10/03(土) 09:36:33.30ID:UXtZmLrn
>>547
mod 5
0549１３２人目の素数さん2015/10/03(土) 14:23:35.96ID:vbqVLgzq
mod 31 でF(k)を考えると
01,01,02,03,05,08,13,21,03,24,
27,20,16,05,21,26,16,11,27,07,
03,10,13,23,05,28,02,30,01,00,
01,01,...
と周期30を持ち、F(30)≡0 (mod 31)
2015の倍数であるためには31の倍数である必要があるため、
f(n)が2015の倍数であるためには、nが30の倍数である必要がある
従って、>>547の解答は偶数

ちなみに、2015=5*13*31、
5|F(5r)、13|F(7s)、31|F(30t)
5,7,30の最小公倍数は210なので、2015|F(210u)
0550１３２人目の素数さん2015/10/03(土) 22:53:51.35ID:YaYUqMJy
じゃあ>>547の発展問題
素数pがp≡3(mod 4)を満たすとき
F(n)がpの倍数となるようなnは偶数であることを示せ
0551１３２人目の素数さん2015/10/05(月) 13:51:42.85ID:363gcpru
F(1)=F(2)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
のときΣ[k=1～n]F(4k-2)は平方数となることを示せ
0552１３２人目の素数さん2015/10/05(月) 21:26:56.98ID:4FTwqx8Y
>>550
奇数番目のフィボナッチ数は
F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_{n}^2
と変形できるが、互いに素な二つの数の平方の和は、4k+3型の素因数を持たない(※)。
従って、あるフィボナッチ数が4k+3型の素因数を持つとすれば、それは偶数番目の項に限られる。

>>551
F_{2n}^2-F_{2n-2}^2=(F_{2n}+F_{2n-2})*(F_{2n}-F_{2n-2})=...=F_{4n-2}
Σ[k=1～n]F_{4k-2} = F_{2n}^2-F_{0}^2 = F_{2n}^2


※　F_{n+1}^2+F_{n}^2　が合成数の場合、(ax+by)^2+(ay-bx)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)　
という恒等式に対応する形で逐次、因数を取り出すことができる。
奇数の平方＋奇数の平方は4k+2型の数に、奇数の平方＋偶数の平方は4k+1型の数になる
(ax+by)^2+(ay-bx)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)　この式の中には三つの（平方＋平方）型の数があるが、
(4k+1型)=(4k+1型)×(4k+1型)　か、(4k+2型)=(4k+2型)×(4k+1型)　というパターンでの
登場に限られる。この中に、4k+3型の数は現れない。
0553１３２人目の素数さん2015/10/05(月) 21:44:07.21ID:nbzLSFra
よく知っているなあ。(棒
0554１３２人目の素数さん2015/10/06(火) 18:24:25.73ID:fsLNLxlt
鶴と亀の頭の数の合計がk個、足の数の合計がl本のとき、鶴はx羽、亀はy匹である
x,yがともに非負整数となるようなk,lの条件を求めよ
0555１３２人目の素数さん2015/10/06(火) 19:20:23.94ID:REG7UsAr
三角形ABCの内部に点Pがある。

三角形BCPの面積をα
三角形ACPの面積をβ
三角形ABPの面積をγとする。

ベクトルPAをa
ベクトルPBをb
ベクトルPCをcとおくとき

αa+βb+γc=0を示せ

みたいな問題を昔見た気がするんだが記憶違いだったらすまん。
答えは忘れたｗ
0556１３２人目の素数さん2015/10/07(水) 04:46:25.83ID:kiTgcolQ
3桁の自然数を引っくり返して、元の数との差の絶対値をとる。
得られた数の桁の数字の和は一定値であることを示せ。
0557１３２人目の素数さん2015/10/07(水) 08:59:57.27ID:H50pZ5gt
九九の９の段
0558１３２人目の素数さん2015/10/07(水) 09:05:11.67ID:+3sISOZm
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AB%E6%95%B0
カプレカ数
0559１３２人目の素数さん2015/10/07(水) 20:29:55.92ID:bVIaakd/
>>555

直線APと辺BCの交点をQとする

BQ:CQ=△ABQ:△ACQ=△ABP:△ACP=γ:β

また
AP:AQ=△ABP:△ABQ=△ABP:(△ABP+△PBQ)=△ABP:(△ABP+△PBC*BQ/BC)=γ:(γ+αγ/(γ+β))

よって
AP↑=(AP/AQ)AQ↑=1/(1+α/(β+γ))((β/(β+γ))AB↑+(γ/(β+γ))AC↑)=((β+γ)/(α+β+γ))(1/(β+γ))(βAB↑+γAC↑)=(1/(α+β+γ))(βAB↑+γAC↑)


αa+βb+γc=α(-AP↑)+β(AB↑-AP↑)+γ(AC↑-AP↑)=-(α+β+γ)AP↑+βAB↑+γAC↑=-(βAB↑+γAC↑)+βAB↑+γAC↑=0


http://mathtrain.jp/vector
これの逆

確認はしていないが
αa+βb+γc=0の左辺の係数を適宜負にすれば
Pが△ABCの外部にある場合にも拡張できるだろう
0560１３２人目の素数さん2015/10/07(水) 20:45:04.75ID:bVIaakd/
>>556
1つの値にはならない

|100-1|=99　9+9=18
|101-101|=0

0か18のいずれかになる
0561 ◆nxVhLK6vrE 2015/10/07(水) 22:51:00.01ID:Xsw/4YgJ
sin1°+2sin2°+3sin3°+...+90sin90°を計算せよ
答えはトリップ
0562１３２人目の素数さん2015/10/07(水) 22:57:18.15ID:Xsw/4YgJ
>>561はトリップ間違えました　
無かったことにしてください
0563１３２人目の素数さん2015/10/08(木) 18:28:59.15ID:0srW166e
http://imgur.com/f6Zz8w0.jpg
問題も間違ってるような
0564１３２人目の素数さん2015/10/08(木) 18:35:23.90ID:hjzFehcS
フィボナッチ数列をこねくり回してたら次の式が出てきた。
F(mn)/F(n)=Σ[0≦k＜m/2](-1)^{k(n+1)}*C(m-1-k,k)L(n)^(m-1-2k) (☆)
ただし L(n)=F(n+1)+F(n-1) とする。

(1) F(m+n+d)=F(m+d)F(n+d)+(-1)^(d+1)*F(m)F(n) を証明せよ。
(2) F(n+2d)=L(n)F(n+d)+(-1)^(d+1)*F(n) を証明せよ。
(3) (☆)を証明せよ。
0565１３２人目の素数さん2015/10/08(木) 18:36:53.32ID:hjzFehcS
>>564
ただしC(m,n)=(m+n)!/(m!n!)とする。
0566１３２人目の素数さん2015/10/08(木) 18:44:03.48ID:hjzFehcS
>>564の(1)が間違ってた。申し訳ない。

(1) F(d)F(m+n+d)=F(m+d)F(n+d)+(-1)^(d+1)*F(m)F(n) を証明せよ。
0567１３２人目の素数さん2015/10/10(土) 10:24:56.14ID:PeUyjTTt
>>555
直線ABとCPの交点をQ, αPD↑=βBP↑, αPE↑=γCP↑となる2点D,Eをとる
BQ:AQ=△PBC:△PCA=α:βよりAD//EP, 同様にAE//DP
よってPA↑=PD↑+PE↑より示すべき式を得る
0568１３２人目の素数さん2015/10/10(土) 10:25:37.83ID:PeUyjTTt
a,b,cを与えられた正の整数とし, aとbは互いに素とする. このとき, aを法としてbに合同な正の整数であって, その全ての素因数がc以上であるようなものが無限個存在することを示せ.
0569１３２人目の素数さん2015/10/10(土) 23:48:04.25ID:AWp5N1O6
>>566の式の拡張したような式が作れた。
役立つかどうかしらんけど。

数列{a[n]},{b[n]}は
b[n+1]=b[n]-a[n]-a[n+1]
を満たすとして
s[n]=Σ[k=1..n]a[k]
とすると
F(s[n])F(s[n-1]+b[n])=Σ[k=1..n](-1)^s[k-1]*F(a[k])F(b[k])
が成り立つ。
この式でn=2の場合は>>566の式になる。

問題：この式を証明せよ。
0570１３２人目の素数さん2015/10/11(日) 19:30:16.51ID:1lehTb7O
>>568
a=1のときは素数の無限性より自明。a>1のとき、bを割り切らないc未満の素数全体の集合をPとし、Pのすべての元の積をmとする(Pが空のときはm=1とする)。このとき、a^k*m+b(k=1,2,...,)が条件を満たす。
証明は各自に任せる。
0571１３２人目の素数さん2015/10/14(水) 07:19:35.42ID:m8TEiTt6
ほ
0572１３２人目の素数さん2015/10/15(木) 08:02:39.75ID:ShUHgYGn
e^(1/e) - π^(1/π) < 1 を示せ。
0573１３２人目の素数さん2015/10/15(木) 20:29:10.95ID:6VlkFHpA
e^(1/e)-π^(1/π)<4^(1/2)-1=1
0574１３２人目の素数さん2015/10/15(木) 22:29:20.51ID:6KJ0Q333
ゆるい
0575１３２人目の素数さん2015/10/15(木) 22:33:15.97ID:ShUHgYGn
ぐぬぬ…

e^(1/e) - π^(1/π) < 1/100 を示せ。
0576１３２人目の素数さん2015/10/17(土) 00:55:05.00ID:oJL6KLEm
半径1の円に内接する正n角形について、ある頂点から時計回りに1,2,...,nとそれぞれの頂点に番号を付ける. このとき、nと互いに素な番号とn番の頂点との距離の総積は自然数であることを証明せよ
0577１３２人目の素数さん2015/10/17(土) 02:15:57.96ID:T+AEruC5
>>576
ほんとかよウソくせー適当いってねぇ？
0578１３２人目の素数さん2015/10/17(土) 02:24:55.17ID:MoaMy0B0
本当でしょ。
円分方程式の差積の絶対値。
0579１３２人目の素数さん2015/10/17(土) 04:28:19.06ID:XxOr4UDp
z(k)=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)とおくと、
n次の円分多項式F_n(x)は
n以下でnと互いに素なφ(n)個の自然数kについての総積Π(x-z(k))で表され、
一方、F_n(x)は整数係数の多項式なので、F_n(1)は整数。
（1はF_n(x)の根ではないので、0ではない）
>>576で言ってる距離の総積はΠ|1-z(k)|=|F_n(1)|なので、これは自然数

って話ですよね。

円分多項式についての基本的な知見を既知とするなら、これでおしまい。
それを証明するというのなら、任せた。
0580１３２人目の素数さん2015/10/17(土) 04:44:29.85ID:oJL6KLEm
>>578
>>579
正解です
F_n(1)の具体的な値が分かればもっと面白い問題になると思うのですが
円分多項式に関する知識がないので自然数、とまでしか言えませんでした
0581１３２人目の素数さん2015/10/17(土) 12:12:19.15ID:XxOr4UDp
>>580
＞F_n(1)の具体的な値が分かれば

n次の円分多項式をF_n(x)とするとき、
nが素数ならF_n(1)=n
nが合成数なら|F_n(1)|=1となることを示せ
0582１３２人目の素数さん2015/10/17(土) 13:00:00.54ID:u2MeBzbf
1->0.
p^k->p.

pq|n,p≠q.
n->1.
0583１３２人目の素数さん2015/10/17(土) 13:08:23.42ID:uGe4tjBl
>>581
nが素数ならx^(n-1)+x^(n-2)+...+1がQ上既約となるのでこれが円分多項式になってF_n(1)=n

nが合成数の場合
例えば4次の円分多項式はx^2+1より
F_4(1)=2になるので成り立たないと思うのですが...
0584１３２人目の素数さん2015/10/17(土) 22:42:46.53ID:XxOr4UDp
>>583
そうですね、すみません。
f_1(1)=0
nが素数pの冪のとき、F_n(1)=p
それ以外のとき、F_n(1)=1
であってますかね。
0585１３２人目の素数さん2015/10/17(土) 22:45:04.87ID:XxOr4UDp
（ということを、>>582さんが指摘してたようですね^^;）
0586１３２人目の素数さん2015/10/24(土) 13:56:14.38ID:BAbl4apN
４×４の升目に1,2,3,4の数字を入れるとき、
(1) ラテン方陣は何通り作れるか？
(2) 数独は何通り作れるか？
0587１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 10:27:38.50ID:U2A2nlW9
>>586
(1)ラテン方陣
1234
2XXX
3XXX
4XXX
となるのは

1234 1234 1234 1234
2143 2143 2341 2413
3412 3421 3412 3142
4321 4312 4123 4321　の4通り。
左端を固定すると、列の入れ替えのバリエーションが×3!
さらに、4つの数字の入れ替えで×4!なので、
4×3!×4! = 576通り

(2)数独
1234
34XX
2XXX
4XXX
となるのは

1234 1234 1234
3412 3412 3421
2143 2341 2143
4321 4123 4312　の3通り。
左上4マスを固定すると、右２列と下２行の入れ替えのバリエーションが×2×2
さらに、4つの数字の入れ替えで×4!なので、
3×2×2×4! = 288通り
0588１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 10:58:05.90ID:+qG/76bi
>>587
正解です！
0589１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 11:23:55.54ID:+qG/76bi
(2)の数独において、２本の対角線上にも同じ数字が並ばない場合はどうか？
0590１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 11:47:40.29ID:ftLSrIfJ
問題が何通りって意味じゃないのか。
0591１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 12:00:01.40ID:+qG/76bi
(1)のラテン方陣で、２本の対角線上も同じ数字が入らない条件を持つものは何通りあるか？
条件を増やすと簡単になるなあ
0592１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 12:11:23.38ID:U2A2nlW9
>>589
12XX
34XX
XXXX
XXXX
において対角線上にも同じ数字が並ばない数独の配置は
1234 1243
3412 3421
4321 2134
2143 4312　の2通りのみ
数字の入れ替えを考慮して、2×4! = 48通り
0593１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 12:13:10.79ID:U2A2nlW9
>>590
ヒント数が４個の、別解のない４×４の数独の問題は
何通りあるか？
0594１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 12:19:49.64ID:+qG/76bi
>>592
正解です！
0595１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 13:47:25.43ID:U2A2nlW9
>>593
全てのヒントの数字が異なる場合を調べたら、唯一解となるのは

1x3x 1x3x 1x2x 1x2x 1x2x 1xxx
2xxx x2xx xxxx xxxx xxxx xx2x
xx4x xxx4 3xx4 x3x4 x3xx x3xx
xxxx xxxx xxxx xxxx xxx4 xxx4

の６タイプのみで、
それぞれの上下左右反転や、上２行、下２行、右２列、左２列の入れ替え、
数字の入れ替えによるバリエーションが、
左から順に
3072、3072、3072、768、1536、384　通りなので、
合計11904通り。

ヒントの数字には少なくとも３種類の数字が含まれる必要があるので、
あとは、ヒントがちょうど３種類の数字からなる場合を考えればよいが、
場合分けが発散しそうなので、人手でやるべき作業ではなさそう。
暇な人は、プログラムで調べてちょ
0596１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 13:50:42.41ID:U2A2nlW9
ずれた。コピーして等幅フォントで。
0597１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 14:06:38.28ID:FeX0gcyy
別スレで見た問題だけど

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1443981226/738

738 １３２人目の素数さん sage 2015/10/24(土) 00:08:28.37 ID:mxQpNuML
次の性質を持つ実数全体で定義された連続関数y＝f(x)は存在しない事を（高校範囲で）示せ

xが有理数の時yは無理数
xが無理数の時yは有理数
0598１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 16:23:51.60ID:yazxyviR
>>597
高校範囲では、「連続関数」を定義しないから、
極限の計算練習くらいはできても、証明は不可能。
高校範囲でなく、普通にやれば？
0599１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 16:29:51.70ID:U2A2nlW9
>>597
補題：実数a,bがa<bを満たすとき、a<q<bとなる有理数qが存在する。
a<bより、1/(b-a)は正の実数であり、N>1/(b-a)となる自然数Nが存在する。
このとき、Nb-Na>1なので、Nb<M<Naとなる整数Mが存在する。
q=M/Nとすると、a<q<bを満たす。

以下本題

条件を満たす関数f(x)が存在すると仮定する。
関数g(x)をg(x)=x+f(x)と定義すると、g(x)は連続関数であり、
xが有理数ならf(x)は無理数なのでg(x)は無理数
xが無理数ならf(x)は有理数なのでg(x)は無理数
よって、g(x)は任意の実数xに対して無理数となる。

g(x)が定数関数の場合、g(x)=kとおくと、f(-k)=2kとなり、
kが有理数ならば-kもf(-k)も有理数、kが無理数ならば-kもf(-k)も無理数となるので
条件と矛盾


g(x)が定数関数ではない場合、g(a)<g(b)となる実数a,bが存在する。
このとき、補題より、g(a)<q<g(b)となる有理数qが存在し、
g(x)は連続関数なので、中間値の定理より、g(c)=qとなるcがaとbの間に存在する。
ところが、g(c)は無理数なので、qが有理数であることと矛盾

以上より、いずれの場合も矛盾が生じるので、仮定は誤りであり
条件を満たす関数f(x)は存在しない。


# そもそも中間値の定理が実数の連続性から導かれるものなので、
# それを証明なしに勝手に使っていい高校数学は、結構ゆるゆる。
0600１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 16:32:00.45ID:U2A2nlW9
>>598
数IIIに「関数の連続性」という章があるのですが…
0601１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 17:35:12.41ID:yazxyviR
>>600
そこで、未定義の「lim」を使っているだろ。
0602１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 18:10:59.01ID:U2A2nlW9
そんなことはわかっとるわい（苦笑）
高校数学で中間値の定理とか微積を使った証明問題がないわけではあるまいに。
高校数学の範囲で示せ、と言われたら、使っていいことになってることを使って示す
パズルだと思えばいいだろ。
厳密に定義されていないものは使えないなら、高校数学なんて全滅だろって…
0603１３２人目の素数さん2015/10/25(日) 20:44:52.80ID:eQ55Oj7N
>>601
高校の教科書にもちゃんと定義しているだろ

元の問題は高校の範囲超えてもいいのなら濃度を考えたら自明だろ
0604１３２人目の素数さん2015/10/26(月) 00:05:39.06ID:YOaWhcc4
濃度を考えても自明とは思えないな
0605１３２人目の素数さん2015/10/26(月) 01:28:40.96ID:RXHa2tRu
>>603
定義したようなふりはしているけれど、
「ちゃんと定義」はしてないよ。

そっちの方針がいいね。
0606１３２人目の素数さん2015/10/26(月) 04:16:09.61ID:slr0ql1P
確かに濃度を考えても自明とは思えないですね。
自明だという方々は、どのような流れで自明だと言うつもりなのか
教えて頂きたいものです。
0607１３２人目の素数さん2015/10/26(月) 04:22:08.47ID:VswQofCi
定数でない連続関数fの像は連続体濃度を持つけど、fの定義からfの像は高々可算集合であり、矛盾
自明だろう
0608１３２人目の素数さん2015/10/26(月) 05:03:33.19ID:slr0ql1P
>>607
＞定数でない連続関数fの像は連続体濃度を持つけど、fの定義からfの像は高々可算集合であり
なるほど。「fの像は高々可算集合」ってとこに気付きませんでした。
（有理数の集合＋有理数の像、なんですね）
私のように気付かなかった奴からすると、その１行の説明でも立派な証明で、
自明って言葉のニュアンスとは違って感じたりもします。
0609１３２人目の素数さん2015/10/26(月) 08:20:47.83ID:lA+MWMHJ
>>608
数学の専門書読んで行間を埋めたこと事ないの？

著者が自明だと書いていても理解するのに数日かかったりする事はざらだよ
0610１３２人目の素数さん2015/10/26(月) 14:50:38.40ID:j7RcQfYy
>>595
いやすごいな。
0611１３２人目の素数さん2015/10/31(土) 15:55:03.83ID:oUaeh8L4
おまけ付きの菓子にはA、B、Cのどれか１つが、それぞれ確率a、b、cで入っている。
(1) a+b+c=1のとき、3種類が揃うまでに買う個数の期待値を求めよ。
(2) 0<a+b+c<1のとき、3種類が揃うまでに買う個数の期待値は変わるか？
　変わるならその値を求め、変わらないならそれを証明せよ。
0612１３２人目の素数さん2015/10/31(土) 16:31:21.02ID:jlw7lTLW
>>611


(1)
nは3以上の整数として
n個目にA,B,C全て揃う確率は

n-1個目までにAが出ず、n個目にAが出る確率
n-1個目までにBが出ず、n個目にBが出る確率
n-1個目までにCが出ず、n個目にCが出る確率

の和であり

(1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c

よって買う個数の期待値は

n((1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c) (個)


(2)
買う個数の期待値は(1)と同じ

n((1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c) (個)

これは式の意味から明らか
0613１３２人目の素数さん2015/10/31(土) 16:36:34.14ID:jlw7lTLW
(2)のようにはずれがあるなら
買う個数の期待値は(1)より大きくなる
と思われる
0614１３２人目の素数さん2015/10/31(土) 16:40:55.08ID:0j1dwPeS
>>612
＞n-1個目までにAが出ず
ではBだけ出てCが出ていないかもしれない
0615１３２人目の素数さん2015/10/31(土) 16:45:45.73ID:jlw7lTLW
（n-1個目までにAが出ず、n個目にAが出る確率）
-（n-1個目までにBのみが出て、n個目にAが出る確率）
-（n-1個目までにCのみが出て、n個目にAが出る確率）

+（n-1個目までにBが出ず、n個目にBが出る確率）
-（n-1個目までにCのみが出て、n個目にBが出る確率）
-（n-1個目までにAのみが出て、n個目にBが出る確率）

+（n-1個目までにCが出ず、n個目にCが出る確率）
-（n-1個目までにAのみが出て、n個目にCが出る確率）
-（n-1個目までにBのみが出て、n個目にCが出る確率）

か
やめた
0616１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 00:54:53.93ID:AWAb936d
>>615より
n個目にA,B,C全て揃う確率は
(1-a)^(n-1)*a-b^(n-1)*a-c^(n-1)*a
+(1-b)^(n-1)*b-c^(n-1)*b-a^(n-1)*b
+(1-c)^(n-1)*c-a^(n-1)*c-b^(n-1)*c
買う個数の期待値は
n((1-a)^(n-1)*a-b^(n-1)*a-c^(n-1)*a
+(1-b)^(n-1)*b-c^(n-1)*b-a^(n-1)*b
+(1-c)^(n-1)*c-a^(n-1)*c-b^(n-1)*c)個
06176112015/11/01(日) 10:36:50.24ID:LvsYUQg2
正解者なし。
0618１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 11:39:28.82ID:BcQa9qVi
期待値の式にnが入ってる時点で明らかに不正解なのはわかる
0619１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 13:06:20.55ID:tOJjs8t9
>>611
(2)は問い方がおかしいだろ。
(1)でa+b+c=1を前提に答えを式変形していたら、(2)で使えるわけがない。
(1),(2)で共通で使える表現は存在する。

(1)だけの答えなら
bc+ca+ab=X、abc=Yとおいて
期待値は 1+ X/Y - (1+X)/(X-Y)
(1)(2)共通の答えは
期待値は 1+ 1/a + 1/b + 1/c - 1/(b+c) - 1/(c+a) - 1/(a+b)

考え方は、n≧1として、n回後にまだ全部揃っていない確率は
P(n) = (1-a)^n + (1-b)^n + (1-c)^n - (1-b-c)^n - (1-c-a)^n - (1-a-b)^n
であり、期待値は
1+Σ[n=1,∞]P(n)
（P(n)の式にn=0を代入すると0になるので、Σは0から計算すると楽）
0620１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 13:10:01.30ID:4gDXr50m
買う個数の期待値ですけど
0621１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 13:20:13.32ID:tOJjs8t9
>>620
そうですがなにか
0622１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 13:31:08.00ID:NRx06mRK
なお、おまけのお菓子は廃棄してはいけないこととする
0623１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 13:37:02.93ID:tOJjs8t9
ちょっと冷たかったな（汗）
一般に終了するまでの回数の期待値を考える場合、少しトリッキーな言い方だが、
「n回目が行われる回数」という確率変数をx(n)（x(n)は0か1の値をとる）とすると、
終了するまでの回数という確率変数Xは
X=Σ[n=1,∞]x(n)
となるので、Xの期待値は
E(X)=Σ[n=1,∞]E(x(n))
で、n回目までに終わってない確率をP(n)（n=0,1,…）とすると、
E(x(n))=P(n-1)となるので、結局
E(X)=Σ[n=0,∞]P(n)
と言える。今回の問題では、n≧1ではP(n)は示した通りで、P(0)=1。
0624１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 15:05:08.43ID:4gDXr50m
>>623
普通n回目に揃う確率をp(n)とした場合に求める期待値は当然
lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)np(n)
ではないの？
その方法でどうその後計算ができるのか示してもらいたいもんだ。
0625１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 15:06:23.21ID:4gDXr50m
×lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)np(n)
○lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)Σ[j=1,n]kp(k)
0626１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 15:15:08.77ID:tOJjs8t9
（さっきから示してるんですが…ま、いいや）
0627１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 15:25:50.30ID:tOJjs8t9
結局縦のものを横にして計算してるだけなんだがな。
あと、E(X+Y)=E(X)+E(Y)は理解してるよな？
0628１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 16:07:34.53ID:4gDXr50m
n回目まで終わっていない確率を足し合わせても回数の期待値にはならないと言っているだけだが？
0629１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 22:14:45.26ID:tOJjs8t9
>>623の説明でわからなければ、私の手には負えません。
0630１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 23:00:35.12ID:4gDXr50m
>>629
n回目まで終わっていない確率を足し合わせたところで、その極限は1にしかならない。以上。
0631１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 23:11:13.81ID:tOJjs8t9
>>630
他のスレでの発言を見ていると、大学レベルの数学の知識をお持ちの方と
見受けられるのですが、
どうして自分の頭できちんと考えることを放棄されているのでしょうか？
0632１３２人目の素数さん2015/11/01(日) 23:18:30.47ID:tOJjs8t9
（下げ忘れました。スミマセン）
0633１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 00:34:13.02ID:FzT0ePp1
日付が変わる前に>>630の発言を引き出せたからよしとするか…
何を言ってるかと思えば、そんなレベルの話だったとは
0634１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 02:34:02.14ID:krCUW5Pu
>>619は考え方は合ってるけど計算ミスしてるのでは。
0635１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 05:33:21.12ID:wY9be5wM
>>631
>>625
06366112015/11/02(月) 06:19:14.52ID:O2maGD3B
>>619
> (1)(2)共通の答えは
> 期待値は 1+ 1/a + 1/b + 1/c - 1/(b+c) - 1/(c+a) - 1/(a+b)

(1)のみ正解。
(2)はa+b+c≠1なので、式の形は異なります。(2)の値にa+b+c=1を代入すると(1)に一致するけどね。私が間違っていたらゴメン。
06376112015/11/02(月) 07:49:59.21ID:O2maGD3B
(2)の問題文を 「期待値を a, b, c で表せ」 に変更します。
s=a+b+c、t=ab+bc+ca、u=abc とおいて、s, t, u で表してもいいです。
0638１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 08:30:02.32ID:udp++JuJ
1/a+1/b+1/c-1/(a+b)-1/(a+c)-1/(b+c)+1/(a+b+c).
0639１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 10:26:01.27ID:FzT0ePp1
>>636
本当だ、ベン図の真ん中が(2)では存在するのを忘れてた。
（説明すると、n回終わってaが出ていない事象をA、bが出ていない事象をB、
cが出ていない事象をCとして、ベン図書いて考えてて、3つ重なった所に
最初に0を入れたまま忘れてた…基本的ミスですな）
>>638で両方共通の答えになるのかな。
0640１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 10:36:33.87ID:FzT0ePp1
ところで、>>635は昨日の4gDXr50mさんですかね。
そろそろ「もしかしたら自分が勘違いしてるかも」と疑い始めてもいいころでしょうに。
その自信はどこから来るのか、ある意味うらやましい（嘘です）。

いや、誰も
lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)Σ[j=1,n]kp(k)
の考え方を間違いだと言ってるわけではないんですよ。
その考え方でうまく計算できないようなケースに、
>>623みたいな作戦が使えるという話をしているだけで。
どうして自分の頭で考えて人の言っていることを理解する努力をしないのかと
不思議に思っているわけです。
0641１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 13:02:00.46ID:wY9be5wM
>>640
4gDXr50mです。

>>630で書いているとおりですが、理解しようがありません。
確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
0642１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 15:08:14.85ID:1VvZixfA
>>630,641
> n回目まで終わっていない確率を足し合わせたところで、その極限は1にしかならない。以上。
n回目までに終わっていない確率(=n+1回目が行われる確率)の和は、
0回目から1回目までの和ですでに2になる単調増加列だが？
P(0)=1
P(1)=1
P(2)=1
P(3)=1-6abc
0643１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 16:20:04.75ID:udp++JuJ
a+2b+3c+4d+...
=(a+b+c+d+...)+(b+c+d+...)+(c+d+...)+(d+...)+....
0644１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 16:30:52.95ID:wY9be5wM
>>642
回数の期待値と書いているのにも関わらず、回数を考慮していないからおかしい。
0645１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 16:50:16.25ID:1VvZixfA
>>644
そんな関係ないレスしてないで
> 確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
が偽だということは理解できたか？
0646１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 17:48:34.69ID:wY9be5wM
>>645
＞確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
それは誤解だった。
n回目で終わる確率をP(n)とした場合にはその極限が1になるということ間違った。

＞E(x(n))=P(n-1)
と書かれているのがまずおかしい。
x(n)は0か1だから、E(0)とかE(1)は何を意味するのか？
E(n)=nP(n-1)
の間違いではないのか？
0647１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 20:26:17.36ID:Cvr2y9Py
一般に、確率変数Xが与えられたときにその期待値のことをE(X)と書くのであって
E(0)とかE(1)とかE(n)っていうのはちょっと意味が分からないなあ
0648１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 21:36:38.51ID:1VvZixfA
>>646
> ＞E(x(n))=P(n-1)
> と書かれているのがまずおかしい。
まず、「E(x(n))」という書き方は>>647の通り期待値の一般的な記法であって何もおかしくない

x(n)は>>623が書いている通り、「n回目が行われる回数」という確率変数で、
n-1回目までに全部そろっていなければ1を取り、 (確率P(n-1))
全部そろっていれば0を取る (確率1-P(n-1))
当然x(n)の期待値E(x(n))は
E(x(n))=1*P(n-1)+0*(1-P(n-1)=P(n-1)
になる
補足だが、このP(n)はｎ回目終了時点で終わっていない確率であって、n回目に最後の一つがそろい終了する確率ではない

> E(n)=nP(n-1)
> の間違いではないのか？
このE(n)、P(n)が何を意味するのか判りかねるが
>>624-625に倣ったもので、
E(n)=Σ[ｋ=1,n]kP(k)
の間違いならば、
P(n)は「n回目に最後の一つがそろい終了する確率」
E(n)は「『k回目に終了する時の買う個数kとP(ｋ)との積』のｋ=1からｎまでの和」
だろうから
> E(x(n))=P(n-1)
の「E(x(n))」、「P(n)」とは別のものだろう
0649１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 22:28:55.42ID:FzT0ePp1
x(n)は確率変数だと書いたはずだが。
ネット上で添字は分かりにくくなることがあるので、関数風に書くことはあるだろう。
x_nなら理解できるか？
nに対応する確率変数が無限にあるんだよ。
（というか、ただのよくある期待値計算の手法なのだが、なんでこんなことになってるの？）
0650１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 22:35:48.94ID:FzT0ePp1
E(x(n))ではなくE[x_n]と書けばよかったか？
丸カッコではなく角カッコの方が一般的だというなら、そう読み替えて下さい。
（高校の教科書では、残念ながら丸カッコを使っているが。）
0651１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 22:41:46.19ID:FzT0ePp1
最早難癖モードなのか、
本当に理解してないのかが計りにくいが、
ホントもうどうでもいい。

これでもまだ上から目線で議論できる神経にはある意味敬服する。（嘘です）
0652１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 22:42:07.10ID:Mg+fRVGR
>>611
(2)
f(x)=x/(1-x) + x/(1-x)^2　として
a*f(b+c) + b*f(c+a) + c*f(a+b) - (a+b)*f(c) - (b+c)*f(a) - (c+a)*f(b)
展開したり、通分したりすると、複雑になるので、ここで止めておく

特にa+b+c=1 の時は、
a*f(1-a)-(1-a)*f(a)=1-2a+1/a-1/(1-a) 等から
1 + 1/a + 1/b + 1/c - 1/(1-a) - 1/(1-b) - 1/(1-c)
と>>619に一致
0653１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 22:43:11.61ID:wY9be5wM
全て了解しました
0654１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 22:45:27.00ID:wY9be5wM
よく考えれば非常に簡単なことだった。間違っていると思ったから書いているだけで
別に上から目線だとは全然思っていない。
0655１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 23:08:00.26ID:d0E5e822
>>652に補足
3c{(a+b)^2-a^2-b^2} + 4c{(a+b)^3-a^3-b^3} + 5c{(a+b)^4-a^4-b^4} + ... +　(cyclic項)
=Σ[k=2,∞](k+1)c{(a+b)^k-a^k-b^k} + cyc.
=Σ[k=1,∞](k+1)c{(a+b)^k-a^k-b^k} + cyc.

ここで
Σ[k=1,∞](k+1)x^k = Σ[k=1,∞](∂/∂x)x^(k+1) = ... = x/(1-x) + x/(1-x)^2 ≡f(x)
に注意して、書き直したのが>>652
0656１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 23:15:13.34ID:wY9be5wM
>>651
そうですね、それは大変に失礼いたしました。

以前に私はこの計算を行った問題です。

レアカードはABCDEFGHの8種類あり、レアカードが出る確率は5%。
A～Fと比べて、GとHは出る確率が半分。
n回目にレアカードがコンプする確率とコンプする回数の期待値を求めよ。
0657１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 23:15:58.38ID:wY9be5wM
×以前に私はこの計算を行った問題です。
○以前に私が計算を行った問題です。
0658１３２人目の素数さん2015/11/02(月) 23:39:02.75ID:R2z+EcrU
あ、ミスった
>>652　>>655は無かったことに
0659１３２人目の素数さん2015/11/05(木) 07:18:20.80ID:jjaZ4tUN
1から2n+1までの数字の書かれたカードが1枚ずつ2n+1枚ある。
この中から無作為に3枚を取り出す。
(1) 2数の差の最小値を得点とするとき、得点の期待値を求めよ。
(2) 2数の差の最大値を得点とするとき、得点の期待値を求めよ。
0660１３２人目の素数さん2015/11/08(日) 01:47:28.64ID:Qs7YPP2X
任意の実数a,b,cに対して、不等式

|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|≦M（a^2+b^2+c^2）^2

が成り立つような最小の実数Mを求めよ
0661１３２人目の素数さん2015/11/08(日) 16:59:39.06ID:f/sobXmt
(9√2)/32
0662１３２人目の素数さん2015/11/08(日) 23:12:29.95ID:Ra6N4a1N
過程も書け
0663１３２人目の素数さん2015/11/09(月) 21:15:51.58ID:VgRTV7gt
>>660
a^2+b^2+c^2=1 の球面上での極値問題と考える
a,b,c が対称だから (a,b,c)=(1,1,1)/√3 を軸とする極座標 (r,θ,φ) に変換すれば簡単になると予想
他の2軸を (√(2/3),-1/√6,-1/√6),(0,1/√2,-1/√2) として
a=(1/√3)r(√2cosφcosθ+sinφ)
b=r(-(1/√6)cosφcosθ+(1/√2)cosφsinθ+(1/√3)sinφ)
c=r(-(1/√6)cosφcosθ-(1/√2)cosφsinθ+(1/√3)sinφ)
とすれば
ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)=√(3/2)r^4 sinφ(cosφ)^3 (3sinθ-4(sinθ)^3)
sinφ(cosφ)^3 の最大値は 3√3/16 で 3sinθ-4(sinθ)^3 の最大値は 1 だから答は 9√2/32
0664１３２人目の素数さん2015/11/09(月) 21:45:24.58ID:Uts8GNkz
すごい
0665１３２人目の素数さん2015/11/09(月) 21:49:30.09ID:wYVWaO80
>>663
> a^2+b^2+c^2=1 の球面上での極値問題と考える

すでにココで何をやってるか分からない…
0666１３２人目の素数さん2015/11/09(月) 23:29:45.01ID:2fj29AuI
>>662
X=a-b,Y=b-c,R=√(a^2+b^2+c^2)とすると、(c-a)=-X-Y
X^2+Y^2+(X+Y)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=2R^2-2(ab+bc+ca)なので
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=R^2+2R^2-X^2-Y^2-(X+Y)^2

{左辺/(右辺/M)}^2={(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}^2/(a^2+b^2+c^2)^4
=X^2Y^2(X+Y)^2(3R^2-X^2-Y^2-(X+Y)^2)/R^8=...≦81/512

腕力に頼るなら、f(x,y)={xy(x^2-y^2)+y(y^2-1)+x(1-x^2)}/(x^2+y^2+1)^2
として、∂f/∂x=∂f/∂y=0を解いて極大の候補を見つける方法も
0667１３２人目の素数さん2015/11/10(火) 08:10:32.00ID:ktIVqkZl
2015年度　釣塔大学理学部　入学試験問題　数学

2/29　9:00-15:00　（6時間）

問1　π>3.05を示せ。
問2　tan1゜は有理数か。
問3　一辺1の正二十面体の体積を求めよ。
問4　tan10°=(tan20°)(tan30°)(tan40°) を示せ。
問5　C[2015,n]が偶数となる最小の自然数nを求めよ。
問6　(2^n+1)/n^2 が整数となるような自然数nを全て求めよ。
0668１３２人目の素数さん2015/11/10(火) 11:46:09.81ID:AkD0Xa0Q
>>667
> 釣塔大学理学部

ネタも大概にしろ
0669１３２人目の素数さん2015/11/10(火) 13:38:57.41ID:RSSjjlq7
同じ問題ばっかしコピペしてるなー
0670１３２人目の素数さん2015/11/10(火) 13:55:57.09ID:eSJ4pj9H
解けない馬鹿ばかりだからね
0671１３２人目の素数さん2015/11/10(火) 14:04:37.53ID:yjYWK9mN
調べればすぐ答え出てくる問題ばっかやな
0672１３２人目の素数さん2015/11/10(火) 15:03:31.81ID:M07kpxaE
釣塔大の過去問ではファレイ数列を背景にしたものが面白かった
0673１３２人目の素数さん2015/11/10(火) 17:44:20.54ID:QKJlOMCa
釣塔大学　平成24年度入学試験問題
数学(文科)
http://www.choto.jp/wp-content/uploads/H24math_a.pdf
数学(理科)
http://www.choto.jp/wp-content/uploads/H24math_s.pdf

から一問


文科第4問
x^17+7x=1の
(1) 17個の解の17乗の総和
(2) 17個の解の逆数の総和
0674１３２人目の素数さん2015/11/10(火) 20:38:49.07ID:gneE9q0Y
これ、釣塔大のオリジナル？
0675１３２人目の素数さん2015/11/10(火) 20:56:09.21ID:ejzOfhBl
そうわ問屋が卸さない。
0676１３２人目の素数さん2015/11/10(火) 22:21:57.83ID:Yi1N+6jX
四面体の六辺の積をL、体積をVとおくとき
L/V^2の最小値を求めよ
0677１３２人目の素数さん2015/11/11(水) 00:02:10.60ID:c02syTcL
V/2=1/6abcsinαsinβ=1/6defsinγsinσ
(V^2)/4=1/36Lsinαsinβsinγsinσ
L/V^2=9/sinαsinβsinγsinσ

こうですかわかりません！
0678１３２人目の素数さん2015/11/11(水) 00:03:09.77ID:c02syTcL
ぜんぜん違うじゃねーか
0679１３２人目の素数さん2015/11/11(水) 00:13:50.85ID:CD/W06rP
元ネタは何だろう
http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/analysis/tetrahedron/Tetrahedron.pdf
0680１３２人目の素数さん2015/11/11(水) 14:22:22.47ID:H4I4JOfA
>>638
(2) この答え違うよな
0681１３２人目の素数さん2015/11/12(木) 23:45:42.55ID:+ZNawg+o
xy平面上で、不等式x^2＋y^2≦b^2で表される領域をDとする。
このとき、曲面Z=√(a^2－x^2－y^2)のDに対応する部分の面積を求めよ。
ただし、a.bは正の定数でa>bとする
0682１３２人目の素数さん2015/11/13(金) 12:58:10.36ID:JTFtlSpL
それは見飽きた
0683１３２人目の素数さん2015/11/13(金) 23:05:42.07ID:woulzGdF
解けないくせに
0684１３２人目の素数さん2015/11/14(土) 03:12:10.96ID:CUofgJxc
球を平面で切った面積だろ？
どこの参考書にでも、
丸々おな問が載っているぞ。
勉強したこと無いの？
0685１３２人目の素数さん2015/11/14(土) 05:03:08.80ID:FqgeDLEi
何？ また質の低い出題者がエレガントに出したの？
0686１３２人目の素数さん2015/11/14(土) 13:53:59.34ID:2y7u5HhI
受験通った奴なら解ける問題
0687１３２人目の素数さん2015/11/14(土) 15:21:58.54ID:MNaw2lGQ
口ばっかりで実際には解けていない連中
0688１３２人目の素数さん2015/11/14(土) 15:24:48.46ID:MNaw2lGQ
文句しかつけられない屑ども
0689１３２人目の素数さん2015/11/14(土) 15:35:05.13ID:rGriZ3WF
文句つけるしかしようがないからな
出直して来いってことだ
0690１３２人目の素数さん2015/11/14(土) 17:51:05.48ID:WlTPgH8m
４種類のタイルがたくさんある。いずれも正多角形形で、一辺の長さが１である。
この四種類のタイル全てを一定の割合で使い、平面を規則的に覆い尽くすことができるという。
この４種類のタイルが、それぞれ正何角形か、そして、どのように配置するか。
0691１３２人目の素数さん2015/11/14(土) 17:55:47.72ID:0i+c2SxP
全部正六角形で材質が違う
はい論破
0692１３２人目の素数さん2015/11/14(土) 18:43:53.07ID:8/VySMOE
全部正方形で材(ry
0693１３２人目の素数さん2015/11/14(土) 22:20:06.93ID:AGL93mt1
3,4,6,12.
0694１３２人目の素数さん2015/11/15(日) 01:45:23.04ID:60GjeiIH
>>693
どうやって？
0695１３２人目の素数さん2015/11/15(日) 06:09:13.20ID:UyssNKsl
>>694
693ではないが、
正十二角形と正三角形だけで平面が敷き詰められることと
正六角形の回りに正方形と正三角形を6つずつ並べると正十二角形になることを知ってれば
簡単だと思うが。

正十二角形と正三角形の敷き詰めパターンの中で
一部の正十二角形を規則的に選んで、他の正多角形の組合せに置き換えればいいだけ。
どういうルールで置き換える正十二面体を選ぶかはさじ加減次第でいかようにも。
0696１３２人目の素数さん2015/11/15(日) 06:10:25.43ID:UyssNKsl
誤：正十二面体
正：正十二角形
0697１３２人目の素数さん2015/11/15(日) 07:20:01.98ID:60GjeiIH
>>695
なるへそ。さんくす。
0698１３２人目の素数さん2015/11/15(日) 22:04:33.00ID:VhAV5WwG
次の条件を満たす関数f(x)が存在すればそれを求め，存在しなければそれを示せ．

(1) 実数全体で微分可能
(2) x≠0 なる任意の実数 x に対して x^2 f’(x)＝f(x)
(3) f(1)＝1
0699１３２人目の素数さん2015/11/16(月) 01:06:30.99ID:iIs89nTI
>>698
微分方程式知ってればただの問題だしなあ
(2)を解くと一般解はf(x)=Ce^(-1/x)で
(3)から特殊解はe^((x-1)/x)となるけど、
(1)の条件を満たさない（x=0が定義域に入らない）からそんな関数は存在しない。
0700１３２人目の素数さん2015/11/16(月) 01:13:40.85ID:20I39tfO
>>690の出題者です。wiki の「平面充填」のページの「複数種類のタイルによる平面充填」の「正多角形」
の所に、８つの種類が図を伴って載っているが、
・(3,4,6,4)型において、正六角形とその周りの正方形と正三角形をまとめ、一つの正十二角形にする
・(3,12,12)型において、正十二角形を、一つの正六角形と３つの正方形・三つの正三角形にする
・(4,6,12)型において、正六角形を六つの正三角形にする
それぞれの平面充填図に於いて、この三パターンを置き換えを規則的な位置で行ったものが、
解答にあたると考えています。
いずれも正3,4,6,12角形の四種類のタイルを使用することになります。
0701１３２人目の素数さん2015/11/16(月) 07:20:24.93ID:dgMTjPk9
>>699
地雷踏んでますな
間違ってるよ
0702１３２人目の素数さん2015/11/16(月) 09:48:09.42ID:gF+qHZnf
型どおりの嵌め手だな。
lim[x→0]f(x)を
考えるといいんじゃない？
0703１３２人目の素数さん2015/11/16(月) 10:09:59.96ID:lYzjmwv3
0(x<=0).
exp(1-1/x)(0<x).
0704１３２人目の素数さん2015/11/16(月) 11:42:47.39ID:iIs89nTI
なるほど嵌められた。
0705１３２人目の素数さん2015/11/16(月) 15:18:57.34ID:NgBGszqz
中途半端な知識がある奴に限って
引っかかって涙目になる好例だな
0706１３２人目の素数さん2015/11/16(月) 23:49:12.75ID:gF+qHZnf
こういうのがあるから、実解析は厭らしい。
複素解析のように単純明快ではないから。
0707１３２人目の素数さん2015/11/17(火) 00:21:31.90ID:B/WbhtGY
そういう問題ではないだろw
0708１３２人目の素数さん2015/11/18(水) 08:07:35.28ID:YfZeoSBZ
Z:整数の集合　a,b:互いに素な整数　n:正の整数
A(n) = { ax^n+by^n | x,y∈Z }　とおく
ZにおけるA(n)の補集合をB(n)とする
n≧2のとき B(n)が無限集合であることを示せ
0709１３２人目の素数さん2015/11/20(金) 12:07:03.57ID:XLNgk5Ci
算数の授業で「皆殺し」　18782（嫌なやつ）＋18782＝37564
http://daily.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1447975327/
藤沢市の女性教諭（４０）が４年生の算数の授業で電卓の使い方を教える際、
「嫌なやつ（１８７８２）と嫌なやつ（１８７８２）を足すと皆殺し（３７５６４）になる」
との語呂合わせを用いていたことが１９日、分かった。
0710１３２人目の素数さん2015/11/20(金) 14:10:47.87ID:YC7UIon5
>>709
内容の善し悪し以前に、
ネタをボキャブラ天国から
とたことが異常に浅薄だな。
0711１３２人目の素数さん2015/11/20(金) 21:20:39.64ID:cGbJbMBr
【問題】
2015年現在、個人情報の管理の効率化や行政事務の簡素化・迅速化などを目的として、住民票を有する日本国民一人一人にマイナンバーが付与されている。
マイナンバーはいずれも12桁以下の自然数であり、その中にはシステム上マイナンバーとして使用されない数もあるが、ここではそのような例外の存在は考慮しないものとする。
東工大生のヒロシはマイナンバーが異なる9個の素数の積であり、その素因数の和は250以下である。
愚かなヒロシは、自分のマイナンバーを「A,B,C,D」と3桁ずつ4つの整数に区切ったとき、A+B+C+Dと-A+B-C+Dの値がともに41以上の素数であることに発狂・卒倒し、その驚愕的事実をあろうことか2chに書き込んでしまった.。
この際、ヒロシのマイナンバーを当てちゃえ。
0712１３２人目の素数さん2015/11/20(金) 21:23:39.27ID:yi/k0l6t
これは難しいな
どこが面白いのかを理解するのが
0713１３２人目の素数さん2015/11/20(金) 21:41:16.13ID:qwFw9WzJ
たぶんヒロシの正体だろ？
0714１３２人目の素数さん2015/11/20(金) 22:51:15.90ID:YC7UIon5
>>710 について陳謝と訂正。
ボキャブラ天国ではなく
トリビアの泉だったようだ。
似たようなもんといえば
似たようなもんだが。
0715１３２人目の素数さん2015/11/21(土) 02:22:52.60ID:sgarGLHU
>>711
3通り
0716１３２人目の素数さん2015/11/21(土) 04:26:38.18ID:gKgefaB2
>>715
同じく三通り見つかった
その三通りの　A+B+C+D　の和は、5345でおｋ
0717１３２人目の素数さん2015/11/25(水) 06:31:23.75ID:b4wpDMiG
a^(bc)・b^(ca)・c^(ab)=2^(abc)をみたす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ。
0718１３２人目の素数さん2015/11/29(日) 04:11:41.47ID:JA15tZsj
a^(bc)*b^(ca)*c^(ab)の素因数は2のみだから
a=2^l, b=2^m, c=2^n　（l,m,nは非不整数）
とおける
(2^l)^(2^(m+n))*(2^m)^(2^(n+l))*(2^n)^(2^(l+m))=2^(2^(l+m+n))
⇔2^(m+n)*l+2^(n+l)*m+2^(l+m)*n=2^(l+m+n)　…★
⇔(l,m,n)=(3,3,4),(3,4,3),(4,3,3)　…☆

したがって
(a,b,c)=(8,8,16),(8,16,8),(16,8,8)

(l,m,n)の解（の一部？）☆は
l=m=nとしたとき
★⇔2^(2l)*3l=2^(3l)⇔2^l=3l
で3<l<4から当たりをつけた

☆以外にも解があるかもしれないが
★の両辺の大小関係から絞れるはず
例えば
(l,m,n)=(1,1,1),(1,2,3)では(左辺)>(右辺)
(l,m,n)=(4,5,6),(6,6,6)では(左辺)<(右辺)
0719１３２人目の素数さん2015/11/29(日) 10:10:01.03ID:9sTwx4pn
1,2,2.
1,2,4.
1,4,4.
2,16,16.
4,16,16.
8,8,16.
0720１３２人目の素数さん2015/11/29(日) 10:27:06.20ID:0eJS4rU2
そんなあるのか
0721１３２人目の素数さん2015/11/29(日) 14:31:10.14ID:jKzfN99j
京大特色入試
http://imgur.com/xuNxNDb.jpg
0722１３２人目の素数さん2015/11/29(日) 18:35:31.67ID:Zlc4lq5j
n個の変換ベクトルが互いに独立であれば良い
0723１３２人目の素数さん2015/12/17(木) 12:45:31.26ID:bnNJ+6iW
別スレから

309 １３２人目の素数さん sage 2015/12/17(木) 12:03:29.97 ID:3RmDFSBV
問題変えたほうが良いな
a^2≡a(mod.p)を満たすaの個数がn個であるときR(p)=nとおく。
例えば、R(1)=1,R(2)=2,R(3)=2,R(4)=2
(1)R(10),R(20)を求めよ。
(2)R(p)を求めよ。
0724１３２人目の素数さん2015/12/18(金) 00:11:55.50ID:NonrS9aL
因数分解せずに数える方法があるなら知りたい
0725１３２人目の素数さん2015/12/18(金) 04:00:36.74ID:TFNLlafx
rad(p)をpの異なる素因数の積としてR(p)=2^rad(p)かな
素因数分解は必須のような気がする
0726１３２人目の素数さん2015/12/18(金) 04:02:14.76ID:TFNLlafx
>>725
間違えた、rad(p)関係ない
f(p)をpの異なる素因数の個数としてR(p)=2^f(p)
0727１３２人目の素数さん2015/12/18(金) 05:57:20.01ID:C7lNQQ2f
これ意味ある問題？
aの個数？
もとの問題は？
0728１３２人目の素数さん2015/12/18(金) 06:03:42.22ID:8+Iq0zwg
意味ある問題なんてないぞ
0729１３２人目の素数さん2015/12/18(金) 06:13:22.44ID:C7lNQQ2f
問題として成り立つの？ってことだよ。
0730１３２人目の素数さん2015/12/18(金) 12:27:18.65ID:TFNLlafx
元の問題は知らないけど>>726はaの値の範囲を0≦a≦p-1として考えた
0731１３２人目の素数さん2015/12/18(金) 21:30:27.61ID:C7lNQQ2f
問題作るにはちょっと早いな。
0732１３２人目の素数さん2015/12/18(金) 22:06:34.90ID:TFNLlafx
どういう意味かな
0733１３２人目の素数さん2015/12/27(日) 17:41:26.69ID:uzhfdEJQ
出来る人は３０秒で出来る問題を一つ
（>>597 とは別問題だよ）

【問】 実数全体で微分可能で、以下の性質を満たす関数 f(x) が存在すれば例をあげ、存在しなければそれを示せ。

x が有理数のとき f(x) は有理数の値をとる
x が無理数のとき f(x) は無理数の値をとる
f’(x) は任意の区間で定数ではない
0734１３２人目の素数さん2015/12/27(日) 18:23:01.25ID:yrBNFagd
1/(x-1) + 1 (x < 0)
1/(x+1) - 1 (x >= 0)
0735１３２人目の素数さん2015/12/30(水) 23:35:52.20ID:dwu7uNBX
正の整数nは異なる正の整数a,bを用いてn=a^2+b^2と表せるとする.
aとbを3で割った余りが等しいならば,nは3つの0でない平方数の和としても表せることを示せ.
0736１３２人目の素数さん2015/12/31(木) 00:42:30.09ID:5yG2/U0D
(3a+k)^2+(3b+k)^2=...=(2a-2b)^2+(a+2b+k)^2+(2a+b+k)^2
0737１３２人目の素数さん2015/12/31(木) 10:58:17.26ID:4isRYK2s
>>735の「3で割った余り」のところを「mで割った余り」で置き換えても成立するようなmの条件は、
mがp≡1またはp≡3(mod 8)なる素因数pをもつことであると予想してみたがどうか
0738１３２人目の素数さん2015/12/31(木) 20:05:35.26ID:yOpIKA8C
>>737
((2n^2+1)a+k)^2 + ((2n^2+1)b+k)^2 = ... = (2n)^2 (a-b)^2 + (2n^2 a+b+k)^2 + (a+2n^2 b+k)^2
m = 2n^2+1 の時、>>735と同様の表し方が可能
0739１３２人目の素数さん2016/01/01(金) 15:25:04.88ID:l8HQHaTT
一般に2n^2+m^2の素因数はmod 8で1または3
0740１３２人目の素数さん2016/01/01(金) 15:28:53.86ID:l8HQHaTT
>>739ミス
一般に2n^2+m^2はmod 8で1または3なる素因数をもつ
0741１３２人目の素数さん2016/01/02(土) 13:26:26.97ID:ivVRndIw
>>740
「(m,n)=1の時、2n^2+m^2　の奇素因数は、8k+1型と8k+3型のみ」
＝「(m,n)=1の時、2n^2+m^2　は、8k+5型と8k+7型の素因数を持たない」
という事だよね
0742１３２人目の素数さん2016/01/02(土) 19:22:52.35ID:DyVpxaXV
((2n^2+m^2)a+k)^2 + ((2n^2+m^2)b+k)^2
=(2n^2 a + m^2 b + k)^2 + (m^2 a+ 2n^2 b+k)^2 + (2mn)^2(a- b)^2
0743１３２人目の素数さん2016/01/02(土) 22:57:05.36ID:nzebj+zc
>>741
そう言いたかった
さらに言えばmn≠0のとき2n^2+m^2は2の冪にはならないので必ず奇素因数をもつ
m,nの共通因数で括れば8k+1型または8k+3型の素因数をもつことがわかる
0744１３２人目の素数さん2016/01/03(日) 11:45:59.37ID:pr/BgAgr
平面上にn個の点からなるAグループと、m個の点からなるBグループがある

Aグループのそれぞれの点について、Bグループにあるm個の点全てと線で結ぶ

線と線の交差点を無くすように線を結ぶことが可能な(n,m)の必要十分条件を求めよ
0745１３２人目の素数さん2016/01/03(日) 12:03:48.45ID:Ndtu0gjX
完全二部グラフが平面グラフとなる条件…
0746予言2016/01/03(日) 17:33:24.79ID:5w915yXZ
予言　「今年もマジメな労働者が「過労死」するだろう・・・」

働きすぎの労働者が、鼻から血をだして・・たおれて死ぬだろう・・今年も・・
ユダヤの人類削減計画（じんるいさくげんけいかく）！！

人類同士を争わせ、過労死させ・・・日本人の数が減らされるだろう・・
すべては・・ユダヤの陰謀！！
すべてフリーメーソン（悪魔崇拝者）の陰謀！！

「フリーメーソン」と「韓国系カルト団体」が手を組んで・・・
日本人全員に「獣の数字」をつけるだろう・・・
マイナンバー＝「獣の数字」
政治家も総理大臣も正体は・・・悪魔だ！！

「世界制覇をもくろむカルト集団」フリーメーソンが、
政治家たちをあやつっている！！
「安倍総理」も「小泉元総理」も「小泉進次郎」も正体は、「フリーメーソン」
カルト団体が、世界を支配し・・・人類は、悪魔に支配されるだろう・・

「やさしげな笑みをうかべ・・友好的に近づいてくる
悪魔（フレンド・エネミー）にきをつけろ！！」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ミカエル
0747１３２人目の素数さん2016/01/06(水) 12:31:37.22ID:BlYtndoR
引用すれば頭良くなった錯覚ってあるね
0748１３２人目の素数さん2016/01/08(金) 21:35:27.33ID:KfibX6Ld
どんな整数nについても、方程式 v^3+w^3+x^3+y^3+z^3=n は整数解を持つことを示せ
0749１３２人目の素数さん2016/01/08(金) 22:15:01.82ID:+LoVeze2
(a+1)^3+(a-1)^3+2(-a)^3=6a.
0750１３２人目の素数さん2016/01/09(土) 13:03:46.56ID:HojI1yPI
>>748
ほんまかいな
0751１３２人目の素数さん2016/01/09(土) 15:37:20.57ID:KWqzf2XN
>>749がほぼ答えっぽい
mod 6で考えるとnは6a,6a±1,6a±8,6a±27のいずれかの式で表せる
0752１３２人目の素数さん2016/01/09(土) 18:30:01.17ID:VeR4YgtA
n=n^3-(n-1)n(n+1).
0753１３２人目の素数さん2016/01/09(土) 20:07:30.82ID:ahhfOA3Z
素晴らしいなあ
0754１３２人目の素数さん2016/01/09(土) 23:41:29.32ID:KWqzf2XN
任意の整数nは18個の整数の5乗の和で表せることを示せ
ちなみに18個が上限かどうかは知らない
0755１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 13:23:12.67ID:/xlK0Zug
下限の間違いだろ
0756１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 14:38:47.27ID:tpDYgS5v
>>754
下限の間違いだろ
0757１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 14:50:19.76ID:w/r+YeUk
いや、下限の間違いじゃねこれ
0758１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 15:18:15.30ID:o98nGKNX
整数nをいくつかの5乗数の和で表すとき必要な個数を表す関数f(n)の上限という意味で書いたんだけど
違う意味に取られたみたいね
0759１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 15:23:50.65ID:tpDYgS5v
やっぱり下限の間違いじゃね？
0760１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 15:24:29.65ID:o98nGKNX
問題として成立する範囲で「18」という数をさらに小さくできるかと考えると
下限と言ったほうが良かったかもしれない
0761１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 15:34:31.30ID:Ez+gNfz3
任意の整数nは18個の整数の5乗の和で表せることを示せ。
ちなみに整数nをいくつかの5乗数の和で表すとき必要な個数を
表す関数f(n)の上限が18個かどうかは知らない。

問題は出したが答え(以前に正しいかどうか)は知らないということ?
0762１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 15:49:32.38ID:tsDGMVN4
題意を満たす整数の個数の最小値よりも大きい数の整数では
題意は満たされるのだから下限と言った方が正しいと思われる
0763１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 16:07:52.02ID:o98nGKNX
>>761
任意の整数が18個の5乗数の和で表せることは証明できたので出題してみた
f(n)の値は任意の整数nについて18以下になるということ

>>762
そのほうが正しいというか自然だったと思う
0764１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 16:12:41.68ID:tpDYgS5v
やっぱり下限だよな。頭おかしいわ
0765１３２人目の素数さん2016/01/10(日) 16:22:40.09ID:o98nGKNX
どっちでもいいけど納得出来ない人は>>758を読んでね
0766１３２人目の素数さん2016/01/11(月) 11:56:45.89ID:PTpdZCyq
そこんとこの加減がわからない。
0767１３２人目の素数さん2016/01/17(日) 04:37:21.88ID:F9usaSuM
地理の問題

赤道上において、その対蹠点と気温が等しい地点は存在するか？
0768１３２人目の素数さん2016/01/17(日) 07:36:39.68ID:NP2A8SJ4
厳密には、わからない、と言う回答が無難だな。

同一時刻の計測なんてのがまず至難の技だ。
赤道上とか地点とかを決められるのか、って問題もある。

愚問だな。
0769１３２人目の素数さん2016/01/17(日) 11:38:23.39ID:JJ87gKrs
地理の問題としては、
「厳密にはわからない」だろうね。

数学の問題としては、
周期Tを持つ連続関数fにf(x)=f(x+T/2)となるxは
あるか？と言い換えられる。
g(x)=f(x)-f(x+T/2)と置くと、g(T/2)=-g(0)だから
中間値定理より、g(x)=0となるxは存在する。
0770 ◆BrMQ7vJgz6 2016/01/26(火) 03:08:21.90ID:SKHH2AHq
Aさんは3日周期で、Bさんは5日周期で、Cさんは7日周期で学校に来ます

始業式の日、Aさんが学校に来ました
翌日Bさんが学校に来ました
さらに翌日Cさんが学校に来ました

始業式から何日後にはじめてAさん、Bさん、Cさんが揃って学校に来るでしょうか？

答えはトリップ
#～日
の形で
0771１３２人目の素数さん2016/01/26(火) 04:35:49.05ID:UTH+2ssK
>>770
小学生向けだな
0772 ◆BrMQ7vJgz6 2016/01/26(火) 11:41:13.02ID:vB7AoAcz
【解法1】
3k, 5l+1, 7m+2の最小公倍数nを求める問題に帰着する
N=n+9とおくと、Nは
10以上
かつ
3と5の公倍数、すなわち15の倍数
かつ
7で割ると4余る数
これらを満たす最小のNはN=60 (n=51)
よって、51日後

【解法2】
求める日数をxとおくと
x≡0 (mod 3), x≡1 (mod 5), x≡2 (mod 7)
x=3aとおくと
3a≡1 (mod 5)　∴6a≡2 (mod 5)　∴a≡2 (mod 5)
a=5b+2とおくと、x=15b+6であり
15b+6≡2 (mod 7)　∴15b≡3 (mod 7)　∴b≡3 (mod 7)
b=7c+3とおくと、x=105c+51であり
最小のxは、c=0のときx=51
よって、51日後
0773 ◆BrMQ7vJgz6 2016/01/26(火) 12:02:08.18ID:vB7AoAcz
【解法3】
3,5,7は互いに素であるから
(s,t)=(3,5*7),(5,7*3),(7,3*5)それぞれについて
sx+ty=1の整数解が存在する

3*12+35*(-1)=1, 5*(-4)+21*1=1, 7*(-2)+15*1=1
より
-35≡1 (mod 3), 21≡1 (mod 5), 15≡1 (mod 7)

x≡0 (mod 3), x≡1 (mod 5), x≡2 (mod 7)
より
x≡-35*0+21*1+15*2 (mod 3*5*7)、すなわちx≡51 (mod 105)
正で最小のxはx=51
よって、51日後

【解法4】（孫子算経の解法、百五減算）
0*70+1*21+2*15=51(<105)
よって、51日後
これは【解法3】において
-35≡1 (mod 3) の代わりに
70≡1 (mod 3) を用いたもの
0774１３２人目の素数さん2016/01/26(火) 12:10:22.62ID:vB7AoAcz
そんなことより
A,B,Cはダメ大学生か何か？
0775１３２人目の素数さん2016/01/26(火) 14:22:37.31ID:Pf4dZoYr
三日周期って三日に一度しかこないのか？（笑
登校ー休みー休みー登校ー休みー…
これじゃ単位はだせないだろう？（笑

愚問だな
0776１３２人目の素数さん2016/01/26(火) 14:35:43.80ID:E78So9JJ
日曜は、どうすんだろう？
0777１３２人目の素数さん2016/01/26(火) 14:37:12.76ID:/hDBO2fo
学校に行くだけの話だから、日曜だろうが祝日だろうが別に問題なくね
0778１３２人目の素数さん2016/01/28(木) 05:16:02.06ID:r+S1ez0V
Σ[k=1, n]k=n(n+1)/2
Σ[k=1, n]k(k+1)=Σ[k=1, n](k^2+k)=(n(n+1)(2n+1)/6)+(n(n+1)/2)=n(n+1)(2n+4)/6=n(n+1)(n+2)/3
Σ[k=1, n]k(k+1)(k+2)=Σ[k=1, n](k^3+3k^2+2k)=(n(n+1)n(n+1)/4)+(n(n+1)(2n+1)/2)+(n(n+1))=n(n+1)(n^2+5n+6)/4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
より
2Σ[k=1, n]k=n(n+1)
3Σ[k=1, n]k(k+1)=n(n+1)(n+2)
4Σ[k=1, n]k(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)

以上より
(a+2)Σ[k=1, n](Π[j=k, k+a]j)=Π[l=n, n+(a+1)]l　…♯
という関係式が推測できる

これを用いれば任意の羃乗の和の公式を帰納的に求められ
また、高次の多項式に繰り返し使うことで総和の計算を楽にすることができる

問
＃を示せ
0779１３２人目の素数さん2016/01/28(木) 11:16:17.82ID:0NAeCfq4
>>778
(a+2)Π[j=k,k+a]j = {(k+a+1)-(k-1)}Π[j=k,k+a]j
= Π[j=k,k+a+1]j - Π[j=k-1,k+a]j

∴ (a+2)Σ[k=1,n](Π[j=k,k+a]j) = Σ[k=1,n](Π[j=k,k+a+1]j - Π[j=k-1,k+a]j)
= Σ[k=1,n]Π[j=k,k+a+1]j - Σ[k=1,n]Π[j=k-1,k+a]j
= Σ[k=1,n]Π[j=k,k+a+1]j - Σ[k=0,n-1]Π[j=k,k+a+1]j
= Π[j=n,n+a+1]j - Π[j=0,a+1]j
= Π[j=n,n+a+1]j
0780１３２人目の素数さん2016/01/28(木) 12:26:56.09ID:+Dvk1k+O
おお
0781１３２人目の素数さん2016/01/28(木) 12:39:07.87ID:JoXwoiTx
>>16
(N-1)C2

1,1,1,...,1というN個の、1の列を2つのしきりで分ければX,Y,Zが定まるため
0782１３２人目の素数さん2016/01/28(木) 13:46:22.97ID:zCW6syeb
>>778
1からn+a+1までの整数からa+2個選ぶ組合せは(n+a+1)!/{(a+2)!(n-1)!}通り
このうち選ばれる数の最大値がk+a+1となるのは(k+a)!/{(a+1)!(k-1)!}通り
よって(n+a+1)!/{(a+2)!(n-1)!}=Σ[k=1,n](k+a)!/{(a+1)!(k-1)!}
すなわち(n+a+1)!/(n-1)!=(a+2)Σ[k=1,n](k+a)!/(k-1)!
0783１３２人目の素数さん2016/01/28(木) 13:57:23.94ID:4ttglcTk
両辺の階差をとって
帰納法
0784１３２人目の素数さん2016/01/28(木) 19:05:40.72ID:Mmdmh8K/
帰納法なんて泥臭いね
0785１３２人目の素数さん2016/01/30(土) 03:36:14.81ID:B02VPa1I
進研ゼミに載ってた問題。
x,y,z≧0とするとき、すべての自然数nに対して次の不等式が成り立つことを証明せよ。
①(x^n+y^n)/2≧{(x+y)/2}^n
某国立Ｓ大より
0786１３２人目の素数さん2016/01/30(土) 04:07:45.98ID:KN+qiPYM
>>778
Σ[j=0,n](1+x)^j　を展開した時のm次の係数はΣ[k=m,n]C[km]　(Cは二項係数)
Σ[j=0,n](1+x)^j={(1+x)^(n+1)-1}/{(1+x)-1}={(1+x)^(n+1)-1}/x
を展開した時のm次の係数はC[n+1,m+1]
Σ[k=m,n]C[km]=C[n+1,m+1]
0787１３２人目の素数さん2016/02/01(月) 02:37:13.32ID:AgFwJLhN
50629を素因数分解せよ（気付けば簡単）
0788１３２人目の素数さん2016/02/01(月) 03:51:48.40ID:EydN4Yw2
50629 = 50000 + 625 + 4
= 2^4 * 5^5 + 5^4 + 2^2
= 5^4(2^4 * 5 +1) + 2^2
= 5^4 * 81 + 2^2
= (3^2 * 5^2)^2 + 2^2
= (3^2 * 5^2 + 2)^2 - 2^2 * 3^2 * 5^2
= 227^2 - 30^2
= 197 * 257

というのが出題意図？
0789１３２人目の素数さん2016/02/01(月) 09:40:12.79ID:AgFwJLhN
>>788
正解！
50629に近い平方数を考えてみると50625=225^2=15^4より50629=15^4+4
x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)でx=15の場合になる
0790１３２人目の素数さん2016/02/03(水) 17:42:21.09ID:35vAMKni
81^100000の下6桁を求めよ
0791１３２人目の素数さん2016/02/03(水) 18:18:39.35ID:5qehKVMd
3と1000000は互いに素だから
オイラーの定理より
3^φ(1000000)≡3^400000≡81^100000≡1 (mod 1000000)

φはオイラーの関数
φ(1000000)=φ(2^6*5^6)=φ(2^6)φ(5^6)=(2^6-2^5)(5^6-5^5)=2^5*6^5*4=400000
0792１３２人目の素数さん2016/02/03(水) 19:09:37.96ID:670x/vqr
>>791
せいかい
さすがに瞬殺か
0793１３２人目の素数さん2016/02/05(金) 10:22:48.50ID:GvA6rjqo
nを自然数とする。
n次元ユークリッド空間上にm個の異なるベクトルを、
・どの異なる２つのベクトルを取っても標準内積が(①0以下/②0未満)である
という条件を満たすように定めることができる最大のmを求めよ
0794１３２人目の素数さん2016/02/05(金) 13:06:07.27ID:FHuziIgA
>>793
①2n
②n+1
だと思うけど、証明はできてない。

①は各直交座標軸と平行な２つずつの単位ベクトル
②はたとえば原点を中心とする単位球に内接する正n+1胞体の各頂点の位置ベクトル

②の方はベクトルの選び方に自由度は高いけど、互いのなす角が鈍角に
なるように原点を始点とするn個の単位ベクトルを選ぶと、それらのいずれとも
鈍角となる領域でどう２つの単位ベクトルを選んでもそのなす角は鋭角になるような。
0795１３２人目の素数さん2016/02/05(金) 14:30:06.08ID:SYQj5jIj
①2n+1（0ベクトル含む）
②n+1
①も②も考え方は同じ。
条件を満たすベクトルの集合Sがあるとして、その中から1つのベクトルaをとる。
他のベクトルそれぞれについてaとの直交成分をとったベクトルの集合Tを作る。
Tは、aと直交するn-1次元空間におけるベクトルの集合である。
Tはn-1次元の場合の条件を満たすことが計算によって示せる。
（Sのa以外のベクトルのaと平行な成分は全て同符号（または0）であることを用いる。）
Tを作るときにaとの直交成分が等しくなるようなベクトルの組がある可能性があるが、
それは0ベクトルおよびaと逆向きのベクトルがある場合に限られる。
この場合に限ってSの元の個数はTの元の個数より2個多く、そうでない場合は1個多い。
あとは1次元の場合を考え、数学的帰納法。
0796１３２人目の素数さん2016/02/06(土) 22:35:38.93ID:vz5B8AoE
>>795
正解。ちょっとした違いでここまで違ってくるのが不思議だなあと思い出題しました
0797１３２人目の素数さん2016/02/10(水) 21:54:50.93ID:bCSmWEgO
13333を素因数分解せよ（10秒以内）
0798１３２人目の素数さん2016/02/10(水) 22:00:44.12ID:221i87Xc
・ぐぐる
・それっぽいページを13333で検索

10秒以内なら回線速度と手際の良さが決め手かな
0799１３２人目の素数さん2016/02/10(水) 22:52:58.04ID:+x2EAWD5
>>797
x=13333
3x=39999
3x=40000-1=200^2-1^2
3x=199*201
x=199*67
0800１３２人目の素数さん2016/02/10(水) 23:15:21.24ID:SlMsaVX8
正解。10秒は正直きつかったと思う。反省してる。
0801１３２人目の素数さん2016/02/10(水) 23:17:58.50ID:M+2gbn5K
で、どこが面白いの？
0802１３２人目の素数さん2016/02/10(水) 23:40:24.55ID:SlMsaVX8
じゃあ面白い問題おしえて
0803１３２人目の素数さん2016/02/10(水) 23:45:47.74ID:nDc6EqG9
手頃な手持ちがないや
で、どこが面白いの？
0804１３２人目の素数さん2016/02/10(水) 23:53:50.56ID:SlMsaVX8
察してくれ
0805１３２人目の素数さん2016/02/10(水) 23:55:44.92ID:6lMHRCSp
(x^2-y^2)^2-8(x^2+y^2-2)を因数分解せよ
0806１３２人目の素数さん2016/02/10(水) 23:56:01.33ID:nDc6EqG9
なんとなくわかりました
0807１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 01:12:12.79ID:bH5NLdGW
>>805
前にも出てたな。
0808１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 04:43:32.05ID:lG4eYjeX
(1)広義積分∫_0^∞ 1/(1+e^x) dxを求めよ.
(2)広義積分∫_0^∞ 1/(1+x^e) dxを求めよ.
0809１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 08:10:14.92ID:idTVTEhT
＞＞805
Maximaによると
(y-x-2)*(y-x+2)*(y+x-2)*(y+x+2)
0810１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 11:22:14.04ID:jFqGopu8
三角形のある頂点からn回辺を渡って元の頂点に戻る方法は何通りあるか

ただし同じ辺を何度でも渡ってよいものとする
0811１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 11:32:44.64ID:jFqGopu8
三角形のある頂点からn回辺を渡って右隣の頂点に行く方法は何通りあるか

ただし同じ辺を何度でも渡ってよいものとする
0812１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 12:12:03.00ID:ytlW8RBD
場合分けして漸化式的な？
0813１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 12:36:26.49ID:4Xq5zTR2
>>798>>809
こんぷぅーたーが必ず正しい答えを出す保証はないのでその解法は不可
0814１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 12:49:05.51ID:+pDw+fcr
>>811
行列
０ １ １
１ ０ １
１ １ ０
をｎ乗して、
非対角成分を見る。
0815１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 12:58:14.10ID:jS9+i2Cq
スタートを頂点Aとする。
n回目にAにいるパタンをa(n)通りとする。
a(0)=1である。
n回目にA以外にいるのは2^n - a(n)通りで、これがa(n + 1) と一致するから
a(n + 1) = 2^n - a(n)
この漸化式をとくと
a(n) = (2^n + 2(-1)^n)/3
0816１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 13:33:29.61ID:lKFnBQ6m
>>814,815
正解
想定してた解答は>>814だったけど
>>815のほうがスマートか
0817１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 14:30:45.66ID:vfZEdEaA
>>805
(x^2-y^2)^2-8(x^2+y^2-2)
=(x^2-y^2-4)^2-16y^2
=(x^2-y^2-4+4y)(x^2-y^2-4-4y)
=(x+y-2)(x-y+2)(x+y+2)(x-y-2)
0818１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 19:11:18.44ID:2qxM1Agz
>>814
サルにも分かるように解説キボンヌ！
0819１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 20:02:44.38ID:+pDw+fcr
サルには解らない。
出題者>>816には解ったようだから、
今回は、もうおしまい。
0820１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 20:13:17.57ID:lKFnBQ6m
>>818
隣接行列でググれ
0821１３２人目の素数さん2016/02/11(木) 21:20:06.87ID:+pDw+fcr
点に番号をつける。
点ｉから点ｊへ１ステップで行けるとき１、
行けないとき０を第ｊ行ｉ列に置いた行列をＡ
とすると、Ａのｎ乗の第ｊ行ｉ列成分は
点ｉから点ｊへｎステップで行く経路数を表す。
なんでそうなるかは、行列積の成分計算を帰納法で。
0822１３２人目の素数さん2016/02/26(金) 15:59:46.93ID:jw4SQ24a
帯状の紙をn回ひねり、端と端をくっつけてn回ひねりのメビウスの帯を作る
このメビウスの帯の中央をはさみで切断して得られる結び目はなにか？
0823１３２人目の素数さん2016/02/26(金) 16:18:18.25ID:mbObA5VW
メビウスじゃないし
0824１３２人目の素数さん2016/02/26(金) 17:00:35.10ID:jw4SQ24a
>>823
じゃあなんか変な帯ってことで
0825１３２人目の素数さん2016/02/26(金) 17:12:31.97ID:HIAxjyuu
切断したらどうなるかよりもむしろ、n回ひねるという動作を数学的にどう表現すればいいのか気になる
0826１３２人目の素数さん2016/02/26(金) 17:29:48.42ID:ibixH6Fp
180°=1回
0827１３２人目の素数さん2016/02/26(金) 17:34:01.76ID:HIAxjyuu
いや、そこを問題にしているのではないんだけど…
0828１３２人目の素数さん2016/02/26(金) 17:48:58.34ID:HIAxjyuu
ググってみたところ、「ファイバー束」で表現できるみたいね
0829１３２人目の素数さん2016/02/26(金) 17:52:46.53ID:eHEahPMp
組みひもσ^nのザイフェルト曲面として考えればいいんでないか？
0830１３２人目の素数さん2016/02/27(土) 13:55:06.82ID:VC9SoSyh
そもそもメビウスは半ひねりだし
0831１３２人目の素数さん2016/02/27(土) 14:18:04.46ID:5BhRbhc5
n個の白いボールとm個の黒いボールをランダムに並べる
並べた時黒いボールが続く最大の個数をLとする
例えば
○●●○●であればL=2
Lの期待値をE(n,m)とする
lim[m→∞]E(n,m)/mを求めよ
0832１３２人目の素数さん2016/02/27(土) 14:22:47.26ID:iL/7MhpH
ランダムに並べて

●
　　　○
　　　　●　　　○

　　　　　　　　　　○

の場合のLっていくつ？
0833１３２人目の素数さん2016/02/27(土) 15:28:12.44ID:HUQkI8eO
一直線というくくりの中でランダムに並べます
0834１３２人目の素数さん2016/02/28(日) 02:13:40.90ID:BWhGgXn+
表面積が2016、全ての辺の長さの和が228の直方体がとりうる体積の範囲を求めよ

日を選んだので最大値、最小値は整数になる
0835１３２人目の素数さん2016/02/28(日) 02:33:05.19ID:OARIlKQB
3次方程式の3実解存在条件。
良い数値を見つけたね。
0836１３２人目の素数さん2016/02/28(日) 10:09:44.49ID:cNStj4eG
「正の」３実解。
08378342016/02/29(月) 00:42:20.88ID:H7VcljiB
解答例

与えられた直方体の3辺の長さをそれぞれa,b,cとおく
表面積から
2ab+2bc+2ca=2016⇔ab+bc+ca=1008
全ての辺の長さの和から
4a+4b+4c=228⇔a+b+c=57
また、体積をVとおくと
V=abc(>0)

さて
(x-a)(x-b)(x-c)=0
i.e. x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
i.e. x^3-57x^2+1008x-V=0
は、a,b,cを解にもつ
ここで
(a,b,cが全て正の実数)
⇔(x^3-57x^2+1008x-V=0が正の3実解（重解含む）をもつ)
⇔(y=x^3-57x^2+1008xとy=Vがx>0で2点以上で交わる)

よって、下図より、5184≦V≦5684
（図略）


元ネタはどっかの大学入試の過去問
解の個数の問題に帰着すると簡単に解けるところが好き
0838１３２人目の素数さん2016/02/29(月) 00:52:05.44ID:ZKgLLjis
>>836
乙w

解いてみればわかる通り、3実解を持つとき、それは皆正の数になる。
だから、そのことを告げておけば十分。
0839１３２人目の素数さん2016/02/29(月) 14:54:14.92ID:OIBhrA2Z
既出だったらすまんな

一辺1の正七角形において、対角線14本のそれぞれの長さの逆数和は？
0840１３２人目の素数さん2016/02/29(月) 19:15:25.22ID:2/KiCOUd
次の方程式が表す図形を座標平面に図示せよ。（ただしひとつの平面に書き込むこと）

ｘ^2＋ｙ^2＝1

ｘ^2＋ｙ^2＝4

ｙ＝±ｘ　(－4≦ｘ≦－3,3≦ｘ≦4）

ｙ＝0　（－4≦ｘ≦－3,3≦ｘ≦4）

ｘ＝0
0841１３２人目の素数さん2016/02/29(月) 19:42:15.14ID:qYUrVjOJ

0842１３２人目の素数さん2016/03/02(水) 22:26:19.91ID:9dioLi+3
>>839
2種類の対角線の長さをa,bとするとトレミーの定理より1/a+1/b=1であることを利用
0843１３２人目の素数さん2016/03/02(水) 22:27:00.87ID:9dioLi+3
任意の2以上の整数nに対して
納k=1～n-1]1/(1+cos(kπ/n))=(n^2-1)/3
が成り立つことを示せ
0844１３２人目の素数さん2016/03/03(木) 01:22:01.15ID:ZDD6mqO+
問
1～6までの目が描かれているサイコロを用意する。
1の裏には6、2の裏には5、3の裏には4の目が描いてある。
今、このサイコロが1の目を上にして平面に置いてある。
このサイコロを平面に接する4つ辺のうちの任意の1辺を軸に1回だけ転がすという操作を考える。
n-1回目までの操作で一度も1の目が上に来ずに、n回目の操作で1の目が再び上になる確率を求めよ。
0845１３２人目の素数さん2016/03/03(木) 04:36:49.00ID:hv6zybMR
自然数n,mについて、
Σ(k=0,n-1) (cos(2πk/n))^2m =(n/4^m) Σ(j≡m mod n ,0 ≦j≦2m) 2m_C_j を証明せよ

ただしΣ(j≡m mod n ,0 ≦j≦2m) は 0から2mまでの整数jでj≡m mod nとなるjについてだけ足すという意味である
0846１３２人目の素数さん2016/03/03(木) 07:21:35.73ID:FEpT+A7E
>>844
p[n]=q[n-1] p[0]=1
q[n]=(p[n-1]+2q[n-1]+r[n])/4 q[0]=0
r[n]=q[n-1] r[0]=0
0847１３２人目の素数さん2016/03/03(木) 07:22:51.99ID:FEpT+A7E
訂正
q[n]=(p[n-1]+2q[n-1]+r[n-1])/4
0848１３２人目の素数さん2016/03/03(木) 07:58:58.17ID:FEpT+A7E
q[n]=(1-(-1/2)^n)/6
p[n]=(1+2(-1/2)^n)/6、p[0]=1/2≠1となる？
0849１３２人目の素数さん2016/03/03(木) 09:00:01.28ID:z5PJISrU
（１＋２（－１／２）＾ｎ＋３・０＾ｎ）／６。
（１－（－１／２）＾ｎ）／６。
（１＋２（－１／２）＾ｎ－３・０＾ｎ）／６。

（１＋２（－１／２）＾０＋３・０＾０）／６＝１。
（１－（－１／２）＾０）／６＝０。
（１＋２（－１／２）＾０－３・０＾０）／６＝０。
0850１３２人目の素数さん2016/03/03(木) 12:00:46.24ID:FEpT+A7E
848の？＝何故、p(n)は、n=0とn>0で式が一意に定まらないのか？
0851１３２人目の素数さん2016/03/03(木) 13:14:50.15ID:QOHuAnUI
x^{n-m}(x+1)^{2m}
0852１３２人目の素数さん2016/03/03(木) 15:29:18.88ID:U+3HcEb3
>>850
簡単な例で言うと、
p(0)=1, p(n+1)=xp(n)+y(1-p(n))
というような漸化式を解くと
p(n)=(y+(1-x)(x-y)^n)/(1-x+y)
となるが、x=yとすると
p(n)=x+(1-x)0^n（ただし、0^0=1と定める）
となり、これは
p(0)=1、p(n)=x（n≧1）と同じ。

初期状態だけ特別なのは別に当たり前のことだが、0^nの項が隠れていると
みなすこともできる。
0853１３２人目の素数さん2016/03/04(金) 10:02:53.07ID:zvXcKLwr
>>844
{(1+√5)^(n-1)-(1-√5)^(n-1)}/{2^(2n-1)*√5}
0854１３２人目の素数さん2016/03/04(金) 16:06:52.79ID:ldcQblfg
>>849
p[n]=r[n]=q[n-1]=(1-(-1/2)^(n-1))/6=(1+2(-1/2)^n)≠(1+2(-1/2)^n+3・0^n)
0855１３２人目の素数さん2016/03/04(金) 21:34:26.71ID:8P72IH2y
>>846
1=p[0]=q[-1]=r[0]=0
0856１３２人目の素数さん2016/03/04(金) 21:50:49.06ID:ldcQblfg
>>855
p[n]=r[n]=(1+2(-1/2)^n)/6だから
p[0]=r[0]=1/2≠1
0857１３２人目の素数さん2016/03/05(土) 00:00:48.08ID:X/XR2Uo6
続けたまえ
0858１３２人目の素数さん2016/03/06(日) 13:44:12.23ID:TcNreTvY
>>845
誤字か勘違いかわからんが、それだとm=1,n=2のとき
左辺は2で右辺は1だな。多分cos(2πk/n)じゃなくてcos(πk/n)だろう。
考え方は変わらないのでそのままでやると
cos^(2m)(x)
=[{exp(ix)+exp(-ix)}/2]^(2m)
=(1/4^m)Σ[j=0,2m] 2m_C_j*exp{i(2m-2j)x}
x=2πk/nとして
Σ(k=0,n-1)exp{i(2m-2j)x}
=n (2m≡2j mod n　の時),0 (それ以外)
より
Σ(k=0,n-1) (cos(2πk/n))^2m =(n/4^m) Σ(2j≡2m mod n ,0 ≦j≦2m) 2m_C_j
0859１３２人目の素数さん2016/03/07(月) 08:05:23.43ID:o0HG75jE
「n-1回目まで1が上に来ない」の部分は？
0860１３２人目の素数さん2016/03/07(月) 10:31:44.21ID:zWU1/WlS
>>859
p[n]=q[n-1]
q[n]=(2q[n-1]+r[n-1])/4 q[1]=1/4
r[n]=q[n-1]

q[n]=(2q[n-1]+q[n-2])/4
q[n]=√5/10*(((1+√5)/4)^n-((1-√5)/4)^n)
p[n]=((5-√5)((1+√5)/4)^n+(5+√5)((1-√5)/4)^n)/10
0861１３２人目の素数さん2016/03/08(火) 02:52:03.66ID:Es7BHtVA
4^n+5の約数の十の位の数字は偶数であることを証明せよ
0862１３２人目の素数さん2016/03/08(火) 03:11:40.20ID:gzhONgd3
4^n+5=ab, a≡10+j (mod 20) (a, bは正の奇数，jは1桁の奇数)
なる分解があると仮定すると
4^n+5≡(10+j)b≡10+bj
∴4^n≡b(a+j) (mod 20)
a+j≡0 (mod 2)なので2^(2n-1)≡b (mod 10)
左辺は偶数，右辺は奇数だから矛盾
0863１３２人目の素数さん2016/03/08(火) 03:25:25.26ID:HyCV8LJj
>>861
4^nの一の位の数は、1,4,6
a,b,cは整数、a>=0, b=2,4,6,8, c=1,6,9として
n=kのとき、4^k+5の十の位が偶数だと仮定すると
4^k+5=100a+10b+c
4^(k+1)+5=100(4a)+10(4b-2)+4c+5
となり、n=k+1のときにも十の位が偶数となる
0864１３２人目の素数さん2016/03/08(火) 03:27:47.73ID:HyCV8LJj
>>863
×b=2,4,6,8
○b=0,2,4,6,8
0865１３２人目の素数さん2016/03/08(火) 16:14:22.91ID:Es7BHtVA
4^n≡b(a+j) (mod 20)
2^(2n-1)≡b (mod 10)
この2つの式の導出がよく分からない

>>863
2^n+5だけじゃなくて2^n+5の任意の約数について証明する問題だよ
0866１３２人目の素数さん2016/03/09(水) 13:38:46.18ID:aadErqVs
>>861
N^2+5が素因数pをもつ⇔N^2≡-5 (mod p)。
平方剰余の相互法則より、素数p(≠2,5)について、
ある整数aがあって a^2≡-5 (mod p)
⇔(p≡1 (mod 4) かつ p≡±1 (mod 5)) または (p≡-1 (mod 4) かつ p≡±2 (mod 5))
⇔p≡1,3,7,9 (mod 20)。
また、集合{n|n≡1,3,7,9 (mod 20)}は積について閉じている。
したがって、N^2+5の約数で10と互いに素であるものは、十の位の数字が偶数である。
4^n+5=(2^n)^2+5は10と互いに素であるから、約数もそうで、その十の位の数字は偶数である。
0867１３２人目の素数さん2016/03/09(水) 20:39:58.47ID:bhQKruR9
自然数nをいくつかの自然数の和に分割する方法は何通りあるか？
ただし、足す順番は以下の例のように区別するものとする

例n=4のとき
(1)1+1+1+1
(2)1+1+2
(3)1+2+1
(4)2+1+1
(5)2+2
(6)1+3
(7)3+1
の7通り
0868１３２人目の素数さん2016/03/09(水) 20:59:06.92ID:e/m5HQOY
2^(n-1)-1
0869１３２人目の素数さん2016/03/09(水) 23:54:40.55ID:aadErqVs
10 = 1 + 9 = 1^2 + 3^2,
100 = 36 + 64 = 6^2 + 8^2,
1000 = 324 + 676 = 18^2 + 26^2, ...

1以上の整数nに対して、10^n = a^2 + b^2, a < b となる
10で割り切れない自然数a,bが存在してただ一組であることを示せ。

存在は易しいけど、唯一性はすこし難しい
0870１３２人目の素数さん2016/03/10(木) 01:04:13.09ID:Sy7j4YuX
>>865
×4^n≡b(a+j) (mod 20)
○2^(2n+1)≡b(a+j) (mod 20)
4^n+5=ab
4^n+5≡10+bj (mod 20)
の両辺を足す

だけどそのあとが不備あったorz
0871１３２人目の素数さん2016/03/10(木) 14:13:53.41ID:Q2oLkhxZ
>>867

【足す順番を区別する場合】
長さnの羊羮を用意する
端から1,2,3,…,n-1のところに切れ目を入れていく
このとき、それぞれの箇所で切る・切らないの2通りだから、
ノータッチの状態を引いて
2^(n-1)-1通り

【足す順番を区別しない場合】
分割数
ムズい
0872１３２人目の素数さん2016/03/23(水) 01:39:20.07ID:9k15/f8F
有理数とcos1°との有限の四則演算でsin1°を作れることを証明せよ
0873１３２人目の素数さん2016/03/23(水) 03:32:07.35ID:EtMo69Rl
>>872
任意の自然数nに対して
cos(nθ)=f(cosθ)，sin(nθ)=g(cosθ)sinθ
　（ただし、f(x)，g(x)は整数係数の多項式）と表せることが
加法定理を用いて数学的帰納法で示せるので、
sin1°=cos89°=f(cos1°)
　（ただし、f(x)整数係数の多項式）と表せる。

各nに対応するf(x)は、チェビシェフの多項式ってやつ。
0874１３２人目の素数さん2016/03/23(水) 03:47:12.69ID:dvcAvohL
なるほろ
0875１３２人目の素数さん2016/03/26(土) 18:21:28.24ID:40uJfR2p
nを正の整数とするとき3^n-1が2^kの倍数となる最大の整数kを求めよ
0876１３２人目の素数さん2016/03/26(土) 20:41:25.49ID:E+ea4Ryb
>>875
n=a*2^b（aは奇数、bは0以上の整数）とおくと、
b=0（すなわちnが奇数）のとき　k=1
b≧1のとき　k=b+2

mを自然数とすると
3^(2m-1)-1≡2 (mod 8)
3^(2m-1)+1≡4 (mod 8)
3^(2m)+1≡2 (mod 8)
であることと、b≧1では
3^n-1=(3^a-1)(3^a+1)(3^(2a)+1)(3^(4a)+1)…(3^(2^(b-1))+1)
となることを利用。
0877１３２人目の素数さん2016/03/26(土) 20:44:41.74ID:E+ea4Ryb
修正
誤：3^n-1=(3^a-1)(3^a+1)(3^(2a)+1)(3^(4a)+1)…(3^(2^(b-1))+1)
正：3^n-1=(3^a-1)(3^a+1)(3^(2a)+1)(3^(4a)+1)…(3^(2^(b-1)*a)+1)
0878１３２人目の素数さん2016/03/31(木) 19:11:44.45ID:IpIPgDLZ
Σ[k=0 to n] C[n-k,k] x^k を計算せよ。ここで C[n-k,k] は二項係数とする。
0879１３２人目の素数さん2016/04/01(金) 00:45:36.69ID:4H12Do0+
F[n](x)=Σ[k=0,n]C[n-k,k]x^k
F[0](x)=1, F[1](x)=1+x, F[n+1](x)=F[n](x)+xF[n-1](x)
までは分かった
0880１３２人目の素数さん2016/04/01(金) 01:22:46.51ID:ces74IP7
>>879
F[1](x)=1じゃないの？
0881１３２人目の素数さん2016/04/01(金) 01:31:04.64ID:4H12Do0+
>>880
あ、ずれてた
F[1](x)=1, F[2](x)=1+x
と書きたかった
0882１３２人目の素数さん2016/04/02(土) 01:13:13.35ID:lgnK4vN7
>>878
a = √(1+4x) とおくと、 Σ[k=0 to n] C[n-k,k] x^k = { ( (1+a)/2 )^(n+1) - ( (1-a)/2 )^(n+1) }/a
0883１３２人目の素数さん2016/04/03(日) 08:05:02.43ID:5DW/lB1t
どうやるんだよ
0884１３２人目の素数さん2016/04/03(日) 09:25:09.74ID:nP/GCnBv
漸化式作ってフィボナッチ数を同じようにやればいい
0885１３２人目の素数さん2016/04/03(日) 10:15:52.29ID:5DW/lB1t
ぐぬぬ…
0886１３２人目の素数さん2016/04/03(日) 14:34:14.38ID:cR/zEdvd
まあ、 >>882の左辺と右辺どっちが簡単かは微妙だがな
>>878の問いも「計算せよ」ではなく「Σを用いずに表せ」ぐらいのほうがいいのかな
0887１３２人目の素数さん2016/04/03(日) 22:23:49.30ID:5DW/lB1t
>>882の右辺が導けませぬ・・・
0888１３２人目の素数さん2016/04/03(日) 23:15:34.55ID:jd7HDkKh
形式冪級数Σ[n=0,∞]F[n](x)t^nを考えるとうまくいく
0889１３２人目の素数さん2016/04/04(月) 01:39:24.59ID:yYQc9xiS
>>887
単に>>879 >>881の３項間漸化式をxを定数だと思って解けばいいだけ。受験数学の範疇。
特性方程式を２次方程式の解の公式を使って解いた結果、√(1+4x)が出てくる。
0890１３２人目の素数さん2016/04/22(金) 20:59:10.19ID:qfYR5MNf
Σ[k=0 to n] (-1)^k * Binomial[n,k] * (n-k)^n = ？

wolfram先生に計算させたら、おかしな答えが出てくるが気にしない。ｳﾋｮｯ！
http://www.wolframalpha.com/input/?i=\sum_{k%3D0}^{n}+%28-1%29^k+*+Binomial[n,k]+*+%28n-k%29^n+%3D
0891１３２人目の素数さん2016/04/22(金) 23:22:03.83ID:qfYR5MNf
m!+1=n^2をみたす自然数の組(m,n)を全て求めよ。
0892１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 00:30:17.64ID:G3ej4Ep7
>>891
ウルフラムアルファ先生に聞いたら(m,n)=(4,5)だって。
証明は知らん。
0893１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 00:56:49.13ID:accZlt44
>>890
Σ[k=0,n] (-1)^k \binom{n,k} (n-k)^n
=Σ[k=0,n] (-1)^{n-k} \binom{n,k} k^n
はf(x)=x^nのニュートン級数のn次の係数と解釈できるので，n!に一致するのは当然ですぜ(´・ω・`)
0894１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 08:53:35.07ID:z7Yoslf4
＞＞891
「すべて」ということは、有限個しかないということですね。
有限個であるといる証明はできているのですか
0895１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 09:54:51.61ID:IuUNR02C
>>894
> ＞＞891
> 「すべて」ということは、有限個しかないということですね。

「全て」にそんな意味はない。
0896１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 13:32:37.66ID:z7Yoslf4
＞895
「全てに」そんな意味はない

としても、この問題は答えが有限であることは証明されているのですか。
無限個あるならば、「全てを求めよ」というのは、無限の時間を要することに
なりませんか。
0897１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 13:41:35.81ID:IuUNR02C
例えばね、
3m-2n=1　を満たす自然数　ｍ、ｎ　をすべて求めよ、という問に答えてごらん。　
0898１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 14:55:16.34ID:iIo4nVsk
>>896
仮に無限にあって、パラメータ表示で書けないものを出題すると思うか？
0899１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 14:56:24.71ID:l3lNAJMM
ポエムかもしれないじゃん
0900１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 17:54:50.27ID:THUZ6rRp
1から2^nまでの数字が書かれたカードが左から昇順で並べられ、すべて伏せた状態で置いてある。
それをまず小さい方（左）から順に、１つ置きに開けていく。例えば、n=3のとき、この作業で開けるカードは2→4→6→8となる。
その次に、大きい方（右）から順に1つ置きに開けていく。n=3の場合、最初の作業で1, 3, 5, 7が残っているので、次の作業では5→1と開けられる。
これを繰り返し、最後に1枚カードが残る。n=3の場合は、3のカードが残る。
では、1から2^nまでの数字が書かれたカードの場合、最後に残るカードの番号は何か。
0901１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 19:44:20.15ID:lKzrVXQh
>>891　>>892
他にも
4!+1=25=5^2
5!+1=121=11^2
7!+1=5041=71^2
がある
0902１３２人目の素数さん2016/04/23(土) 19:59:56.42ID:qW4yMwk2
０００。
００１。
０１０。
０１１。
１００。
１０１。
１１０。
１１１。

０００。
０１０。
１００。
１１０。

０１０。
１１０。

０１０。
0903１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 08:27:14.57ID:pebV9WnK
だから、パラメータ表示が出来る証明をお願いします。
あるいは、具体的にパラメータ表示式を提示してください。
0904１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 11:51:44.00ID:fT+PW3Gm
>>891
答えはよ
0905１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 12:46:33.68ID:fT+PW3Gm
調べたら未解決問題だった
0906１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 16:11:29.18ID:pebV9WnK
＞＞891

７以降２０まではこの式をみたすｎは存在しないようです。
0907１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 16:13:31.84ID:sYEjk7+k
あーわかっちゃったわ
わかっちゃったけど書くのめんどいからやめとく
0908１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 16:14:23.51ID:4/qsU/Wq
>>907
続けたまえ
0909１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 17:30:43.88ID:2wciXs0k
ほら、スペースは100レス近く残ってるぞ
0910１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 20:02:57.36ID:sYEjk7+k
>>909
100スレじゃ余裕で足りないんだわ
すまんな
0911１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 20:57:38.30ID:4/qsU/Wq
>>910


　　いいぜ ヘ(^o^)ヘ
　　　　　　　　|∧
　　　　　　　 /

てめえが100レスで足りないってなら

　　　　　　　　　／
　　　　　 (^o^)／
　　　　　／(　)
　　　　／ ／ ＞

　　　(^o^) 三
　　　(＼＼　三
　　　＜　＼　三
`＼
(／o^)
( ／　　まずは、残り100レス書き込んで
／く　　次スレに続きを書くんだ。
　　　　そげぶ
0912１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 22:50:29.31ID:X30YToTh
ワロス
0913１３２人目の素数さん2016/04/24(日) 23:48:57.99ID:aswNEo2H
すっかり寂れてしまったなあ
0914１３２人目の素数さん2016/04/27(水) 10:25:12.97ID:5R16oTXo
>>891

n=8～33までには、
n!+1=n^2
を満たすnはありません。
ちなみに、
33!=8683317618811886495518194401280000000
0915１３２人目の素数さん2016/04/27(水) 10:52:44.37ID:jHmMfJ2g
左辺、右辺、同じ　n？
0916１３２人目の素数さん2016/04/27(水) 12:19:12.88ID:5R16oTXo
>>915
式から見て同じnですが、n!+1=m^2ならば、別の解があるかもしれませんね。
0917１３２人目の素数さん2016/04/27(水) 13:47:55.71ID:KTkJvLoh
それはまあ、階乗と二乗ではオーダーが異なるから当たり前だね
0918１３２人目の素数さん2016/04/27(水) 15:15:19.73ID:qT92/6xQ
>>901　を書くときに添えておけばよかったが、
n≦1000ではn=4,5,7しか見つかりませんでした。
0919１３２人目の素数さん2016/04/28(木) 00:18:34.87ID:H4++mM6e
>>918
７０００まで計算したけど新たなのは見つからなかった。
0920１３２人目の素数さん2016/04/29(金) 13:03:29.80ID:1EjUODmc
2以上の任意の自然数は、平方因子を持たない2つの自然数の和で表せるか
0921１３２人目の素数さん2016/04/29(金) 19:55:52.93ID:TGg/wwp1
2=1+1
3=1+2
4=1+3=2+2
5=2+3
6=1+5=3+3
7=1+6=2+5
8=1+7=2+6=3+5
9=2+7=3+6
10=3+7=5+5

（つづく）
0922１３２人目の素数さん2016/04/29(金) 20:53:07.33ID:4X4p7Mxa
平方因子を持つ自然数は3個連続で存在するか
0923１３２人目の素数さん2016/04/29(金) 20:56:00.50ID:4X4p7Mxa
上の問題は簡単だった．．．
0924１３２人目の素数さん2016/04/29(金) 21:36:09.75ID:PCVxv37p
48,49,50が最小か

これを「mべき因子を持つ自然数はn個連続で存在するか」に
一般化したらどんなことが言えるか？
当然解答など用意していないが
0925１３２人目の素数さん2016/04/29(金) 21:38:24.92ID:PCVxv37p
mべき因子は変だな
→m乗数を因子に持つ数
もっとふさわしい呼び名があるのかな
0926１３２人目の素数さん2016/04/29(金) 21:40:00.80ID:ADxtEF5J
>>924
中国剰余定理だけ考えても、存在するのは自明だろ
0927１３２人目の素数さん2016/04/29(金) 22:01:48.53ID:4tFeQEwu
平方因子4連続ですら意外と手計算でもきついことだけは分かった…
3174,3175,3176,3177
0928１３２人目の素数さん2016/04/29(金) 22:09:50.59ID:4tFeQEwu
>>926
確かに。
0929１３２人目の素数さん2016/05/01(日) 20:23:54.26ID:fjAEoFtk
2以上の自然数nについて(2^n-1)/nは自然数にはならないことを証明せよ
0930１３２人目の素数さん2016/05/02(月) 00:10:46.51ID:XNE5hDyv
(1+1)^nとして二項定理で片付く
0931１３２人目の素数さん2016/05/02(月) 00:40:39.50ID:FPOFtP0g
片づく？
nが素数ならいいけど。
0932１３２人目の素数さん2016/05/02(月) 00:42:06.04ID:FPOFtP0g
フェルマーの小定理で
n奇数のときが言えるな。
0933１３２人目の素数さん2016/05/02(月) 12:49:39.19ID:WMC5u0rY
>>920
n以下の自然数のうち平方因子を持たない整数が過半数であることを示せればほぼ明らか

評価が多少面倒だけど
(n以下のsquare-freeの個数)
＞n(1-Σ1/p^2)
＞n(14-π^2)/8
＞n/2
0934１３２人目の素数さん2016/05/03(火) 23:48:35.57ID:+kp+oyUm
>>929
nが偶数のときは成立つ。（←分子は奇数）
nが奇数のとき、
　2は原始根、2の位数はφ(n)。
　nがφ(n)の倍数なら、2^n－1はnの倍数。
　しかしnは奇素因数から成り、オイラー関数φ(n)は偶数
　なのでnはφ(n)の倍数でない。
　2^n－1はnの倍数でない。

〔補題〕
aが原始根のとき、aの位数はφ(n)
a^m≡1　(mod n)　⇔　φ(n)｜m
ここでφ(n)はオイラーのφ関数。

なんか変だな…
0935１３２人目の素数さん2016/05/04(水) 00:46:44.00ID:D0BPyBpa
マスターデーモン兄貴オッスオッス！
0936１３２人目の素数さん2016/05/07(土) 21:21:00.45ID:DYhIhXQ0
(a+b)^4 + (a-b)^4 + (a+c)^4 + (a-c)^4 + (a+d)^4 + (a-d)^4 + (b+c)^4 + (b-c)^4 + (b+d)^4 + (b-d)^4 + (c+d)^4 + (c-d)^4 を因数分解せよ。

他に こんな感じの見かけない因数分解ある？
0937１３２人目の素数さん2016/05/07(土) 21:36:44.92ID:VjFiZTMU
x^4+x^2+1を因数分解せよ
0938１３２人目の素数さん2016/05/08(日) 17:41:52.34ID:rNtLA5lb
>>936
(a+b)^4+(a^b)^4=2(AA+6AB+BB), etc.
ここに A=aa, B=bb, C=cc, D=dd.
与式=6(A+B+C+D)^2.

>>937
与式=(xx+1)^2－x^2=(xx+x+1)(xx-x+1)
0939１３２人目の素数さん2016/05/08(日) 19:40:22.28ID:yuoJE0k4
a,b,cは実数とする。以下を示せ。等号条件も求めよ。
(1) a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)≧0
(2) a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)≧0

下は「知識問題」（≒受験テクニック）
0940１３２人目の素数さん2016/05/08(日) 19:46:00.20ID:1glUp2Ic
a=b=c=1
0941１３２人目の素数さん2016/05/08(日) 19:58:37.79ID:yuoJE0k4
ごめんなさい
出題ミス

(1) a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)≧0

俺のケツ掘っていいよ
0942１３２人目の素数さん2016/05/08(日) 20:06:44.46ID:sBc0clZf
くさくさくさくさくさくさ
0943１３２人目の素数さん2016/05/08(日) 20:06:56.48ID:aM1hdXDC
どのへんに面白みがあるのかを問いたい
0944１３２人目の素数さん2016/05/08(日) 20:08:54.47ID:usZgkkG0
ほならね
0945１３２人目の素数さん2016/05/08(日) 22:55:56.95ID:8Zqy3qsE
ＧＷだからかなぁ、香ばしいですね
0946１３２人目の素数さん2016/05/08(日) 23:19:38.77ID:7jJxq1Mz
高校生かな
0947１３２人目の素数さん2016/05/09(月) 02:54:27.05ID:ZqUmALKq
√(π)erf(1)/2= ∫_0^1 e^(-x^2) dxは無理数であることを証明せよ
0948１３２人目の素数さん2016/05/11(水) 00:01:17.43ID:cHXI1ndC
無理っす
0949１３２人目の素数さん2016/05/11(水) 07:44:39.19ID:V8Kk1cJe
√(π)erf(1)/2= ∫_0^1 e^(-x^2) dxは無理数である(証明終)
0950１３２人目の素数さん2016/05/13(金) 05:35:42.76ID:LsRX7drd
pを素数とし、nを0からp-1の整数としたとき
2^n mod pが全て合同にならないpの条件を求めよ
0951１３２人目の素数さん2016/05/13(金) 08:52:29.56ID:LsRX7drd
訂正 nを0からp-2の整数としたとき
0952１３２人目の素数さん2016/05/13(金) 09:00:14.76ID:LsRX7drd
2,3,5,11,13,19,29…
0953１３２人目の素数さん2016/05/16(月) 02:40:57.14ID:mIfL0IS4
a*bマスのフィールドにm個の地雷があるマインスイーパーで最前手順をとった時のクリア率を求めよ。
ただし初手で開けたマスは必ず地雷の無いマスになり、残りのab-1マスにm個の地雷がランダムに配置されるものとする。
0954１３２人目の素数さん2016/05/16(月) 02:42:12.72ID:mIfL0IS4
×最前
○最善
0955１３２人目の素数さん2016/05/18(水) 20:03:33.07ID:0UHiF+Fs
面白い問題おしえて～な１１問目でネズミの問題をだしたものですが、
アレンジしてゲームにしてみました。
遊んでみてください。

http://www.vector.co.jp/soft/dl/winnt/game/se513226.html
0956￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/18(水) 22:57:40.22ID:aEUwscPn
￥
0957￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/18(水) 22:58:00.60ID:aEUwscPn
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0958￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/18(水) 22:58:20.95ID:aEUwscPn
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0959￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/18(水) 22:58:40.15ID:aEUwscPn
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0960￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/18(水) 22:59:05.07ID:aEUwscPn
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0961￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/18(水) 22:59:23.70ID:aEUwscPn
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0962￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/18(水) 22:59:46.67ID:aEUwscPn
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0963￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/18(水) 23:00:09.22ID:aEUwscPn
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0964￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/18(水) 23:00:31.99ID:aEUwscPn
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0965￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/18(水) 23:00:57.69ID:aEUwscPn
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0966１３２人目の素数さん2016/05/19(木) 02:50:29.55ID:5Smi0Rms
>>955
とりあえず169手で捕まえられたけど、無駄な手が多かったからだいぶ縮められそう

あと、似たゲームがあったのを思い出した
http://www.gamedesign.jp/flash/chatnoir/chatnoir.html
09679552016/05/19(木) 07:19:13.24ID:PSTI5TlD
>>966
おお、とけましたか。
作者の私以外の人にはかなり難しいと思ってましたが、
無理ゲーではないようで安心しました。
0968１３２人目の素数さん2016/05/19(木) 21:54:29.21ID:yzSues+w
「コンウェイの天使と悪魔」と同種の問題だね
https://en.wikipedia.org/wiki/Angel_problem
09699552016/05/19(木) 22:15:56.98ID:PSTI5TlD
>>968
多分元ネタこれだわ。
俺は人から聞いてこの問題知ったんだけどコンウェイとは知らなかった。
0970１３２人目の素数さん2016/05/19(木) 22:31:15.82ID:yzSues+w
移動は縦横斜めで1歩分進める→悪魔が勝つ
移動は縦横斜めで2歩分進める→天使が勝つ
らしいけど
移動は縦横だけで2歩分進めるだとどっちが勝つんかな
0971１３２人目の素数さん2016/05/19(木) 23:44:45.25ID:PSTI5TlD
２歩で天使が勝つってなんか不思議だな。
悪魔が勝ちそうな気がするｗ
0972１３２人目の素数さん2016/05/27(金) 23:18:35.43ID:zaY753Gf
曲面2x^2+y^2+z^2+xy+yz+2xz=1で囲まれる領域の体積を求めよ
0973１３２人目の素数さん2016/05/27(金) 23:34:33.68ID:Se9f3cOm
どんな曲面か想像つかんわ。
画像プリーズ。
0974１３２人目の素数さん2016/05/27(金) 23:55:19.50ID:zaY753Gf
>>973
http://imgur.com/xcr1cUe.jpg
こんな感じの楕円体になります
0975１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 00:01:34.75ID:aXDNM7P3
宝石みたいやな。
積分は苦手だな～。
0976１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 00:02:32.71ID:7gUvtG49
>>975
実はこの問題はほとんど積分する必要ないです
0977１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 00:09:52.81ID:aXDNM7P3
まじで
それは面白いかもな
0978１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 00:13:09.90ID:aXDNM7P3
むー
球の体積との比から求まるのかな？
0979￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/28(土) 01:12:05.08ID:du71LUzg
￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
0980１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 01:43:50.16ID:xkZZSx0I
回転軸をx軸にもってきて輪切りにした面積を積分
0981１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 02:58:06.90ID:1junVokc
(8√3)π/9 かな

行列の対角化の理論使った
0982１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 03:40:35.73ID:7gUvtG49
>>981
正解です　
固有値自体を直接求めるのは厳しいですが解と係数の関係を使えば体積はすっきり求まるのがポイントでした
0983￥ ◆2VB8wsVUoo 2016/05/28(土) 04:19:54.98ID:du71LUzg
￥

>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者　増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
0984１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 11:26:48.01ID:1junVokc
>>982
まさにその思惑通り、ふつうに固有値求めようとして上手くいかなくて、それから行列式が使えることにに気づいた
一応固有値が３つとも正だってことも確かめたけど、こっちの方が面倒だった
0985１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 12:00:04.67ID:6UE1Wn7V
ｘ＾２＋（３／４）ｙ＾２＋（ｚ＋ｘ＋ｙ／２）＾２＝１。
0986１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 14:31:18.58ID:h9wzs5VM
解と係数の関係もクソもねえな
ヤコビアン求めるだけだな
0987１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 17:22:43.85ID:85q5CxNJ
( ﾟ∀ﾟ) ﾔｺﾋﾞｱｰﾝ
0988１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 17:51:36.61ID:wQzHKXcc
∫[a=-1,1]C*S(a)da
0989１３２人目の素数さん2016/05/28(土) 21:20:43.37ID:wuCb038v
|λI－A| = λ^3 -4λ^2 +(7/2)λ -(3/4)

= (λ-4/3)^3 -(11/6)(λ-4/3) -89/104,

∴λ = {4＋(√22)cosθ'}/3,
　0.325552891249641
　0.802034069909397
　2.872413038840962
0990１３２人目の素数さん2016/05/29(日) 20:02:16.43ID:Bgd/STsi
保守
0991１３２人目の素数さん2016/05/29(日) 20:07:36.69ID:GFgLsfoJ
誰か次スレ立てて～
0992１３２人目の素数さん2016/05/29(日) 20:26:40.73ID:Bgd/STsi
んじゃ立ててみるね
0993１３２人目の素数さん2016/05/29(日) 20:29:00.23ID:Bgd/STsi
はいよ

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
0994１３２人目の素数さん2016/05/29(日) 20:46:35.03ID:GFgLsfoJ
おつ
0995１３２人目の素数さん2016/05/30(月) 16:55:29.38ID:qdPA6Iw2
埋めましょん
0996１３２人目の素数さん2016/05/30(月) 16:57:01.84ID:phyo+yBt
さっさと埋めろや、ダボが！
0997１３２人目の素数さん2016/05/30(月) 18:53:14.81ID:cP5tVtad
997
0998１３２人目の素数さん2016/05/30(月) 18:53:37.34ID:cP5tVtad
998
0999１３２人目の素数さん2016/05/30(月) 18:53:58.96ID:cP5tVtad
999
1000１３２人目の素数さん2016/05/30(月) 18:54:20.07ID:cP5tVtad
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