さて、今回は１さんが前回興味をもった代数学について補足をいたします。
代数学とは群・環・体についての理論です、これらは集合と演算のセットのことを言います。

例えば通常の実数の集合Rには
（R、＋、・）といった体としての見方、
（R、・）や（R、＋）といった環や群としての見方があります。
これらは体の公理だとか環の公理だとか群の公理だとかをみたしたものです。
大雑把に言うと、群とは１種類の演算で逆元あり、
環は２種類の演算で片方だけ逆元あり、
体は２種類の演算で両方とも逆元ありのものです。
特に行列の集合は群となり、非常に重要になります。
有限単純群の分類という人類が唯一完成させた分野などもあります。
これがこの宇宙に存在しうるあらゆる群の原型のリストです。
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups
またリー群やリー環の表現論とよばれる一大分野もあります。
以下の購入を推奨します。

リー群と表現論 小林 俊行、大島 利雄
群と表現 (基礎数学選書 (10)) 横田 一郎
例外型単純リー群 横田 一郎
古典型単純リー群 横田 一郎
群と位相 (基礎数学選書 (5)) 横田 一郎

さらに、以下のリー群のリストを与えます。
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_simple_Lie_groups
http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups

物理学で特に重要視されている分野です。
これからが期待できるものすごい世界ですよ。