N={n|nは自然数}、P={p|pは素数}とする。
N、Pは可算無限集合とする。
∀n∈N を素因数分解し、n=Π[k=1,∞]p_k^m_k と表示する。
ここでp_kはk番目に小さい素数、m_kはnの素因数分解におけるp_kの個数である。
集合{n|n=Π[k=1,∞]p_k^m_k}:=Aの元はm_1,m_2,...の組み合わせと1対1対応するから
|A|=|N×N×・・・|
一方、n∈N ⇒ n∈A と n∈A ⇒ n∈N から、N=A である。
よって、|N|=|N×N×・・・|
すなわち、可算無限個の可算無限集合の直積集合は可算無限集合である。