[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
xを実変数とする。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aを任意に取る。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a−(a−h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)−f(a−h)である。
X＝x＋a、Y＝a−hとおく。すると、X−Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0についてY→a-0のときf(Y)→f(a)であって、
2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
|X−a|＜δ(b)/2のとき|f(X)−f(a)|＜b/2であり、|Y−a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)−f(a)|＜b/2である。
ここで、|X−a|＜δ(b)/2なる点X、|Y−a|＜δ(b)/2なる点Yを両方共に任意に取る。
すると、X−a、a−Y＜δ(b)/2から0＜X−Y＜δ(b)となる。また、|f(X)−f(a)|＜b/2、|f(Y)−f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、
Y＝|f(X)−f(a)|＋|f(Y)−f(a)|とおくと、Y＜bであり、3角不等式からY≧|f(X)−f(Y)|だから、|f(X)−f(Y)|＜b。
よって、|X−Y|＜δ(b)、|f(X)−f(Y)|＜bが両方共に成り立つ。|X−a|＜δ(b)/2なる点X、|Y−a|＜δ(b)/2なる点Yは
両方共に任意だから、Xを条件|X−a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y−a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、
|X−Y|＜δ(b)のとき|f(X)−f(Y)|＜bとなる。εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
ε＞bから、|X−Y|＜δ(ε)のとき|f(X)−f(Y)|＜εとなる。よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への拡大f(X)、X＞0、
実関数f(Y)、a＞Y＞0の(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、|X−Y|＜δ(ε)のとき|f(X)−f(Y)|＜εである。
点ε＞0は任意であるから、εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。