現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©5ch.io
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0001１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 12:45:49.49ID:5o4dQmCsこのスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む9
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4)
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/
（古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。）
0002現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 12:47:06.70ID:5o4dQmCs0003現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 12:47:41.54ID:5o4dQmCs0004現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 12:48:52.13ID:5o4dQmCs0005現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 12:49:28.55ID:5o4dQmCs0006現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 14:15:01.86ID:5o4dQmCshttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/802 より
数学的帰納法と超限帰納法について
新スレを埋めないといけないので、ちょうど良い
0007現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 14:40:25.64ID:5o4dQmCs数学的帰納法について
１．一つ修正、筑波大 坪井明人先生がね、下記を示している
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Tsukuba Logic Group 数学基礎論 数理論理学 ロジック モデル理論:
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
「２６年度数理論理学ＩＩ」（秋学期）のテキスト
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/24kaitou.pdf
「２４年度数理論理学I」（2学期）の試験の解答例で
問４（ｂ）で
「L-閉論理式φ がすべての有限群で成り立つとする．このとき，G |= φ となる無限群G が存在することを示せ．」と
で、証明は示されている。テキストは上記だ
２．なので、数学的帰納法に関連してだが、「すべての有限群で成り立つ命題φがあって、これを満たすG |= φ となる無限群G が存在する」ことは言える
３．だが、これを満たさない無限群Gの存在を否定するものではない
４．証明に使う「コンパクト性定理」（上記テキストP22）は、”モデルの濃度は|L| + アレフ0 以下”であると。だから、アレフ0は可だ
0008現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 14:50:04.15ID:5o4dQmCs超限帰納法について
１．超限帰納法についても、同じだ
２．示せるのは、「すべての有限群で成り立つ命題φがあって、これを満たすG |= φ となる無限群G が存在する」を、無限集合レベルに上げたものだ
３．だが、これを満たさない無限群Gの存在を否定するものではない
４．だから、無限群について 「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」を示すには、共役変換の本質”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”を直接使うのが良い
５．が、共役変換に限れば、有限群→無限群で、「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」が成り立つロジックは殆ど変わっていない
６．ただ、有限群の場合は、より話が簡単だというだけ（card(N)なども使える）
0009１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 15:09:52.19ID:jwP/UdlD１．２．について
「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」の説明は、
"a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1" の式一つで十分。有限群でも無限群でも。
（もちろん言葉足らずではあるが、見る人が見れば「ああ、こいつは分かってるんだな」と納得する）
「共役変換の本質」とかいうのはスレ主が勝手に言ってるだけ。
３．～８．については同意する。
>>7
問４(b)の解答例のどこにも帰納法を使ってる様子は見られないが。
0010現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 15:31:29.37ID:EvGo5wp8超限帰納法について補足
（以下参考）
http://researchmap.jp/ytb/
研究者氏名 矢田部俊介
http://researchmap.jp/mu1x9nhhd-21099/?action=multidatabase_action_main_filedownload&;download_flag=1&upload_id=40760&metadata_id=12105
公理論的集合論 お茶の水女子大学2012年度集中講義「情報科学特別講義III」（2013年2月18日?22日）より
公理的集合論ZFC の特徴を一言で言うと、以下の通りである。
? 超限帰納法、つまり通常の数学で使われる帰納的構成法を無限の長さの整列順序に拡張したもの、によ
り集合を構成していく。このように、簡単なものを1 ステップずつ組み合わせ、全ての集合を構成する
集合観を「反復的集合観」と呼ぶ。つまり、大まかに言うと、空集合から始め、無限ステップの帰納的
構成により集合を構成する。
（引用おわり）
ここでは、「超限帰納法、つまり通常の数学で使われる帰納的構成法を無限の長さの整列順序に拡張したもの」に注目してもらえれば良い
無限集合を扱えると
0011現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 15:45:52.92ID:EvGo5wp8どうも。スレ主です。
レスありがとう
>問４(b)の解答例のどこにも帰納法を使ってる様子は見られないが。
そう、帰納法は使っていないが
帰納法は、有限群に対する 「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」の部分だ。というか、帰納法を使う必要もないが、すべての有限群について成り立つと
だから、問４(b)の命題から、これを満たすG |= φ となる無限群G が存在するってことが言えると。でも、これを満たさない無限群Gの存在を否定するものではない
従って、>>7 の「一つ修正」は、数学的帰納法では、すべての有限群について成り立つ→同じ命題が成り立つ無限群Gの存在はおそらく言えても、これを満たさない無限群Gの存在の否定は言えないと
それは、超限帰納法を使っても同様だ
だから、前スレの数学的帰納法の説明は取り下げるよ
0012１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 17:23:09.57ID:jwP/UdlDうん、その言葉が聞きたかった。
0013１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 17:33:58.57ID:X55sT+uM0014１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 17:40:04.82ID:r4y96HMZ0015現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 17:43:22.14ID:EvGo5wp8良いよ
ここは、問題スレじゃないが、なんでもありだよ
0016１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 17:48:11.24ID:X55sT+uM問題
体 L の体 K 上の自己同型写像全体の集合を AutK(L) と書く。
すなわち
AutK(L)={σ|K,L は体、K⊂L、σ:L→L は環同型写像、k∈K⇒σ(k)=k}
である。このとき
(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。
(2) 体の拡大 R/Q がガロア拡大であるか否かとその証明を書け。
0017１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 17:50:30.81ID:MNDLgwsm0018現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 17:51:37.94ID:EvGo5wp8どうも。スレ主です。
出題者さん、ありがとう
＞（もちろん言葉足らずではあるが、見る人が見れば「ああ、こいつは分かってるんだな」と納得する）
そうそう、共役変換が良く分かったよ。問題を解くというのは大事だね
自分だけでは解く気にはならないけどね
>「共役変換の本質」とかいうのはスレ主が勝手に言ってるだけ。
そうそう。でもね、「勝手に言ってるだけ」というのは大事にしたいね。借り物じゃない自分の納得性
共役変換は、正規部分群だけじゃない。いろんなところに顔を出す。この変換は積を保存して群なら同型だし、集合なら一対一対応になる。これがキモだと思うんだよね
0019現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 17:53:47.40ID:EvGo5wp8どうも。スレ主です。
問題ありがとう
全然余裕じゃないよ
もう何年も問題見てないからねー
0020現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 17:54:55.23ID:EvGo5wp8まあ、一週間くらい考えれば、なんか解けるかな
といいつつ、件数稼ぎ（笑い）
0021１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 17:56:28.88ID:MNDLgwsm0022１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 18:00:45.04ID:X55sT+uM探せばズバリがあるかもしれない。
0023現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 18:09:03.36ID:EvGo5wp8ども
(1) card(AutQ(R))は、日本語で書くと、Qから実数Rへの拡大体の次数ってことかねー。Qがアレフゼロで、Rがアレフ１か・・、どうするんだろうね？（笑い
(2) 体の拡大 R/Q がガロア拡大？ ガロア拡大をぼんやりとしか覚えていないが・・、有限次元拡大の場合は最小定義多項式があって、その根を全部添加する話があったよね。
なので、否かな？？？ 複素数だと代数閉体だが・・。そうそう、複素数を入れないとガロア拡大にならないかな・・
0024現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 18:11:00.10ID:EvGo5wp8数学板指折りの人気スレなのか、知らなかったね
が、もしそうなら、みなさんのお陰だね
0025現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 18:12:36.50ID:EvGo5wp8ああ、ありがとう
そうするよ
と、言っても、定義があやふやだから、そこは見るよ
あとは、できるだけ自力で解く方が面白いよね
0026１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 18:24:09.79ID:jwP/UdlD最後に補足として用意していたものを書かせてくれ。
一応定義から。
G を群とする。G の２つの部分集合 A,B に対し、
AB = { ab ∈ G | a∈A, b∈B }
と書く。
A が一元集合 {a} のとき、{a}B のことを aB とも書く。
同様に、B{a}=Ba とする。
例えば e を単位元とすれば、定義から
G の任意の部分集合 A に対し eA = Ae = A が成り立つ。
命題１
G の任意の部分集合 A,B,C に対し、(AB)C=A(BC) が成り立つ。
証明：
x∈(AB)C とする。x = yc (y∈AB,c∈C) と書ける。
y∈AB から、y = ab (a∈A,b∈B) と書ける。
このとき、x = yc = (ab)c = a(bc)
a∈A, bc∈BC であるから、x∈A(BC) を得る。
したがって、(AB)C ⊂ A(BC)
逆の包含も同様。□
0027１３２人目の素数さん
2015/04/05(日) 18:25:48.37ID:jwP/UdlDG の部分集合 A,B が A⊂B を満たすとすると、G の任意の部分集合 C に対し
AC ⊂ BC, CA ⊂ CB
が成り立つ。
証明：
AC ⊂ BC を示す。
x ∈ AC とする。x = ac (a∈A, c∈C) と書ける。
A ⊂ B より a∈B なので、ac ∈ BC、すなわち、x ∈ BC
よって AC ⊂ BC
CA ⊂ CB についても同様。□
G の部分群 N について、次は同値：
(1) 任意の g ∈ G に対して gNg^(-1) ⊂ N
(2) 任意の g ∈ G に対して gNg^(-1) = N
証明：
(2)⇒(1)は明らか。
(1)⇒(2)を示す。(1)が成り立つとする。
任意に g ∈ G をとる。gNg^(-1) ⊂ N が成り立つ。
また、g^(-1) についても(1)が成り立つから、g^(-1)Ng ⊂ N
両辺に左から g、右から g^(-1) をかけて N ⊂ gNg^(-1) (命題１，２を使った)
よって、両向きの包含が示されたので gNg^(-1) = N □
それでは。
基本的な話題ばかり続いてつまらないと思わせてしまった方がいたら申し訳ありませんでした。
0028現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 18:27:57.84ID:EvGo5wp8ガロア拡大は、「正規拡大であり分離拡大」だったね。そうそう、そうだった。
とすると「体の拡大 R/Q がガロア拡大」に対して、反例がありそうだね。
例えば、f(x)=x^3-1=0を考えると、複素数根が出てくるみたいな話があるよね（足立の本にあったような）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8B%A1%E5%A4%A7
数学では、ガロア拡大(Galois extension)とは、正規拡大であり分離拡大である代数体の拡大 E/F のことを言う[1] [2] [3] [4] [5] [6]。
^ 正規拡大(normal extension)：代数拡大 L/K が正規拡大とは、L が K[X] の多項式の族の分解体であるときと言う。
^ 分離拡大(separable extension)：拡大体 L/K が分離的拡大とは、拡大を定義する最小方程式が重根を持たないような拡大を言う。
0029現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 18:39:14.42ID:EvGo5wp8どうもありがとう
基本的な話題も良いんじゃない
４月で新学年が始まる
群論やガロア理論やる人もいるだろうから
0030現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 18:47:03.00ID:EvGo5wp8>(1) card(AutQ(R))は、日本語で書くと、Qから実数Rへの拡大体の次数ってことかねー。Qがアレフゼロで、Rがアレフ１か・・、どうするんだろうね？（笑い
ここへ戻ると、これこそハメル基底の世界なのかね？
ハメル基底は、非加算無限あるというから、card(AutQ(R))はアレフ１みたいだね・・、証明はさっぱり浮かばないが・・（＾＾
0031現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/05(日) 18:50:28.95ID:EvGo5wp8>>16で、
(2) は否で反例作って終わりと思うが
(1) が難しそうだな。ハメル基使った証明なんか書けないからねー
じっくり考えてみるよ
0032現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/10(金) 23:26:17.42ID:PTxulp5P0033現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/10(金) 23:27:52.80ID:PTxulp5Phttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/517
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
517 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/03/13(金) 22:32:55.89 ID:09ioS4MW
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
どうせ、君たちには無理だろうがね（笑い） ふふ、”何事も基礎を固めるのが重要だよ 急がばまわれ”、”数学なんてやめたら？ continueじゃなくて、restartするべきだよ”か、上手いことを言うね、口先くん。君の数学の実力を見せてくれ
ハメル基でも何でも使えよ・・、使えるものならね（笑い）
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう（笑い） おそら次の週も同じことが書けそうだな・・
0034現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/10(金) 23:29:34.18ID:PTxulp5Pどうも。スレ主です。１週間考えました
0035現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/10(金) 23:59:00.23ID:PTxulp5P問題
(2) 体の拡大 R/Q がガロア拡大であるか否かとその証明を書け。
解答
R/Q はガロア拡大ではない。
（証明）
反例が構成できる。（たしか、足立のガロア本では、2の３乗根から反例が構成できると）
ガロア拡大(Galois extension)とは、正規拡大であり分離拡大である代数体の拡大 E/F のことを言う
正規拡大(normal extension)：代数拡大 L/K が正規拡大とは、L が K[X] の多項式の族の分解体であるときと言う。
分離拡大(separable extension)：拡大体 L/K が分離的拡大とは、拡大を定義する最小方程式が重根を持たないような拡大を言う。
R,Qは、標数ゼロの体だから、分離拡大については問題ないが
R/Q は正規拡大ではない
例えば、2の３乗根を、α＝2^(1/3)と書く。また、1の３乗根の複素数根をω、ω^2とする
α∈Rだから、R/Qがガロア拡大なら、αωやαω^2もRの要素でなければならないが、αωやαω^2は複素数だからRの要素ではない
だから、R/Q はガロア拡大ではない。
0036現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 00:12:28.02ID:pLE9DoNhcard(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。
解答
１．正直この問題は難しい
２．体の拡大Q→Rを考えることになるが
３．数学の常套手段として、体の拡大Q→C(複素数体)をまず考える。その後、中間の拡大体としてRを考えるのがよさそう
４．結論としては、card(AutQ(R)) は非加算と思うが・・
ねむいのでまた明日
0037現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 06:20:04.21ID:pLE9DoNh問題(1) >>16を再録しておく
問題
体 L の体 K 上の自己同型写像全体の集合を AutK(L) と書く。
すなわち
AutK(L)={σ|K,L は体、K⊂L、σ:L→L は環同型写像、k∈K⇒σ(k)=k}
である。このとき
(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。
１．まず、代数拡大の話から
２．αを代数的数とし、f(x)をその最小多項式（n次）とする（つまりf(α)=0の最低次数の多項式。係数はQ）
３．単項拡大Q(α)を考えると、Q(α)はn次のベクトル空間と考えることができる。拡大次数はn
（αの0次からn-1次の数をベクトル空間の基底にできるという話だったね）
４．だから、L'=Q(α)と書くと、card(AutQ(L')) =n
0038現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 06:37:23.52ID:pLE9DoNh１．次に、αのガロア拡大を考える。f(x)=0の全ての根(α,α1・・・αn-1)を添加した拡大体Q(α,α1・・・αn-1)の拡大次数は？
２．拡大次数は、L'=Q(α,α1・・・αn-1)と書くと、(ガロア理論から)対応するガロア群Gal(L'/Q)の位数に等しい
３．群Gの位数を|G|と書くと、card(AutQ(L')) =|Gal(L'/Q)|
４．f(x)=0が一般の方程式の場合、|Gal(L'/Q)|=n!(nの階乗)となる
0039現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 07:09:25.72ID:pLE9DoNh１．次に、代数的数全体からなる集合を考える。これをQ~とする
２．Q~は、可算集合である（カントールが証明したという）
（この話は、前スレ http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/403 に書いたが証明は知らない）
３．補足すると、f(x)=0の次数nを大きくして、n→∞と無限次元ガロア拡大を考えることができる
（この話は、前スレ http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/246 に書いたが正直理解できていない）
（ なお、http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/infinite-Galois.pdf
ガロア理論 松本眞 平成18 年11 月22 日 広島大の 「2 無限次ガロア理論」 が参考になるだろう）
４．なので、Q~は可算無限次元拡大で、card(AutQ(Q~)) は可算無限
５．Q~⊂C(複素数体) （なお、Q~はその要素に複素数を含むので集合Rには含まれない。当然だが）
0040現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 07:40:04.25ID:pLE9DoNh１．>>36のあらすじに戻る。Q→Q~（代数的数全体）→C(複素数体)で
２．Q→Q~は、代数拡大で可算無限次元拡大。Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大のはず・・
３．だから、Q→Cも、超越拡大を含み非可算無限次元拡大のはず・・
４．ところで、R（実数体）→C(複素数体)はご存知2次の拡大で、card(AutR(C)) =2
(∵x^2+1=0の根iをRに添加すればCが得られる)
５．なので、Q→R（実数体）→C(複素数体)で、Q→R（実数体）は非可算無限次元拡大のはず・・
６．で問題は、「Q~→Cが非可算無限次元拡大」を示すところを、どうするのか
0041現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 08:07:37.66ID:pLE9DoNh１．再録「Q~→Cが非可算無限次元拡大」を示すところを、どうするのか
２．βを超越数とする。当然β^n(nは任意の自然数)は代数的に独立で、当然n→∞も考えられて*)、無限次元拡大
(注*)代数拡大で無限次元ガロア拡大が考えられるとすれば、それをβに適用できるだろう)
３．ところで、超越数の集合は当然非加算ではあるけれども、β,β1,・・・βn,・・・を考えたときにこれらが互いに代数的に独立でないものが含まれる
４．例えば、πとπ^2など。（π^2が超越数であることの証明は略するとして）
５．なので、card(Q~)が加算、card(C)が非加算として、card(AutQ~(C)) 非加算が言えるか？
６．つまりは、加算集合の無限次元ベクトル空間を考えたときに、加算無限次元なら常に加算が言えるか？
（card(AutQ~(C)) 非加算を直接示せれば、上記は不要だが、超越数に対して現代数学はまだ無力*)だから、直接示すのは無理そうだ）
(注*)例えば、前スレ http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/396 に書いたが
”ただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない” http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0 ）
0042現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 08:36:34.94ID:pLE9DoNh（補足）
「加算集合の無限次元ベクトル空間を考えたときに、加算無限次元なら常に加算が言えるか？」について
１．ここは、Q~が可算集合であるというカントールの証明を意識したものだが
２．加算集合の加算無限次元ベクトル空間が常に加算なら、対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならないと言える
（本題）
１．>>40で述べたあらすじで、いくつかギャップがある
２．一つは、「Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大」（非可算無限を示すところ）
３．一つは、「Q→R（実数体）→C(複素数体)で、Q→R（実数体）は非可算無限次元拡大（∵R→Cは2次の拡大だから）」（位相を入れないとだめ？ ）
（∵>>39で、無限次ガロア理論の話が入ったから、位相はどうするんだ？と。そもそも、Q→R（実数体）はガロア拡大じゃないから、不要か？）
ということで、ギブアップ宣言
この二つは、いまの自分の知識と能力を超えている
加算集合の有限次元ベクトル空間が常に加算というのは、集合論に普通にある
例えば、有理数m/nを（m,n）に全単射できて、有理数は加算だとか
数学的帰納法で、２次元をｎ次元に拡大する
だけど、n→∞でどうなるか？ はっきりしない。自力では無理
「Q→R（実数体）→C(複素数体)で、Q→R（実数体）は非可算無限次元拡大（∵R→Cは2次の拡大だから）」は、位相は不要と思う
だが、それを説明する知識と能力がない
0043現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 08:47:00.39ID:pLE9DoNhハメル基の話は使えそうなんだよね、おそらく
Qは加算、Rは非加算
ハメル基が取れて、Rはハメル基によるベクトル空間になる
ハメル基は非加算なければならない
よって、Q→Rは非加算無限次元拡大
よって、card(AutQ(R))は非加算
みたいな・・
しかし、この証明をすらすら書けるレベルにはないよね、私は。当然だが
0044１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 08:54:24.29ID:hkrb643i1μmずつ進んでたのが一気に1kmすっとんだ感じ
0045現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 09:02:07.63ID:pLE9DoNh出題ありがとう
面白い問題だよね
(2)が(1)のヒントになっているような気がする（>>40のあらすじとしては）
だから、(2)を先にするのが良いのかも
card(AutQ(R)) なんて、普段意識していないが、改めて考えると、いろいろ深いものがある
というか、実数体Rをめぐっては、１９世紀から２０世紀にいろんな数学理論が考えられた
そして、Rの大部分を占める超越数について分かってないから、Rも分かってないんだと
ただ、生活している範囲では、自然数、整数、有理数、代数的数と三角関数に対数関数くらいで間に合っている
それ以上の超越数は、普段お世話にならないから、意識の外なんだね
0046１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 09:02:40.01ID:fZeo2VsT連続体仮説の問題があって、代数での正式な解決は出来ないでしょうね。
可算無限次元とか非可算無限次元とかいういい方も曖昧さが残っていて、
理論を組立てても組立てた理論自身の無矛盾性は証明出来ない。
ℵ_0＜cardA＜ℵ_1なる集合Aの存在性を仮定すると、
可算無限次元、非可算無限次元と違った他の無限のいい方があることになる。
まあ、このいい方を認めても無矛盾性は示せないんですけど。
0047現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 09:02:57.69ID:pLE9DoNhどうも。スレ主です。
一杯書いたんで、どの行だっけ？
0048現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 09:09:25.88ID:pLE9DoNhどうも
まあ、そうなんだけど
なんとなく、世間一般の人（含む数学業界（意識的に数学学会あたり（自然言語で未定義）をこう表現する））たちは、連続体仮説を是としている気がする
私もそうなので（ℵ_0＜cardA＜ℵ_1なる集合Aの存在性を仮定する必要性を世間一般の人が感じていないからと思う。私も同じ）
連続体仮説を是とする前提で、読んで貰えればと思います
0049現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 09:17:16.74ID:pLE9DoNh「Q~は、可算集合である（カントールが証明したという）」も、ギブアップに追加
どうやったんだろうね？
自力では無理（笑い）
0050１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 09:43:34.20ID:fZeo2VsT任意のn次の有理係数代数多項式fは、fに対して定まる
或るn∈N＼{0}と或るa_0,a_1,…,a_n∈Z(a_1、a_n≠0)を用いて
f＝a_n・X^n＋…＋a_1・X＋a_0の形に表されて、h＝|a_n|＋…＋|a_1|＋|a_0|
とおくとh∈Nになり、このとき同時にfの根になる代数的数の個数はn個になるから、
nとfを同時に走らせて出来る、自然数nと有理係数代数方程式fとの対(n,f)
の全体からなる集合は可算無限集合になって、これが代数的数全体の集合の濃度に等しくなる。
基本方針は大体こんな感じ。あとはこれを丁寧に書くだけ。
0051現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 10:00:35.91ID:pLE9DoNh４．例えば、πとπ^2など。（π^2が超越数であることの証明は略するとして）
↓
ここは、説明不足
πとπ^2とは、異なる二つの超越数ではあるけれども、Q(α^2)⊂Q(α)になる
一般に二つの超越数β1,β2をとったとき、Q(β1)とQ(β2)との包含関係の有無を考えておく必要がある。これは、より一般の（二つ以上の）n個の拡大でも同じ
だから、ここらの評価をきちんとしないと、「card(Q~)が加算でcard(C)が非加算だから、card(AutQ~(C)) 非加算」とは言えない
0052現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 10:24:42.63ID:pLE9DoNhどうも、説明ありがとう
0053現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 11:54:55.06ID:pLE9DoNh連続体仮説
なぜか The Dark Side of Forcing book_C84.pdf
http://forcing.nagoya/
The Dark Side of Forcing 抜粋
「The Dark Side of Forcing」は、名古屋大学の多元数理科学研究科と 情報科学研究科の大学院生が中心となって結成された、 数学同人サークルです。
元々は、強制法(Forcing)を、 前期はケネス・キューネンの『集合論ー独立性証明への案内』を便りに公理的集合論の側から、 後期はソンダース・マクレーンの『Sheaves in Geometry and Logic』を道標にトポス理論の側から、 概観してみよう、という勉強会から発生しました。
だから皆さんも、本を初めから終わりまで理解しきろうなんて、堅苦しい気持ちは持たず、 気軽にひも解いて欲しいと思っています。
既刊同人誌
http://forcing.nagoya/book_C84.pdf
2013/08/11 The Dark Side of Forcing Vol.1(C84) PDF 倉永崇, 古関恵太, 才川隆文, 淡中圏, 宮崎達也 強制法入門、ブラウアーの定理の脱神秘化、Todorcevicのwalkの解説、『数学の認知科学』の批判的書評、思い出話、数学小説
0054現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 12:33:55.55ID:pLE9DoNh多元的思い出話 淡中圏
その頃多元には，OCaml の開発者のJ． Garrigue 氏がいた．いつから名古屋が「関数型プログラミング言語の聖地」と呼ばれはじめたのか知らないが，代数幾何ではないscheme の使い手がいる数理学科というのも乙なものではある
多元はかつて，「Department of Polymathematics」という奇抜な英語名を名乗っていた頃，本当に「多元的」な研究家を目指して，有象無象の人間をたくさんおびき寄せて，なかなか大変なことになっていたという．心の病を発症してしまった人もいると聞く
それ以外にも，ここですら書けないような面白い話をたくさん聞いたことがあるが，それはまあよい．その後，多元もまともな数学者をちゃんとそろえるようになり（知り合いの熊沢峰夫氏にかかると，たこつぼ派が脱たこつぼ派を追い出した，という話になってしまうが……）
かつてほど，多元的でもなくなった．そんな多元で，異彩を放って「多元的」だったのが，倉永さんで，最初に意識したのは，年度末の成果報告のときに，脳とか認知とか，そういう話をしていたのを見たときだった．
教授陣も，正直どう評価していいのやら，という感じが凄く面白かった．その後，話すようになってみると，物静かなのにメタルのドラマーだし，絵も描くし，とでやはり多元的なお人であった
さて，名大内には，実は他にも数学と関係の深い研究をしているところがある．集合論などを研究しているのは，情報科学研究科の三階だが，二階には科学哲学の戸田山研究室がある
自らもとても良い形式論理学の本を書いている．先ほど，多元と情科に交流がないことを嘆いたが，なんと同じ情科の二階と三階の間にすら，ほとんど交流がないのだ．多元は，多元的になるために建物の設計から交流が盛んになるようにされているため，
一度数学内外の混血は諦めた後でも，数学内部ではあるが，割とジャンル違いの学生でも雑談する環境ができている．
しかし，情科では，研究室単位でメーリングリストが分割されているために，同じ研究科でも，階が違うと何をやっているのか分からなくなってしまう
そのせいで，元カリスマブロガー疑惑のある古関さんもかなり科学哲学系に興味があるのに，私が教えるまでいつどんなイベントがあるか把握していなかったという状況だ．一度多元を通るなんて地理的に見ればどんな無駄なことをしているのかとも思うが
0055現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/11(土) 12:44:45.60ID:pLE9DoNh>>53 強制法(Forcing)は、連続体仮説関連です
>>54 淡中圏はペンネームでしょうか？ 淡中 忠郎先生、愛媛県生まれか。名大も関係しているのでしょうか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%A1%E4%B8%AD%E5%BF%A0%E9%83%8E
淡中 忠郎 （たんなか ただお、1908年12月27日 - 1986年10月25日 ）は日本の数学者。専門は代数学。
愛媛県生まれ。1945年東北帝国大学教授、後に東北学院大学教授を務めた。ポントリャーギン双対性をコンパクト群へ拡張した淡中-クラインの双対定理で著名。
この定理はグロタンディークによる淡中圏の概念へと発展した。
0056１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 15:41:31.43ID:MUuJiptPえーと、スレ主さんはギブアップ宣言されたようですが、それでよろしいかな？
よろしければ、さてどうしましょう、他の方で解ける方いますか？
0057１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 16:35:13.41ID:l5XJwmKZ無駄に燃料投下するな
0058１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 17:09:22.52ID:MUuJiptPよって一番無意味なのはあなたのレス。
0059１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 17:15:28.34ID:osSnm/+q0060１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 17:19:10.99ID:osSnm/+q基礎論の生半可な援用ごっこですくすくと育っていくこのトンデモを見るにつけ基礎論蔑視はそれなりに意義があるとしか思えなくなったw。
0061１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 17:24:04.30ID:qD+hOhKvつまり、ダメな奴は何をやってもダメ
0062１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 19:40:17.39ID:pLE9DoNh0063１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 19:41:46.74ID:pLE9DoNhどうも。スレ主です。
出来ないやつほど、言い訳がうまいという
「私は基礎論が出来ません」か？ はっきり言えよ！
0064１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 19:42:49.50ID:pLE9DoNh「私は問題が解けません」か？ はっきり言えよ！
0065１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 19:45:56.41ID:l5XJwmKZID:pLE9DoNh 「私は基礎論が出来ません」
ID:pLE9DoNh 「私は問題が解けません」
0066１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 19:57:18.38ID:pLE9DoNhおれは困らんよ。だが、君は困るんじゃ無いかな（笑い）
0067１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 19:58:50.49ID:pLE9DoNh0068１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 20:22:51.71ID:09SYjhx+考えてみても濃度はアレフでしょう？
運営乙
0069１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 20:26:24.53ID:pLE9DoNhQ~が可算集合であるという証明が下記にあるね（50とほぼ同じ）
http://giwagiwa314.web.fc2.com/ 20150411
無限集合の濃度の証明
http://giwagiwa314.web.fc2.com/countableset.pdf
以下を証明せよ.
自然数全体の集合をN, 整数全体の集合をZ, 有理数全体の集合をQ, 代数的数全体
の集合をQ, 実数全体の集合をR, 複素数全体の集合をC とするとき,
|N| = |Z| = |Q| = |Q~| < |R| = |C|
が成り立つ.
（抜粋）
(3) |N| =|Q~| を示す.
α∈ Q に対し, fαをαの最小多項式とし, その係数の最小公倍数をかけてできる整式をgαとする.
（以下略）
0070１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 20:28:14.36ID:pLE9DoNh運営乙
0071１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 20:44:46.38ID:pLE9DoNh50にもあるけど、代数的数αに対する最小多項式を次数とその係数で、整序して自然数との対応を作る
なかなか見事です
0072１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 20:57:43.15ID:l5XJwmKZたぶん、今の時代に「（数学）基礎論」という言葉を使ってる人は
本当には勉強してない人でしょ。
だからネットだとウザいだけの人が多い
0073１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 21:06:55.04ID:pLE9DoNh>加算集合の有限次元ベクトル空間が常に加算というのは、集合論に普通にある
>例えば、有理数m/nを（m,n）に全単射できて、有理数は加算だとか
>数学的帰納法で、２次元をｎ次元に拡大する
>だけど、n→∞でどうなるか？ はっきりしない。自力では無理
名大落合啓之先生は、23と24とにNだという
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~ochiai/
落合啓之(Hiroyuki OCHIAI)
名古屋大学大学院多元数理科学研究科(基幹数理講座)教授
測度と積分（チェックリスト）(2008. Dec 2) http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~ochiai/checklistLebesgue.pdf
Yes, No で答えましょう。
23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である.
23. N
24. 任意個数の可算集合の直積集合は可算集合である.
24. N
（解答の誤りをお知らせいただけると幸いです。）
0074１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 21:17:36.20ID:pLE9DoNhふーん？ だが、このスレで加算非加算の話は、結構出ていたと思う。自然にね
至近では、おっちゃんの例の問題（下記）からだが。これ2015/02/01(日)からだ
いまさら、基礎論でもあるまい
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 [転載禁止](c)2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498
498 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。
0075１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 21:33:55.49ID:pLE9DoNh名大落合啓之先生 「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N
で、>>39 「Q~は、可算集合である（カントールが証明したという）」
が、Q~は、f(x)=0の次数nを大きくして、n→∞とした無限次元ガロア拡大を含む？
とすると、Q~は、可算集合Qの可算無限次拡大を含むんじゃないのかね？
名大落合啓之先生の23解答と一見合わないだよね。はて
0076１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 22:20:47.49ID:XcTPhJl9Q の可算無限個の直積とは、Q の元を可算無限個並べたもの全体の集合。
>>73の23はこっち。
Q の可算無限個の直和とは、直積の元のうち、有限個の成分を除いて 0 であるもの全体のなす集合。
Q~はこれと（ベクトル空間として）同型。
0077１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 22:51:36.69ID:pLE9DoNh説明ありがとう
とすると、>>41「Q~→Cが非可算無限次元拡大」は、直和かね
加算集合の無限次元ベクトル空間を考えたときに、直和なら加算無限次元拡大で常に加算が言えるか？
言えると、対偶から、Cが非加算集合で直和の加算集合Q~に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならないと言える
0078１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 23:10:01.30ID:pLE9DoNhhttp://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/basicmath.pdf
数学基礎演習 – 集合と位相 – 2014 年度後期 中川仁（なかがわじん）上越教育大学
命題1.23. X, Y がともに可算集合ならば，直積集合X Y も可算集合である．
例1.18 と命題1.23 より，Z^2 は可算集合である．帰納的にZ^n は可算集合である．
命題1.24 と命題1.23 より，Q^2 は可算集合である．帰納的に，Q^n は可算集合である．
0079１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 01:03:26.47ID:ofzV7WhEN、Pは可算無限集合とする。
∀n∈N を素因数分解し、n=Π[k=1,∞]p_k^m_k と表示する。
ここでp_kはk番目に小さい素数、m_kはnの素因数分解におけるp_kの個数である。
集合{n|n=Π[k=1,∞]p_k^m_k}:=Aの元はm_1,m_2,...の組み合わせと1対1対応するから
|A|=|N×N×・・・|
一方、n∈N ⇒ n∈A と n∈A ⇒ n∈N から、N=A である。
よって、|N|=|N×N×・・・|
すなわち、可算無限個の可算無限集合の直積集合は可算無限集合である。
0080１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 01:05:15.06ID:AANI+RV60081１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 07:18:42.87ID:IFDb2ZM+どうも。スレ主です。
証明ありがとう
「可算無限個の可算無限集合の直積集合は可算無限集合である。」が常に成り立つかどうかだね
この証明は、直和を使っていない
一方、名大落合啓之先生 「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N >>73
なので、加算にならない例があるのかも知れないが、>>77が言える形に証明を拡張できれば・・
0082１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 08:54:31.71ID:IFDb2ZM+どうも。スレ主です。
http://www.f.waseda.jp/murakami/
村上順 早稲田
http://www.f.waseda.jp/murakami/jugyou/2002/suugakuGairon2002/slide606.pdf
「jugyou/2002/suugakuGairon2002/slide606」
可算集合の直積集合 可算集合となる
可算個の可算集合の直積集合 可算集合とはならない
（引用おわり）
村上順 早稲田 「可算個の可算集合の直積集合 可算集合とはならない」という
証明が無いが、証明はどこかに落ちているかも知れないね
0083１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 09:21:44.12ID:IFDb2ZM+関連
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/set-theory2014/advanced_2014summer_school.pdf
数学基礎論サマースクール2014 強制法公理とその応用
薄葉季路 神戸大学 2014 年9 月19 日
（薄葉季路さんか、どう読むのだろう）
0084現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 09:37:26.04ID:IFDb2ZM+どうも。スレ主です。
面白い問題ありがとう
調べた範囲では、>>16問(1)の解答は落ちていなかった
>>42のギブアップ宣言は、自力では無理という意味で
まあ、何を参照しても、助力を得ても良いという意味で、
「Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大」（非可算無限を示すところ）
OR
「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？
までは、なんとか解決したい気がする
位相を理解するには、数ヶ月かな。この問題では不要だと説明できるくらいまで・・
Q~が可算集合の証明は>>69で終わった
「Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大」（非可算無限を示すところ）に戻ると
村上順 早稲田 「可算個の可算集合の直積集合 可算集合とはならない」>>82
名大落合啓之先生 「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N>>75
が正しいとすると、「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？も正しいかもという気がする（直感的にはちょっとおかしい？）
もう少し調べれば、なにか出てくる気がする
0085現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 09:46:32.86ID:IFDb2ZM+>>よって、card(AutQ(R))は非加算
>1μmずつ進んでたのが一気に1kmすっとんだ感じ
ああ、これ>>43「ハメル基は非加算なければならない
よって、Q→Rは非加算無限次元拡大
よって、card(AutQ(R))は非加算」
の話ね
ハメル基が分からず適当に書いているからね
ハメル基が使えるか使えないかは、またやりましょう
0086現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 10:13:56.31ID:IFDb2ZM+ここに戻る
問題
体 L の体 K 上の自己同型写像全体の集合を AutK(L) と書く。
すなわち
AutK(L)={σ|K,L は体、K⊂L、σ:L→L は環同型写像、k∈K⇒σ(k)=k}
である。このとき
(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。
> ３．単項拡大Q(α)を考えると、Q(α)はn次のベクトル空間と考えることができる。拡大次数はn
> （αの0次からn-1次の数をベクトル空間の基底にできるという話だったね）
> ４．だから、L'=Q(α)と書くと、card(AutQ(L')) =n
ここは、基礎なので、よく教科書では練習問題にされていたりする
0087１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 10:37:23.16ID:IFDb2ZM+前スレの問題で http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/417
(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。
解答 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/439
Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在：
f(e)=e' でなければならない。（e∈G、e'∈G'）
∵f(e)=bとする。f(a)=a' とすると、f(a)=f(ea)=f(e)f(a)=ba'=a'。ゆえにb=e'。
(引用おわり)
みたいな話が、あった。頻出テク（ニック）なんだよね
つまり、同型または準同型で、演算の単位元eの像はe'でなければならない
だから、自己環同型写像fで、
和に対し、f(x+y)=f(x)+F(y)で、単位元0の像は0で無ければならない
積に対し、f(xy)=f(x)F(y)で、単位元1の像は1で無ければならない
このことから、自己環同型写像fは有理数体Qを動かさない（一般には基礎体kを動かさない）ことが導かれ
このことから、自己環同型写像fはαの0次からn-1次の数をベクトル空間の基底とみて、その入れ替えになることが導かれる
エム・ポストニコフ「ガロアの理論」P37～に分かり易く書かれている
（エム・ポストニコフの記述は、いつ見ても簡潔で鮮やかだね）
この知識は、前提とした。４月で初学者もいると思うので補足した。では
0088現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 10:40:00.02ID:IFDb2ZM+和に対し、f(x+y)=f(x)+F(y)で、単位元0の像は0で無ければならない
積に対し、f(xy)=f(x)F(y)で、単位元1の像は1で無ければならない
↓
和に対し、f(x+y)=f(x)+f(y)で、単位元0の像は0で無ければならない
積に対し、f(xy)=f(x)f(y)で、単位元1の像は1で無ければならない
0089１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 19:27:08.22ID:IFDb2ZM+0090現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 19:34:11.15ID:IFDb2ZM+燃料もなにも
関係ないんだよね>>57-58
いつからこのスレを見ているか知らないが
燃料など無しでずっとやってきた
新参ものかよ、分かってない・・
0091１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 19:34:36.27ID:SoqhPNZdいくらなんでも
0092現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 19:43:18.91ID:IFDb2ZM+どうも。スレ主です。
たしかに、ネタかも知れん
細かいところまで見ていないが
0093現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 19:48:53.58ID:IFDb2ZM+「素因数分解し、n=Π[k=1,∞]p_k^m_k と表示する。
ここでp_kはk番目に小さい素数、m_kはnの素因数分解におけるp_kの個数である。
集合{n|n=Π[k=1,∞]p_k^m_k}:=Aの元はm_1,m_2,...の組み合わせと1対1対応するから
|A|=|N×N×・・・|」
これ素因数分解で、一般にnは積の長さは有限？
それを無限積にしている？
そこがまずい？
0094１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 19:50:03.43ID:YM4NGx4y0095１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 20:00:12.18ID:6aRecNzQかしこさが+1くらいアップしたと思うよ
0096１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 20:06:39.98ID:ofzV7WhEいくらなんでもネタだよね？
nの因子にp_kが無いならm_k=0なんて簡単なこと分からないはず無いよな？
0097１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 20:24:08.65ID:2qvFLzsZ0098１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 20:25:22.98ID:OFC1Xbv/スレ主さんが正解なんだよ、ここでは
0099現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 20:37:59.81ID:IFDb2ZM+一方、苦労するんだよね、こちらも読むのが
アスキー文字ベース制限で数学記号を表現するのに適していない場所（板）なんだよね
p_k^m_kにしても、紙テキストかTeXなら、もっと見やすいはず
なので、この板でこまごました証明は不適だと思うんだよね
私としては・・
0100１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 20:42:00.64ID:k0jqYpwj0101現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 22:53:21.22ID:IFDb2ZM+どうも。スレ主です。
言いたいことが、いま分かったよ。有理数体Ｑの完備化としてＲまたはＣを構成する話ってことだね
http://center.edu.wakayama-u.ac.jp/centerkiyou/kiyou_no14_pdf/satou.pdf
複素数の世界（1） - 和歌山大学教育学部 附属教育実践総合 佐藤英雄 著 教育実践総合センター紀要 No.14 2004
抜粋
3. 実数体の構成
実数体を有理数体から構成的に定義する方法は大
別して２通りある。一つは順序集合としての完備化
（Dedekind の切断による方法）であり、もう一つはア
ルキメデス的付値体としての完備化（Cantor-M´eray
の方法）である。
Dedekind の切断によると、加法と乗法が質的にか
なり異なったものに見える。数なる観念には少なくと
も四則演算できることがあげられようから、これを
優先させるならば、Cantor-M´eray の方法が自然であ
る。
コーシー列と零列の定義は省略するが、
次が成立する。
（引用おわり）
0102現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 23:02:20.13ID:IFDb2ZM+どうも。スレ主です。
いや、持論でね
むかし、このスレの初代のころ、有名なコテのKummerさんが居てね。熱心に証明を書いていた。そのとき下記やりとりがあったんだ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/535-539
535 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/10(土) 19:59:52.44
>>528-532
おいらは、Kummerさんも歓迎だよ
但し、定理の証明は自スレでやってもらえば
537 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [] 投稿日：2012/03/10(土) 20:28:25.80
>但し、定理の証明は自スレでやってもらえば
ここでやるわけないｗ
539 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/10(土) 20:31:26.35
>>537
Kummerさん、乙です
>ここでやるわけないｗ
だよね
ま、よろしくね
0103現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 23:09:55.47ID:IFDb2ZM+http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%98%E5%80%A4%E4%BD%93
アルキメデス付値による完備体
アルキメデス付値に対する完備体 K は、実数体または複素数体に同型である（オストロフスキーの定理）[4]。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
数論において、1916年のアレクサンドル・オストロフスキー (数学者)（英語版）(Alexander Ostrowski)によるオストロフスキーの定理(Ostrowski's theorem)は、有理数 Q 上の全ての非自明な絶対値は、通常の実数の絶対値か、または、p-進絶対値に同値であると述べている[1]。
別のオストロフスキーの定理
別の定理は、アルキメデス付値に関して完備な任意の体は、代数的にもトポロジー的にも実数か複素数に同型である。これもオストロフスキーの定理と呼ばれる[2]。
http://en.wikipedia.org/wiki/Ostrowski%27s_theorem
Ostrowski's theorem 英語版 Proofがある
0104現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 23:13:52.07ID:IFDb2ZM+だから、証明は書かずに、どこか信頼できる大学教員のサイトに落ちている証明を紹介してもらうのがベストと思う
その内容の概要あるいは説明を書いてもらえれば、さらにgood！だ
こてこてと見にくいアスキーベースの証明は、あまり好みじゃないね
0105現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/12(日) 23:27:24.34ID:IFDb2ZM+まあ、みなさん周知のコーシー列を使う実数Rの構成>>101
だが、コーシー列では、代数拡大も超越拡大も区別はつかないし
R/Qで[R：Q]が無限次元になるのは当然として、加算か非加算かも・・どうするのかねー？（笑い）
0106１３２人目の素数さん
2015/04/13(月) 02:01:42.61ID:ryWSPkroと思ってるでしょ？
実際には代数・幾何・解析のような伝統的な数学で濃度を用いる場面は非常に限られていて、
大抵は「次元の一意性」のように一つに定まることが確認できれば十分であって、
濃度を比較したり、ましてや濃度を具体的に求めたりする必要は全然と言っていいほどないんだよ
0107１３２人目の素数さん
2015/04/13(月) 02:49:42.02ID:IzkPZSwy0108１３２人目の素数さん
2015/04/13(月) 03:17:49.76ID:IzkPZSwyお～い、まだ気付いていないようだけど、>>46や>>50は、本当はおっちゃんね。
>>50での証明は、大体の基本方針を書いただけ。体の拡大R/Qの次数の問題は[R;Q]＝+∞で済んでるよ。
連続体仮説の問題があるから、可算無限次元とか非可算無限次元という
無限を区別するようないい方をすると、日常言語で書く数学が出来なくなるんだよ。
そのようないい方を使う言語での数学をすると、排中律を認める限り、
可算無限次元か「非」可算無限次元に区別されてしまう。同じ無限+∞を日常言語で書いた場合、
可算無限次元でないとしたら非可算無限次元というより他ないだろう。
つまり、連続体仮説を偽とする前提で数学をすることになる。
0109１３２人目の素数さん
2015/04/13(月) 04:24:53.49ID:IzkPZSwyいや、連続体仮説を真とする前提で、日常言語で無限+∞を区別する
数学をすることも出来るが、この場合は、ℵ_0＜card(A)＜ℵ_1なる
集合Aの濃度を用いて日常言語で同じ無限+∞を何というかが問題になる。
連続体仮説を真としても偽としても、何れにしろℵ_1＝card(R)で、
確実に実数の全体Rは非可算無限集合になって、「非可算無限次元」といういい方はすることになる。
ℵ_0＜card(A)＜ℵ_1なる集合Aは可算集合でないから非可算無限集合というより他ないが、
Aを「中間非可算無限集合」とか呼ぶことにすれば、連続体仮説を偽とするとき
と同様に「可算無限次元」、「非可算無限次元」といういい方を日常言語でする
他に非可算無限次元のいい方の1つとして「中間非可算無限次元」などといういい方
を日常言語でする数学をすることも出来る。ただ、こうするときは2つの理論体系が同時にある
ことになって、2つの理論の両立を認めると数学全体を考えたとき混乱が生じかねないから、
連続体仮説を真とする前提の理論だけがあることになるとは思う。
ここのあたりは、理論展開してみないとどうなるかは分からんな。
0110現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 15:35:34.35ID:O8x0ePuw>>107-109
おっちゃんか・・、ありがとう
>>50なんか、なかなか物知りやねと思う。ありがとう
>体の拡大R/Qの次数の問題は[R;Q]＝+∞で済んでるよ。
この問題は、答えだけは分かった。後ほど
証明が分からないが
0111現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 15:42:55.57ID:O8x0ePuw>「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？
>までは、なんとか解決したい気がする
答えは、下記 超越次数：Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
超越次数(抜粋)
すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。この濃度は拡大の超越次数に等しく、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) などと表記される。
例
? 拡大が代数的であることとその超越次数が 0 であることは同値である。このとき空集合が超越基底である。
? n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。
? より一般に、基礎体 K 上の n 次元代数多様体の関数体（英語版） L の超越次数は n である。
? Q(√2, π) の Q 上の超越次数は 1 である、なぜならば √2 は代数的であり π は超越的であるからだ。
? Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
? Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。
0112現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 15:48:39.26ID:O8x0ePuw和文wikipediaは下記英文の訳だな
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendence_degree
Transcendence degree
The transcendence degree of C or R over Q is the cardinality of the continuum. (This follows since any element has only countably many algebraic elements over it in Q, since Q is itself countable.)
0113現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 16:07:20.50ID:O8x0ePuw独語が面白い
http://de.wikipedia.org/wiki/Transzendenzbasis
Transzendenzbasis
In Anlehnung an die englischsprachige Bezeichnung transcendence degree findet man auch die Schreibweise trdeg(L:K) .
Aus trdeg(L:K)>0 folgt, dass deg(L:K) unendlich ist, denn die ganzzahligen Potenzen eines transzendenten Elements t sind linear unabhangig uber K , womit bereits eine Korpererweiterung um ein transzendentes Element, K(t):K ,
unendlichen Grad besitzt; der Transzendenzgrad stimmt also nicht mit dem Grad einer Korpererweiterung uberein.
Offenbar ist Trg(L:K)=0 aquivalent zur Aussage, dass L/K algebraisch ist. Leicht zeigt man Trg(K(t):K)=1 und aus Machtigkeitsgrunden ist Trg(C:Q)=beth 1 (lies "beth eins", siehe Beth-Funktion).
Google英訳
Based on the English-language term transcendence degree one finds the notation trdeg(L:K). From trdeg(L:K)>0, it follows that deg(L:K) is infinite,
because the integer powers of a transcendent element t are linearly independent over K, which already is a field extension to a transcendent element, K (t): K has,
infinite degrees; the transcendence degree therefore does not correspond with the degree of a field extension.
Apparently Trg (L: K) = 0 is equivalent to the statement that L / K is algebraic. Easy shows you Trg(K(t):K)=1 and of cardinality reasons, Trg(C:Q)= beth_1 (read "beth one", see Beth number).
0114現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 16:17:30.45ID:O8x0ePuw証明は不明ということで
0115１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 20:12:15.32ID:RQ5JrCYhRには超越数が属すから、R/Qは超越拡大、よって[R;Q]＝∞
0116現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 21:51:00.55ID:O8x0ePuwどうも。スレ主です。
そうそう。単に無限大だけなら、出題者に失礼でしょう
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16 だから（有限であるはずがない）
0117現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 22:05:47.15ID:O8x0ePuwhttp://www.amazon.co.jp/dp/4785313099
可換体論 (数学選書 (6)) 単行本 ? 1985/4 永田 雅宜 (著)
http://www.amazon.co.jp/dp/4000078135
体とガロア理論 (岩波基礎数学選書) 単行本 ? 1997/9 藤崎 源二郎 (著)
最も参考になったカスタマーレビュー
数論においてはGalois理論と付論値が、代数幾何においては超越拡大と付値
論が重要になってきます。この本は、それらに対して必要かつ十分な知識と
素養とを与えてくれると思われます。
したがって、特に数論幾何を志す学生は３年次あたりでこの本を精読・通読
すると非常に有用だと思われます。
記述が若干冗長な感じはしますが、独習には適切かも。
類書で永田さんの可換体論がありますが、追加的トピックスもないし、永田さ
ん本の他に漏れず記述が難解です。
0119現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 22:20:42.58ID:O8x0ePuwなお、関連
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
超越次数
参考文献
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.（上記に同じ）
P113
REMARK 9.18 What are the automorphisms of C? There are only two continuous automorphisms
(cf. Exercise A-8 and solution). If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to
construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation
α of A; then α defines an isomorphism Q(A)→Q(A) that can be extended to an
automorphism of C. Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous
automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to
construct nonmeasurable functions.*2
9 Transcendental Extensions 109
Algebraic independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Transcendence bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Luroth’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Separating transcendence bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Transcendental Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
0120現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 22:22:17.85ID:O8x0ePuwこのJ. S. Milne, Fields and Galois Theory は、以前にも紹介だけした記憶がある
0121現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 22:26:20.03ID:O8x0ePuw「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16 を、「集合の濃度」という視点で捉えたら、そういう意見もありかも・・
だが、超越次数 あるいは 超越拡大という切り口でみたらどうよ？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
超越次数(抜粋)
応用
超越基底は体準同型についての様々な存在定理を証明するためのツールとして役に立つ。例を挙げよう。代数的閉体 L と部分体 K と K の体自己同型 f が与えられると、f を拡張した L の体自己同型（すなわちその K への制限が f）が存在する。
証明のために、まず L/K の超越基底 S をとる。K(S) の元は K に係数をもつ S の元の多項式の商である。したがって自己同型 f は S のすべての元をそれ自身に送ることによって K(S) の自己同型に拡張できる。
体 L は K(S) の代数的閉包であり、代数的閉包は同型を除いて一意的である。このことは自己同型がさらに K(S) から L に拡張できることを意味している。
別の応用として、複素数体 C の部分体で（体として）C と同型であるような真の部分体が（たくさん）存在することを示す。証明のために、C/Q の超越基底 S をとる。S は無限（非可算）集合であるので、単射だが全射でないような写像 f: S → S が（たくさん）存在する。
任意のそのような写像は全射でない体準同型 Q(S) → Q(S) に拡張できる。そのような体準同型はそれぞれ代数的閉包 C に拡張することができ、得られる体準同型 C → C は全射でない。
超越次数によって体の大きさを直感的に理解することができる。例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
0122現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 22:32:53.55ID:O8x0ePuw・ n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。>>111
・より一般に、基礎体 K 上の n 次元代数多様体の関数体（英語版） L の超越次数は n である。>111
・超越次数によって体の大きさを直感的に理解することができる。例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
などを見ると、問題>>16の(1)は、超越次数 あるいは 超越拡大という切り口でみたら、それは関数体や多様体を理解する上で、結構重要と思わないか？
0123現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 22:45:35.58ID:O8x0ePuwもう一つの視点は、数学的教養だと
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16は
知識として正解を知っていること、およびどうやって導くかのあらすじは
この程度の知識は、２１世紀の数学では
これが数学基礎論だったのは１００年前の２０世紀初頭か１９世紀の終わりかだろう
0124現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/15(水) 22:54:50.99ID:O8x0ePuw「天才の直観に基づいた論理は、常人は容易に受け付けがたい。直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。」という見解には反対だな
そんな教育では、数学が分からなくなる
もっともっと直感を磨くべし。天才の直観に頷けるように・・
http://center.edu.wakayama-u.ac.jp/centerkiyou/kiyou_no14_pdf/satou.pdf
複素数の世界（1） - 和歌山大学教育学部 附属教育実践総合 佐藤英雄 著 教育実践総合センター紀要 No.14 2004
10. 諸注意
本稿では、数体系としての複素数体を代数的手法
で構成して、解析的手段により複素数の極形式表示
を導き「有向角」を定義した。途中、幾何学的なこと
ばが登場しているが、注意深く見れば、ここまでの議
論は初等幾何学的直観に基づいてはいないことに気
付かれよう。誤解を防ぐために、このことについて弁
明する必要があろう。
著者は直観的思考を無視ないし軽視するものではな
い。正当な直観こそは論理のナヴィゲーターである。
天才は卓越した直観力をもつ。それゆえに天才たり
えたのである。しかし天才の直観に基づいた論理は、
常人は容易に受け付けがたい。常人が受け付けられ
るようにするためには天才の直観を論理化する必要
がある。逆説的だが、直観を正当化するために作業仮
説として直観を排する。それが本稿の立場である。
（引用おわり）
0125１３２人目の素数さん
2015/04/16(木) 04:59:11.74ID:iP4tAlo3Qは有理数体、Rは実数体で、>>16では
AutQ(R)＝{f|f:R→R は環同型写像、k∈Q⇒f(k)＝k}
と書いてあったとする。
実数体Rは通常の加減乗の演算について環であり、関数f(x)＝xはf:R→Rは環同型写像で、
確かにfは体Qの体R上の自己同型であってf∈AutQ(R)であり、AutQ(R)≠φ。
今、f∈AutQ(R)を任意に取る。fは体Rの部分環Rの同型写像だから、
点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
よって、x≦yなる2点x、y∈Rを任意に取ってy＝x+z、z∈Rとすれば、f(y)≧f(y)－f(z)＝f(y－z)＝f(x)。
ここで点x∈Rを再度任意に取る。ε＞0を任意に取る。すると、有理数の稠密性から、
両方共に或るr、s∈Qが存在して、r＜x＜s、0＜s－r＜ε。ここで、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであって、
r＝f(r)≦f(x)≦f(s)＝sであり、－ε＜－s＋r≦f(x)－s≦f(x)－x≦s－x≦s－r＜ε、
よって、0≦|f(x)－x|＜ε。ε＞0は任意だから、ε＞0を走らせてε→+0とすれば、
f(x)＝xを得る。点x∈Rは任意だから、任意のx∈Rに対してf(x)＝x。f∈AutQ(R)は任意だったから、
体Qの体R上の自己同型fは一意的に存在して、card(AutQ(R))＝1。
基本方針
1、AutQ(R)≠φを示す。
2、f∈AutQ(R)を任意に取って、任意のx∈Rに対してf(x)≧0であり、fが単調非減少なることをいう。
3、任意のx∈Rに対してf(x)＝xをいう。
0126>>16出題者
2015/04/16(木) 21:56:24.36ID:ZSBDHkRC小さなミスを除けば正解
＞点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
f:R→R なので、u∈R でなければならないが、x<0 のとき、x＝u^2
を満たす u∈R は存在しない。
実際、f(x)>0⇒x>0 が言えるので、x<0 なら f(x)<0
「0≦x∈Rを任意に取り」とすれば良かった。
0127１３２人目の素数さん
2015/04/17(金) 12:39:07.29ID:/r2wdnDh一応、>>125を訂正しておく。
>関数f(x)＝xはf:R→Rは環同型写像で、
の部分は「関数f(x)＝xについてf:R→Rは環同型写像で、」と訂正し、
>点x∈Rを任意に取り
の部分は「点x∈[0,+∞)を任意に取り」と訂正。あと、基本方針の2の
>任意のx∈Rに対して
の部分は「任意のx∈[0,+∞)に対して」と訂正。
0128現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/17(金) 23:09:31.54ID:N+SZ0AF4どうも。スレ主です。
おっちゃん、証明ありがとう（ちょっと納得できないところもあるが）
出題者さんも、ありがとう（ちょっと納得できないところもあるが）
0129現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/17(金) 23:17:07.07ID:N+SZ0AF4http://math.stackexchange.com/questions/103177/why-does-mathbbc-have-transcendence-degree-mathfrakc-over-mathbbq
Why does C have transcendence degree c over Q? Jan 28 '12 Mathematics Stack Exchange
7
(Of course I assume the Axiom of Choice...) Choose a transcendence basis X={xi}i∈I for C over Q. Then C is an algebraic extension of Q(X). Now here are two rather straightforward facts:
1: If F is any infinite field and K/F is an algebraic extension, then #K=#F.
2: For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X).
Putting these together we find
c=#C=#Q(X)=max(?0,#X).
Since c>?0, we conclude c=#X.
0130現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/17(金) 23:21:08.40ID:N+SZ0AF4文字化けしたか。修正下記
c=#C=#Q(X)=max(?0,#X).→c=#C=#Q(X)=max(アレフ0,#X).
Since c>?0, we conclude c=#X.→Since c>アレフ0, we conclude c=#X.
0131現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/17(金) 23:26:09.71ID:N+SZ0AF4http://mathoverflow.net/questions/15424/what-is-the-transcendence-degree-of-q-p-and-c-over-q
What is the transcendence degree of Q_p and C over Q? Feb 16 '10 MathOverflow
7
In both cases the transcendence degree is the cardinality of the continuum. CH is not needed.
This is a corollary of the following result: let K be any infinite field, and let L/K be any extension. Then
#L=max(#K,trdegKL).
To prove this, in turn it suffices to establish the following two results (each of which is straightforward):
1) If K is infinite and L/K is algebraic, then #L=#K.
2) If K is any infinite field, T={ti}i∈I is an arbitrary set of indeterminates and K(T) is a purely transcendental function field in the indeterminates T, then #K(T)?#T+#K.
http://math.stackexchange.com/questions/223043/what-is-the-cardinality-of-a-transcendence-basis-of-mathbbc-over-mathbbq
What is the cardinality of a transcendence basis of C over Q? Oct 28 '12 Mathematics Stack Exchange
0132現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/17(金) 23:50:04.48ID:N+SZ0AF4" For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X)."がstraightforward？
purely transcendental extensionの場合はそうなる？
0133現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 05:41:25.02ID:LskGPWAB余談だが、日本語ではほとんど情報がない
これからは、英語の情報を取らないとだめだ
0134現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 06:06:29.72ID:LskGPWABガロア理論:未知数の体の拡大 2013/03/03
ベストアンサー抜粋
ここでは話をややこしくしないよう、体といえば有理数体を含む体(標数0と同義)に限ることにします。
また、有理数体をQと表記することにします。
以下、長文ですがご参考までに。
体の拡大には、代数拡大と超越拡大というかなり性質の違う拡大があり、多くの場合これらは分けて論じないといけません。
不定元は基礎体(拡大前の体)を係数に持ついかなる代数方程式もみたしません。
よって、不定元を添加した体は基礎体上のベクトル空間として無限次元になります。
(しかし、逆：「基礎体上無限次元の体なら超越拡大」は成り立ちません。例えば1のあらゆるベキ根を有理数体に添加して出来る体Kは超越拡大体ではありません。なぜなら、Kのあらゆる元はQ係数の多項式の根になるからです。)
しかし、最初から不定元を持つ体を拡大するなら話は別です。
例えば、Q上の一変数有理関数体Q(x)に√(x+2)を付け加えて出来る体Q(x, √(x+2))=Q(√(x+2))は、Q上は超越拡大ですが、Q(x)上では
√(x+2)が T^2 -(x+2) というQ(x)係数の多項式の根になるので、2次の代数拡大になります。
超越拡大については、「本質的に不定元を何個付け加えたか」を表す超越次元という概念があります。
例えばQ上、Q(x)やQ(x, √(x+2))は超越次元が1であり、Q(x)上Q(x, √(x+2))は超越次元が0です。
またQ(x, √(x+y))はQ(x)上やQ(y)上では超越次元が1であり、Q上では超越次元が2となります。
つづく
0135現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 06:08:27.82ID:LskGPWAB一般にベキ根を入れ子にして、Qに有理数のベキ根を付け加えた体、にさらにその体の数のベキ根を付け加えた体、にさらに・・、、ということを有限回繰り返して作られる体Fをベキ根拡大体といいます。
拡大がベキ根拡大であるという性質は、体F(の共役元を全て含むガロア閉包F')の自己同型の様子に現れていて、Gal(F'/Q)が可解群(可換群による拡大を繰り返して出来る比較的簡単な群)であるということに同値になります。
n次方程式の根をn個とも全て含むような体(共役元を全て含むのでガロア拡大体になります)は、最も複雑な場合、拡大のガロア群がn次の対称群(位数n!の大きな群)になりますが、
4次以下の対称群は可解群になることが分かっているので、4次までの方程式にはベキ根を入れ子にした解の表示があるのです。
一方、5次以上の対称群は可解でないことも分かっているので、ベキ根を組み合わせた解の表示は一般にはできません。
（引用おわり）
余談だが、日本語ではほとんど情報がないと書いた直後に日本語情報だが
日本語情報では初等的な話しか
0136現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 06:12:49.23ID:LskGPWAB日本では、超越拡大は学部の範囲を超えているのだろうか
東大京大クラスは別として
どうもそんな気がしてきた・・
とすると、このスレのレベルも超えている・・
このスレは学部３年くらいと考えているんだ・・
が、まあ超越拡大も>>123くらいまではやりましょう！
0137現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 07:15:09.68ID:LskGPWABMITのページがあった
http://math.mit.edu/classes/18.782/index
MIT 18.782 - Arithmetic Geometry Instructor: Andrew Sutherland, Grader: John Binder, Term: Fall 2013
COURSE DESCRIPTION
Arithmetic geometry lies at the intersection of algebraic geometry and number theory.
Its primary focus is the analysis of diophantine equations (x^n + y^n = z^n, for example), both from an algebraic and a geometric perspective.
See the course outline for a list of planned topics. http://math.mit.edu/classes/18.782/CourseOutline.pdf
http://math.mit.edu/classes/18.782/LectureNotes2.pdf
http://math.mit.edu/classes/18.782/LectureNotes12.pdf 12.1 Field extensions
http://math.mit.edu/classes/18.782/LectureNotes26.pdf
(補足 上記URL中のLectureNotes12.pdfなどで番号を変えると、別のPDFが出るが、なぜかLectureNotes1.pdfだけ出ない
それはともかく、LectureNotes12.pdf 12.1 Field extensionsに超越拡大がある)
（Definition 12.3. The transcendence degree of a eld extension L=K is the cardinality of any (hence every) transcendence basis for L=k.で L=K→L=kだな。すぐ分かるけど ）
0138現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 07:50:14.70ID:LskGPWAB>" For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X)."がstraightforward？
>purely transcendental extensionの場合はそうなる？
#F(X)=max(#F,#X)は、これだけ見るとそうかなと思うが
一方、>>84に書いた
村上順 早稲田 「可算個の可算集合の直積集合 可算集合とはならない」>>82
名大落合啓之先生 「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N>>75
があるので、なんだかなーと
やっぱり直和の話？ >>76-77
0139現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 08:03:48.33ID:LskGPWAB”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”下記かな？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E5%92%8C 文字化けは修正しません
線型空間の直和
詳細は「線型空間の直和」を参照
ベクトル空間の直和（英: direct sum）とは、共通部分の自明なベクトル空間の和である。
ベクトル空間 W1, …, Wn の集合としての直積に対して、和とスカラー倍を成分ごとに与えたベクトル空間 W のことを W1, …, Wn の（外部）直和という。これを W = W1 ? … ? Wn と表す。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E5%92%8C
抽象代数学において、直和 (direct sum) はいくつかの加群を新しい大きな加群に合併する構成である。
加群の直和は与えられた加群を部分加群として「不必要な」制約なしに含む最小の加群であり、余積の例である。双対（英語版）概念である直積（英語版）と対照をなす。
この構成の最もよく知られた例はベクトル空間（体上の加群）やアーベル群（整数環 Z 上の加群）を考えるときに起こる。構成はバナッハ空間やヒルベルト空間をカバーするように拡張することもできる。
性質
・体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。
・テンソル積は次の意味で直和上分配する： N が右 R-加群であれば、N の Mi とのテンソル積（これはアーベル群）の直和は自然に N の Mi の直和とのテンソル積と同型である。
・直和はまた（同型を除いて）可換であり結合的である、つまりどんな順番で直和を作ろうが関係ない。
0140現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 08:21:02.61ID:LskGPWAB余談だが、”The transcendence degree of R over Q is of continuum cardinality”は、Factで[Cohn91, Exercise 5.1(4)]だと。まあ、教養ですよ
http://www2.cs.uni-paderborn.de/cs/ag-madh/WWW/ziegler/DFG/Habilitation_Ziegler.pdf
Real Computability and Hypercomputation Martin Ziegler December 20, 2007
P18
Fact 2.5.
b) The transcendence degree of R over Q is of continuum cardinality [Cohn91, Exercise 5.1(4)].
[Cohn91] P.M. Cohn: “Algebra” 2nd Edition vol.3 (1991).
0141現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 09:10:58.32ID:LskGPWABまあ、教養ですよと良いながら、いまいち理解できていないが
>>40-41に戻ると
・超越数の集合は当然非加算ではあるけれども、β,β1,・・・βn,・・・を考えたときにこれらが互いに代数的に独立でないものが含まれる（だから、こちらからアプローチするのは難しい）
・で、加算集合の加算無限次元ベクトル空間が常に加算なら、対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならないと言える（が、一般のベクトル空間では言えないみたい>>138）
・”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”から
・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
・で、拡大体の場合、「対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならない」となる
かな
0142現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 09:28:36.56ID:LskGPWABhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%92%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_%28%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96%29
ケーニヒの定理 (集合論)
積の濃度は和の濃度より真に大きい。
http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nig%27s_theorem_%28set_theory%29
0143１３２人目の素数さん
2015/04/18(土) 09:30:01.63ID:nav1Dr38超越拡大なら、微分体の理論。まあ、それ知らなくても、
1変数代数関数体が超越拡大の例になっていて、1変数代数関数の理論しとけばいいんじゃない。
>日本では、超越拡大は学部の範囲を超えているのだろうか
日本では、ハーツホーン病という病気が流行っていて、これ読むには超越拡大は必要でしょうな。
なので、別に超えてはいないんじゃない。例え知らなくても、ハーツホーン病にかかった人はすぐ覚える。
日本には、数論幾何、代数幾何、だ～い好きという人が不思議な位にワンサカいる。
0144現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 09:44:32.69ID:LskGPWAB訂正
まあ、教養ですよと良いながら
↓
まあ、教養ですよと言いながら
訂正の追加
加算→可算（誤変換です）
>>30,>>36,>>41-44,>>51,73-74,>>77,>>81,>>85,>>105,>>114,>>141
0145現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 09:49:26.59ID:LskGPWABどうも。スレ主です。
レスありがとう
ハーツホーンが定番（バイブル）という話はどっかに
>日本には、数論幾何、代数幾何、だ～い好きという人が不思議な位にワンサカいる。
まあ、日本のお家芸的では？
高木－広中－森の系譜か・・
そこからちょっと外れる岡とか佐藤とか
最近のヒットは望月か？ （ファールかフェアかだが）
0146１３２人目の素数さん
2015/04/18(土) 10:46:43.86ID:nav1Dr38「高木－広中－森の系譜」ではなく「岡－広中－森」或いは「小平－広中－森」じゃないか。
高木の類体論は代数的整数論で、数論幾何、代数幾何とは少し違うだろう。
岡や佐藤は、2人とも独創的かつ苦しい状況で研究をしていた人で、
岡は、ヘンリ・カルタンがよき理解者で、カルタンが岡の業績から層を編み出したんです。
佐藤は、お師匠がよい理解者で、シュワルツの超関数の理論を最初から定式化し直して
代数解析という解析を完成させたんです。そして線形偏微分方程式を解くのに使ったりしていたんです。
何か、その一部は今でも発展し続けているみたいです。昔は佐藤超関数の研究
をしていた人達が沢山いて、そのグループがあったみたいなんです。
0147１３２人目の素数さん
2015/04/18(土) 10:55:49.60ID:YVNcus3n確かにガロア理論では、一般に体拡大 L/K について拡大次数 [L:K] と K 上の自己同型群の位数 card(AutK(L)) の関係は重要だけど。
結局スレ主は>>125-127のどこに納得いかないんだ。
0148>>16出題者
2015/04/18(土) 11:48:43.62ID:xIwU7Wpr>>125
90点
＞点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
惜しいミスではあるが、致命的誤りでもあるので10点減点。
＞1、AutQ(R)≠φを示す。
これを最初に示すことは必ずしも必要でないと思う。
証明後半は、「fはどんな形でないとならないか」を論じているのだけれど、その際fの
存在は仮定でも構わないからだ。つまりfの存在を仮定しておいて、「fはどんな形でも
駄目」となれば、「fは存在しない」という結論になるだけ。
もちろん誤りではないので減点は無し。
スレ主さん
0点
R/Qはガロア拡大でないから、card(AutQ(R))と[R:Q]の間には何の繋がりも無いにもかかわらず
[R:Q]探求の森に踏み入り最後まで迷子のままだった。card(AutQ(R))について何も論じていない
に等しいので0点とせざるを得ない。
0149現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 12:58:02.77ID:LskGPWABどうも。スレ主です。
レスありがとう
>「高木－広中－森の系譜」ではなく「岡－広中－森」或いは「小平－広中－森」じゃないか。
ああ、そうですね
そういう線もありですね
0150現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 13:40:28.04ID:LskGPWABどうも。スレ主です。
主題者さんありがとう
おっちゃん、９０点かすごいね
スレ主さん0点は結構だ。体の無限次元拡大が分かってないんだろうね
>結局スレ主は>>125-127のどこに納得いかないんだ。
いや、単に分かってないんだろうと思うけど
>R/Qはガロア拡大でないから、card(AutQ(R))と[R:Q]の間には何の繋がりも無いにもかかわらず
じゃ、問題を変えて、C/Qはガロア拡大か否か？ C/Rの拡大次数は２で良いのか？ とすれば、card(AutQ(C))＝２で良いのかい？
おっと、これ（下記）か？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
ガロア群
・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
（引用おわり）
「Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる」か
Aut(C/Q) は無限群で、card(AutQ(C))＞アレフ0だな
0151現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 13:52:13.10ID:LskGPWAB>・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
>>82 より「可算個の可算集合の和集合 可算集合となる」だね証明はどこかにあるんだろう
http://www.f.waseda.jp/murakami/
村上順 早稲田
http://www.f.waseda.jp/murakami/jugyou/2002/suugakuGairon2002/slide606.pdf
「jugyou/2002/suugakuGairon2002/slide606」
可算集合の和集合
可算集合となる
可算個の可算集合の和集合
可算集合となる
（引用おわり）
0152現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 16:56:50.41ID:LskGPWAB"体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。"(下記)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B
数学において自己同型(automorphism)とは、数学的対象から自分自身への同型写像のことを言う。
つまり構造を保ちながら対象をそれ自身へと写像する方法のことで、ある意味ではその対象の対称性を表わしていると言える。
対象の全ての自己同型の集合は群を成し、自己同型群(automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の対称群である。
恒等写像は自明な自己同型(trivial automorphism)と呼ばれることもある。
他の（恒等射ではない）自己同型は非自明な自己同型(nontrivial automorphisms)と呼ばれる。
体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。[2][3] 体自己同型は体の拡大、特にガロア拡大の理論で重要である。
ガロア拡大 L/K の場合には、K を各元ごとに固定する L の自己同型全体の部分群を拡大のガロア群と呼ぶ。
p-進数の体 Qp は非自明な自己同型を持たない。
0153現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 17:35:23.20ID:LskGPWAB分かり易い証明が下記にあった
http://aozoragakuen.サクラ.ne.jp/ URLが通らないので検索頼む
青空学園
http://aozoragakuen.サクラ.ne.jp/pascal/node21.html URLが通らないので検索頼む
射影幾何
http://aozoragakuen.サクラ.ne.jp/PDF/pascal.pdf URLが通らないので検索頼む
幾何学の精神 青空学園数学科 2014 年1 月13 日 より
＜3.1.3 射影幾何の存在＞
命題29 実数体R の同型写像群A(K) は恒等写像のみの群である．
証明
恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ R
が存在する．φ(s) > s ならφ(－s) = －φ(s) < －s なので，必要なら－s をとることによってφ(s) < s
とできる．有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに
（φ(s) + s）/2 < a < s
となる有理数a が存在する．c = s － a とおく．
φ(1) = 1 なので，a =q/p と整数p とq で表す．正整数p に関しては，φ が体の同型であること
からφ(p) = φ(1 +・・・ + 1) = φ(1) + ・・・ + φ(1) = p
となり，φ(－p) = －φ(p) より負の整数もφ で動かない．これから
φ(a) = φ(p^－1*q) = φ(p)^－1*φ(q) = p^－1*q = a
となり，φ はQ の要素を動かさない．よって
φ(c) = φ(s) － a < 0
一方，c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よって
φ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0
これは矛盾である．
体の超越拡大に関する準備を必要とするので，次の命題の証明は略する．
命題30 複素数体C の同型群A(K) は無限群である．そのうち複素数体の実数から導かれる位
相に関して連続となるものは複素共役写像z → z~ のみである．
0154現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 17:50:48.06ID:LskGPWABこれらを総合すると、
１．実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
２．証明を読む限り、証明には自己同型は順序を保つことと、Q,Rの稠密性が使われている
３．”（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）”>>152は、証明の要点を分かり易く説いたものだろうが、必ずしも平方根に限定されないと思われる。（平方が一番簡単だろうが）
と思います。
0155現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 17:54:02.38ID:LskGPWABまあ、数学的教養だね、これは
>>16(1)が解けなかったのは、教養が無かっただけ
早くギブアップして良かった。自力では無理だった
0156現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 18:14:34.04ID:LskGPWAB>・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
直和の説明はこんな程度で委員会？
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1132425661
2009/10/31
ベクトル空間について質問です。
Ｆ上のベクトル空間Kがあるとして、このKを有限体（元が有限個の体）でＦをＫの素体とする
とすると次元は有限の値となり，ｒとすると
KはFのｒ個の直和でかけるということを知りました。 しかしなぜこのときなぜKがこのFの直和でかけるのでしょうか？
これは線形代数でもやりますよね？
「（素体とは限らない）体Ｆ上のｒ次元ベクトル空間Ｖは、Ｆのｒ個の直和で書ける。」
方針としては、Ｖの基底を {v_1, v_2, ..., v_r} とすると、Ｖの任意の元はこれらのＦ上の線形和で書ける。
従って、
Ｖ ＝ v_1 F + v_2 F + ... + v_r F
（直和）となります。
質問者さんの設定ですと、Ｋ／Ｆ はｒ次の体の拡大です。
つまり、ＫはＦ上のベクトル空間としてｒ次元。（これが拡大体の次数の定義ですね！）
このベクトル空間の基底を固定すれば、上述の通り、ＫはＦのｒ個の直和で表せます。
参考：
Ｋ／Ｆが分離拡大であるなら、単拡大ですのでＫ＝Ｆ（α）という形で表せ、
基底として {1, α, α^2, ..., α^(r-1)} を取ることができます。
0157現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 18:23:08.76ID:LskGPWAB>「可算個の可算集合の和集合 可算集合となる」だね証明はどこかにあるんだろう
下記で委員会？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
応用
選択公理もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
・ハーン・バナッハの定理
・極大イデアルの存在
・ベクトル空間の基底の存在
・ハウスドルフのパラドックス
・バナッハ＝タルスキーの定理
・可算集合の可算個の和は可算である
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1388503163
2012/6/4 可算集合の可算個の和集合も可算集合になることを示せ
A_m = {a_mn}，A=∪A_mとする．a_mnをm+nが小さい順に，m+nが等しいものはmが小さいほうを先に並べると(同一のものが重複して出てきたときは飛ばす），
この順番ですべてのa_mnの番号付ができるから，Aは可算．
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
選択公理を認めるならば、可算濃度は無限集合の濃度のうち最小のものであることが示される。
可算個の可算集合の和集合や、有限個の可算集合の直積集合はまた可算である。
これより、代数的数全体の集合 Q は可算であることが従う。
しかし、可算個の可算集合の直積集合や、可算集合の冪集合は非可算であり、その濃度は連続体濃度である。
0158現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 18:30:24.68ID:LskGPWAB思うに、「直和」はちょっと深いものがありそう（調べた範囲では）
一般のガロア本では、体の拡大はベクトル空間になるまでは述べているが、「直和」までは言わない
「直和」を突っ込みだすと、圏論まで行くんですかね？
で教科書では、「まあ、それはまた後で」となるのかも・・
0159現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 20:22:23.77ID:LskGPWAB１．>>16(1)は面白い問題やったね。
２．おっちゃん、前スレやったか「有理数の稠密性」とか叫んでいたから、勉強が役に立ったね
３．「証明を読む限り、証明には自己同型は順序を保つことと、Q,Rの稠密性が使われている」と書いたが
４．実数の構成でコーシー列（有理数よりなる）を考えて、Rの自己同型はコーシー列（有理数）を動かさないという証明もありかも・・、という気がしてきた・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (q, q, q, ...) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。
また、コーシー列に、項同士の四則演算をもとに四則演算を定義することができ、これは有理数同士の四則演算と両立している。
（略）
R の任意のコーシー列は収束する、すなわち R が完備であることがわかる。
0160現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/18(土) 20:34:23.65ID:LskGPWAB５．>>153の証明にあるように、Rの自己同型は、０と１を動かさず、従って整数を動かさず、従って有理数も動かさない（これについては私も>>87に書いたが）
６．だから、コーシー列（有理数）を動かさない
７．だから、全てのRの元を動かさず、恒等写像（自明な同型）のみだと
８．>>153の証明は背理法だ。しかし、上記証明は背理法ではない。だから、「順序を保つことと、Q,Rの稠密性」は表には出てこない。コーシー列の性質には暗に含まれているが
お陰で、超越数、実数、複素数を深く理解できました
出題者さん、おっちゃんありがとう
では
0161１３２人目の素数さん
2015/04/18(土) 21:15:09.40ID:xIwU7Wpr6→7に論理の飛躍あり。
x∈R が 有利数列(q_n∈Q)によって x=lim[n→∞]q_n と表せたとする。
f∈AutQ(R) が f(q_n)=q_n を満たしたとしても、
f(x)=f(lim[n→∞]q_n)=lim[n→∞]f(q_n)=lim[n→∞]q_n=x
は直ちには言えない。二つ目の等号が成り立つにはfがRで連続であることが必要。
0162１３２人目の素数さん
2015/04/18(土) 21:36:52.36ID:YVNcus3nf∈AutQ(R) と実数 r=[{q_n}] (有理数列{q_n}の同値類) に対し
f([{q_n}])=[{f(q_n)}]
が成り立つか、ってことだね。
５．では [{q_n}] が有理数を表す場合は正しいということを言っている。
どんなコーシー列でも成り立つってのが６．なので、飛躍は５．→６．かも。
0163現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/19(日) 09:24:45.56ID:Fta5hZD3どうも。スレ主です。
みなさんレベルが高いですね
・確かに、Rの体自己同型はZやQを動かしてはならないという禁止要請がある
・しかし、それ以外の元を動かすことは、禁止事項ではない
・なお、>>153の証明は、φ(s) > s として、（φ(s) + s）/2 < a < sなる有理数aを取ったときに、矛盾が出ると
・QとRの順序構造とQの稠密性から （ φ(c) = φ(s) － a < 0 が導かれた段階で、φ(s) > s > a だから、c = b^2 は不要だったね。他の証明法もありそうだが・・）
0164現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/19(日) 09:31:17.48ID:Fta5hZD3・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
の３つセットで理解するのが良いと思うんだ
１つだけでは見えないことが３つセットで見える
なぜ、Aut(R/Q)とAut(C/Q) は違うのか？
また、体の拡大次数や代数拡大、超越拡大と合わせて理解することも良いと思うんだよね
体の拡大次数で、R/QとC/Qとは非可算無限なのに、Aut(R/Q)とAut(C/Q) の違いが生まれるのはなぜか？（上記と同じ疑問だが）
そういうことを考えさせられる良い問題だった
ありがとう
0165現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/19(日) 19:41:12.29ID:Fta5hZD3φ(s) > sは、違うね
φ(s) < sだった（読み飛ばしていた）
だから、「φ(c) = φ(s) － a < 0 が導かれた段階で、φ(s) > s > aだから、c = b^2 は不要」は言えないね
ただ、「他の証明法もありそう」は、取り下げない。もう少し考えてみるよ
では
0166１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 16:24:28.74ID:Z7PgLnzO0167現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/24(金) 22:22:02.20ID:rDEyqA0Eどうも。スレ主です。
どんな数学が好きだって？ そうだな、微分方程式かな
0168現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/24(金) 22:26:00.50ID:rDEyqA0Eいろんなことが微分方程式で表される・・んだ
0169現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 04:27:44.51ID:1rI4QMvSどうも。スレ主です。
>ただ、「他の証明法もありそう」は、取り下げない。もう少し考えてみるよ
難しかった。自分だけでは証明は思いつかなかった
検索すると、下記があった
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1213383482
2007/11/8 実数体Ｒの自己同型写像は恒等写像のみであることを示せ。
ベストアンサーに選ばれた回答 median_modeさん 編集あり2007/11/9
自己同型写像ならば恒等写像であることは簡単に言えると思います
恒等写像ならば自己同系写像であることは、Rが実数体なので演算ができることを使って
線形写像であることを言えばいいと思います。
fが実数体Rの自己同型写像ならば
写像じたいも加法乗法でとじているので
f(ab)=f(a)f(b)
fはRの線形写像でもあるので
f(ab)=af(b)
⇒f(a)=a 恒等写像である
ｆが実数体Rの恒等写像ならば
f(a)=aなので
R→Rの全単射であり
f(a+b)=a+b=f(a)+f(b)
f(ab)=ab=ｆ(a)f(b)
なので自己同型写像である
というかんじじゃないでしょうか
(続く)
0170現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 04:30:11.86ID:1rI4QMvSベストアンサー以外の回答 drtetsuyaandoさん 2007/11/12
たぶん「代数学」か何かのレポート問題だと思いますが, mable_saga さんのヒントで, 解答への95％くらいまで教えてもらっているので, 後の5％は自分で考えましょう。でも, 特別に, あと3％くらいヒントを追加すると,
(1) mable_saga さんの①の方法で, f(1)=1 を証明する。
(2) 数学的帰納法で, 自然数 n に対して f(n) = n を証明する。
(3) n が負の整数や 0 でも f(n) = n であることを証明する。
(4) 有理数 p/q (p は整数, q は自然数) に対し, f(p/q) = p/q であることを証明する。
(5) mable_saga さんの②, ③の方法で, f は単調増加であることを証明する。
(6) あとは, (5)から f が連続であることを証明してもよいし, 直接(4)と(5)を用いて背理法で f が恒等写像でないと矛盾することを示してもよい。
ところで, 複素数体 C の自己同型写像は, 恒等写像と複素共役以外にも, 無数に自己同型写像が存在するところが面白いですね。
ただし, こちらの証明は, 有理数体 Q 上の C の無限超越基底の存在を Zorn の補題を使って証明しないといけないので, もう少し難しくなります。
（引用終わり）
0171現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 04:41:12.31ID:1rI4QMvS>>153
１．この証明で、「（φ(s) + s）/2 < a < s となる有理数a が存在する．」としているが、（φ(s) + s）/2 は証明に使っていないね
２．あと、「c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よってφ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0」の部分
合わせて、>>169-170にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って線形写像であることを言えばいい」
という証明の筋も、教養として覚えておく方が良いと思うよ
0172現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 04:47:53.70ID:1rI4QMvS「複素数体 C の自己同型写像は, 恒等写像と複素共役以外にも, 無数に自己同型写像が存在するところが面白いですね。
ただし, こちらの証明は, 有理数体 Q 上の C の無限超越基底の存在を Zorn の補題を使って証明しないといけないので, もう少し難しくなります。」>>170
同じことだが
「複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。」>>152
も、数学の教養だよね
私は、教養が不足していることがよく分かりました
お陰で少し教養が増えました。ありがとう
0173現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 05:00:30.39ID:1rI4QMvSおっと、大事な続きがあったね
（引用開始）
marble_sagaさん 2007/11/13
上の方のは間違いです。同型と線形は違います。
証明の概略です。不明な点はまた質問して下さい。
まず、恒等写像なら有理数は固定されます。そして正の数は正の数に移ることを示し、それを用いて、写像が順序を保つことを示します。順序を保つので写像は単調増加ということになります。そして有理数を固定する単調増加写像は恒等写像しかないことがいえます。
ヒント
①１は１の二乗であり、任意の自然数は１の和に書ける。
②正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。
③ａ＝ｂ＋（ａーｂ）
（引用おわり）
「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。」は省略できない？
使えば簡単というのと、必須とは違う・・
はて
0174現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 05:24:53.56ID:1rI4QMvS合わせて、>>169-170にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って線形写像であることを言えばいい」
↓
合わせて、>>169-170>>173にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って順序を保つ線形写像であることを言えばいい」
かな？ 「連続」は使わなくても良いか
0175現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 05:30:02.12ID:1rI4QMvShttp://dictionary.goo.ne.jp/leaf/jn2/57158/m0u/
教養 goo辞書
1.学問、幅広い知識、精神の修養などを通して得られる創造的活力や心の豊かさ、物事に対する理解力。また、その手段としての学問・芸術・宗教などの精神活動。
2.社会生活を営む上で必要な文化に関する広い知識。「高い―のある人」「―が深い」「―を積む」「一般―」
0176現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 06:29:08.93ID:1rI4QMvS>>172 補足
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1137-1.pdf
Ring homomorphisms on commutative Banach algebras I 新潟大学大学院自然科学研究科羽鳥理(Osamu Hatori)数理解析研究所講究録 2000年
（抜粋）
1 複素数叩上の自己同型写像
その後, Steinitz [8] の結果を用いれば, 非自明な自己同型写像が存
在することの証明ができることが知られるようになったし, Kestelman [3] は代数学の定理
を用いないがZorn の補題, 整列可能性定理, 超限帰納法等を用いた存在証明を与えた.
実際その方法から非自明なものはたくさんある事が分かる.
例えばρ(a+b√2)=a-b√2 なる{a+b√2:a, b∈Q+iQ} 上の自己同型写像ρ 等は, C 上の非自明な自己同型写像に拡張できることがわかる.
非自明な自己同型写像の振る舞いは大変複雑である.
たとえば, 実数全体R に対してρ(R) は複素平面で稠密である. (cf.[3])
(引用終わり)
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。>>152
で、上記”ρ(a+b√2)=a-b√2 なる{a+b√2:a, b∈Q+iQ} 上の自己同型写像ρ 等は, C 上の非自明な自己同型写像に拡張できることがわかる.”
が、その例？ 無限超越基底の存在を Zorn の補題を使って証明しないといけない>>170わけでもない？
”実数全体R に対してρ(R) は複素平面で稠密である. (cf.[3])”の意味がとれないけど・・、まあ良いか（＾＾
0177現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 08:20:48.57ID:1rI4QMvS脱線
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/staffs/Intro_Alg_Geo_1.pdf
代数多様体の幾何と代数－ガロワ点とは？－
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/staffs/Hisao_Yoshihara.pdf
研究紹介(吉原久夫)代数多様体のガロワ埋め込みの研究
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/
名誉教授 平成25年3月退職 吉原 久夫 新潟大
0178現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 08:35:44.82ID:1rI4QMvS脱線補足
文書に日付がない。これはよくない
研究紹介が2011年10月（下記）、「代数多様体の幾何と代数－ガロワ点とは？－」はその少し前だろう
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/
2011年10月12日 秋山茂樹准教授, 山田修司准教授, 吉原久夫教授の学生向け研究紹介を掲載しました。
0179現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 09:07:42.15ID:1rI4QMvShttp://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/Yoshida_SummerSchool-1.pdf
9. 保型表現とGalois表現 (吉田輝義) 保型表現とGalois 表現 |初学者のために|
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009proceeding.html
「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」報告集の原稿ページ
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/
website of teruyoshi yoshida （よしだ・てるよし／ケンブリッジ大学数学科）
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/Yoshida_2010_SummerSchool-1.pdf
上記 ss2009と同じだが、なぜか2010_SummerSchool？
0180現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 09:13:55.77ID:1rI4QMvS（脱線ついで補足）「(吉田輝義) 保型表現とGalois 表現 |初学者のために|」より
”現在の代数的整数論のもっとも中心的な問題の一つである非可換類体論（Langlands 対応）は，保型表現とGalois 表現の間の対応として定式化されている．
表現論の言葉で書かれるようになった理由は，整数論が非可換な対象を本格的に扱う時代に入ったということである．
代数的整数論を志す学生にとっては，可換環論，代数幾何，ホモロジー代数，位相群上の積分などが学習事項とされてきたが，表現論の重要性は十分に強調されてこなかったように思われる．
筆者自身も，表現論の勉強が足りず自転車操業で勉強している次第だが，初学者の読者を念頭において「なぜ表現論が代数的整数論にとって不可欠なのか」を解説しながら，Langlands 対応の世界への案内を試みたいと思う．
定式化や研究対象の移行ということについて一言書いておく．
Galois 理論以前は，代数学といえば方程式論であり，与えられた一変数あるいは多変数の多項式を四則演算で操作し，未知数を求めるという意味でそれらを「解く」，あるいはさまざまな多項式の間の関係を発見し記述する，という学問であった．
しかし，5 次以上の方程式が根号では解けないことが証明され，根の間の有理的な関係の構造が「方程式の根の生成する拡大体のGalois群」にすべて書き込まれていることがわかると，方程式論は「拡大体とそのGalois 群を理解する」という新しい定式化を獲得した．
とくに，方程式論が基礎体に決定的に依存することが明白になったことは，基礎体に依存する代数学（整数論との自然な統合，および任意のスキーム上の代数幾何）としての数論幾何の夜明けであったとも言える．
この19 世紀の「方程式論→拡大体・Galois 群」という変化と同じ規模のパラダイム・シフトが，20世紀の数論幾何の発展を経て起こった．
それが，「拡大体・Galois 群→ Galois 表現」という定式化・研究対象の移行であり，現在の代数的整数論の中心的な研究対象はGalois 表現である，と言ってしまっても過言ではないと
思われる．この移行について解説するのが本稿の目的の一つである．”
0181現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 09:22:10.21ID:1rI4QMvS似たような話(パラダイム・シフト)は、ちらっと見た下記にもあったように思う
http://www.nippyo.co.jp/book/6681.html
ガロア理論と表現論 ゼータ関数への出発 黒川 信重 著
ISBNコード978-4-535-78589-2 発刊日：2014.11（中旬刊）
現代数学の基盤をなす《ガロア理論》と《表現論》のコンパクトな入門書。2つの理論を土台に、読者を《ゼータ関数論》へと促す。
■『ガロア理論と表現論』正誤情報のページ
第2章 表現論
2.0 はじめに：なぜ、表現論と双対性か
2.1 群の表現論と双対性の起源
2.2 有限アーベル群の表現論と双対性
2.3 ポアソン和公式とフーリエ展開
2.4 有限群の表現論と双対性
2.5 補足
第3章 ガロア表現論
3.0 はじめに：ガロア表現
3.1 ゼータとは何か？
3.2 ゼータの統一
3.3 類体論
3.4 楕円曲線と保型形式
3.5 通常のラングランズ予想
3.6 正標数のラングランズ予想
3.7 幾何学的ラングランズ予想
3.8 ラングランズ予想を超えて？
3.9 おわりに
0182現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 09:44:04.87ID:1rI4QMvSいま（その３）2015年04月16日まで来ています。結構新しい
http://blog.livedoor.jp/ron1827-algebras/
龍孫江の数学日誌 あらためてしっかり「数学書を読む」ブログです. 現在はぼやいたりため息をついたりしながら 永田雅宜先生の名著『可換体論』を読んでいます.
抜粋
§3.1 超越基 (その１) 2015年04月01日
第３章以降は, 有限次とは限らない体拡大にガロアの理論を拡張することを目標としています.
とはいえ, 有限という仮定をひとたび外したならばそれは未開の荒野を行くようなものでありまして, 体拡大にも, 群にも, それぞれに有限の場合とは段違いの知見を必要とします.
一口に無限次拡大といっても, 有限次拡大の延長に過ぎない場合と, そもそも本質的に有限にはなりえない場合とがあります.
すべての体は整域の商体として表されます. L/K が代数拡大の場合には, L を商体とする K 代数は L 自身しかありません.
これに対して, 超越拡大の場合には L を商体とする K 代数で整域でないものが存在します [例えば, 純超越拡大 L=K(S) は多項式環 K[S] の商体].
代数拡大を扱っているうちは体しか出てこなかったので, 体のカテゴリーの中だけで話が進みましたが, 第３章以降で体以外の環を考察する理由はここにあります.
整域自身を調べればその商体のことは自ずからわかりますから, 超越拡大体の考察には積極的に環論の技法が用いられます.
体は環なのに今さらなぜ環論を, と思われるかもしれません.
体は確かに環の一種なのですが, その特殊性故に一般的な環の理論が適用しにくいところがあります.
良し悪しではなく, 環論と体論の志向性と踏み込みの違いです.
0183現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 15:51:59.72ID:1rI4QMvS超越拡大の場合に環になるのは下記にもある
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/infinite-Galois.pdf
ガロア理論 松本 眞 平成18 年11 月22 日
（抜粋）
定理1.11. α ∈ L ⊂ K に対し、環同型
K[t]/Φα(t) ≡ K[α] ⊂ L
が存在する。もし、α がK 上代数的なら、K[α] は体である。
K 上超越的なら、K[α] は多項式環K[t] と同型である。
証明. 前半はすでに示されている。「代数的なら体」というのは、次の二つの
補題の帰結である。超越的なら、'Φα(t) = 0 より、左辺が多項式環と同型になる。
0184１３２人目の素数さん
2015/04/25(土) 16:55:54.29ID:NUHAx/1J（φ(s) + s）/2 < a という事実は
＞φ(c) = φ(s) － a < 0
で暗に使っている。
でもわざわざ a をこんな風に取らなくても
φ(s) < a < s
で取ればよさそうに見える。これだと何か問題あるのかな？
>>16の(1)は、R を C とか Q(√2) とか Q(X) とかに変えると成り立たない。
なので証明には、例えば C 無くて R にあるような特徴を使わなければならない。
それが>>153等では「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。 」 ということなんだろう。
いわゆる本質ってやつなのかも。
別の証明を探すなら、これとは違う R の特徴を探す必要がある。
0185１３２人目の素数さん
2015/04/25(土) 17:12:13.96ID:U90x2yR7ヽ ｀!, |i､ ヽ、 |
｀'i､ | .,/ﾋ │ ヽ
ヽ | .,r" │ ,lﾞ │
ﾞl ,,,i´ `=,_ '″ |
| ,,r" ｀"''￢‐-i､,,,、 ］
,,i´ ,,!″ ﾟ'┐ ,/′
,i´ ｝ｰｖ,,、
_,､l′ ,,lﾞ `'r
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0186現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 19:06:53.41ID:1rI4QMvS0187現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 19:12:29.50ID:1rI4QMvSどうも。スレ主です。
アラシだけじゃなく、お客様も居たんだ・・
>φ(s) < a < s
>で取ればよさそうに見える。これだと何か問題あるのかな？
問題ないと思う。（φ(s) + s）/2 は使うなら、別の使い方がありそう
>なので証明には、例えば C 無くて R にあるような特徴を使わなければならない。
>それが>>153等では「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。 」 ということなんだろう。
>いわゆる本質ってやつなのかも。
>別の証明を探すなら、これとは違う R の特徴を探す必要がある。
そうなんだ
完全に同意。で、別の証明を探してようやく見つかった気がする
それを今から書くよ
0188現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 19:15:50.55ID:1rI4QMvShttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1139979586
Yahoo!知恵袋
jmt_maj_aさん 2010/4/26
実数体Rの自己同型は恒等写像に限られる事を示せ。
(ヒント:σを自己同型とする、x＞0ならばx^σ＞0が成り立つ。 それと有理数のちょうみつ性を用いよ）
ベストアンサー以外の回答 dezaike999さん 2010/4/26
1=1*1より、σ(1)=σ(1)*σ(1)
σ(1)≠0だから、σ(1)=1
これより、σは体同型なので、有理数体Ｑ上ではid.である
x>0とする。
x=y^2となるｙがあるから、σ(x)=σ(y)^2>0
従って、x>y→x-y>0→σ(x-y)>0→σ(x)>σ(ｙ)→σは順序を変えない
実数αに対して、αに収束する有理点列{An}をとる
∀ε>0,∃N>0,∀n>Nで -ε<(An-α)<ε
有理数の稠密性より、-ε<r<(An-α)<r'<εなる有理数r,r'がある
σは順序を変えず、Ｑ上ではid.だから、
r<σ(An-α)=An-σ(α）<r'
∴-ε<An-σ(α）<ε
これより、σ(α）=limAn=α
ゆえに、Ｒの自己同型はid.のみである
0189現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 19:21:25.33ID:1rI4QMvSベストアンサーに選ばれた回答 puit578さん 2010/4/26
まず、x^σという書きかたよりσ(x)という書きかたの方が見やすいので、以降、この書きかたで行くことにする。
任意の有理数s/tに対して、σ(s/t)=s/tとなることの証明…※
σ(0)=σ(0+0)=σ(0)+σ(0)より、σ(0)=0となる。
σ(1)=σ(1^2)=σ(1)*σ(1)={σ(1)}^2
σ(1)≠0よりσ(1)=1
任意の正の整数nに対してσ(n)=σ(1)+…+σ(1)=n
また、σ(-n)+σ(n)=σ(-n+n)=0だからσ(-n)=-σ(n)=-nとなる。
よって任意の整数mに対して、σ(m)=mとなることがわかる。
よって任意の有理数s/tに対して (s,tは整数であること、そしてt≠0に注意！)
t*σ(s/t)=σ(t)*σ(s/t)=σ(t(s/t) )=σ(s)=sだから
σ(s/t)=s/tとなることがわかる。
よって任意の有理数s/tに対して、σ(s/t)=s/tとなることが示された （※の証明ここまで）
x＞yのとき、σ(x)-σ(y)={σ(√(x-y) )}^2＞0となるから
σ(x)＞σ(y)となること…○ がいえる。
ある実数zに対してσ(z)＞zとなると仮定する。
有理数の稠密性よりσ(z)＞w＞zをみたす有理数wが存在する。
w＞zだから○よりσ(w)＞σ(z)となる。
ところが※よりσ(w)=wだからw＞σ(z)となるがこれはσ(z)＞wに反し不合理
ある実数zに対してσ(z)＜zとなると仮定する。
有理数の稠密性よりσ(z)＜w’＜zをみたす有理数w’が存在する。
w’＜zだから○よりσ(w’)＜σ(z)となる。
ところが※よりσ(w’)=w’だからw’＜σ(z)となるがこれはσ(z)＜w’に反し不合理
以上より任意の実数zに対してσ(z)=zとなることが示された。
0190現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 20:13:59.28ID:1rI4QMvS私、スレ主の証明
１．（記号説明：基本は>>153を踏襲する。）
恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ Rが存在する．
φ(s) > s ならφ(－s) = －φ(s) < －s なので，必要なら－s をとることによってφ(s) < sとできる．
有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに φ(s) < a < sとなる有理数a が存在する．
２．同型φは、有理数を動かさないこと、また、線形性>>169（即ち環同型写像（>>16）の性質）は、既知とする
３．同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※
∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
４．φ(s) < a < sで、各辺に－aを加えて、φ(s)－a < 0 < s－a となる
５．φ(s－a) ＝φ(s)－a に注意すると、４の後半の不等式は３に反する。（φが(s－a) の符合を変えている！）
６．従って、同型φは恒等写像で無ければならない。
（証明おわり）
0191現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 20:25:06.22ID:1rI4QMvS> ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
この部分を、ずいぶん考えた
が、>>188の収束する有理点列{An}を使うような方法しか思いつかなかった
いや、いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした
0192現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 20:36:18.95ID:1rI4QMvSおっちゃんの証明、正直なにをしようとしているのか、分からなかった
ようやく分かった
ジグソーパズル
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%82%B0%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%83%91%E3%82%BA%E3%83%AB
ジグソーパズルは、1枚の絵を、いくつかのピースと呼ばれる小片に分け、ばらばらにしたものを再び組み立てるというタイプのパズル。
（引用おわり）
ピース一つ一つは、隙間無く綺麗に繋がっている
しかし、それが繋がってどんな絵になっているのか？ それが理解できないと面白くないだろう
証明も同じだ。証明の各ステップは隙間無く綺麗に繋がっている
しかし、それが全体として、どんな絵になっているのか？ その理解なくして、証明が分かったとは言えない
0193現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 20:52:14.96ID:1rI4QMvS・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
の３つセットで理解するのが良いと思うんだ
１つだけでは見えないことが３つセットで見える
なぜ、Aut(R/Q)とAut(C/Q) は違うのか？
（引用おわり）
この３つがセットのジグソーパズル
そう見る方が、美しい絵だろう
0194現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 21:30:48.29ID:1rI4QMvS（引用開始）
”天才は卓越した直観力をもつ。それゆえに天才たり
えたのである。しかし天才の直観に基づいた論理は、
常人は容易に受け付けがたい。常人が受け付けられ
るようにするためには天才の直観を論理化する必要
がある。逆説的だが、直観を正当化するために作業仮
説として直観を排する。それが本稿の立場である。”
（引用おわり）
これには反対だ
論理は大事だ。ジグソーパズルに隙間があったり、うまくはまらないピースがあるのはまずい
だが、論理だけでジグソーパズルの各ピースをいくら眺めたところで、全体の絵は理解できない
全体の絵がどうなっているか理解しようとする努力、天才の直観を自分のものにしようとする努力こそ必要不可欠だろう
0195現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 21:58:24.12ID:1rI4QMvS・Aut(R/Q)とAut(C/Q) との差：結局それは、Rが１次元（数直線）で、Cが２次元（複素平面）であることの差じゃないかな
・一方は２次元の広い自由度が無限群につながる。一方は１次元（数直線）の狭さと順序＆稠密性＆連続性の両立で自由度が無くなり恒等写像のみに
・それに加えて、代数拡大と超越拡大が
・さらに代数拡大全体Q~（代数的数全体の集合で代数閉体）や、不可算無限の超越基底の存在（Zornの補題より） （ここらは本質的にCの世界）
・ここらが、大きなジグソーパズルとして繋がってくる・・
0196現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 23:09:28.99ID:1rI4QMvS(引用開始)
>同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※
> ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
この部分を、ずいぶん考えた
が、>>188の収束する有理点列{An}を使うような方法しか思いつかなかった
いや、いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした
(引用おわり)
・そもそも、直感的に、同型φが符合を変えちゃおかしいだろ？
・φはQを動かさないし、RはQによる収束する有理点列{An}で定義されるんだから
・もっと簡単に、「符合を変えない」が言えると思ったけど
・√x＝yなるyが存在してφ(x)＝φ(y)・φ(y)>0をいうのは一番安直だけど、もっとRの本質で「順序を保つ」だけを純粋に使う証明がないかと。
・それは、>>125のおっちゃんの証明をもう少し簡単にした形でと
・が、良い筋が思いつかなかった・・
0197現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/25(土) 23:24:54.91ID:1rI4QMvS・Qの代数拡大、例えばQ(√2)。√2と、共役な-√2の入れ替え。２次の拡大で、ガロア群の位数は２。Q(√2)⊂R
・これをどんどん進める・・。拡大次数は上がって、ガロア群の位数も大きくなって、いずれ無限大になる
・しかし、Rに到達したら、まわりががちがちに固まって、恒等写像しか存在しない世界に・・。不思議だろ？
・が、Cと比較することで、その不思議さが少し理解できる気がする。Cは２次元なので、自由度が大きいが、Rは１次元で、自由度が小さいからだと
0198現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/26(日) 06:43:04.26ID:veASCBy2・いま、ふと、「Rに到達したら、まわりががちがちに固まって、恒等写像しか存在しない世界に・・」ってことだと、順序＆稠密性＆連続性の３点セットと１次元（数直線）の狭さの両立が、自己同型写像を不自由にしているのかもと
・そうすると、順序だけじゃ証明には不足で、連続が必須か？ あるいは連続までいかない稠密までで証明できるのか？・・・
・連続で１次元（数直線）から、必然的に順序＆稠密性は従う。だから、QからRに向けてどんどん体の拡大を進めて、Rの連続に到達したら、恒等写像しか存在しなくなる。そう理解するのが正しいように思えてきた
・一方、Cの場合は連続に到達しても２次元だから順序は入らない。だから、もっと自由に同型写像を考える余地がある。そう理解するのが正しいように思えてきた・・
0199現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/26(日) 06:48:01.75ID:veASCBy2>>16はいろいろと考えさせられる良い問題だったね
では
0200現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/28(火) 22:00:51.12ID:gRN1Z7RF>(cf. Exercise A-8 and solution)
これ見落としていた
A-8
(a) Show that every field homomorphism from R to R is bijective.
(b) Prove that C is isomorphic to infinitely many different subfields of itself.
A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
Hence, for each real number a,
{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
which implies that α(a)＝ a.
(b) Choose a transcendence basis A for C over Q. Because it is infinite, there is a bijection
α：A→A' from A onto a proper subset.
Extend α to an isomorphism Q(A)→Q(A'), and
then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.
0201現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/28(火) 22:16:32.85ID:gRN1Z7RFbijectiveは恒等写像とは違うと思う。が、解答は恒等写像・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84
数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、
写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。
http://en.wikipedia.org/wiki/Bijection
In mathematics, a bijection (or bijective function or one-to-one correspondence) is a function between the elements of two sets,
where every element of one set is paired with exactly one element of the other set, and every element of the other set is paired with exactly one element of the first set.
There are no unpaired elements. In mathematical terms, a bijective function f: X → Y is a one-to-one (injective) and onto (surjective) mapping of a set X to a set Y.
0202現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/28(火) 22:45:20.05ID:gRN1Z7RFhomomorphism, isomorphic
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B
準同型（じゅんどうけい、homomorphic）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) を持つことを意味する。
構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（どうけい、isomorphic）および同型写像（どうけいしゃぞう、isomorphism）という術語を用いる。
しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。いずれも、「型」の代わりに「形」が用いられることが稀にある。
単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型（たんじゅんどうけい、injective homomorphism, monomorphism）、全準同型（ぜんじゅんどうけい、surjective homomorphism, epimorphism）とも言われる。
0203現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/28(火) 22:59:52.87ID:gRN1Z7RF数学における恒等写像（こうとうしゃぞう、英: identity mapping, identity function）、恒等作用素（こうとうさようそ、英: identity operator）、恒等変換（こうとうへんかん、英: identity transformation）は、
その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような写像である。
集合論の言葉で言えば、恒等写像は恒等関係（こうとうかんけい、英: identity relationである。
0204現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/28(火) 23:01:44.19ID:gRN1Z7RF0205現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/28(火) 23:05:06.38ID:gRN1Z7RF(b)の方
>then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.
これ、Cの中に代数閉包が無数にあると
そんな話を見た記憶があるが・・
はて、どこだっけ？
0206１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 23:08:23.52ID:wepXvwiM0207現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/28(火) 23:16:41.80ID:gRN1Z7RFhttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1120255271
marble_sagaさん 2008/10/2916:30:30
体Ｌの代数拡大が実数ＲになるようなＬはありますか？
ベストアンサーに選ばれた回答 langping08さん 2008/10/31
略
0208現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/28(火) 23:24:04.13ID:gRN1Z7RFども
http://en.wikipedia.org/wiki/Bijection
More mathematical examples and some non-examples
で、”The function f: R → R, f(x) = 2x + 1 is bijective,”だと
一方解答>>200は、”which implies that α(a)＝ a”だ
なので、ちょっと違和感ありなんだ
0209現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 06:12:27.30ID:6XYDeD+qそうそう、体の準同型は実は同型というのがあったね。えーと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B
定義と概要 抜粋
体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。
ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型 (isomorphic into) とよび、さらに全射ならば上への同型 (isomorphic onto) であるという。
また、群や環の準同型、ベクトル空間の線型写像（環上の加群としての準同型）は全単射ならば同型である。
0210現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 06:24:22.18ID:6XYDeD+q「体の準同型は実は同型」は、エム・ポストニコフ（下記）で読んだ
P40に有限次元の空間の一次変換と見なす（有限（そして特別にはガロア）拡大体の場合には）ことで
P42にガロア拡大体の場合に一次変換の知識を使わずにきれに証明している
http://www.amazon.co.jp/dp/B000JAFUOC
ガロアの理論 (1964年) (数学選書) エム・ポストニコフ (著),
0211１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 06:29:02.13ID:YdoQFkzO0212現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 06:29:34.66ID:6XYDeD+qエム・ポストニコフのように、「有限（そして特別にはガロア）拡大体の場合」するのが正しいか、
wikipediaのように制限を付けずに「体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる」と言い切っていいか
にわかには判断できないが
「体の準同型は実は同型」が結構普通だとすると
やっぱ、「bijective→identity mapping の方が適切だろう・・」>>204と
0213現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 06:59:57.13ID:6XYDeD+q>>119 の1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory
P36 The Fundamental Theorem of Galois Theory PROPOSITION 3.2に
Because E has finite degree over F , they are automatically isomorphisms.
とあって、関連の Proposition 2.7 がP29で
(b) If E and Ω
are both splitting fields for f , then each F -homomorphism E →
Ω is an
isomorphism. In particular, any two splitting fields for f are F -isomorphic.
とあったね
なんとなく、エム・ポストニコフのように制限を付けるのが正しいそうだね
ともかく、>>200に戻ると
Proposition 2.7の表現と、A-8 (a) Show that every field homomorphism from R to R is bijective. とを比較すろと
bijectiveをF -isomorphicより強く恒等写像の意味で使っているかも・・
しかし、Milne P27 Maps from simple extensions.で
An F -isomorphism is a bijective F -homomorphism.
An F -homomorphism E → E' of fields is, in particular, an injective F -linear map
of F -vector spaces, and so, if E and E' have the same finite degree over F , then every
F -homomorphism is an F -isomorphism.
だから、やっぱり違和感ありだね
0214現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 07:05:36.86ID:6XYDeD+q0215現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 09:22:46.96ID:6XYDeD+q前にも引用した気がするが
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E9%96%89%E5%8C%85
数学、特に抽象代数学において、体 K の代数的閉包（だいすうてきへいほう、英: algebraic closure）は、代数的に閉じている K の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。
ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつ[1][2][3]ことと、体 K の代数的閉包は K のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。
この本質的な一意性のため、an algebraic closure of K よりむしろ the algebraic closure of K と呼ばれることが多い。
体 K の代数的閉包は K の最大の代数拡大と考えることができる。
このことを見るためには、次のことに注意しよう。L を K の任意の代数拡大とすると、L の代数的閉包は K の代数的閉包でもあり、したがって L は K の代数的閉包に含まれる。
K の代数的閉包はまた K を含む最小の代数的閉体でもある。
なぜならば、M が K を含む任意の代数的閉体であれば、K 上代数的な M の元全体は K の代数的閉包をなすからだ。
体 K の代数的閉包の濃度は、K が無限体ならば K と同じで、K が有限体ならば可算無限である[3]。
例
・代数学の基本定理により、実数体の代数的閉包は複素数体である。
・有理数体の代数的閉包は代数的数体である。
・代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。
・元の個数が素数のベキ q である有限体の代数的閉包は可算無限の濃度をもつ体であって、各正整数 n に対して位数 qn の体のコピーを含む（実はこれらのコピーの和集合である）[4]。
0216現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 09:26:55.30ID:6XYDeD+q>・代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。
「可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。」はいいんかい？
非加算じゃないのか？
0217現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 09:32:38.71ID:6XYDeD+qhttp://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_closure
Examples
There are many countable algebraically closed fields within the complex numbers,
and strictly containing the field of algebraic numbers; these are the algebraic closures of transcendental extensions of the rational numbers, e.g. the algebraic closure of Q(π).
0218現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 09:37:08.66ID:6XYDeD+q超越数が非加算無限存在するから、
then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.>>205
で、超越拡大Q(A')は非加算？
こんな話はさんざんして来た気がする・・
0219現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 09:50:15.73ID:6XYDeD+q・”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”から
・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
・で、拡大体の場合、「対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならない」となる
が正しいとすれば、Qの代数拡大の全てから成る拡大体Q~（代数閉包）からC（複素数体）への拡大（超越拡大）は、非加算無限次元ベクトル拡大
とすれば、基底となる超越数（超越基底）は、非加算なるべし
それら超越基底を使えば、超越拡大Q(A')は非加算なるべし？
だよね
0220現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 10:01:37.18ID:6XYDeD+qhttp://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.（上記に同じ）
P113
REMARK 9.18 What are the automorphisms of C?
There are only two continuous automorphisms (cf. Exercise A-8 and solution).
If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;
then α defines an isomorphism Q(A)→Q(A) that can be extended to an automorphism of C.
Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2
1) A fairly elementary theorem of G. Mackey says that measurable homomorphisms of Lie groups are continuous
(see Theorem B.3, p. 198 of Zimmer, Robert J., Ergodic theory and semisimple groups. Birkh¨auser,1984.)
2)“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...” R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56.
ようやくこれが読めてきた・・
0221１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 10:36:46.26ID:gFNPRser0222現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 11:55:22.10ID:6XYDeD+q0223現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 12:02:53.75ID:6XYDeD+q>What are the automorphisms of C?
>There are only two continuous automorphisms (cf. Exercise A-8 and solution).
>If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;
下記だね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。
（引用おわり）
only two＝自明と、非自明な自己同型 複素共役の二つ
Zorn’s lemmaと選択公理は、同等（同じ結果を導ける）だから、「無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する」と
0224１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 14:01:31.76ID:gFNPRser多様体
0225１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 14:12:03.56ID:0XhIb4uQえ～っと、スレ主の目的に適うようなカリキュラムだと、大体次の順序。
(1)、線型代数、微分積分、集合・位相、簡単な物理、
(2)、群論(必ずしも有限群論とかまで深入りする必要はない)、
1変数複素解析、簡単な常微分方程式を解くこと、
(3)、環と体、実解析、
(4)、ガロア理論。
こんな感じの順序。並行してやってもいいから、しっかり(基本の(1)はハマる位までに)学習すること。
物理は学習した方がいいと思うが、必ずしもしなくていい。
0226１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 14:22:16.30ID:0XhIb4uQホモがする代数も(3)に入るか。
0227現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 14:32:23.84ID:6XYDeD+q>Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2
> 1) A fairly elementary theorem of G. Mackey says that measurable homomorphisms of Lie groups are continuous
> (see Theorem B.3, p. 198 of Zimmer, Robert J., Ergodic theory and semisimple groups. Birkh¨auser,1984.)
> 2)“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...” R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56.
１）there are only two：ここは上記の自明と、非自明な自己同型 複素共役の二つ
because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1：”measurable homomorphisms of Lie groups are continuous”の対偶だね。Lie groupsなんだ・・
２）it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2：
“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...”
the Zorn’s lemmaとthe axiom of choiceとの同等性は既知としている。
３）Non-measurable set
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-measurable_set
つづく
0228現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 14:37:44.79ID:6XYDeD+qつづき
In mathematics, a non-measurable set is a set which cannot be assigned a meaningful "size". The mathematical existence of such sets is construed to shed light on the notions of length, area and volume in formal set theory.
The notion of a non-measurable set has been a source of great controversy since its introduction. Historically, this led Borel and Kolmogorov to formulate probability theory on sets which are constrained to be measurable.
The measurable sets on the line are iterated countable unions and intersections of intervals (called Borel sets) plus-minus null sets.
These sets are rich enough to include every conceivable definition of a set that arises in standard mathematics, but they require a lot of formalism to prove that sets are measurable.
In 1970, Solovay constructed Solovay's model, which shows that it is consistent with standard set theory, excluding uncountable choice, that all subsets of the reals are measurable.
つづく
0229現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 14:39:28.71ID:6XYDeD+qHistorical constructions
The first indication that there might be a problem in defining length for an arbitrary set came from Vitali's theorem.[1]
When you form the union of two disjoint sets, one would expect the measure of the result to be the sum of the measure of the two sets.
A measure with this natural property is called finitely additive.
While a finitely additive measure is sufficient for most intuition of area, and is analogous to Riemann integration,
it is considered insufficient for probability, because conventional modern treatments of sequences of events or random variables demand countable additivity.
In this respect, the plane is similar to the line; there is a finitely additive measure, extending Lebesgue measure, which is invariant under all isometries.
When you increase in dimension the picture gets worse. The Hausdorff paradox and Banach?Tarski paradox show that you can take a three-dimensional ball of radius 1, dissect it into 5 parts, move and rotate the parts and get two balls of radius 1.
Obviously this construction has no meaning in the physical world.
In 1989, A. K. Dewdney published a letter from his friend Arlo Lipof in the Computer Recreations column of the Scientific American
where he describes an underground operation "in a South American country" of doubling gold balls using the Banach?Tarski paradox.[2]
Naturally, this was in the April issue, and "Arlo Lipof" is an anagram of "April Fool".
つづく
0230現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 14:45:46.33ID:6XYDeD+qExample
Consider the unit circle S, and the action on S by a group G consisting of all rational rotations.
Namely, these are rotations by angles which are rational multiples of π.
Here G is countable (more specifically, G is isomorphic to Q/Z) while S is uncountable.
Hence S breaks up into uncountably many orbits under G.
Using the axiom of choice, we could pick a single point from each orbit, obtaining an uncountable subset X ⊂ S with the property that all of its translates by G are disjoint from X and from each other.
The set of those translates partitions the circle into a countable collection of disjoint sets, which are all pairwise congruent (by rational rotations).
The set X will be non-measurable for any rotation-invariant countably additive probability measure on S: if X has zero measure, countable additivity would imply that the whole circle has zero measure.
If X has positive measure, countable additivity would show that the circle has infinite measure.
引用おわり
0231現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 14:52:06.33ID:6XYDeD+qen.wikipedia.org/wiki/Vitali_set 日本語があるね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
抜粋
数学において、ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。
可測集合
集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。; もっと一般的に、区間[a, b] (a ? b) は長さ b ? a を持つと思われる。このような区間を一様な密度の金属棒と見ると、同じように重さも定義可能である。
ルベーグ測度が定められる集合をルベーグ可測集合と呼ぶ。
しかし、ルベーグ測度の構成（カラテオドリの拡張定理を使う）自体からは不可測集合の存在は明らかに分かることではない。
その問題に対する答えは選択公理を仮定するかどうかをも問うことになる。
構成と証明
有理数集合 Q は実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。
この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。
R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。
このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
（引用おわり）
0232現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 15:09:26.81ID:6XYDeD+q>A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
>Hence, for each real number a,
>{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
>which implies that α(a)＝ a.
ここに戻る。
>>190-191で私、スレ主の証明を書いた。そこで
１）第1段”A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.”
２）「いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした」>>191と書いたが
３）やはり「実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある」>>190を示唆しているように思う
４）第2段"{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r}; which implies that α(a)＝ a." は、>>190の４～５に類似だろう。
0233現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 15:19:16.81ID:6XYDeD+qIn 1970, Solovay constructed Solovay's model, >>228
Robert M. Solovay
http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_M._Solovay
Robert Martin Solovay (born December 15, 1938) is an American mathematician specializing in set theory.
Solovay earned his Ph.D. from the University of Chicago in 1964 under the direction of Saunders Mac Lane, with a dissertation on A Functorial Form of the Differentiable Riemann?Roch theorem.
Solovay has spent his career at the University of California at Berkeley, where his Ph.D. students include W. Hugh Woodin and Matthew Foreman.
以下略
0234現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 15:25:44.56ID:6XYDeD+qどうも。スレ主です。
見たけど、まあ良いと思うけど
それぞれ、別にスレがありそうだね
このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ
私の勉強は、副次的な目的として
スレの脱線で、いろんな関連・無関連のテーマは取り上げるよ
また、脱線の範囲は未定義で、なんでもあり。まあ、それが２ちゃんねるらしいと
そういう線で行きましょう
0235１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 15:27:37.90ID:0XhIb4uQ不思議に思うんだが、単純に考えて、環同型写像f：R→Rが満たす式
f(x+y)＝f(x)+f(y)、f(xy)＝f(x)f(y) x、y∈Rは任意 (f(0)＝0)
と、fが逆関数を持つことと、f(x)＝x x∈Qは任意 なることから、
fの式はf(x)＝xになると予想出来なかったのかい？
これは証明する前に少し弄れば難なく予想出来ることだと思うんだけど。
0236現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 15:58:17.06ID:6XYDeD+qちょっと戻る
>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
思うに、実数Rの定義として、収束する有理点列{An}を考えて、A homomorphism α：R→R が、preserves the order だということだろう
だから、明示的に使っているのは、「実数Rの定義として、収束する有理点列{An}」と「順序の保存」。実数の連続性は、表には出ないが、実数Rの定義から従うのだろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
抜粋
完備距離空間（かんびきょりくうかん）は数学用語の一つ。
位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。
「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
完備化
先の完備化の構成法をノルム線型空間に施せばもとの空間を稠密部分空間として含むバナハ空間が得られ、内積空間に施せば元の空間を稠密部分空間として含むヒルベルト空間が得られる。
位相的完備空間
距離空間の完備性は、完備な距離空間が完備でない距離空間に同相となり得るという意味で、距離的性質だが位相的性質ではないことに注意すべきである。
変形版と一般化
一般の位相群に対してもコーシー列は定義できるから、距離構造や完備性の定義および空間の完備化の構成法も、群構造を使ったもので置き換えた変形版を考えることができる。
0237現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 16:15:32.90ID:6XYDeD+qどうも。スレ主です。
いやー、全くそういう発想は無かったね
fの式はf(x)＝xなら自明な同型で、当然環同型写像の性質は満たす
けど、
環同型写像f：R→R
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは代数的数
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは超越数
環同型写像f：C→C
の４つの場合を考えると、どうよ？
f(x+y)＝f(x)+f(y)、f(xy)＝f(x)f(y) x、y∈Fxは任意 （Fxは上記４つ体のいずれか）
fが逆関数を持つことと、f(x)＝x x∈Qは任意
これらは、４つの場合に共通だろ？
上記から直ちにf(x)＝xは出ない。というか、f(x)＝xに限られる実数の場合が例外だと
0238１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 16:39:35.47ID:0XhIb4uQ例えば、関数f(x)のグラフを座標平面上で描いて考えるとかさ。
グラフを描くことは、環同型写像f：R→Rのときしか出来ないじゃん。
他の場合はグラフを描くことは難しいだろう。
順序構造は、実数に特有の性質で、それを生かして証明の前に予想するんだよ。
複素数だと順序構造はなくなるだろう。
0239１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 16:57:20.07ID:0XhIb4uQ関数f(x)のグラフを座標平面上に描けることも、実数体Rが持つの順序構造のおかげ。
他の場合だと、本来4次元空間に描くグラフを2次元のユークリッド平面R^2上に描かなければいけなくなる。
0240１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 17:09:57.11ID:0XhIb4uQ>>239の「実数体Rが持つの順序構造」は「実数体Rが持つ順序構造」と訂正。
「4次元空間」は4次元のユークリッド空間R^4のこと。
0241現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 17:32:55.67ID:6XYDeD+qなるほど、それは、考えとしてはすばらしいね
絶対大事なことだよ
が、一つ問題は、「関数f(x)のグラフを座標平面上で描いて考える」が、環同型写像f：R→Rのとき常に成り立つと言えるかどうかだね
もっと言えば、>>220
"If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;"とあるだろ？
こういう例を、環同型写像f：R→Rの場合にどうやって排除するか
0242現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/29(水) 17:36:37.82ID:6XYDeD+qもっと言えば、「ワイルド」な自己同型>>223 が、実数体Rで排除されるのはなぜか？だ
0243１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 14:47:55.29ID:PyBj3q1M大体こんな感じ。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。fのQへの制限をgとする。
と、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであり、g(x)＝xである。
点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝εとすれば、
g(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|g(x)－g(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、gは点a∈Qで連続である。点a∈Qは任意だから、g：Q→Qは連続である。
よって、f：R→RはQにおいて連続である。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
0244１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 14:51:50.12ID:PyBj3q1M(>>243の続き)
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。
yを実変数とする。点x∈(0,∞)を任意に取る。点ε∈(0,+∞)を任意に取る。
{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。自然数k＝1,2,…を任意に取る。
と、0＜b_k＜εであり、任意のy∈Qに対してf(y)＝yだから、有理数の稠密性から
b_k＞0に対して或る(b_k)(h)∈Qが存在して。b_k＞|f(x＋(b_k)(h))|、x＋(b_k)(h)∈Rとなる。
{b'_j}を各j＝1,2,…に対してb_k＞|f(x＋b'_j)|、x＋b'_j∈Rを両方共に満たし
かつ0に収束するような任意の単調減少な正の有理数列とする。
自然数j＝1,2,…を任意に取る。すると、y_j＝x＋b'_jとすれば、y_j∈Rであり、b_k＞|f(y_j)|である。
点a∈Qを任意に取って、b_kに対して定まる実数δ(b_k)＞0がδ(b_k)＞max(b_k,|y_j|)を満たすとする。
すると、|y_j|＜δ(b_k)であり、|f(x＋a)－f(a－b'_j)|＝|f(x＋b'_j)|＝|f(y_j)|＜b_k。
よって、y_jをy－y_jで置き換えれば、|y－y_j|＜δ(b_k)のとき、|f(y－y_j)|＝|f(y)－f(y_j)|＜b_kとなる。
自然数j＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、y_j＝x＋b'_j→x＋0であり、
よって、|y－x|＜δ(b_k)のとき、|f(y)－f(x)|＜b_kとなる。
自然数k＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、b_k→ε－0。
よって、或る自然数N(ε)が存在して、k＞N(ε)なる自然数kを任意に1つ選んで、ε＞b_kに対して
定まる実数δ(ε)＞0を＝δ(b_k)とすれば、|y－x|＜δ(ε)のとき、|f(y)－f(x)|＜εとなる。
点ε∈(0,+∞)は任意だから、εを(0,+∞)上で走らせれば、任意のε＞0に対してfは点xで連続である。
点x∈(0,+∞)は任意だから、xを(0,+∞)上で走らせれば、f(x)は任意の点x∈(0,+∞)で連続である。
0245１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 14:53:34.96ID:PyBj3q1M(>>244の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
と、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、
f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。
つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、f：R→Rは環同型写像だから、1＝1・1から、f(1)＝(f(1))^2。また、f(1)＝c。
従って、c＝c^2から、c＝0またはc＝1。c＝0とすると、f(x)＝0であり、
定値関数fは逆関数を持たないから、f：R→Rは環同型写像ではないことになって矛盾。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。
0246１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 15:02:44.04ID:PyBj3q1M>>244の
>自然数k＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、b_k→ε－0。
の「j→+∞」は「k→+∞」と訂正。
0247１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 15:09:22.99ID:OHLZd5cd0248１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 15:45:42.68ID:PyBj3q1M>>244の
>{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。
の「単調増加な正の有理数列」は「実数列」と訂正。あと、
>b_k＞0に対して或る(b_k)(h)∈Qが存在して。b_k＞|f(x＋(b_k)(h))|、x＋(b_k)(h)∈Rとなる。
>{b'_j}を各j＝1,2,…に対してb_k＞|f(x＋b'_j)|、x＋b'_j∈Rを両方共に満たし
>かつ0に収束するような任意の単調減少な正の有理数列とする。
の部分の「或る(b_k)(h)∈Q」は「或る(b_k)(h)∈R」、「有理数列」は「実数列」と訂正。
0249１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 15:52:48.84ID:PyBj3q1Mいや、>>248(>>244)の上の部分の
>{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。
では、「有理数列」を「実数列」と訂正。
0250１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 20:21:30.66ID:xdS4uoPQ大間違い。
0251現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/30(木) 20:40:34.27ID:fBm6S7GLなんだ、>>238-240はおっちゃんだったのか？
声が若いから、学生さんと思っていたよ
225なんか見ると、えらく勉強熱心だと思ったが、おっちゃんなら納得だ・・
で、本題だが、また沢山書いてくれたね～（>>243-249）
だが、「そもそも実数とは、有理数体Qを完備化したもの」という視点に立ったらどうよ？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
コーシー列を用いた構成
詳細は「コーシー列#実数の構成」を参照
実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (q, q, q, ...) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート 原隆（九州大学数理学研究院）Last updated: Juy 10, 2007
これは僕の微積の講義ノートの付録として，また「数学II」の補助ノートとして，実数論の初歩を書いたものです．
具体的には「有理数の切断」としての実数の構成を2章で，また「コーシー列の同値類」としての実数の構成を3章で論じた後，両者が基本的に同値なものである事を4章で述べました．
そのあと，更に舞台を拡げて，実数の公理を満たす体は本質的に一つに決まることを簡単に5章で説明してあります．
0252現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/30(木) 20:45:44.40ID:fBm6S7GL「そもそも実数とは、有理数体Qを完備化したもの」という視点に立てば、
>>236にあるように
”>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
思うに、実数Rの定義として、収束する有理点列{An}を考えて、A homomorphism α：R→R が、preserves the order だということだろう
だから、明示的に使っているのは、「実数Rの定義として、収束する有理点列{An}」と「順序の保存」。実数の連続性は、表には出ないが、実数Rの定義から従うのだろう”
で終わっているんじゃない？
0253現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/30(木) 21:08:00.60ID:fBm6S7GL要は、「実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。」>>251
有理コーシー列は、環同型写像f：R→Rで動かないから
有理コーシー列で定まる実数も動かないと
むしろ、有理数体Qを完備化したRを、さらに虚数ｉ で拡大したら、なぜワイルドに？ Ｃってなんだ？と
0254現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/04/30(木) 21:42:16.46ID:fBm6S7GLだから
環同型写像f：R→R・・・有理数体Qを完備化したものだからf(x)=x
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは代数的数・・・完備化されていないから有理コーシー列に影響されない
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは超越数・・・同上
環同型写像f：C→C・・・？？？（あんただれ？）
このC（あんただれ？）にどう答えるかで、数学のレベルとセンスが分かる・・
0255１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 03:03:18.23ID:NPJj25Yb>[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
って完全な間違いだったのか。(f(1))^n＝c^n＝c＝f(1) n∈N/{0}は任意
だからc＝1って一意に求めること出来ないのか。
>>241
じゃ、>>243-246、>>248-249は取り下げ。
0256１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 03:32:34.17ID:NPJj25Ybいや、紙に丁寧に書いていないからよく分からんが、大きな間違いがあるのは>>243-245の第1段終了までのどこかだな。
実数体R上で考えているんだから、>>255のようなことは半ばど～でもいい。
ところでさ、そもそも、「ワイルド」な自己同型って何? 「ワイルド」って一体どういう意味で使っているのだ？
よく分からないが、広く普及しているいい方である「病的な」という表現を使わずに「ワイルド」と区別して使っている以上、
「ワイルド」の意味のニュアンスと「病的な」の意味のニュアンスとは違うのだろう？
そこらへんをはっきりさせくれ。そうしない以上、証明も論理もヘッタクレもない。
0257現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/01(金) 04:02:49.15ID:kLen/OPbおっちゃんどうも。スレ主です。
>ところでさ、そもそも、「ワイルド」な自己同型って何? 「ワイルド」って一体どういう意味で使っているのだ？
元は>>152に書いたが
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B
・体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。[2][3]
（引用おわり）
これは英文の翻訳だね
http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphism
In the case of the complex numbers, C, there is a unique nontrivial automorphism that sends R into R: complex conjugation, but there are infinitely (uncountably) many "wild" automorphisms (assuming the axiom of choice).[2][3]
2.Yale, Paul B. (May 1966). "Automorphisms of the Complex Numbers" (PDF). Mathematics Magazine 39 (3): 135?141. doi:10.2307/2689301. JSTOR 2689301.
http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf
3.Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 22?23, ISBN 0-521-00551-5
0258現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/01(金) 04:22:46.33ID:kLen/OPbhttp://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
One of the best known bits of mathematical folklore is that there are many automorphisms of the field of complex numbers，
i.e .，that the complex numbers can be permuted in many ways (besides the familiar complex conjugation) that preserve addition and multiplication.
As evidence that it is folklore we point out that it appears without proof in a popular projective geometry text [6] as well as an undergraduate algebra text [5].
This expository paper is devoted to a proof of this bit of folklore.
The average mathematician is vaguely aware that
the “wild" automorphisms of the complex number system probably require for their construction the axiom of choice or some equivalent assumption about sets.
In our existence proof for wild automorphisms we illustrate a typical application of Zorn's lemma;
moreover，we present evidence (Theorem 4) that wild automorphisms are so wild that an assumption such as Zorn's lemma or the axiom of choice seems to be essential.
0259現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/01(金) 05:03:25.52ID:kLen/OPbTHEOREM 4. If φ is a wild automorphism of C then φ is a discontinuous mapping of the complex plane onto itself;
in fact，φ leaves a dense subset of the real line pointwise fixed but maps the real line onto a dense subset of the plane.
Proof. By Theorem 2，φ leaves Q (a dense subset of the real line!) pointwise fixed.
By Theorem 3 we can choose b∈R such that φ(b) not∈R.
Every neighborhood of b contains a rational number (which is left fixed by φ) and the number b (which is moved by φ); hence φ is discontinuous.
For every pair of rational numbers， q and r，φ(rb+q) =φ(r)φ(b)+φ(q)=rφ(b) +q.
Thus for a fixed r，{φ (rb+q) | q∈ Q} is a set of images of real numbers which is a dense subset of the horizontal line through rφ(b).
As r varies this horizontalline moves up and down; moreover the various rφ(b) form a dense subset of the(nonhorizontal)line through 0 and φ(b).
Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
This set is contained in φ(R); hence φ(R) is also a dense subset of C.
（引用おわり）
0260現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/01(金) 05:07:43.40ID:kLen/OPb“wild"を、PAUL B. YALE，が使った意味は、上記の通り
0261現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/01(金) 05:27:41.88ID:kLen/OPbhttp://en.wikipedia.org/wiki/Pomona_College
Pomona College is a private liberal arts college located in Claremont, California, United States.
Pomona is an exclusively undergraduate four-year institution and enrolled approximately 1,600 students in fall 2012.
The founding member of the Claremont Colleges, Pomona is a non-sectarian, coeducational school.
Since 1925, the Claremont Colleges, which have grown to include five undergraduate and two graduate institutions,
have provided Pomona's student body with the resources of a larger university while maintaining the benefits of a small college.
0262現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/01(金) 05:37:53.45ID:kLen/OPbwww.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1515-1.pdf
数理解析研究所講究録
1515 巻2006 年1-24
体のモデル理論とその応用
東海大学理学部情報数理学科板井昌典(Masanori ITAI)
Department of Mathematical Sciences
Tokai University, Hiratsuka, Japan
RIMS 共同研究(2006 年3 月13 日\sim 3 月17 日) において, 体のモデル理論に関して行った講
義ノートである.
代数的構造のモデル理論は大きな成果をあげてきた. とくに体や群については詳細な結果が得
られている. また, これらの成果を用いて代数幾何や数論幾何の未解決問題も解決された.
0263現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/01(金) 05:45:18.67ID:kLen/OPbhttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1658-22.pdf
数理解析研究所講究録
第1658 巻2009 年228-256
論理・集合・実数・物理・測定: 量子集合論と量子力学の観測問題*
名古屋大学・大学院情報科学研究科小澤正直
0264１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 06:01:47.76ID:NPJj25YbWe shall call any automorphism of C which is not I_C nor complex conjugation a wild automorphism of C.
を訳すと、「ワイルドな」複素数体Cの自己同型写像の定義は、恒等関数I_Cでも複素共役でもないような
任意のCの自己同型写像をCの「ワイルド」な自己同型写像というということか。
Cの他の部分体Fのときも同様な「ワイルドな」自己同型写像の定義が出来ると。参考になった。資料サンクス。
まあ、証明はいつになるか分からんが、もし証明出来たら書く。来週水曜まではチョットムリなんで。行方不明になりま～す。
0265１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 06:25:31.70ID:NPJj25Yb環同型写像(実関数)f：R→Rがf(x)＝xになることを導けば、
fは恒等関数I_Rに等しくなって、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0なんだから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドでなく、Rのワイルドな
自己同型写像は存在しないことになって終了していると思うんだよね。
その環同型写像(実関数)f：R→Rがf(x)＝xになることの証明をすればいいと。
証明の方針は>>243-246、>>248-249でいい筈なんだよね。
まあ、来週水曜までは行方不明になってチョットここに書くことはムリなんで。
0266１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 15:09:46.63ID:NPJj25Yb紙に丁寧に書いてはいないが、一応何とか出来たから下に書いておく。確認するけど>>16についての話だよな。
まあ、何れにしろ今日の夜から来週水曜あたりまではチョット暇がなく応対は出来ない。
環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝εとすれば、
f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。
点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。つまり、f：R→RはQにおいて連続である。
ここに、fは環同型写像だから、任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
0267１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 15:17:14.18ID:NPJj25Yb(>>266の続き)
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。xをx＞0なる実変数とする。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aを任意に取る。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0についてY→a-0のときf(Y)→f(a)であって、
2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。
ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを両方共に任意に取る。
すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、
Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。
よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜bが両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは両方共に任意だから、
Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。
εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。
よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への拡大f(X)、X＞0、実関数f(Y)、a＞Y＞0の各(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、
|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。点ε＞0は任意であるから、εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
0268１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 15:22:21.58ID:NPJj25Yb(>>267の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
0269１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 15:26:44.26ID:NPJj25Yb(>>268の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。
従って、c＝c^nであり、c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、c＝0またはc＝1である。
ここで、c＝0とすると、f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。
0270１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 15:28:45.88ID:NPJj25Yb(>>269の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]；Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
0271１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 15:35:42.94ID:NPJj25Ybまあ、これから少なくとも来週水曜までは行方不明ということで。
明日、明後日の土日は書かないんで。
0272１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 16:15:23.26ID:8v2ZcSyv0273１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 16:20:55.85ID:PsYBpom20274１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 16:25:48.28ID:8v2ZcSyv0275１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 16:27:48.98ID:NPJj25Yb能力は分かりかねますが、頑張ってマスターして下さい。
私は今夜から来週水曜あたりまで2チャンに書き込めない状態になりますんで。
0276１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 16:35:49.82ID:blYfwzXF-1=(-1)^3
0277１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 17:03:28.68ID:NPJj25Yb見落としがあった。>>269の[第2段]は次のように訂正。正確には
nが奇数のときとnが偶数のときとで場合分けをする必要がある。
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。
従って、c＝c^n。nが奇数のときc＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
nが偶数のときc＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、c＝0またはc＝±1である。
ここで、c＝0とすると、f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
次にc＝－1とすると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、nをn≧2なる任意の偶数とすると、(f(1))^n＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^n＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。
0278１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 17:06:21.06ID:NPJj25Yb0279１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 20:20:31.96ID:MMtIcg7tあってない
0280１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 03:29:16.24ID:Pww9JTYC＞f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ここが問題かな。
ちなみに f(1)=1 は(単位的)環の準同型の定義に含まれている。
0281１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 12:38:47.81ID:G/fDOEPQ線形代数くらい知ってるとして、アルティンのガロア理論なら、全部で82ページ(英語)。
1章の線形が20ページ、メインの2章だけなら50ページ。
ググっただけで、自分では意味もわからん内容を数年コピペするだけで進歩のない
誰かさんより、アルティンがんばって連休中に読めば、よほど理解が進むよ。
ガロア理論じたいは、それだけならそんなに難しくはない。今ならちくま文庫版
あるしね。
アルティンの本は理論の概略しか書いてないので、本当は群環体を普通に
勉強したほうがいいけどね。
0282現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/04(月) 17:41:57.95ID:jADohwWIどうも。スレ主です。
ID:G/fDOEPQさんに全面同意だね
ググっただけで、自分では意味もわからん内容を数年コピペするだけで進歩のないが、スレ主を意味することも含めてね
アルティンより、Ｃｏｘをお薦めするよ
本格的な勉強（院を目指す）を考えるなら
和と英（原書）との併読を
http://www.amazon.co.jp/Galois-Theory-Pure-Applied-Mathematics/dp/1118072057
Galois Theory (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts) (英語) ハードカバー ? 2012/3/27
David A. Cox (著)
0283現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/04(月) 19:47:04.31ID:jADohwWIそういえば、私スレ主が、おっちゃんの主題のおかけで少しレベルアップしたんだ
それが、>>33だ
まず前スレより
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/517
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
517 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/03/13(金) 22:32:55.89 ID:09ioS4MW
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう
0284現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/04(月) 19:52:19.22ID:jADohwWIどうかこの問題にコメントして、ID:G/fDOEPQさまのレベルの高さを示してくださいまし・・（笑い） ＨａＨａＨａ！
0285現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/04(月) 21:19:14.57ID:jADohwWIおっちゃんの主題のおかけで
↓
おっちゃんの出題のおかけで
（本題）
そういえば、>>258 http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
が面白かった。
連休道中ずっと読んでいた・・
" 6. Concluding remarks の
3. As the final comment I mention an additional bit of mathematical folklore.
In [1] it is claimed，without proof or reference to the proof，that the
cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). I have heard this from other
sources and am convinced that it is true although 1 do not know where the proof may be found.
References
1. R. Baer，Li nearAlgebra and Projective Geometry，Ac ademic Press，Ne w York，19 52，p. 63.
*)ALFo:アレフ・ゼロ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0 （アレフが文字化けするので書き換えた） "
0286現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/04(月) 21:33:02.82ID:jADohwWI”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で
超越次数については、>>111-112にあって、「Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。」（日、英）、”of cardinality reasons, Trg(C:Q)= beth_1 (read "beth one", see Beth number).”（独）が参考になるだろう
0287現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/04(月) 21:37:24.65ID:jADohwWI”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で、1966年当時 PAUL B. YALE，Pomona Collegeは、
”I have heard this from other sources and am convinced that it is true although I do not know where the proof may be found.” だった
いま、2015年。いまでも証明不明だろうか？
0288現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/04(月) 21:45:28.05ID:jADohwWI関連で、私スレ主も>>283に示したように、おっちゃんの出題をひねって、”連続濃度の”べきの濃度”"とした
”連続濃度の”べきの濃度”"は、普通の数学本では扱われることが少ない
だから結構難問になるのかも・・・
>>283も、”I mention an additional bit of mathematical folklore.”と言ってみたい気もする今日この頃
0289現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/04(月) 22:12:58.60ID:jADohwWI”Let G is a multiplicative group formed by some complex number without zero,
the cardinality of the set of G is 2^(2^ALFo*).”
*)ALFo: aleph-zero http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number
0290現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/04(月) 23:19:30.74ID:jADohwWIhttp://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
P138 "A special case of Theorem 5A comprises part of the proof of Theorem 3.
In that proof we showed that the only extensions of IR to R(i) =C send i to ±i.
If we combine Theorems 5A and B we find that any isomorphism with domain
F and range F' can be extended to F(α) unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."
に対して
" 6. Concluding remarks の
2. It is not true that any isomorphism between subfields of C can be extended to an automorphism of C.
In particular there are isomorphisms with domain C whose range is properly contained in C.
For example, choose αI,α2,α3,... , a countable set of complex numbers that are algebraically independent over Q.
There is an isomorphism, φ, of Q(α1, α2, ... ) into itself such that φ(αi) =αi+1.
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊂ domain θ, and α1 transcendental over range θ}
leads to a maximal isomorphism, ψ^-1, whose domain is all of C but such that α1 is not in the range.
Note that ψ^-1 is an example of an isomorphism defined on a subfield, F, of C which cannot be extended to F(α1)."
が解答だろう
0291現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/04(月) 23:27:42.18ID:jADohwWI6. Concluding remarks の2. は、証明を書いているが、これは例外的な記述法
普通は、6. Concluding remarks では証明は書かない、証明を書くならその前だ
”If we combine Theorems 5A and B we find that any isomorphism with domain
F and range F' can be extended to F(α) unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."が分かり難い
「αがF上の超越拡大であり、そして、F'上に複素数の超越数が存在しなければ」の否定（unless）?
これと、 6. Concluding remarks の2.の証明との繋がりが、いまいち理解できなかった・・
0292現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 05:55:08.95ID:8svvg2D/Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊂ domain θ・・
↓
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊆ domain θ・・
（注：⊂→⊆ まあ分かるだろうけど（∵⊂に等号成立を含む場合も多いから）正確なコピペはこれ）
0293現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 06:18:32.89ID:8svvg2D/もう一つ訂正があった
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ・・・
↓
Applying Zorn's lemma to F（ヒゲ）= {θ|θ is an isomorphism extending φ・・・
（注：F（ヒゲ）は、ヒゲ文字。これのフォントが無いんだよね。まあ、原文PDFを読んでもらえば良いのだが・・）
0294現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 06:24:45.61ID:8svvg2D/ヒゲ文字参考
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/6545/moji/deutsch.html
（抜粋）
ドイツ文字
中世ヨーロッパ的な雰囲気の漂う書体です．別名ヒゲ文字とも呼ばれています．
現在はドイツ語を著す書体としては装飾目的以外にはあまり使われてないようです．
ただし，高度な数学の数式中の文字としてはよく使用されています．
ドイツ文字の典型的な注意点ではありますが…
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%83%88%E3%82%A5%E3%83%BC%E3%83%AB
（抜粋）
フラクトゥール（独：De-Fraktur.ogg Fraktur[ヘルプ/ファイル]、フラクトゥーア）は、ドイツ文字、亀の子文字、亀甲文字、ひげ文字などとも呼ばれる書体である。ドイツでは、第二次世界大戦頃までこの書体を印刷に常用していた。
フラクトゥールは、中世のヨーロッパで広く使われた、写本やカリグラフィーの書体を基にした活字体・ブラックレターの一種であり、最も有名なものである。
時には、ブラックレターを全部指して「フラクトゥール」と呼ぶこともある。
フラクトゥールの語源は、古いラテン語の分詞、frangere（壊す）、fractus（壊れた）であり、他のブラックレターや現在よく使われるローマ字体であるアンティカ体に比べて線が崩れているところに特徴がある。
0295現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 06:35:37.37ID:8svvg2D/http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%82%BF%E3%83%BC
（抜粋）
ブラックレター（Blackletter）はアルファベットの書体の一つ。
西ヨーロッパで12世紀から15世紀にかけて使われていたが、ドイツにおいてはフラクトゥール（ドイツ文字）と呼ばれるものが20世紀まで用いられていた。
このため、ブラックレター全体を指してフラクトゥールと呼ぶこともある。
また、日本語においてゴシック体と呼ばれる書体はアルファベットの書体としてはサンセリフであり、英語においてゴシック体（Gothic Script）と言うと通常はブラックレターを指すので注意を要する。
ゴシックという呼称
ルネサンス期のヒューマニスト達はローマ帝国から使われていたローマン書体を敬愛しており、ブラックレターを洗練されていないものとして嫌っていたため、蔑称として「ゴシック」という呼称が15世紀イタリアにおいて使われ始めた。
「ゴシック」という語は、ローマ帝国に侵入しその滅亡の一因となったゴート族に由来しており、この場合は「洗練されていない」「野蛮」といった意味で用いられている。
なお、ブラックレターだけが「ゴシック」と呼ばれた訳ではなく、
前述のカロリング小文字体やアンティーク文字、ヒューマニストが古代ローマで用いられていたと考え古代文字と呼んだ書体（実際はカール大帝の時代に作られたもの）なども
洗練されていない粗野な書体として「ゴシック」というレッテルを貼られていた。
0296現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 06:47:26.48ID:8svvg2D/http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5111281.html
質問者：strinasacchi 質問日時：2009/07/09 13:38
ドイツ語の旧字体(ひげ文字)のフォントを提供しているサイトを教えて下さい.
No.2ベストアンサー
回答者：elttac 回答日時：2009/07/09
参考 URL のサイトの，「Gothic」→「Medieval」のカテゴリをご覧ください。ここから，ご所望のひげ文字（フラクトゥール）をはじめとして，ブラックレター体のフォントが数多く無料で入手できます。
気に入ったものをお探しになって，ご利用になるとよいでしょう。
参考URL：http://www.dafont.com/
No.1ベストアンサー
回答者：trgovec 回答日時：2009/07/09
http://www.morscher.com/3r/fonts/fraktur.htm
その他 fraktur font で検索すれば見つかります。A が U のような形をしているのが見分けるポイントです。
0297現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 06:56:46.95ID:8svvg2D/さすがに、最近ドイツヒゲ文字は見ないが、少し古い数学本ではよく使われていた
PAUL B. YALE，Pomona College氏も、1966年だから、ドイツヒゲ文字使ったんだろう
が、２ちゃんねるには合わない
まあ、こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある
そういう意味では、>>277-278のおっちゃんの努力を見ると「えらいなー」と思う反面、「ちょっとキャラが違う・・」という気がする
大体、私は自分で証明を考える前に、どこかに落ちてないか探すけどね、易しいのは別として
で、証明見て分からんときに考えるか、納得できないときに別証明を考える
この板では、出題の場合以外は、オリジナルの証明を書くことはまずない。どこかの証明のURLとそのコピペが基本だ
0298現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 07:09:22.63ID:8svvg2D/書いていて分かった・・
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊆ domain θ, and α1 transcendental over range θ}
leads to a maximal isomorphism, ψ^-1, whose domain is all of C but such that α1 is not in the range.
Note that ψ^-1 is an example of an isomorphism defined on a subfield, F, of C which cannot be extended to F(α1)
か。えらいことを考えているねー
普通、体の同型は一対一なんだ、特に有限の場合は
しかし、有限でない場合は、上記のように逆射が”α1 is not in the range ”に出来るというわけか
”へー”ですね
で、” α1 transcendental over range θ ”の場合は、”which cannot be extended to F(α1) ”だと
それで、”unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."とつながる
0299現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 07:21:07.07ID:8svvg2D/isomorphismはこの通りだが、Extending automorphisms to C （P140）では事情が違う
unless の例外は存在しない
だから
THEOREM 7. Any automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C.
なのだ
それで、”6. Concluding remarks.の
1. Although it is doubtful that anyone will give a complete recipe for an
automorphism of C aside from Ic or complex conjugation, we see from the
Theorem above that any automorphism that can be constructed in a finitely
generated extension of Q can be extended to C.
Thus, for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.”だと
0300現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 12:45:21.35ID:8svvg2D/ちょっと訳すと
for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.
↓
例、次のような自己同型たちが存在する、π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する。
当然、Qは固定で、Rは>>259のTHEOREM 4. にあるように、
”Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
This set is contained in φ(R); hence φ(R) is also a dense subset of C.”で
wild automorphisms になるのだが・・
超越数：π and e の交換
複素数：3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し
の二つの要素が必須なのかね？
”unless α is transcendental over F and there are no complex numbers transcendental over F'.”で
”Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
This set is contained in φ(R); hence φ(R) is also a dense subset of C.”THEOREM 4.>>259 ( b∈R such that φ(b) not∈R )
だから、”b∈R such that φ(b) not∈R”は必須で、”複素数：3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し”がこれに相当する・・
だが、超越数：π and e の交換は必須ではない・・
0301現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 15:13:59.23ID:8svvg2D/some complex number→some complex numbersだな
よって正しくは
”Let G is a multiplicative group formed by some complex numbers without zero,
the cardinality of the set of G is 2^(2^ALFo*).”
*)ALFo: aleph-zero http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number
0302現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 15:28:57.84ID:8svvg2D/Qの拡大、Q(i3^(1/4), π, e)を考えると
π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する自己同型σ考えることは容易だ
THEOREM 7. Any automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C. >>299
により、これを extended to an automorphism of C とすると、>>300の例になるんだ・・
0303現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 16:00:51.22ID:8svvg2D/P140より
THEOREM 7. A ny automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C.
Proof. Let φ be an automorphism of a subfield of C, and let F(ヒゲ) = {θl θ is an
automorphism extending φ to some subfield of C}. The proof that F(ヒゲ) satisfies
the three hypotheses of Zorn's lemma is virtually the same as in the proof of
Theorem 6, the only change necessary is to show that domain σ = range σ instead
of domain σ⊆F^α. We leave this to the reader. Applying Zorn's lemma let
ψ be a maximal member of F(ヒゲ). We must show domain ψ = C. If not, then there
is a complex number, α, not in domain ψ=F. If α is algebraic over F then, by
Theorem 6, we could extend ψ to an automorphism of F^α contradicting the
maximality of ψ in F(ヒゲ). If a is transcendental over F, then by Theorem 5B we
could extend ψ to an automorphism of F(a), sending α to α for example, since
α is also transcendental over range ψ = F. This again contradicts the maximality
of ψ, so there can be no complex numbers outside of domain ψ and the proof is complete.
引用おわり
”the only change necessary is to show that domain σ = range σ instead
of domain σ⊆F^α. We leave this to the reader. ”と言われてしまった・・
Zorn's lemma は、使い易いのかね？ よく出てくる・・
追伸
余談だが、F(ヒゲ)では高等数学の雰囲気が壊れるが、ヒゲ文字をこの貧弱な板で簡単に出す方法を知らないのでご勘弁を
0304現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 16:37:54.73ID:8svvg2D/>The proof that F(ヒゲ) satisfies the three hypotheses of Zorn's lemma is virtually the same as in the proof of Theorem 6
http://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
Zorn's lemma, also known as the Kuratowski?Zorn lemma, is a proposition of set theory that states:
Suppose a partially ordered set P has the property that every chain (i.e. totally ordered subset) has an upper bound in P. Then the set P contains at least one maximal element.
It is named after the mathematicians Max Zorn and Kazimierz Kuratowski.
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
集合論においてツォルンの補題（ツォルンのほだい、Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ。
この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。
PAUL B. YALE，Pomona College P139より
ZORN'S LEMMA. If F(ヒゲ) is a nonempty family of subsets of a given set B and F(ヒゲ) has
the chain property, then there is at least one set, M, in F(ヒゲ) such that A ∈ F(ヒゲ) and M⊆A
implies M = A .
ここは、ZORN'S LEMMAの表現がちょっと異なるね
the three hypotheses of Zorn's lemma (THEOREM 6 Proofより)
がいまいちはっきりしない。一つは、nonempty。あと、the chain property（ordered pairs）で二つ。
三つ目は、family of subsets of a given set B かね？
0305現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 16:48:58.13ID:8svvg2D/"Theorem above that any automorphism that can be constructed in a finitely
generated extension of Q can be extended to C."
finitelyに限定された証明なので、" 6. Concluding remarks の
3. As the final comment I mention an additional bit of mathematical folklore.
In [1] it is claimed，without proof or reference to the proof，that the
cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). I have heard this from other
sources and am convinced that it is true although I do not know where the proof may be found.">>285
なんだね
finitelyの限定を外すのが、けっこう大変なんだろうね
0306現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 17:28:19.97ID:8svvg2D/アルティン本を礼賛する時代は終わったと思う
http://www.amazon.co.jp/dp/4480092838
１．分かり易さは、個人で違う。アルティン本が合う人がいることは否定しない
２．が、個人的にはアルティン本の記述は圧縮されすぎている気がする
３．アルティン本の前書きで、「ノートルダム大学の夏期学校の講義ノート」だとある
４．講義のテキストに適する本と独習本に適する本とは違うと思う
５．その点、Ｃｏｘの方が深く広くガロア理論を学べるだろう
（Ｃｏｘ本の良いところは、歴史的ノートが詳しいところだ）
６．アルティン本を副読本として読むのは良いと思うよ
７．なお、GWはほぼ終わりだが、本格的なガロア本を読む前に、通俗ガロア本を読んで概要を掴んでから読むことをお薦めする
0307現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 17:59:40.41ID:8svvg2D/「エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された」（下記）
だから、それ以前のガロア理論を知る世代から見ると、アルティン本は画期的なのだろう（だからの礼賛だった）
が、最近の本は、線型代数学的な定式化はあたりまえ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
抜粋
デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[2]。
早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。
1871年にデデキントは四則演算で閉じた（数の）集合を「体」（独: Korper）と名づけた。
その後、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）によってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。
アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。
0308現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 19:52:37.26ID:8svvg2D/http://www.amazon.co.jp/dp/4000054708
新・数学の学び方 単行本 ? 2015/1/29 小平 邦彦 (編集)出版社: 岩波書店; 新版 (2015/1/29)
内容紹介
「数学がわかる」とはどういうことなのか。13人の数学者が実体験をもとに、それぞれの学び方を綴る。1987年刊の『数学の学び方』に新エッセイ5篇を加えた新版。
編者のほか、深谷賢治、斎藤毅、河東泰之、宮岡洋一、小林俊行、小松彦三郎、飯高茂、岩堀長慶、田村一郎、服部晶夫、河田敬義、藤田宏の各氏が寄稿。
入門的概説書として数学の世界を概観できました。
投稿者 雑学家 投稿日 2015/3/20
自分は日頃から感動のない本を読むことほど馬鹿らしいことはないと思っている。以下略
投稿者 Elizabeth 投稿日 2015/2/13
主に東大教授から構成される、数学者たちからの、数学の学び方指南書。
１３編の読み物のうち、２つ参考になった。
一人目は、小平邦彦氏。
分からない流れはとにかくノートに写して写して写しまくって、
何回も書いてるうちに理解できる、とのこと。
二人目は、河東泰之氏。
この先生のエッセイは、コピーを取って読み返している。
非常にためになる。
この先生のエッセイを読むためにお金を払ったと思い、以下略
0309現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 20:09:40.98ID:8svvg2D/本題
小平 邦彦 P1～「数学に王道なし」
これ面白いよ
P10 旧制中学で、藤原松三郎「代数学」を読み始めたという
”ガロアの理論がどうしてもわからなかった、などという微かな記憶がある”とある
藤原松三郎「代数学」のガロアの理論は第二巻にあるが、これはアルティン流に成る前の原ガロア論文に即した理論なんだ
さすがに、小平 邦彦氏も旧制中学時代には分からなかったのかも・・
P13に再びガロアの理論の話が出てくる
”それから第十一章のガロア理論がどうしてもわからなかったという記憶がある。章末の諸定理のローウィ（Loewy）のガロア理論が載っている。
高校（旧制）の１年のときにこのローウィのガロア理論を詳しく勉強したノートが残っているから、ガロアの理論を読んだのは高校に入ってからであろう。”とある。
なお、”『代数学』で苦心惨憺したお陰でその後高校でも大学でも数学では苦労しないで済むようになった。講義でも本でも克明にノートに書き移せばそれで分かるようになったのである。”と
0310１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 20:13:29.89ID:I/ZPGAW/0311現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 20:48:23.53ID:8svvg2D/藤原松三郎「代数学」第二巻 第十一章 P193 Loewy先生は、1925,1926とある
Loewy先生のガロア理論は、下記と同じか？ なお、Coxガロア和書下P310 歴史ノート 定理8.6.12にもLoewy先生が登場する
Recent Developments in the Inverse Galois Problem: A Joint Summer Research ...
著者: Michael D. Fried, ?Shreeram Shankar Abhyankar - 1995
https://books.google.co.jp/略 ”Loewy galois”で検索請う
Loewy先生は、微分方程式で有名のようだね(1906)
http://en.wikipedia.org/wiki/Loewy_decomposition
Loewy decomposition
0312現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 20:54:20.49ID:8svvg2D/どうも。スレ主です。
松坂代数は、詳しく知らないが、古い本じゃなかったかね？
高木代数も、内容としては古いだろう。ガロア理論は無かったと思う。アーベルの５次代数方程式の非可解までだったろう。なので、副読本だろう
雪江代数は、好みでしょう。合う人合わない人がいるだろう。講義を受けるなら、選択肢ではないだろうが・・。
まあ、目的によるだろうね・・。それと、個人による。辿ってきた数学歴とポテンシャルと嗜好など。
0313１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 20:58:23.41ID:vMiifqnS実際にGW中に読めるかはともかく上でArtinを紹介しているのは分量が少ない
という理由だと思うがスレ主はCoxのガロワ理論 上巻および下巻をそれぞれ
どれくらいの期間で読んだの？
0314現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 21:21:36.34ID:8svvg2D/http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/055c0887eb88f94bceb53b859524c952
とね日記 2014年05月31日 抜粋
代数系入門： 松坂和夫 1976年刊行
理数系書籍のレビュー記事は本書で253冊目。
本書は群、環、加群、体からガロア理論まで学べる昔からある現代代数学の標準的な入門書である。
「ゲージ理論とトポロジーの年表」や「アラン・コンヌ博士の非可換幾何学とは？」という記事を書いてみて代数学の大切さをつくづく思い知らされた。トポロジーにしろ解析学にしろ代数学の理解は欠かせない。
「代数学I 群と環：桂利行」を読み終え、「代数学II 環上の加群：桂利行」を半分くらい読み進めていたのだが、このシリーズはどうも独学には向かない気がしてきて途中で読むのをやめ、松坂先生の本に切り替えていたのだ。結果的にはそうして正解だった。
本書は数学科の大学３年生が学ぶ標準的な代数学の入門書である。
ところが「はしがき」の中で松坂先生は「初学者向きのものであって、読むための予備知識は特に必要ではない。読者はせいぜい高校２年級程度の数学の素養をもっておられれば十分である。」とお書きになっている。
それは違うだろうと思った。僕は高校生の頃、こんなに難しい本は読めなかった。「高校生でも理解できる」という表現は要注意なのだ。理数系の本、特に数学書の中でこの言葉が使われるとき、よくあるのは次の３つのケースである。
ケース１） 著者ご自身が高校生だったころの自分を想像している場合
たいていこのケースが多い。将来数学者になるような高校生は、昔であれ今であれ普通の高校生とはレベルがまったく違う。
第１章：整数
第２章：群
第３章：環と多項式
第４章：ベクトル空間、加群
第５章：体論
第６章：実数、複素数
付録：自然数
群や環はこれまで読んできた本で学んでいたので、僕にとってためになったのは第４章から第５章にかけての加群と体論だった。
0315現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 21:32:21.58ID:8svvg2D/どうも。スレ主です。
数学の本をページ数で計るのは、ちょっと問題だろうね・・
前提としている知識の量が、ページ数が少ないもので、半端でないもの（本）がある
Artinが、分量が少ないからGW中に読める？ まあ、それはその人のレベル次第だわ・・
「Coxのガロワ理論 上巻および下巻をそれぞれどれくらいの期間で読んだ」？ 全部は読んでないよ。面白いところだけつまみ読みだ
具体的には、P411の第１２章「ラグランジュ、ガロワ、クロネッカー」あたり
ガロア本は複数読んでいるし、群論、体論も読んだ本はあるよ
Coxの該当箇所は、斜め読みだよ
レムにスケートは、読んでないね（眺めたが・・）
0316現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 21:35:17.69ID:8svvg2D/そういや、Artinも何度も読んでいるね
マーカーで線を引いている（＾＾
もっとも、文庫本の前だが
0317現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 21:53:18.62ID:8svvg2D/昔の本を書評で「よいしょ」しているのがあってね・・
それにひかれて、古い本というのは、数学に関してはどうだかねー
数学に求められているものが、時代で違うと思うんだよね
戦前は、ソロバンの時代だったろう。そのころの高等数学
そして、時代は進んで、大型電子計算機、電卓、エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・
時代時代で、求められることが違うはず。エクセル、数式処理・・・・・、それらが当たり前になった時代に求められる数学と、ソロバンの時代の数学とは違うと思うんだよね
で、結局は人。「電卓、エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・」は道具。使うのは人で自分だと
だから、原ガロア論文だと。群論のない時代に、手作りで代数的可解性を構築したガロアの行為が、一つのモデルだろうと
「群だ体だ環だ」と、完成された理論を学ぶことも必要だろう。だが、世の中の変化する現実を自分の素手でどう捉えるのか？ それが原ガロア理論であり一つのモデルだろうと
http://www.utnp.org/cat23/yutakamatsuo/20141004.html
2014年10月 4日 東京大学新聞オンライン
松尾豊教授インタビュー第一回
人工知能50年来の革命、ディープラーニングとは？
0318１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 22:30:12.42ID:GBl38+pGﾞ'． ,ト ｀i､ ｀i､ .､″
| .,.:/"" ﾞ‐,. ｀ /
` .,-''ヽ"｀ ヽ,,,、 !
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､/ヽヽ‐ヽ､;,,,,,,,,,-.ッ:''｀ .,"-、
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,.ｲ:､ヽ／ー｀-､-ヽヽヽ､－´ .lﾞ｀-、
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､､::|､､､ヽ,､､. ｀｀｀: : : ｀｀｀ ､.､'｀ .|丶、
.l","ヽ､,"､,"'､ぃ､､,､､、、.、、、.、、､_､.,,．ヽ´ lﾞ ﾞ).._
,､':ﾞl:､､｀:ヽ､｀:､ : ｀"｀｀｀￢――'''"｀ﾞ＾｀ : ..､丶 .lﾞ ｀ヽ
,i´.､ヽ".､".､"'ヽヽ;,:､........、 ､､...,,,､－‘｀ ､‐ |ﾞﾞ:‐,
,.-l,i´.､".`ヽ,,,.".｀ ｀ﾞﾞ'"｀'-ｰ"｀｀"｀｀r-ｰ｀'": _.‐′ 丿 ,!
j".､'ヽ,".､".､"`''｀ｰ､._､、、 、._,、..-‐:'''′ .､,:" 丿
ﾞl,"`"`''ヽヽ"`"｀ ｀｀｀ﾞ'''"ヽ∠、､、､ぃ-｀''''": ｀ ､._.／｀ ._/｀
｀'ｉ｀ヽヽヽ｀''ｰi､､、: : 、.,-‐'｀ 、／｀
｀`ヽン'`"｀ : ｀~｀｀―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,．ー'｀｀＾ ,､‐'"｀
`"'ﾞ―-､,,,,..､、 : ..,､ー'"'｀
: ｀‘"｀―---------‐ヽ｀｀"''''''""
0319現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 22:54:04.92ID:8svvg2D/「群だ体だ環だ」と、抽象数学で終わる時代は過ぎたのでは・・
というと言い過ぎかも知れないが、ソロバンの時代には「群だ体だ環だ」といえば称賛されたのかもね・・
だが、「エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・」あたりまえの時代には
多少の高等関数（サインコサイン程度）はエクセルで処理出来る時代なんだ
浮き世離れした抽象代数だけで珍重された時代は、過ぎた気がする
２１世紀は、２０世紀には浮き世離れした抽象代数と思われた理論が、現実世界と関係を持つ時代じゃ無いかと。うまく言えないが・・
すくなくとも、自分が学んだ抽象代数学を、コンピュータ処理に載せられるくらいでないと・・
２１世紀の世の中で力を発揮できないのでは？
0320現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 22:54:48.07ID:8svvg2D/運営、乙！
0321現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/05(火) 23:33:27.84ID:8svvg2D/ああ、こんなのがあったね
http://science.slashdot.jp/story/12/08/12/0733213/
プログラマーで実際に数学を使っている人ってどれくらいいるの？
ストーリー by headless 2012年08月12日
（抜粋）
数学がいる例 (スコア:5, 参考になる)
by jsi (25633) on 2012年08月12日
FFTによる多倍長計算の高速化
スペクトラムと乱数
テンソルと画像処理
信号処理と微分積分
暗号と強度
高信頼プログラムと論理学
2D/3D, 座標変換(アフィン写像とか)と三角関数
自然現象の解析と分布および非線形性
3Dとガロア体
通信と符号理論
「数学がいらない」とかいう認識であるうちは、世界をリードする技術要素となるテクノロジを生み出すシリコンヴァレーのようなベンチャ企業はでてこないと思ってるけどなあ。
プログラマじゃなくても数学は必要だと思う (スコア:1)
by Technobose (6861) on 2012年08月12日 21時15分
普通の事務屋でも、数学の知識は必要だと思うな。
特に公的団体の事務屋なんて、なんでもやらなければいけないし。
就職して、いろんな仕事を担当するうちに統計とか、幾何学だとかの知識が必要なことが幾たびも・・・。
仕事で必要になって「昔、どこかで教わったことがある」なんて調べてみたら、高校時代や大学で教わってたなんてことがたびたび。
学校にいる間は、先生なりに詳しい友人なりに聞くことができるけど、勤めてしまうと、なかなかそういうチャンスはないし、高校の数学(数学１から代数幾何・基礎解析、確率・統計)くらいまでは、学生時代までにマスターしておくべきだったと身にしみてます。
数学に限らず、学校で教わることって、そのままの形では出てこないけど、考える基礎として必要なものですね。
学校のカリキュラムは、その時代の定説をもとに、夾雑物をそぎ落とした「純粋理論」みたいなものだから、あんまりおもしろいものではないけど、必要なときに、これを手がかりに必要な知識を調べていくことができる道しるべみたいなものだと思いますよ。
で、必要な力は、そういう「道しるべ」みたいな骨格を元に、自分で調べて肉付けしていける能力だろうと思います。
0322現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 05:17:03.16ID:SXg2oFIb小平 邦彦 「数学に王道なし」P16
数学基礎論が分からなかったという
”ゲーデルの不完全性定理はどうやらわかったような気がしたが、コーエンのforcingは遂に分からなかった”という
また、分かるが証明をしらないということもあると
例として、1963年のアティアとシンガーの複素多様体のリーマン－ロッホの定理を証明したというニュースを聞いて、複素解析曲面の分類の研究を始めた話がある
証明は知らないが、定理はよくわかっていたと
同様な例として、代数曲面の特異点解消定理をあげている
”証明はしらないけれどもよくわかっている定理であった”と
”特異点解消定理のような最も基本的で証明が非常に長い定理は、実際には証明は知らないけれどもよく分かっている定理として応用される場合が少なくないと思う”
と書かれている
0323現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 05:35:03.14ID:SXg2oFIb小平 邦彦 「数学に王道なし」P17
”定理の理解を深めるには別証明を考えてみるのが有効である”
”別証明は定理が述べる数学的現象のメカニズムの別な見方を示すからである”
と
実数が非加算であることの小平流別証明をP18-20に書いている
それで、実数の加算部分が極めて小さい部分を占めているに過ぎないことが分かるという
自分なりに解説すると、P17からのカントール流の証明は背理法による。
背理法は、おうおう数学的現象のメカニズムが見えない場合がある
小平流別証明は、背理法を使わない証明を考えたので、これが見える形の証明になったのだろう
話をガロア理論に戻すと、ガロア理論は基本背理法ではないから、数学的現象のメカニズムが見える
0324１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 05:53:08.02ID:iWZualfN>まあ、こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある
これはそうだろうな。書いていて思うんだが、書きにくいし確認しにくいんだわ。
まあ、>>280が指摘してくれた部分だけ次の通り訂正するけどさ。
>＞f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
だと、「AのときA」のようにトートロジーになって同じことを書いただけになっているな。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、
確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。
点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
これで問題ないでしょう。他の>>267-270、>>277は、スレ主の意向を尊重し、訂正して書かないことにする。
0325１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 08:00:47.15ID:xuHONDUIそこだけ訂正しても全体では間違い
0326現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 08:46:27.01ID:SXg2oFIb証明お疲れです
>他の>>267-270、>>277は、スレ主の意向を尊重し、訂正して書かないことにする。
いや、まあ、好きにして良いんだよ
「こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある」が、それは私のであって、貴方のではないだろうから
0327現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 08:46:57.44ID:SXg2oFIbどうも。スレ主です。
レスが早いですね
0328現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 09:06:06.94ID:SXg2oFIbまあ、証明だったら、http://en.wikipedia.org/wiki/MathOverflow とか
あるいは、だれかプロ用日本語サイトでも作れば良いだろう
「書きにくいし確認しにくい」とは、読む方も読みにくいってこと
だが、現在ここ以外にまともな掲示板ないから
おっちゃんの練習場として使って貰う分にはかまわんよ
かつてのKummerさんみたく、読みにくい証明で埋めつくすのはいかがかと思うが・・
0329現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 09:09:29.69ID:SXg2oFIbわざわざ１スレだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
まず、証明のあらすじで１レス
その後、証明の流れで分けて複数レスに
１レスにつめると、ただでさえ読みにくい証明がよけいだろうと
証明を読むのが趣味な人は別として（＾＾
0330１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 09:32:20.99ID:iWZualfNじゃあ、書こうか。>>16を踏襲した上での話でいいよな。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。以後xは有理数変数ではないとする。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
0331１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 09:34:11.42ID:iWZualfNxを実変数とする。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aを任意に取る。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0についてY→a-0のときf(Y)→f(a)であって、
2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。
ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを両方共に任意に取る。
すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、
Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。
よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜bが両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは
両方共に任意だから、Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、
|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への拡大f(X)、X＞0、
実関数f(Y)、a＞Y＞0の(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。
点ε＞0は任意であるから、εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
0332１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 09:37:37.84ID:iWZualfN(書き忘れたが>>331は>>330の続きで、以降は>>331の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
0333１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 09:39:25.40ID:iWZualfN(>>332の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、
1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。従って、c＝c^nを得る。
ここで、nについて場合分けをする。
Case1)：nが3以上の奇数のとき。n－1は2以上の偶数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝±1が条件を満たすか否かを調べる。
Case1-1)：c＝0とする。f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
Case1-2)：次にc＝－1とする。すると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、m≧2なる偶数mを任意に取ると、(f(1))^m＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^m＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
Case1-3)：一方、c＝1とする。すると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは
確かに環同型写像となり、満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case1-1～Case1-3から、nが3以上の奇数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case2)：nが正の偶数のとき。n－1は正の奇数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝1が条件を満たすか否かを調べる。
Case2-1)：c＝0とする。Case1-1と同様に考えると、c≠0。
Case2-2)：c＝1とする。Case1-3と同様に考えると、f：R→Rは
満たすべき条件を満たし、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case2-1、Case2-2から、nが正の偶数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case1、2から、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に求まる。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、fはf(x)＝xと一意に定まる。
0334１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 09:41:17.06ID:iWZualfN(>>333の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]：>16についての話の意味で、Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
0335現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 09:47:47.72ID:SXg2oFIbおっちゃんのために
PAUL B. YALE，Pomona College >>258 より
P137
THEOREM 2. Any isomorphism between sub fields of C extends IQ, the identity map on Q.
THEOREM 3. The only isomorphisms between sub fields of C whose domains include R and which map R into R are IR, Ic, and complex conjugation.
Proof. Let Φ be such an isomorphism, i.e., assume R⊆domain Φ and x∈R
implies Φ(x) ∈R. We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(W)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y).
Now assume a∈R, but that a≠Φ(a). Choose a rational number, q, between a and Φ(a).
Since Φ(q) =q by Theorem 2, the order between a and q is reversed by Φ
and we have a contradiction. Hence a∈R implies Φ(a) =a, i.e., IR⊆Φ.
If Φ≠IR, then the domain of Φ is a sub field of C containing R as a proper subset.
In any such subfield we can find a complex number, a+bi, with b≠O as
well as all real numbers. But, since x+yi=x+y([(a+bi)-a]/b), this implies
that the subfield is C itself. Thus the domain of Φ is C. Consider Φ(i). Since
i^2=-1, [Φ(i)]^2=Φ(-1)=-1. The only roots of x^2=-1 are ±i; hence Φ(i)
= ±i. If Φ(i) =i, then Φ = Ic, and if Φ(i) = -i, then Φ is complex conjugation.
Theorem 2 implies that Q has no nontrivial automorphism, and Theorem 3
implies the same for R. Theorem 3 also implies that a nontrivial automorphism
of a subfield of R cannot be extended to an automorphism of R. For example,
the automorphism σ defined just before Theorem 2 cannot be extended to an automorphism of R.
0336現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 09:53:02.08ID:SXg2oFIb"We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(W)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y)."
実数の二乗を使っている・・
これはこれで分かり易いかも
本題の次のIc, and complex conjugation へつなげて行くために、さらっと証明を済ませる・・
0337現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 09:58:41.41ID:SXg2oFIb実数の自己同型が、IRに限られることを示すだけなら、いろいろありそうだが・・（あるいは、それだけを別のTHEOREMにするか・・）
"Theorem 2 implies that Q has no nontrivial automorphism, and Theorem 3
implies the same for R. Theorem 3 also implies that a nontrivial automorphism
of a subfield of R cannot be extended to an automorphism of R. For example,
the automorphism σ defined just before Theorem 2 cannot be extended to an automorphism of R."
も強調しておこう
これが、RとCの決定的な差だと
0338現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 10:38:42.97ID:SXg2oFIb"We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(ω)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y)."
"for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.
↓
例、次のような自己同型たちが存在する、π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する。">>300
超越数：π and e の交換,π=3.14・・・、e=2.718・・・
上記証明より、π-e=ω^2 として、Φ(ω) not ∈Rで無ければならない。もっと言えば、Φ(ω)=±iωで無ければ整合しない・・
そういう意味でも、Φ(y) -Φ(x) = [Φ(ω)]^2を使う証明は、それなりにautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムを反映していて分かり易いのか
0339現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 10:48:26.57ID:SXg2oFIbhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数かどうかが未解決の例
π+e,π-e [注 4]
[注 4]^ しかしながら、例えば e+π, e-π のうち少なくとも一方は超越数である。これは代数的数全体が体をなすことからわかる。
（引用おわり）
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π と予想するだろうね
なお、 e+π, e-π の両方が代数的数だとすると、その和と差が代数的数で、e、πが超越数であることに反するのか
0340１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 10:57:56.75ID:xuHONDUI間違ってる
0341現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 10:58:08.94ID:SXg2oFIbいまふと思ったが、超越数かどうかが未解決の例：π-e だとすると
π-e=ω^2として、ωがせめて無理数（有理数でない）を証明しておかないと、
"for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, ・・・”
は、安易に言えないんじゃないのかね？ はて？
追記
まあ、仮にωが有理数としても（そんなことはないと思うが）、例示が悪いだけで論文全体の価値には影響しないが・・
0342現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 11:13:41.14ID:SXg2oFIb"range"という用語について
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%80%A4%E5%9F%9F
数学、特に素朴集合論における写像の値域（ちいき、英: range）は、その写像の終域または像の何れかの意味で用いられる。
現代的な用法ではほとんど全ての場合において「像」の意味である。
「値域」("range") は異なる意味で用いられうるから、教科書や論文を読む際にいずれの意味であるかを確かめるのは初手の演習として手頃であろう。
古い本では「値域」を今日でいうところの終域の意味で用いている傾向がある[1][2]。
より現代的な本では大半が今日でいう像の意味で用いる[3]。
紛れを無くす目的で「値域」という語は用いないという本もある[4]。
http://en.wikipedia.org/wiki/Range_%28mathematics%29
In mathematics, and more specifically in naive set theory, the range of a function refers to either the codomain or the image of the function, depending upon usage.
Modern usage almost always uses range to mean image.
As the term "range" can have different meanings, it is considered a good practice to define it the first time it is used in a textbook or article.
Older books, when they use the word "range", tend to use it to mean what is now called the codomain.[1][2]
More modern books, if they use the word "range" at all, generally use it to mean what is now called the image.[3]
To avoid any confusion, a number of modern books don't use the word "range" at all.[4]
0343現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 11:17:45.25ID:SXg2oFIbおっちゃんどうも。スレ主です
証明お疲れです
>>340
ID:xuHONDUI さま、証明チェックお疲れさまです
0344１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 11:18:27.68ID:rMFlGLwZ0345現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 11:20:16.61ID:SXg2oFIbまあ、だれしも普通は、e+π, e-π と予想するだろうね
↓
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π は両方超越数と予想するだろうね
0346現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 11:29:11.62ID:SXg2oFIbガロア体？ さあ、あまり詳しくない。というか、勉強した記憶がないけど
「3Dとガロア体」 などとあるから、数学的に良い性質を持っているんだろうね・・
「3Dとガロア体」で検索を掛けると下記。有限体のこと？ 標数が０で無い体だね。詳しくないね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93
有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。
主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ[1]。
応用
・ リード・ソロモン符号など基本的なものを含む多くの誤り検出・訂正は、GF(2)、GF(2^2)、GF(2^4)、GF(2^8)、GF(2^16) などを使う。
・AES、Camelliaなど、2000年代以降の共通鍵暗号の多くは、SボックスにGF(2^8) を使う。
・ 楕円曲線暗号は、きわめて大きな位数の有限体、たとえばGF(2^400) などを使う。
0347１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 11:35:13.38ID:OmisUiBu>>280で指摘した点は問題ない。
代わりに>>267の
＞2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
ここで実変数でも有理数において連続としてしまっていることが問題。
0348１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 12:13:21.05ID:q/rFEr6e＞ZORN'S LEMMA. If F(ヒゲ) is a nonempty family of subsets of a given set B and F(ヒゲ) has
＞the chain property, then there is at least one set, M, in F(ヒゲ) such that A ∈ F(ヒゲ) and M⊆A
＞implies M = A .
＞ここは、ZORN'S LEMMAの表現がちょっと異なるね
Zornの補題の適用対象に合わせているだけだろ。
集合Bの部分集合の空でない族Fに入れる順序を集合間の包含関係としている。
Fの全ての鎖の上界がF内に存在することを F has the chain property で保証している。
0349１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 12:25:08.81ID:iWZualfN>>343
>>347
じゃあ、証明の訂正は、今度もし出来たら書くことにする。
悪いが、今はチョット出来ない。指摘サンクス。
0350現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 14:13:02.28ID:SXg2oFIbどうも。スレ主です。
レスありがとう。Zornの補題は、よく出会うが、真剣に考えたことがない
「上界がF内に存在することを F has the chain property で保証している。」・・か・・
わからんかったが、検索でヒットしたものを貼っておきます
http://math.stackexchange.com/questions/1266621/zorns-lemmas-chain-condition
Zorn's Lemma's chain condition
https://gowers.wordpress.com/2008/08/12/how-to-use-zorns-lemma/
How to use Zorn’s lemma This entry was posted on August 12, 2008
Terence Tao Says:
August 13, 2008 at 3:31 am | Reply
I like to think of Zorn’s lemma as a guarantee that greedy algorithms can go on as long as necessary,
before being stopped by some sort of obstruction (either a chain without an upper bound, or a maximal element).
So any finitary construction that is built via the greedy algorithm
(e.g. selecting a basis for a finite-dimensional vector space greedily)
has a decent chance of extending to the infinitary setting as well by a Zorn’s lemma argument.
Which is of course essentially what you are saying above :-)
0351現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 14:34:23.35ID:SXg2oFIb余談だが、以前１スレで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１スレだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
↓
余談だが、以前１レスで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１レスだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
0352現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 16:13:22.27ID:SXg2oFIbπ-e=ω^2で、π-eが無理数→ωが無理数が言える・・
だから、「π-eがせめて無理数（有理数でない）を証明しておかないと」ってことだね
π-e無理数の証明すでにどこかにあるのかね？
0353１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 18:16:03.12ID:q/rFEr6e＞PAUL B. YALE，Pomona College P139より
に書かれてる chain property の定義を読まなきゃわからないのは当たり前だよ
0354現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 22:23:49.01ID:SXg2oFIbども。読んだが、すぐに理解できなかった・・
いまでも、あまり理解できていない（＾＾
小平流写経>>309がいるかもね・・
0355現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/06(水) 23:45:07.19ID:SXg2oFIb（この事例の写像のワイルドさについて、>>259の補足）
とりあえず、π-e=v として、（証明なしで）vは無理数とする。（もしvが無理数で無ければ、πとeでなく別の二つの適当な超越数を選ぶことができるだろう）
さて、繰り返しになるが、 interchange π and e だから、
-v＝e-π＝Φ(π) -Φ(e) ＝Φ(v)＝Φ(ω^2)＝ [Φ(ω)]^2
Φ(ω)＝±iω＝±i√v＝±√(e^(πi)*v)＝±(e^(πi)*v)^(1/2)
１）これをvのn乗根の場合に拡大すると、その一つの例は(e^(πi)*v)^(1/n)となる
これは、実数ではない
２）vのk乗を考えると、Φ(v^k)＝ [Φ(ω)]^k＝(-v)^k
0<π-e＜1だから、kが増大すると、実数で符合を変えながら、だんだん小さくなり、ゼロに近づく・・
というようなワイルドさになる
（別の二つの実数の超越数α、βで、その差が無理数α-β＝v＞１であって、これをinterchangeした写像で、vのk乗を考えると、
kが増大すると、実数で符合を変えながら、だんだん大きくなり、無限大に近づく・・）
0356現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/07(木) 06:38:35.95ID:iuXUQ2cp１）vのn乗根の場合、当然だがx^n=-vのn個の根が出る。そのどれを選んでも、良い。
実数v^(1/n)は、上記x^n=-vのn個の根の複素数のどれかに移り、もとの実数v^(1/n)の場所には、x^n=-vの複素数根が移ってくる
nが大きくなると、v^(1/n)は１に近づき、また移る先の場所（複素数）の選択肢は増える
２）ということで、これがautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムであり、automorphisms of RがIRに限られる仕掛けだと
つまり、automorphisms of Cの場合、二つの実数α>βで、その差が無理数になるαとβの交換は、可能だ
但し、α-β＝vのn乗根は、automorphisms of Cで別の複素数根に移らなければならない
３）ということで、やはりautomorphisms of Rは、automorphisms of Cとセットで理解することが良さそうだね
0357１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 08:49:56.37ID:1uRQ/Opw>>330-334の証明の訂正出来た。
環同型写像f：R→Rを一価は実関数である。任意の点x∈Qに対してf(x)＝xである。
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
0358１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 08:51:26.47ID:1uRQ/Opw(>>357の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、
1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。従って、c＝c^nを得る。
ここで、nについて場合分けをする。
Case1)：nが3以上の奇数のｂﾆき。n－1は2以上の偶数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝±1が条件を満たすか否かを調べる。
Case1-1)：c＝0とする。f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
Case1-2)：次にc＝－1とする。すると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、m≧2なる偶数mを任意に取ると、(f(1))^m＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^m＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
Case1-3)：一方、c＝1とする。すると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは
確かに環同型写像となり、満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case1-1～Case1-3から、nが3以上の奇数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case2)：nが正の偶数のとき。n－1は正の奇数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝1が条件を満たすか否かを調べる。
Case2-1)：c＝0とする。Case1-1と同様に考えると、c≠0。
Case2-2)：c＝1とする。Case1-3と同様に考えると、f：R→Rは
満たすべき条件を満たし、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case2-1、Case2-2から、nが正の偶数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case1、2から、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に求まる。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、fはf(x)＝xと一意に定まる。
0359１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 08:53:08.06ID:1uRQ/Opw(>>358の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]：>16についての話の意味で、Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
0360１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 09:19:26.53ID:1uRQ/Opw>>125、>>127の方が証明としては簡単だな。
本来f(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる関数f：R→Rは1点で連続ならf(x)＝x・f(1)となるんだが、
選択公理というかハメル基底の存在を認めるとf(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる方程式について
無限個の解fが存在し、かつf(x)＝x x∈Qは任意 なる条件のために、上の手法というか命題が使えなくなるのな。
ハメル基底の定義から、必ず或る有理数はハメル基底に属すんだが。
0361１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 09:24:47.33ID:1uRQ/Opw>>357の最初の文「環同型写像f：R→Rを一価は実関数である。」は「環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。」と訂正。
0362１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 09:33:08.26ID:McWfEUN+間違ってる
0363１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 09:41:22.29ID:1uRQ/Opw>>362
じゃあ、今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。
>>358は問題ないから省略。
0364１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 09:56:39.55ID:1uRQ/Opw>>362
いや、>>363のようなことをすること自体ムリだから、>>125、>>127と同様に
実数体Rは通常の加減乗の演算について環であり、関数f(x)＝xについてf:R→Rは環同型写像で、
確かにfは体Qの体R上の自己同型であってf∈AutQ(R)であり、AutQ(R)≠φ。
今、f∈AutQ(R)を任意に取る。fは体Rの部分環Rの同型写像だから、
点x∈[0,+∞)を任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
よって、x≦yなる2点x、y∈Rを任意に取ってy＝x+z、z∈Rとすれば、f(y)≧f(y)－f(z)＝f(y－z)＝f(x)。
ここで点x∈Rを再度任意に取る。ε＞0を任意に取る。すると、有理数の稠密性から、
両方共に或るr、s∈Qが存在して、r＜x＜s、0＜s－r＜ε。ここで、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであって、
r＝f(r)≦f(x)≦f(s)＝sだから、－ε＜－s＋r≦f(x)－s≦f(x)－x≦s－x≦s－r＜ε、
よって、0≦|f(x)－x|＜ε。ε＞0は任意だから、ε＞0を走らせてε→+0とすれば、
f(x)＝xを得る。点x∈Rは任意だから、任意のx∈Rに対してf(x)＝x。
で終了。
0365１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 14:30:54.62ID:1uRQ/Opw>>363の方法で出来たので書く。今度はxを有理数変数とかせずに
最初から実変数としているから>>347のような問題はないとは思う。
尚、>>358以降は内容的に殆ど同じこと書くだけだから省略。
環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
[第1段]：直線R上の或る点x∈Qで実関数f(x)が連続なることを示す。
矛盾に導くため、直線R上の如何なる点x∈Qにおいてもfが不連続であったとする。
点a_1∈Qを任意に取る。すると或るε_1＞0が存在して任意のδ_1＞0に対して
|x－a_1|＜δ_1であって|f(x)－f(a_1)|＞ε_1となる。
点a_2∈Qを任意に取る。すると或るε_2＞ε_1が存在して任意のδ_1＞δ_2＞0なるδ_2に対して
|x－a_2|＜δ_2であって|f(x)－f(a_2)|＞ε_2となる。
以下同様に帰納的に考えると、各k∈N＼{0}に対して、次の2つの条件
(1)、点a_k∈Qを任意に取ると或るε_k＞0が存在して任意のδ_k＞0に対して
|x－a_k|＜δ_kであって|f(x)－f(a_k)|＞ε_kとなる。
(2)、点a_{k+1}∈Qを任意に取ると或るε_{k+1}＞ε_kが存在して
任意のδ_k＞δ_{k+1}＞0なるδ_{k+2}に対して
|x－a_{k+1}|＜δ_{k+1}であって|f(x)－f(a_{k+1})|＞ε_{k+1}となる。
を両方共に満たすような3つの実数列{a_k}、{ε_k}、{δ_k}が存在する。
ここに、{ε_k}は上に有界な単調増加列であり、{δ_k}は下に有界な正の単調減少列である。
よって、或るN≧2なる自然数Nが存在して、n≧Nのとき
|x－a_n|＜δ_nであって|f(x)－f(a_n)|＞ε_nであり、δ_n＜ε_nとなる。
{δ_k}は下に有界な正の単調減少列であり、その下限Mに収束するから、
或るN'≧2なる自然数N'が存在して、n≧N'のとき|x－a_n|＜M＜|f(x)－f(a_n)|となる。
ここで、n≧N'なる任意の自然数nに対してa_n、ε_n、δ_nは何れも定義されるから、
{δ_k}の下限Mは＝0である。従って、或る自然数nが存在して、|x－a_n|≦M＝0からx＝a_nであり、
故に、|f(x)－f(a_n)|＝0となる。しかし、これは|f(x)－f(a_n)|＞ε_n＞0なることに反し矛盾する。
故に、直線R上の或る点x∈Qで実関数f(x)は連続である。
ここに、fは環同型写像だから、任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
0366１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 14:33:05.13ID:1uRQ/Opw(>>365の続き)
[第2段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aでf(x)が連続とする。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0について
Y→a-0のときf(Y)→f(a)であって、2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、
bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、
|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを
両方共に任意に取る。すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、
|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、
3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜b
が両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは両方共に任意だから、
Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、
|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への
拡大f(X)、X＞0、実関数f(Y)、a＞Y＞0の(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、
|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。点ε＞0は任意であるから、
εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
0367１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 14:35:13.24ID:1uRQ/Opw(>>366の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、
f(1/m)＝f(1)/m。よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。
つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
0368１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 14:57:20.44ID:1uRQ/Opw>>365の第1段は次のようにウマく訂正して読んで。「点x∈Rが存在する」を書き忘れちゃったところがある。
>|x－a_1|＜δ_1であって|f(x)－f(a_1)|＞ε_1となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_2|＜δ_2であって|f(x)－f(a_2)|＞ε_2となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_k|＜δ_kであって|f(x)－f(a_k)|＞ε_kとなる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_{k+1}|＜δ_{k+1}であって|f(x)－f(a_{k+1})|＞ε_{k+1}となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_n|＜δ_nであって|f(x)－f(a_n)|＞ε_nであり、δ_n＜ε_nとなる「点x∈Rが存在する」。
>或るN'≧2なる自然数N'が存在して、n≧N'のとき|x－a_n|＜M＜|f(x)－f(a_n)|となる「点x∈Rが存在する」。
0369１３２人目の素数さん
2015/05/07(木) 21:34:19.24ID:McWfEUN+間違ってる
0370１３２人目の素数さん
2015/05/08(金) 07:15:23.98ID:uxOegTmtまあ、やはり>>363のようなことをすること自体ムリだから、この件の証明は>>364で終了。
選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。
0371１３２人目の素数さん
2015/05/08(金) 18:12:25.11ID:hq5Aa7Ty0372１３２人目の素数さん
2015/05/08(金) 19:15:15.27ID:uvDu7qfL0373現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 06:40:13.90ID:rm0w8Qw4おっちゃん、お疲れです。スレ主です。
>今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。>>363
これはお説のように、「選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。」>>370が正解みたやね
例えば、下記の有名な”Cauchy's functional equation”に、”f(q) = q f(1), q ∈ Q”の証明はある
しかし、”Properties of other solutions”には、We prove below that any other solutions must be highly pathological functions.と、
また”Proof of the existence of other solutions”には、Note that this method is highly non-constructive, relying as it does on the axiom of choice.だと
結局、それは無理だと
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation
Cauchy's functional equation
Proof of solution over rationals
f(q) = q f(1), q ∈ Q
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
数学における病的な（びょうてきな、英語: pathological）事象とは、その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるようなもののことを言う。
『病的な関数』の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが微分可能ではない、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。
微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが微分可能ではない関数となるため、そのような性質の『病的な関数』は少なくとも微分可能な関数と同じ数だけ多く存在することが分かる。
実際、ベールのカテゴリー定理により、連続な関数は一般的あるいは生来的には、至る所で微分不可能なものであるということが示される。
http://en.wikipedia.org/wiki/Pathological_%28mathematics%29
Computer science
In computer science, pathological has a slightly different sense with regard to the study of algorithms.
Here, an input (or set of inputs) is said to be pathological if it causes atypical behavior from the algorithm, such as a violation of its average case complexity, or even its correctness.
0374現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 06:48:32.99ID:rm0w8Qw4どうも。スレ主です。理解が足りないんじゃないかな？
単にハメル基底だとか濃度だとか、そりゃー近視眼。 例えば下記
http://junology.hatenablog.com/entry/2013/07/13/153722
f(x+y)=f(x)+f(y) の時、f は何か？ junologyのブログ 2013-07-13
（抜粋）
大学学部2年生の線形代数の演習で、次が出題された：
問： 写像 f:R→R が、任意の x,y∈R について f(x+y)=f(x)+f(y) であるとする。
この時、f はR?線形写像か？
f(x+y)=f(x)+f(y) は R を加法群、つまり Z?加群として見た時の準同型であることを意味している。
ここで、R が Z?加群として、divisible（日本語では「可除」か？）であるので、自然にQ?加群と思うと、f が Q?線形であることは直ちにわかる。
ところが、選択公理を知っている人がちょっと考えれば、これは R?線形にはならないことがすぐにわかる。
それは、R に Q?線形空間としての基底、いわゆる Hamel 基底を入れれば確認できる。
この条件 f(x+y)=f(x)+f(y) は、wikipedia によると「Cauchy の関数等式」と呼ばれているらしい
（Cauchy's functional equation - Wikipedia, the free encyclopedia）。
では、Cauchy の関数等式を満たす関数 f:R→R は、いつR?線形になるだろうか。
ε-δ式の議論とか、有理数が実数上稠密であることの位相的（あるいは解析的）意味を知っているならば、f に連続性を課せば良いことがすぐにわかる。
つまり、次が成立する：
命題1： f:R→R は Cauchy の関数等式を満たすとする。
この時 f が R?線形であるための必要十分条件は、f が連続であること。
ところで、我々は、不連続な写像 R→R を沢山知っている。
ならば、是非とも問の反例を具体的に構成してみたくなる。
だが、その望みを打ち砕く命題が、[1]*1の§6の問題になっていた。
命題2
f:R→R は Cauchy の関数等式を満たすとする。
この時 f が連続であるための必要十分条件は、f が Lebesgue 可測であること。
（以下略）
0375現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 06:58:10.36ID:rm0w8Qw4まあ、要は、 junologyのブログ 2013-07-13によれば、
キーワードは、線形代数、加法群、選択公理、線形空間の基底、Hamel基底、ε-δ、連続性、不連続な写像 R→R、Lebesgue可測 だと
学部数学の多くの部分と関係しているんじゃないのかね？
まあ、junologyのブログ 2013-07-13でも読んでみなさいよ
0376現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 07:31:13.43ID:rm0w8Qw4”２）ということで、これがautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムであり、automorphisms of RがIRに限られる仕掛けだと
つまり、automorphisms of Cの場合、二つの実数α>βで、その差が無理数になるαとβの交換は、可能だ
但し、α-β＝vのn乗根は、automorphisms of Cで別の複素数根に移らなければならない”
で、
１．二つの実数α>βが超越数で、その差が超越数なら問題なく上記は言える
２．この超越数という制限は、どこまで緩和できるか？
３．二つの実数α>βが無理数で、その差が無理数なら上記は言えるか？ どうも言えそうな気がするが、証明は得ていない
４．上記で、正確には「二つの実数α>βが無理数で」としなければならなかった。これは当然で、お気付きと思うが、訂正しておく
0377１３２人目の素数さん
2015/05/09(土) 08:32:11.08ID:EW/Xkw4Y嵌めるキチガイのようにハメル基底連呼して濃度論ぐっだぐだ意味もなく証明に使う使えると勘違いし続けてる様は
可能性は低いがもしも将来訳が分かる様になれたら非常に黒歴史となるんだろうなぁ・・・。
0378現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 09:19:09.56ID:rm0w8Qw4こういう対比もできるんじゃないかな？
１）「加群自己同型」（「Cauchy の関数等式」） f(x+y)=f(x)+f(y) ←→「体自己同型」f(x+y)=f(x)+f(y) ＆ f(x*y)=f(x)*f(y)
Rでは、「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。
（∵順序が保存される。あるいは、x-yの平方根が適切にR上に写像できないから）
が、条件を緩めた「加群自己同型」では、不連続な写像でLebesgue 可測でないものが、選択公理を認めると存在しうる。>>374
２）R←→C
R(実数)では、「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。が、条件をC（複素数）にすると、不連続な写像が、選択公理を認めると存在しうる。>>299
（これは、１）において条件を緩めると、選択公理から不連続な写像の存在を証明することができるのに似ている）
この不連続な写像について、Lebesgue 可測か否かは、よくわからない。Lebesgue 可測をよく理解していないので
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6
解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、
選択公理によって R^n の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを証明できる。
ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。
0379現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 09:55:32.75ID:rm0w8Qw40380現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 12:38:32.72ID:rm0w8Qw4下記のファイルが参考になるだろう
http://www-dimat.unipv.it/giulio/linkedmaterial/af/notaHamel.pdf
Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013
http://www-dimat.unipv.it/giulio/
GIULIO SCHIMPERNA
Dipartimento di Matematica,
Universita di Pavia
Via Ferrata 1, I-27100 Pavia (ITALY)
https://www.math.ualberta.ca/~xinweiyu/217.1.13f/217-20130913.pdf
Review VII Example: Applications of single variable calculus: Additive functions Xinwei Yu University of Alberta Canada 217-20130913
https://www.math.ualberta.ca/~xinweiyu/217.1.13f/
University of Alberta Canada
0381現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 13:12:31.54ID:rm0w8Qw4そういえば、有限体の応用で、実験計画法の直交表割り付けの話があったような・・
下記かな
http://park.itc.u-tokyo.ac.jp/atstat/takemura-talks/090623-talks-r.html
最近の統計学における代数的諸問題について． 代数的組合せ論シンポジウム．2009年6月24日．(参考資料PDF)(発表PDF）
（抜粋）
http://park.itc.u-tokyo.ac.jp/atstat/takemura-talks/0906-yamagata-sankoushiryou.pdf
代数的組合せ論参考資料(09/06/24) 計算代数統計再入門? Pistone-Wynn 流の実験計画 竹村彰通 2008 年4 月7 日(Ver.2)
各要因の水準が2 水準であるような多因子要因実験の一部実施法は，Wu and Hamada (2000) などの実験計画法の教科書で標準的に解説されている．
しかし，これまでPistone-Wynn 流の解説を何回か聞いていたにもかかわらず，自分には別名関係の扱いが実は多項式環のイデアルの操作そのものであることが理解できていなかった．
最近になって，Aoki and Takemura (2007) の改訂作業において，このことを明確に理解するに至った．
直交表の利用が我が国で始まったとするならば，その代数的側面をこれまで見過ごして来たのは残念なことである．
代数統計の観点から，実験計画法の数学への新たな貢献を目標とすべきである．
http://park.itc.u-tokyo.ac.jp/atstat/takemura-talks/0906-yamagata-slide.pdf
最近の統計学における代数的諸問題について 東大情報理工・数理情報竹村彰通 2009 年6 月24 日
（抜粋）
計算(応用) と理論が車の両輪として発展
{ 「計算できる代数」がさまざまな分野で応用される中で，統計の問題も扱われてきた．
グレブナー基底をキーワードとして具体的な問題に対して具体的な答を出してくれる代数学．
{ 統計で扱われている問題や概念が，代数の理論的
観点からも新たな視点を与える．
0382現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 17:57:33.16ID:rm0w8Qw4下記「(1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけないことを示す。」というのがあった
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n12382
コーシーの関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y) neko_dora_nukoさん（最終更新日時:2014/5/23）投稿日：2013/6/16
Qを有理数全体の集合、Rを実数全体の集合とする。
f:R→R
f(x+y)=f(x)+f(y)....(1)
(1)をみたす関数f(x)はQ上で
f(x)=f(1)x....(2)
となる。さらに、f(x)が連続関数であれば、R上で(2)が成り立つ。
Zornの補題を使うと、(1)を満たす連続でない関数が存在することが分かる。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11108569136
このノートでは、(1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけないことを示す。
（証明）
f(x)は(1)をみたす関数とする。ある開区間(a,b)上でf(x)が有界であると仮定する。
g(x)=f(x)-f(1)x
とおくと、g(x)は(1)をみたし、(2)より任意の有理数rにたいし、
g(r)=0....(3)
となる。さらに、g(x)は(a,b)上で有界である。任意のx∈Rにたいし、適当なr∈Qをとることによって、x+r∈(a,b)とすることができる。
(1), (3)より、g(x)=g(x+r)+g(-r)=g(x+r)となるので、g(x)はR上で有界であることが分かる。
あるc∈Rにたいし、g(c)≠0であったとする。g(x)は(1)をみたすので、任意の自然数nにたいし、
g(nc)=ng(c)
となり、g(x)が非有界であることが導かれ、矛盾がでてくる。従って、任意の実数xにたいし、
g(x)=0
となる。よって、f(x)は、R上で(2)が成り立つので、連続である。
したがって、f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。■
より一般的な事実を知りました。
f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。
0383現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 18:00:45.96ID:rm0w8Qw4http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
不連続線型写像
数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる（一次近似）。
空間に位相も入れて（つまり、位相線型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。
非構成的な例
実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見たときの代数基底はハメル基底として知られる（文献によってはもっと広く、ベクトル空間の任意の代数基底の意味で「ハメル基底」の語を用いるものもあるが）。
通約不能な任意の二数は線型独立であることに注意する。例えば 1 と π などはそうで、これらを含むハメル基底を構成することができる。
さらに R から R への写像 f で f(π) = 0 かつそれ以外の基底ベクトルの上には恒等的に作用するようなものを定め、これを R 全体にまで線型に拡張する。
ここで、π に収斂する任意の有理数列 {rn}n を取れば、limn?f(rn) = π だが f(π) = 0 となる。
即ち、作り方から、f は Q-線型（R-線型ではない）となるが、連続でない。f は可測ですらないことに注意（加法的な実函数が線型となることと可測であることとは同値、ゆえに任意の非線型実函数に対してヴィタリ集合が存在する）。
この f の構成法は選択公理に依っている（ハメル基底の存在を示すのにツォルンの補題が要る）。
この例は任意の無限次元ノルム空間上の（終域が自明でない）不連続線型写像の存在についての一般定理に拡張することができる。
0384現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/09(土) 18:03:34.10ID:rm0w8Qw4http://en.wikipedia.org/wiki/Discontinuous_linear_map
Discontinuous linear map
In mathematics, linear maps form an important class of "simple" functions which preserve the algebraic structure of linear spaces and are often used as approximations to more general functions (see linear approximation).
If the spaces involved are also topological spaces (that is, topological vector spaces), then it makes sense to ask whether all linear maps are continuous.
A nonconstructive example
An algebraic basis for the real numbers as a vector space over the rationals is known as a Hamel basis (note that some authors use this term in a broader sense to mean an algebraic basis of any vector space).
Note that any two noncommensurable numbers, say 1 and π, are linearly independent.
One may find a Hamel basis containing them, and define a map f from R to R so that f(π) = 0, f acts as the identity on the rest of the Hamel basis, and extend to all of R by linearity.
Let {rn}n be any sequence of rationals which converges to π. Then limn f(rn) = π, but f(π) = 0.
By construction, f is linear over Q (not over R), but not continuous.
Note that f is also not measurable; an additive real function is linear if and only if it is measurable, so for every such function there is a Vitali set. The construction of f relies on the axiom of choice.
This example can be extended into a general theorem about the existence of discontinuous linear maps on any infinite-dimensional normed space (as long as the codomain is not trivial).
0385現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/10(日) 05:14:42.49ID:cg233oGG>f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。
>より一般的な事実を知りました。
>f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。
"R^2で稠密"については、"Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013">>380にもある
P5 "Theorem 6. If f is a non-linear solution of (1), then the graph of this function
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ R}
is dense in R^2.
The proof can be found e.g. in [Her, Theorem 5.4].
Theorems 4 and 6 suggest that well-behaved solutions of (1) are linear and
that non-linear solutions have to be, in some sense, pathological.
[Her] Horst Herrlich. The Axiom of Choice. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
Lecture Notes in Mathematics 1876."
f(x)が(1)の連続でない解のとき、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界、かつG={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である、という
f は Lebesgue 可測でないとも>>374
想像を絶するpathological振りですね>>373
では
0386現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/10(日) 16:23:43.06ID:cg233oGG"R^2で稠密"（dense in R^2）の証明が、wikipediaにあった。以前見てたんだが、何をやっているか分からなかった・・
自分で証明を少し考えて、その後で見ると、「ああ、なるほど・・」だった
つまり、 f(α) = α + δ, δ ≠ 0の無理数を使って、円”an arbitrary circle, centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y.”で
Cauchy's functional equationを満たす"the point (X, Y) is inside the circle."、X, Yは無理数で円内を具体的に構成できると。∴dense
（文字化けしているかも知れないので、直にwikipediaを見る方が分かりやすいかも）
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation
Properties of other solutions
We prove below that any other solutions must be highly pathological functions.
In particular, we show that any other solution must have the property that its graph y = f(x) is dense in R^2,
i.e. that any disk in the plane (however small) contains a point from the graph.
From this it is easy to prove the various conditions given in the introductory paragraph.
Suppose without loss of generality that f(q) = q ∀ q ∈Q, and f(α) ≠ α for some α ∈R.
Then put f(α) = α + δ, δ ≠ 0.
We now show how to find a point in an arbitrary circle, centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y.
Put β = (y-x)/{δ} and choose a rational number b≠ 0 close to β with:
| β - b | < r/{2 |δ|}
Then choose a rational number a close to α with:
| α - a | < r/{2|b|}
Now put:
X = x + b (α - a)
Y = f(X)
Then using the functional equation, we get:
Y = f(x + b (α - a))
= x + b f(α) - b f(a)
= y - δ β + b f(α) - b f(a)
= y - δ β + b (α + δ) - b a
= y + b (α - a) - δ (β - b)
Because of our choices above, the point (X, Y) is inside the circle.
0387現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/10(日) 16:45:43.25ID:cg233oGG繰り返しになるが
小平いうところの”定理が述べる数学的現象のメカニズム”>>323を自分なりに解すれば
f(α) = α + δ, δ ≠ 0の無理数があれば、任意の有理数の円centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y内に、Cauchy's functional equationを満たす無理数を構成できると
だから、"R^2で稠密"（dense in R^2）
分かり易いね・・、分かってしまえばだが（＾＾
（余談だが、δは一つじゃないんだよね。だから、δの個数分だけそういう点がある・・？ いやはや）
0388１３２人目の素数さん
2015/05/10(日) 16:47:54.16ID:y2IJwnSv／ 〉 〉r-ｰ-《-‐､i...》 ＼ お 前 俺 を パ ソ コ ン の 中 に
／ ／ソ| |,,＿ ＿,{|⌒＼ ＼ イ ン ス ト ー ル し ろ
／ ／ 日 "ﾟ'` {"ﾟ｀lﾘ | ＼
／ / ﾄ.i ,__''_ ! | ＼
／ / ／ l＼ ー .ｲ|､ | ＼
/.､- ￣ヽ ヽ/ヘ￣ヘ / ` ---､ | ＼
/ ∨:::::::〈Ｈ〉::::∨ ヽ| ＼
/ ヽ ./::::::::::| |:::::::| | i ＼
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0389現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/10(日) 16:56:49.52ID:cg233oGG>without loss of generality that f(q) = q ∀ q ∈Q, and f(α) ≠ α for some α ∈R
ここで１点注意
原文にあるように、普通の（病的でない）関数の解では、 f(q) = f(1)q だ。が、簡単のためにf(1)＝１の場合を証明しているんだ （分かっていると思うが念のため）
0390現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/10(日) 16:57:32.09ID:cg233oGG0391小保方さんを支持します。
2015/05/10(日) 18:48:56.07ID:jxOSA8+oli ,li
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| ｰ |「んんっ・・・阪京 ◆.bSuuE0jmcさん！ すてきなおマンコ・・・もぅそんなのイイから早く入れて！」
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| ｰ |「んんっ・・・おアナル・・いいきもち・阪京 ◆.bSuuE0jmcさん！ ・もぅそんなのイイから早く入れて！」
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| ｰ |「んんっ・・阪京 ◆.bSuuE0jmcさん！ ・・どこでもええの・ あんたははげやから・・もぅそんなのイイから早く入れて！」
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0392現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/10(日) 23:35:48.81ID:cg233oGG0393１３２人目の素数さん
2015/05/11(月) 16:56:03.22ID:k6EfpSHp0394現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/15(金) 22:48:57.99ID:Vpc9/yGtどうも。スレ主です。
現代数学の系譜11 は、いま書店にはないだろうね。が
http://www.amazon.co.jp/dp/4320011643
アマゾンには在庫有りだと
彌永本でも読めるよ。これは大きな書店ならあるところも・・
http://www.amazon.co.jp/dp/4621062093
ガロアの時代 ガロアの数学 第二部 数学篇 (シュプリンガー数学クラブ) 単行本（ソフトカバー） ? 2012/6/5 彌永 昌吉 (著)
英文なら、EDWARDSはどうですかね。アマゾンだが
http://www.amazon.co.jp/Galois-Theory-Graduate-Texts-Mathematics/dp/038790980X
Galois Theory (Graduate Texts in Mathematics) (英語) ハードカバー ? 1997/12/1 Harold M. Edwards (著)
0395現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 06:07:34.16ID:3tqJtzYJ”１）「加群自己同型」（「Cauchy の関数等式」） f(x+y)=f(x)+f(y) ←→「体自己同型」f(x+y)=f(x)+f(y) ＆ f(x*y)=f(x)*f(y)
Rでは、「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。”
ここ、自己同型を自己準同型に緩めると、また違う話ができるみたいだね
（下記Richard D. Mabry "Summary. If H is a Hamel basis for a field {F} over a proper subfield of {F}, then H cannot be closed under the taking of products.
"）
http://lsusmath.rickmabry.org/rmabry/rdmrsrch.htm
http://lsusmath.rickmabry.org/rmabry/shades/hamelproducts-rev.pdf
Richard D. Mabry, "No nontrivial Hamel basis is closed under multiplication", Aequationes Mathematicae, 71 (2006), no. 3, 294?299.
http://lsusmath.rickmabry.org/rmabry/
Rick Mabry's Unofficial LSUS home page (LSUS: Louisiana State University Shreveport)
http://www.springer.com/birkhauser/mathematics/journal/10
aequationes mathematicae is an international journal of pure and applied mathematics, which emphasizes functional equations, dynamical systems, iteration theory, combinatorics, and geometry.
0396現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 06:14:54.54ID:3tqJtzYJendomorphism
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B
数学における自己準同型（じこじゅんどうけい、英: endomorphism）とは、ある数学的対象からそれ自身への射（あるいは準同型）のことを言う。
例えば、あるベクトル空間 V の自己準同型は、線型写像 ?: V → V であり、ある群 G の自己準同型は、群準同型 ?: G → G である。
一般に、任意の圏に対して自己準同型を議論することが可能である。集合の圏（英語版）において、自己準同型はある集合 S からそれ自身への函数である。
任意の圏において、X の任意の二つの自己準同型写像の合成は再び X の自己準同型である。X のすべての自己準同型の集合はモノイドを構成し、それは End(X) と表記される（あるいは、圏 C を強調するために EndC(X) と表記される）。
直線 m への上への直交射影は平面上の線型作用素。これは自己準同型であるが自己同型ではない一例である。
http://ejje.weblio.jp/content/endo
ハイパー英語辞書
endo-：…の内側, …の中
印欧語根en：中に、中への意。内側、内部、「…の間で」を表すこともある。
0397現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 08:40:56.65ID:3tqJtzYJ>http://www-dimat.unipv.it/giulio/linkedmaterial/af/notaHamel.pdf
>Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013
Hamel basisが分からないので、これ読み返していた（いまでもまだ”もや”としているが）
P1より
Existence of Hamel basis
Definition 1.
Let V be a vector space over a field K.
We say that B is a Hamel basis in V if B is linearly independent and every vector v ∈ V can be obtained as a linear combination of vectors from B.
This is equivalent to the condition that every x ∈ V can be written in precisely one way as
把ixi （i∈F）
where F is finite, ci ∈ K and xi ∈ B for each i ∈ F.
It is also easy to see that for any vector space W and any map g : B → W
there exists exactly one linear map f : V → W such that f|B = g.
Theorem 1.
Let V be a vector space over K. Let A be a linearly independent subset of V .
Then there exist a Hamel basis B of V such that A ⊆ B. (Any linearly independent set is contained in a basis.)
Proof. Zorn's lemma.
Corollary 1.
Every vector space has a Hamel basis.
Proof. For V = {0} we have a basis B = φ.
If V ≠ {0}, we can take any non-zero element x ∈ V and use Theorem 1 for A = {x}.
In some cases we are able to write down a basis explicitly, for example infinitely-dimensional space or in the following example.
However, the claim that a Hamel basis exists for each vector space over any field already implies AC (see [HR, Form 1A]).
Example 1. Let c00 be the space of all real sequences which have only
finitely many non-zero terms.
Then {e(i); i ∈ N}, where the sequence e(i) is given by e(i)n = δin, is a Hamel basis of this space.
0398現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 08:55:20.67ID:3tqJtzYJ" This is equivalent to the condition that every x ∈ V can be written in precisely one way as
把ixi （i∈F）
where F is finite, ci ∈ K and xi ∈ B for each i ∈ F."
この表記はイタリア流？ （i∈F）where F is finite は、日本では見かけない
下記と対比してください。Fが１から始まる自然数の有限集合ってことかな？
http://mathworld.wolfram.com/HamelBasis.html
Hamel Basis
A basis for the real numbers R, considered as a vector space over the rationals Q, i.e., a set of real numbers {Uα} such that every real number β has a unique representation of the form
β= ri*Uαi,(i=1～n)
where ri is rational and n depends on β.
The axiom of choice is equivalent to the statement: "Every vector space has a vector space basis," and this is the only justification for the existence of a Hamel basis.
0399現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 09:07:57.62ID:3tqJtzYJこの Wolfram の説明が不完全なんだよね
a set of real numbers {Uα} が、Hamel Basisだってことがうたわれてないんだわ（苦笑）
だから、最初読んだときには、意味分からなかった
>>397 GIULIO SCHIMPERNAと対比すると良く分かる
で、>>397-398を総合すると、任意のベクトル空間には、ベクトル空間の基底が取れる by The axiom of choice or Zorn's lemma.
RをQ上のベクトル空間とみたときに、同じようにベクトル空間の基底が取れる。それが、Hamel Basis
ベクトル空間の基底の取り方には任意性があるから、Hamel Basisの取り方も一意ではない
が、一つHamel Basisを定めると、”every real number β has a unique representation of the form
β= ri*Uαi,(i=1～n)
where ri is rational and n depends on β.”になると
まあとりあえず、こんなところまでは分かった・・
0400１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 10:03:30.57ID:zRAlyrD1近くの本屋で注文は出来るよ。Amazonでは入荷予定ありになっている。
それなら、出版社に在庫がある可能性が大で、本屋でも売っていると見るのが妥当だろう。
0401現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 10:32:14.72ID:3tqJtzYJ"http://www-dimat.unipv.it/giulio/linkedmaterial/af/notaHamel.pdf
Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013"
これ、GIULIO SCHIMPERNAじゃないね・・・
ARTIN SLEZIAK氏（Comenius University Bratislava SLOVAK REPUBLIC）だろう
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak/papers/
MARTIN SLEZIAK
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/katc/index.php?jazyk=en
Comenius University Bratislava SLOVAK REPUBLIC
下記PDF文中のP1左上の”pozn/tm/hamel.tex”と下記URLの最後が合うし、P1再下段の注URLは下の”Continuity and sequential continuity January 23, 2006”だし・・
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak/texty/rozne/pozn/tm/hamel.pdf
Hamel basis and additive functions June 26, 2013
http://tthales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak/texty/rozne/pozn/tm/hamel.tex
Existence of Hamel basis
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak/texty/rozne/AC/cont.pdf
Continuity and sequential continuity January 23, 2006
この
P3”Cauchy equation
Theorem 6. There exists a non-continuous solution of (1).
Proof.
There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)
(thus a solution of (1) and (2)) which has not form f(x) = ax.
Therefore f is not continuous by Theorem 5.”だと
0402現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 10:35:59.03ID:3tqJtzYJどうも。スレ主です。
レスありがとうございます
0403現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 10:38:57.51ID:3tqJtzYJ"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)"
？ こんなの許されるのかね？ 急に言われてもわからんね・・
0404１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 10:43:33.62ID:zRAlyrD1いや、実関数f:R→RがR上の或る1点aで通常のε-δによる任意のε＞0に対して或るδ(ε)＞0が定まって
|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜ε という意味での連続なら、fはf(x)＝x・f(1)と求まるのだが、
もしここで「xを有理数変数」、「a∈Q」として任意のε＞0に対して或るδ(ε)＞0が定まって
|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜ε という意味での連続にすると、fが一意にf(x)＝x・f(1)
と求まるかどうかは分からなくなる。いわゆるfのQへの制限が或る1点a∈Qで連続のときfが
一意にf(x)＝x・f(1)と求まるかどうかは分からなくなる。ハメル基底と超越基底の存在性の証明はよく似ていて
どっちもZornの公理を使うから、超越基底が存在する以上、ハメル基底は存在することになる。
0405現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 10:59:32.08ID:3tqJtzYJhttp://shi.matmor.unam.mx/algebra/Ash%20-%20Abstract%20algebra,%201st%20graduate%20year%20course%20(2000)(T)(308s).pdf
Ash - Abstract algebra, 1st graduate year course (2000)(T)(308s).pdf
0406現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 11:01:09.46ID:3tqJtzYJどうも。スレ主です。
おっちゃん、おひさしぶり
ところで、>>403分かりますか？
0407１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 11:01:43.95ID:zRAlyrD1>>404の「Zornの公理」は「Zornの補題」だった。
0408１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 11:04:09.71ID:zRAlyrD1>>403はどの文章？
0409１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 11:08:27.55ID:zRAlyrD1まあ、いいや。>>403に挙げたのしらみつぶしに調べるから待っとれ。
0410現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 11:18:36.78ID:3tqJtzYJ>このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ
Edwards先生関連資料
http://www.ams.org/notices/201207/rtx120700912p.pdf
Galois for 21st-Century Readers HM Edwards AMS 2012
http://www.galois.ihp.fr/wp-content/uploads/2011/12/H.-Edwards.pdf
Galois's Version of Galois Theory Talk Presented at the Galois Bicentennial Insitut Henri Poincare 2011
0411現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 11:35:19.10ID:3tqJtzYJ「Galois's Version of Galois Theory Talk Presented at the Galois Bicentennial Insitut Henri Poincare 2011」より
”In conclusion, I would like to say how pleased and grateful I am to have been invited to participate in this homage to the genius of Evariste Galois on his bicentennial.
Without wanting in any way to disparage my own book on Galois theory, published in 1984, I will say that the part of my book that was its greatest contribution,
and to which I refer most often myself, is the English translation of Galois's Premier Memoire that is in Appendix 1.
As I have tried to explain in this talk, Galois's own exposition offers in many ways the most insightful one of what we call,
and future generations will certainly continue to call, Galois theory.”
0412１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 12:03:03.16ID:zRAlyrD1http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak/texty/rozne/AC/cont.pdf
でのf(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる方程式の解の話か。
V_R(Q)はハメル基底によって張られるQ上のベクトル空間としてのRを指すと。
実質的にはQ上のベクトル空間RをV_R(Q)で書いたのか。
Zornの補題(選択公理)を認め、ハメル基底の存在性を仮定すれば、存在性の定理でなくても
任意の点x∈Rで不連続な解f(x)は具体的に構成出来るよ。
で、例の話だが、ハメル基底に属する実数の取り方は選択公理に依存して、
単純に1と√2は有理数体Q上線型独立で{1,√2}がQ上のベクトル空間になるから
ハメル基底がこれを含むと仮定しても何ら問題ない。
0413現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 12:43:42.37ID:3tqJtzYJ「Galois for 21st-Century Readers Harold M. Edwards」より
In this paper, I have tried to explain the First Memoir to modern readers, going through it proposition by proposition.
The most important proposition, and the one I most emphasize, is Proposition 2, the one about which Galois wrote in the margin,
“There is something to be completed in this proof. I do not have the time”
(the sections “Proposition 2” and “Proposed Revision of Proposition 2” below).
My interpretation suggests how Galois might have stated and proved it given a little more time.
This revised Proposition 2, combined with Proposition 1 (which I also revise, but only to make the statement Galois surely intended),
contains the equivalent of what is now called the fundamental theorem of Galois theory.
I do not assume that the reader has ready access to the First Memoir and have tried to make the explanations stand on their own,
but serious readers would be foolish to be satisfied with my rewarmed version of Galois’s theory.
The original, however flawed and incomplete itmay be, is indisputably one of the most valuable and insightful documents in the history of mathematics.
0414１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 13:26:50.10ID:2Bychd9I0415現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 14:34:08.78ID:3tqJtzYJおっちゃん、どうも。スレ主です。いくつか分からないところがある
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)">>403
１．おそらくb=√2という意図なんだろう。で、 f(√2) = 1だと。また、f(1)= 1だから、√2と１の二つともに写像されるんだ？
２．containingだから、 {1, √2}.のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
３．f(b) = 1の１に意味があるのか？ これが２じゃまずいのか？
というようなことで、なんとなく釈然としないんだ
0416現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 14:35:25.95ID:3tqJtzYJどうも。スレ主です。
それは、ある程度理解できているっていう証拠だろうね
0417現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 14:36:49.71ID:3tqJtzYJ２．containingだから、 {1, √2}.のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
↓
２．containingだから、 {1, √2}.以外の他のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
0418現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 15:17:13.88ID:3tqJtzYJ「Galois for 21st-Century Readers Harold M. Edwards」より
Again, Study the Masters
The introduction to my 1974 book Riemann’s Zeta Function was an exhortation to “Read the classics!”
A few years later I discovered Niels Henrik Abel’s remark that “It appears to me that if one wants to make progress in mathematics one should study the masters and not the pupils,” which then became my constant refrain.
Abel’s contrast of “masters” to “pupils” is an important addition to the message.
“Read the classics” doesn’t just mean read good texts; it means read the texts that gave birth to the subjects or gave them their most vivid statements?those written by the “masters”?not the ones written by later “pupils”,
who themselves learned the ideas from the masters and are trying to make presentations that are more accessible or that conform to newer styles.
I have tried to show here that the ideas expressed by what is now called the fundamental theorem of Galois theory are all contained, in a very effective but terse form, in the first few pages of Galois’s First Memoir.
In the course of the writing,I have been forcefully reminded of the extent to which Galois is the master and I the pupil.
Once again, I advise students to Study the masters!
Thanks to Peter Neumann’s meticulous reexamination of all of Galois’s works?not just of the First Memoir?many more students will now be able to do so.
0419１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 15:21:25.23ID:SzOJXhZcB という集合が一つのハメル基底。
ちょっと表現が気になったので。
b は別に √2 だけのことではなく、B の全ての元のこと。
２．３．はあってる。B の全ての元が 1 にうつる写像を考えている。
1 が 2 になっても問題ない。f(x)=ax の形になってないことが示せるなら何でもいい。
まあでも、普通はできるだけシンプルな例を挙げるでしょ。
0420現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 15:22:51.87ID:3tqJtzYJ要約すると
A few years later I discovered Niels Henrik Abel’s remark that “It appears to me that if one wants to make progress in mathematics one should study the masters and not the pupils,” which then became my constant refrain.
“Read the classics” doesn’t just mean read good texts; it means read the texts that gave birth to the subjects or gave them their most vivid statements - those written by the “masters”- not the ones written by later “pupils”,
I have tried to show here that the ideas expressed by what is now called the fundamental theorem of Galois theory are all contained, in a very effective but terse form, in the first few pages of Galois’s First Memoir.
ということ
「このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ」>>234
0421現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 15:31:57.08ID:3tqJtzYJおっちゃん、どうも。スレ主です。
ありがとう
やはり、ハメル基底については、おっちゃんの方がよく分かっているみたいだね・・
まだもやっとしているところ下記
１．√2は、無理数というところに力点がある気がするんだが・・（無理数の例をつくった） Y/N
２．”There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.”なので、Bは VR(Q) の部分集合だよね。で、全射だが単射ではなくなっている？
３．Bは VR(Q) の部分集合として、制限はないのか？ B＝ VR(Q) としたらどうなる？
0422１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 15:45:37.23ID:SzOJXhZc１．Y
そもそも Q 上線形独立でないとその先につながらない。
Q 上線形独立だからそれを含むハメル基底が取れる。(その文献の Theorem 3)
２．３．
B はハメル基底。B=VR(Q) なんかにはできない。
基底の定義を知らんのか。
0423現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 17:55:50.63ID:3tqJtzYJID:SzOJXhZcさん、どうも。スレ主です。
おっちゃんじゃないか・・。とすると、添削担当のメンターさんか・・
コメントありがとう
>B はハメル基底。B=VR(Q) なんかにはできない。
>基底の定義を知らんのか。
あまり分かっていないので・・、失礼しました
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.>>403
で、
１．Hamel basis Bで構成されるQ上のベクトル空間全体をVBQとすると、VBQ=VR(Q) とできる？（できるよね）
２．もし、１がYとすると、∀b∈Bでf(b) = 1とできる？
３．もし、２がYとすると、f(VBQ)の像は、１の線形結合になるから、Qになる？
0424現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 17:58:38.95ID:3tqJtzYJ３．もし、２がYとすると、f(VBQ)の像は、１の線形結合になるから、Qになる？
↓
３．もし、２がYとすると、VBQの像f(VBQ)は、１の線形結合になるから、Qになる？
が正確な記述かな・・
0425１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 18:33:27.15ID:SzOJXhZc「基底(basis)」と言った時点で全体を生成していなければならない。
（「ベクトル空間全体」というと、ベクトル空間がいくつかあって、それの全体を指してるように見える）
２．これも yes
一般に、V,W を体 K 上のベクトル空間とすると、V から W への K 線形写像は基底の行き先で決まる。
厳密にいえば、 {e_λ} を V の基底とすると、
各 λ に対し w_λ∈W を任意に定めたとき、f(e_λ)=w_λ となるような K 線形写像 f:V→W が一意に存在する。
３．yes
別に全射である必要はないので問題ない。
ちなみに全射である例も作れる。
記述は指摘しようと思ってた。
＞添削担当のメンターさんか・・
no
0426現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/16(土) 20:49:23.42ID:3tqJtzYJどうも。スレ主です。
いやー、レベル高いですねー
おっちゃんでも、メンターさんでもないか・・
レスありがとうございます！
だんだんクリアーになってきた・・
で、まだもやってとしているところ
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)">>403
は、なんとか分かったが、これと
>>382 "f(x+y)=f(x)+f(y)....(1) (1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけない"
"f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。"(>>385-386にも記載あり)
つまり、任意の開区間(a,b)で非有界、及び、グラフの平面(x,f(x))で稠密が上の写像で成り立つのか？
そこがもやっと・・
0427１３２人目の素数さん
2015/05/16(土) 23:30:57.42ID:SzOJXhZcそこで引っかかってたのか。
俺もこの手の写像を詳しく扱ったことはないからよく分からんけど、
まあ成り立つんでしょうねぇ。
経験上、ハメル基底を使って作った写像なんてろくなもんじゃないと思う。
x=a+b√2 (a,b は整数) のところだけでも平面上にプロットしてみたら？
0428１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 05:36:32.79ID:UIlazYs+ちょっくら留守にしていた間に他の人が答えてくれたようだ。
ついでに>>412の
>単純に1と√2は有理数体Q上線型独立で{1,√2}がQ上のベクトル空間になる
の「{1,√2}がQ上のベクトル空間になる」の部分は「基底{1,√2}がQ上のベクトル空間を張る」と訂正。
>>426
＞>>382 "f(x+y)=f(x)+f(y)....(1) (1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけない"
＞"f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。"(>>385-386にも記載あり)
＞
＞つまり、任意の開区間(a,b)で非有界、及び、グラフの平面(x,f(x))で稠密が上の写像で成り立つのか？
＞そこがもやっと・・
まあ、私もよく分からんが、「任意の開区間(a,b)で非有界」なのだから直観的には成り立つだろうね。
開区間(a,b)を任意に狭めても非有界な訳でしょ。ということは、点a∈R^2、ε＞ε'＞0を任意に取って
平面R^2上でaの近傍U(a;ε)、U(a;ε')を取ったらU(a;ε')⊂U(a;ε)だから、f(x＋y)＝f(x)＋f(y)の解f(x)のグラフGを考えたら
aとは異なるような或るGの点bについてb∈U(a;ε')になる。そうでなかったらグラフG上の点b＝(b',f(b'))
のx座標への射影である実数b'が属するような或る開区間においてf(x)が定義されなくなって矛盾が生じる。
0429現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 07:20:43.71ID:joHrS35rどうも。スレ主です。
ID:SzOJXhZcさん、おっちゃん、レスありがとう
お陰ですっきりしました！
>x=a+b√2 (a,b は整数) のところだけでも平面上にプロットしてみたら？
なるほど！ √2にどんな意味が？と思ったが・・、そういうことを考えろ！とヒントになっているんだ・・
Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}で
(a,b は整数)：f(a+b√2)=a+b. y=a'+b'√2として、f(x+y)=a+b+a'+b'=f(x)+f(y)
が成り立つ。 (a,b は有理数)でも同様
「任意の開区間(a",b")で非有界、及び、グラフの平面(x,f(x))で稠密」について考えてみる
１．ここで、”By putting f(b) = 1 for any b ∈ B” の中から、非常に大きな数b1を取って
x=a+b*b1 (a,b は有理数,b1∈B)を考える
a+b*b1が、開区間(a",b")に入るように、a,b は有理数を調整できる
（蛇足だが、bはいくらでも小さく取れるから）
f(a+b*b1)=a+bとなる
２．上記で、b1はけっこういろいろ取れるんだ。きっと。∵Hamel basisは、連続無限個存在するというので
だから、a+bもいろんな値にできるんだ
３．で、抽象的に考えていると纏まらないので、開区間(0,1)として、a=0.5としてみる
b=0.1として、b1≒1とできるとすると、a+b*b1≒0.6でa+b＝1.5
b=0.01として、b1≒10とできるとすると、a+b*b1≒0.51でa+b＝10.5
b=0.001として、b1≒100とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5
・
・
４．上記の思考実験で、非有界はまず間違いないでしょう
グラフの平面(x,f(x))で稠密もおそらく・・（詳しく検証していないが）
前提としては、Hamel basisが、数直線上に稠密に連続無限個するとして（この前提はおそらく正しいのでしょう）
0430現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 07:49:43.95ID:joHrS35rmastersを超えるpupilsは出てくるんだ、いつの時代にも
そこは例外だね。pupilsからmastersに成る人
ところで、下記がヒットしたので貼っておく
http://mathoverflow.net/questions/26811/galois-theory-timeline
Galois theory timeline edited Jun 5 '10
A recent question on the history of Galois theory wasn't the most satisfactory.
But the historical issues do seem quite attractive. They relate to innovation, and to exposition.
There is a perspective (which based on past teaching I don't entirely share) that the periods worth considering are pre-Artin, classic Artin treatment, and post-Artin.
To make the point explicitly, that is to do with the influence of Artin's Galois Theory Notre Dame notes, copyright dates 1940 and 1942.
My issues with this periodisation are primarily to do with a wish to have a proper view of innovation, starting with Galois
(admitting pre-history evident in Gauss and Abel, solution of the quartic, group theory and other contributions in Lagrange).
There is something like this:
抜粋
*Galois
*Liouville writes up the theory
*Riemann surface theory in general, and isogenies of elliptic curves in particular, develop in parallel
*Algebraic number theory uses abelian extensions and Kummer theory extensively
*Steinitz, abstract theory of fields, idea of separable extensions clarified
*New expositions from Emmy Noether and Artin in the 1920s (are these documented, though?), against the background of completing proofs of class field theory, and Artin L-functions
*1930s: Galois theory for infinite extensions is enunciated
This takes us just about to 1940. I think it is a trap to assume Artin in 1940 was lecturing on Galois theory in the precise terms he would have used in the 1920s.
I'd be grateful for help making this tentative timeline more solid. Further interesting things did happen after 1942, but that seems enough for one question.
以下略
0431現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 08:03:02.46ID:joHrS35rついでに
http://mathoverflow.net/questions/27924/galois-theory-timeline-ii
Galois theory timeline (II) edited Jun 12 '10
抜粋
This question is a sequel. I structured the previous one around Emil Artin's classic treatment of Galois theory from the 1940s,
though making clear some reservations of my own about whether Artin should still be in full occupation of this particular ecological niche.
To give context, I find that the table of contents of Algebre et theories galoisiennes by Douady and Douady
(at www.gbv.de/dms/goettingen/349204683.pdf) gives more of an idea of Galois theory as I might understand its scope
(excluding perhaps the final chapter on dessins d'enfant, see http://en.wikipedia.org/wiki/Dessin_d%27enfant, but even that is debatable).
First point would be this: the Douady book is clearly heavily influenced by the work of Grothendieck, particularly SGA1.
So one question is whether SGA1 is really the new orthodoxy on Galois theory, and deserves to be recognised as such? To recap on what happened (c.1960),
*Galois groups are pro-finite groups G, with finite Galois groups being a special case;
*Galois theory is reconciled with an aspect of the topological fundamental group, so that the "Galois theory of coverings",
or at least the part of it relating to finite coverings, can be within the theory rather than just analogous to it;
So the second question is probably: sources of this point of view.
(I have to say parenthetically that expositions of Grothendieck are much needed: the attitude that all you need is to read the man himself plus his students isn't unintelligent, but does also seem a sacred cow.)
There is much else in SGA1, of obvious fertility.
That would be: (Q1) sociological - Galois theory as understood by groups of mathematicians now; (Q2) historical - sorting out SGA1 in its context; and (Q3) surveying further research.
0432現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 08:18:28.64ID:joHrS35rついでに (JS Milneは、例の人でしょうかね？ 余談だが、冒頭の番号体系がよくわからない・・)
http://mathoverflow.net/questions/26557/what-was-galois-theory-like-before-emil-artin
What was Galois theory like before Emil Artin? edited May 31 '10
7
I read that the primitive element theorem for fields was fundamental in expositions of Galois theory before Emil Artin reformulated the subject.
What are the differences between pre and post-Artin Galois theory?
抜粋
9
Actually, it wasn't all that different, except that you first proved the primitive element theorem, and then proved things by choosing a primitive element.
Artin disliked having to make a choice, and his main contribution was show that you can do Galois theory without choosing a primitive element.
It's not obvious to me that this makes things easier or better. You can find the old approach in A.A. Albert's book on algebra. ? JS Milne May 31 '10 at 11:57
2
Charles, the independence of multiplicative characters is usually credited to Dedekind. Galois theory is about separable extensions. ? JS Milne May 31 '10 at 13:11
0433現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 09:08:19.24ID:joHrS35r前提としては、Hamel basisが、数直線上に稠密に連続無限個するとして
↓
前提としては、Hamel basisが、数直線上に稠密に連続無限個存在するとして
0434現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 09:23:15.91ID:joHrS35r余談だが、日本語の情報だけじゃだめだね
それと、早くMathOverflowなどを使った方がいいだろう
2CHとはレベルが違う（2CHは、それなりのよさもあるのだろうが・・）
あと、直感的理解は大事にしたいんだよね
それが>>429なんだ
「天才の直観に基づいた論理は、常人は容易に受け付けがたい。直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。」という見解には反対だな>>124
直観を排して論理を一歩ずつ積み重ねれば分かるという人がいるが、半分正解で半分外れだ
小平 邦彦 「数学に王道なし」P16>>322を紹介したが
（再録）
分かるが証明をしらないということもあると
例として、1963年のアティアとシンガーの複素多様体のリーマン－ロッホの定理を証明したというニュースを聞いて、複素解析曲面の分類の研究を始めた話がある
証明は知らないが、定理はよくわかっていたと
同様な例として、代数曲面の特異点解消定理をあげている
”証明はしらないけれどもよくわかっている定理であった”と
”特異点解消定理のような最も基本的で証明が非常に長い定理は、実際には証明は知らないけれどもよく分かっている定理として応用される場合が少なくないと思う”
と書かれている
（引用おわり）
0435現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 09:35:46.03ID:joHrS35r私事だが、４月に新人が職場に配属になった
「習うより慣れろだ」と言ってやった
「英米に連れて行った子供が、あっという間に現地の子供と遊ぶうちに、英文法を知らずとも英語を話すようになるのと同じだ」と
学校英語：中１の簡単な英文がステップバイステップで、高校では英文法も、大学でも１年、計１０年近くやって話せない・・
ステップバイステップは、一見理にかなっている。が、計１０年近くやって話せない・・（それを職場でやっていると、すぐ首だろう・・）
”あっという間に現地の子供と遊ぶうちに、英文法を知らずとも英語を話すようになる”（習うより慣れろ）
も理にかなっているんだろう
小平流 分かるが証明をしらない：複素多様体のリーマン－ロッホの定理を証明したというニュースを聞いて、複素解析曲面の分類の研究を始めた
小平流 実際には証明は知らないけれどもよく分かっている定理として応用：代数曲面の特異点解消定理
まあ、そんなのはプロでは常識なんでしょうが、
学生時代は、論理の一歩一歩の積み上げ（足腰強化）と、直感的包括的理解（遊ぶうちに細かい文法は知らないが話せるも含め）との両立。これをめざすべきでしょう
小平の原本は、新・数学の学び方 単行本 2015/1/29 小平 邦彦 (編集)出版社: 岩波書店; 新版 (2015/1/29)>>308だ
0436現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 09:38:49.43ID:joHrS35r学校英語：中１の簡単な英文がステップバイステップで、
↓
学校英語：中１の簡単な英文からステップバイステップで、
0437現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 09:49:52.34ID:joHrS35r３．で、抽象的に考えていると纏まらないので、開区間(0,1)として、a=0.5としてみる
b=0.1として、b1≒1とできるとすると、a+b*b1≒0.6でa+b＝1.5
b=0.01として、b1≒10とできるとすると、a+b*b1≒0.51でa+b＝10.5
b=0.001として、b1≒100とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5
・
・
↓
３．で、抽象的に考えていると纏まらないので、開区間(0,1)として、a=0.5としてみる
b=1として、b1≒0.1とできるとすると、a+b*b1≒0.6でa+b＝1.5
b=10として、b1≒0.01とできるとすると、a+b*b1≒0.51でa+b＝10.5
b=100として、b1≒0.001とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5
・
・
(注：すんません。bとb1の関係を逆に考えていた。言い訳だが、アスキー制限なので、bとb1とか紛らわしいが、適当にやっていて自分で落とし穴に入っていた・・。ああ、それと最初b1を大きくしたらと考えていてそれが残っていた・・、b1を小さく取って行くんだ・・)
0438１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 09:53:20.53ID:L7ccwWWGhttp://doluota.blog.fc2.com/
0439１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 10:30:43.38ID:dZ9dZGaK残念ながら稠密とは限らない。
{1,√2}を含むハメル基底 B において、例えば √2 を √2-1 に置き換えてもハメル基底となる。
同様に、B の各元を整数分だけずらしてもハメル基底であることは変わらない。
そうすると、例えば区間 (0,1] に含まれるハメル基底を作ることができる。これは稠密でない。
0440１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 18:31:05.51ID:Qam78Q260441現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 20:24:38.68ID:joHrS35rども。 ID:dZ9dZGaKさん、ありがとう
レベル高いね
ただ、同じことは３時間前に気付いた
{1,√2}を含むハメル基底 Bで、要素の１が効いているんだね
要素１から、任意の整数を作れる
だから、ハメル基底の中で整数成分を持つ要素は、整数部分を除いて基底を再構成することで、区間 (0,1] に納めることは可能だね
で、>>437で訂正したように、”b=100として、b1≒0.001とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5”のように、b1≒0.001のように細かく区間 (0,1] にBの成分が分散して存在すれば良いんだ。
いや、それは、区間 (0,1]で稠密ということだろう・・
0442現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 20:47:13.69ID:joHrS35rだから、>>437で、区間 (0,1]にいくらでも小さなハメル基底 B の要素が存在すれば、非有界は言える
>>439や>>441のようにすれば、「区間 (0,1]にいくらでも小さなハメル基底 B の要素が存在する」は、言えそうだね
が、ハメル基底の取り方に依存しないというのは、どこかで証明しないと行けないのでしょうけどね
あとは、グラフの平面(x,f(x))で稠密が言えるかだが・・
0443現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 23:04:41.49ID:joHrS35rグラフの平面(x,f(x))で稠密が言える？
例えば、x=0.5, f(x)≒2.0 を考えてみよう
x=a+b*b1 (a,b は有理数,b1∈B)で
a=0.47としてみる、b=1.5として、b1≒0.02とできるとすると、a+b*b1≒0.5でa+b＝1.97 となる
a, b, b1の組み合わせは、これ以外にも考えられて、a+b＝1.97をもっと2.0に近づけることは可能だ
これは一例で、x=0.5, f(x)≒2.0 以外の点についても同様の計算は可能
つまり、いくらでも近い点を、a, b, b1の組み合わせで実現できる
だから、稠密は言えそうだね
というか、>>386に示したwikipediaの計算で終わっていたかも知れないが・・
”By putting f(b) = 1 for any b ∈ B ”に即した
もっと、自分なりにすとんと胸に納まる説明がないかと思ったんだよね・・
0444現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/17(日) 23:25:36.58ID:joHrS35rまあ、この計算は、
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)">>403
で、>>439 ID:dZ9dZGaKさんが書かれたように、区間 (0,1] のみ*)に含まれるハメル基底を作ることができる
この場合、ハメル基底Bの要素で、いくらでも0に近い小さい数が存在することが期待できる。１についても同様でしょう
（証明は分かりませんが）
で、ハメル基底の取り方に任意性がある
そこを、おそらく計算の工夫で、>>443のような処理ができると思う
具体的な計算の構成は出来ていないが・・
0445１３２人目の素数さん
2015/05/18(月) 04:42:30.68ID:N1pcoTFNハメル基底Bを定めてBに属する無理数aを任意に1つ取って環Q[a]を考えると
Q⊂Q[a]だから、実数直線R上で考えると、有理数の稠密性から、
0、1に任意に近い有理数なるようなハメル基底の元は無数に取れる。
あと、Q⊂Q[a]⊂RからQ[a]も実数直線R上で稠密だから、無理数の稠密性から、
0、1に任意に近い有理数なるようなQ[a]に属するハメル基底の元は無数に取れる。
よって0、1に任意に近い有理数b、無理数cからなるQ上のベクトル空間を張る
基底{b,c}を取ることが出来る。無理数a∈B＼Qは任意だから、aをB＼Q上で走らせれば、
0、1に任意に近い元からなるようなハメル基底B'＝∪{b,c} c∈B＼Q を構成出来る。
任意の区間に一般化出来ますな。
ちなみに、>>428の「x座標への射影」は「x軸への射影」と訂正。x座標への射影とはいわないな。
0446１３２人目の素数さん
2015/05/18(月) 05:16:32.06ID:N1pcoTFN>>445の
>あと、Q⊂Q[a]⊂RからQ[a]も実数直線R上で稠密だから、無理数の稠密性から、
>0、1に任意に近い有理数なるようなQ[a]に属するハメル基底の元は無数に取れる。
の部分の「有理数」は「無理数」と訂正。この場合、無理数の稠密性は、Q[a]に属する無理数の稠密性になる。
0447１３２人目の素数さん
2015/05/18(月) 05:47:45.26ID:N1pcoTFNまあ、この場合は線型空間か。なので、次のようになる。
区間(0,1]を＝Iで表す。ハメル基底Bを定め、無理数a∈B＼Qを任意に1つ取る。
実数直線R上で考えると、有理数の稠密性から、0、1に任意に近い有理数b∈Iは無数に取れる。
{a.b}を基底とするQ上の線型空間をVで表す。すると、Q⊂V⊂Rからb∈V。
また、V＼Qの点も実数直線R上で稠密だから、無理数の稠密性から、0、1に任意に近い無理数c∈Bの元は無数に取れる。
よって、0、1に任意に近い有理数b∈V、無理数c∈VからなるVの線型部分空間を張る
基底{b,c}を取ることが出来る。無理数a∈B＼Qは任意だから、aをB＼Q上で走らせれば、
0、1に任意に近い元からなるようなハメル基底B'＝∪{b,c} c∈B＼Q を構成出来る。
これも任意の区間に一般化出来る。
>>446の訂正では「Q[a]も実数直線R上で稠密」は「Q[a]の点も実数直線R上で稠密」と訂正。
0448１３２人目の素数さん
2015/05/18(月) 06:05:22.16ID:N1pcoTFNいや、Vの線型部分空間は張らないか。>>447の
>よって、0、1に任意に近い有理数b∈V、無理数c∈VからなるVの線型部分空間を張る
の部分の「Vの線型部分空間を張る」は「体Q上の線型空間Rの線型部分空間を張る」だな。
0449１３２人目の素数さん
2015/05/18(月) 06:13:08.10ID:N1pcoTFNいや、>>448の訂正はいらん。
0450１３２人目の素数さん
2015/05/18(月) 08:24:12.07ID:N1pcoTFNむしろ、>>447では
>0、1に任意に近い無理数c∈Bの元は無数に取れる。
の部分の「無理数c∈Bの元は」を「無理数c∈V＼Qは」と訂正。
0451１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 05:23:45.99ID:8CXYUUG6この前、γが超越数である事の証明は出来たんです、γは超越数。
しかし、何か根拠に欠ける方法で、まだ証明が正しいという確信までは出来ないんです。
どうしても区別出来ないところがあるんです。
そんな訳でね、手法の正当性を保証するために暫く篭もりの始まりですよ、篭もり。
超越数論や無理数論の手法の正当性のための理論構築の始まり。
もうね、超越数論や無理数論だけ研究するのも飽きて来たかと。
超越数論や無理数論もな、何か根拠に欠ける理論展開してんじゃねーよ、ボケが。
無理数だよ。無理数。何かよく分からん方法で証明してる所もあるし。曖昧な手法で無理数の証明か、おめでてーな。
よーし、πの無理性の証明しちゃうぞー、とか本に書いてあるの。もう見てらんない。
超越数論もな、まとめて超越性を証明してやるから、その理論をもっと緻密にしろと。
超越数論や無理数論ってのはな、もっと緻密で発想が分かり易くあるべきなんだよ。
すんなりと証明の発想が単純で分かり易くてもおかしくない、
単純で緻密に超越性や無理性の証明が出来る、そんな理論がいいんじゃねーか。曖昧過ぎる証明法は、もうやめろと。
で、やっとγの超越性の予想が出来たかと思ったら、その理論構築は少し長くなる気がして来たんです。
そんな訳で、最初からやり直しですよ。
あのな、超越性や無理性なんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。得意げなことして何が、超越性や無理性の証明、だ。
超越数論や無理数論は本当に緻密なのかと考えたい。突き詰めて考えたい。長時間考えたい。
超越数論や無理数論は、まだ曖昧なところがあるんちゃうんかと。
超越性や無理性の証明を趣味にしている私からいわせてもらえば、今、数学通の間での最新流行はやっぱり、他のこと、これだね。
「これらのどこが超越数論や無理数論に応用出来るんですか」。これが通の質問の仕方。で、主な研究も他のこと。これ当然。
しかしこれを発言すると数論愛を持った他の研究者からフルボッコにされるという危険も伴う、諸刃の剣。
超越性や無理性の研究をしていない人にはお薦め出来ない。
まあ、超越数論とか無理数論は、現状のままで研究されているべきってこった。
0452１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 05:32:26.44ID:8CXYUUG6この前、γが超越数である事の証明は出来たんです、γは超越数。
しかし、何か根拠に欠ける方法で、まだ証明が正しいという確信までは出来ないんです。
どうしても区別出来ないところがあるんです。
そんな訳でね、手法の正当性を保証するために暫く篭もりの始まりですよ、篭もり。
超越数論や無理数論の手法の正当性のための理論構築の始まり。
もうね、超越数論や無理数論だけ研究するのも飽きて来たかと。
超越数論や無理数論もな、何か根拠に欠ける理論展開してんじゃねーよ、ボケが。
無理数だよ。無理数。何かよく分からん方法で証明してる所もあるし。曖昧な手法で無理数の証明か、おめでてーな。
よーし、πの無理性の証明しちゃうぞー、とか本に書いてあるの。もう見てらんない。
超越数論もな、まとめて超越性を証明してやるから、その理論をもっと緻密にしろと。
超越数論や無理数論ってのはな、もっと緻密で発想が分かり易くあるべきなんだよ。
すんなりと証明の発想が単純で分かり易くてもおかしくない、
単純で緻密に超越性や無理性の証明が出来る、そんな理論がいいんじゃねーか。曖昧過ぎる証明法は、もうやめろと。
で、やっとγの超越性の予想が出来たかと思ったら、その理論構築は少し長くなる気がして来たんです。
そんな訳で、最初からやり直しですよ。
あのな、超越性や無理性なんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。得意げなことして何が、超越性や無理性の証明、だ。
超越数論や無理数論は本当に緻密なのかと考えたい。突き詰めて考えたい。長時間考えたい。
超越数論や無理数論は、まだ曖昧なところがあるんちゃうんかと。
超越性や無理性の証明が趣味の私からいわせてもらえば、今、数学通の間での最新流行はやっぱり、他のこと、これだね。
「これらのどこが超越数論や無理数論に応用出来るんですか」。これが通の質問の仕方。で、主な研究も他のこと。これ当然。
しかしこれを発言すると数論愛を持った他の研究者からフルボッコにされるという危険も伴う、諸刃の剣。
超越性や無理性の研究をしていない人にはお薦め出来ない。
まあ、超越数論とか無理数論は、現状のままで研究されているべきってこった。
0453１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 05:33:39.55ID:8CXYUUG60454１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 05:36:37.84ID:8CXYUUG6>まあ、2チャン「なん」かする暇はないと、そういうこと。
だな。そんじゃ～な、スレ主よ。
0455１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 21:33:47.92ID:yENOyrzH0456１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 21:36:42.78ID:yENOyrzH0457１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 22:13:10.61ID:Brwxbb0u>>456
パカと鋏は使いようって言うだろうが
0458現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 05:01:22.30ID:3TigoFfu>>451-454 力作ご苦労様です
>>455-456
>ハメル基が連呼されてる数学書なんて見たことない。せいぜいトリビアルな概念に名前がついてるねってだけ。
>せいぜいハメル基が言及されるのってツェルンの補題＝選択公理が必要な定理を上げる時ぐらいだけでそれ自体で何か証明した気分になるのはあほだけ。
同意だが、但し限定がつく。和文の情報ではと
>>457
>パカと鋏は使いようって言うだろうが
完全同意だ
数学の定理ではないが、生活の中の真理だろう（”使う側の力量や能力を言ったことばである”下記参照）
http://kotowaza-allguide.com/ha/bakatohasami.html
馬鹿と鋏は使いよう - 故事ことわざ辞典:
【読み】 ばかとはさみはつかいよう
【意味】 馬鹿と鋏は使いようとは、人を使うときは、その人の能力をいかせるように、うまく使うべきであるという教え。
【馬鹿と鋏は使いようの解説】
【注釈】 切れないハサミでも、使い方によっては何かの役に立つように、愚かな者でも上手に使えば役に立つものだということから。
能力のない者をばかにして言ったことばではなく、使う側の力量や能力を言ったことばである。
0459現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 05:06:57.17ID:3TigoFfuおっちゃん、どうも。ありがとう！
0460現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 05:11:16.39ID:3TigoFfu自己レス
「で、ハメル基底の取り方に任意性がある
そこを、おそらく計算の工夫で、>>443のような処理ができると思う
具体的な計算の構成は出来ていないが・・」
x=a+b*b1 (a,b は有理数,b1∈B)で、a, b, b1の組み合わせをいろいろ考えれば・・・
とは思うが、具体的には考えていない
というか、「まあ、もういいかなー」という気になったのでスルーします
0461現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 05:50:09.42ID:3TigoFfu下記ご参考。２０世紀には抽象代数だったものが、２１世紀では「計算できる代数」
http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/ja/modules/people1/index.php?id=2
数理科学科 教員 - 関西学院大学理工学部:
大杉 英史（おおすぎ ひでふみ） 教授
専門分野：計算可換代数、凸多面体、計算代数統計
おもに、グレブナー基底とよばれるものについて研究しています。
大雑把に言えば、グレブナー基底とは、割り算に関して良い性質を持つ「多項式の集まり」です。
ただし、変数は１つとは限らないし、ある多項式を、複数の多項式で割り算することを考えます。
すると、1変数、1個の多項式で割り算する場合と違って、色々工夫が必要になります。
例えば、余りが一意（１つ）に定まりません。
しかし、グレブナー基底で割り算すると、余りが必ず一意に定まるという良い性質があります。
グレブナー基底の基本的な応用として、連立方程式の変数消去が挙げられますが、統計学や凸多面体の三角形分割など、他にも諸分野への応用が知られており、様々な数式処理ソフトウェア（Mathematica, Mapleなど）に実装されています。
0462現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 06:03:14.65ID:3TigoFfu２０世紀には現実の生活とは無関係に近い抽象代数学だった
下記などをみると、イデアルとか基底とか、結構具体的なんだなーと
http://www.jssac.org/Editor/Suushiki/V16/No2/V16N2_104.pdf
数式処理Bulletin of JSSAC (2009)
Vol. 16, No. 2, pp. 15 - 22
特集記事＜統計科学と数式処理＞
実験計画法とグレブナー基底
青木敏
鹿児島大学大学院理工学研究科
JST, CREST
竹村彰通y
東京大学大学院情報理工学系研究科
JST, CREST
0463現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 06:11:37.14ID:3TigoFfuhttp://www.i.u-tokyo.ac.jp/news/focus/080915_1.shtml
2008/09/15
数学に“新たなブレークスルー”を起こしたい
数理情報学専攻 竹村彰通 教授
竹村教授も東大の経済学部出身である。
統計学が手法を提供する学問という性格から、研究者は多くの学部に広がっているが、統計学は多彩な学問、社会と密接に絡み合い、問題解決を託されている。
それを担う若手数学者育成のための場として、統計を含む応用数学の研究所構想を打ち出した。
独創的な成果を顕した米国Rutgers大学のDIMACS研究所の日本版といえる。
「数学が科学技術と産業社会に広く貢献するという夢を実現するのは、30年、50年の大計でしょう。
5年のCREST研究期間内に、一部でもそのレールを敷きたい」。
この大局的見地からこれまでに蓄積した『知』を投じる。それが研究者としての使命と熱っぽく語った。
0464現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 06:48:17.04ID:3TigoFfu”この定義は、意図的に主観的な定義であり”ですか・・、”Well defined”の対極ですね
が、これも生活の知恵だろう
http://www.soumu.go.jp/johotsusintokei/whitepaper/ja/h24/html/nc121410.html
総務省｜平成24年版 情報通信白書:
第1部 特集 ICTが導く震災復興・日本再生の道筋
第1節 「スマート革命」 ―ICTのパラダイム転換―
（1）ビッグデータとは何か
その量的側面については（何を「ビッグ」とするか）、「ビッグデータは、典型的なデータベースソフトウェアが把握し、蓄積し、運用し、分析できる能力を超えたサイズのデータを指す。
この定義は、意図的に主観的な定義であり、ビッグデータとされるためにどの程度大きいデータベースである必要があるかについて流動的な定義に立脚している。
…中略…ビッグデータは、多くの部門において、数十テラバイトから数ペタバイト（a few dozen terabytes to multiple petabytes）の範囲に及ぶだろう。」との見方がある。
ただし、ビッグデータについては、後に述べるように、目的面から量的側面を考えるべき点について、留意する必要がある。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%93%E3%83%83%E3%82%B0%E3%83%87%E3%83%BC%E3%82%BF
ビッグデータ [1][2]（英: big data）とは、市販されているデータベース管理ツールや従来のデータ処理アプリケーションで処理することが困難なほど巨大で複雑な データ集合の集積物を表す用語である。
その技術的な課題には収集、取捨選択、保管[3]、検索、共有、転送、解析[4]、可視化が含まれる。
大規模データ集合の傾向をつかむことは、関連データの1集合の分析から得られる付加的情報を、別の同じデータ量を持つ小規模データ集合と比較することにより行われ、
「ビジネスの傾向の発見、研究の品質決定、疾病予防、 法的引用のリンク 、犯罪防止、リアルタイムの道路交通状況判断」との相関の発見が可能になる[5][6][7]。
"big data"という語自体は2010年の英国エコノミスト誌が初出である。[要出典]
（URLが長すぎ。キーワード検索請う）
IBM ビッグデータの活用タイプに応じたテクノロジー選択 2015/05/22 15:36:59:
クラウド時代の次世代データベースの目指す姿
0465現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 07:02:17.29ID:3TigoFfuhttp://business.nikkeibp.co.jp/article/bigdata/20150419/280107/
連載第1回】ニューラルネットの歩んだ道、ディープラーニングの登場で全てが変わった - 日経BigData: 2015.04.21大野健太＝Preferred Networks
ディープラーニングのビジネスへの活用の可能性を探る。初回はディープラーニングの登場がどんな意味で大事件だったのかを解説する。
機械学習、ニューラルネット、ディープラーニングといった言葉の意味を整理することから始めよう。
機械学習は人工知能の一分野で、データの背景にある傾向や法則を探り、現象の解析や予測をすることを目標としている。
人間がルールを明示的に与えるのではなく、データから機械自身に法則を学習させるのが特徴だ。
ルールで記述しきれない複雑な現象や、季節や時間などで傾向が変わる現象の解析に強みを発揮する。
ニューラルネットは機械学習で扱われる計算アルゴリズムの1つである。脳を模倣したモデルで、入力層、隠れ層、出力層の3種類の層から成る。入力に対して単純な変換を何回も繰り返し、予測結果などを出力する構造をしている。
深い構造、すなわち隠れ層を何層も重ねる構造がニューラルネットの精度向上の鍵となることが分かっている。
これがディープラーニングという名前の由来でもある。この連載ではディープラーニングは機械学習の一分野を指し、ニューラルネットはそこで扱われるアルゴリズムを指す言葉として用いる。
困難とその克服の歴史
ニューラルネットが今日の精度を得るには50年以上を要し、その歴史の中で少なくとも2つの技術的困難に直面した。
「XOR問題」と呼ばれるものと、精度問題である。それらを時系列に沿って見てみよう。
脳を模倣した計算アルゴリズムの研究は1940年代頃から始まる。最初のブームを起こしたのは1958年に米国の心理学者フランク・ローゼンブラットが開発したパーセプトロンである。
パーセプトロンは入力層と出力層のみからなるシンプルな設計にも関わらず、学習や予測ができることから当時注目を集めた。
（以下略）
0466１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 07:13:50.24ID:x93RSwbE>ハメル基が連呼されてる数学書なんて見たことない。
標数0の条件付きなら、ハメル基底Vと有理数体Qに関する超越基底Bは共通するところがあって、
代数的数でないハメル基底の元は超越数になる。Bの任意の元が実超越数という条件付きなら、包含関係は通常V⊃Bだな。
だが、ハメル基底を一般化すれば、V＝Bにしたり、場合によってはV⊂Bを満たすようにすることも出来る。
なので、原理的には、ハメル基底を超越基底に応用出来る。
理屈ではオイラーの定数γとかe^eは超越数(少なくと無理数)になる。
>>458
>>451-454もおっちゃんですよ。時々はしましょうや。
0467現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 07:45:37.23ID:3TigoFfuhttp://business.nikkeibp.co.jp/article/bigdata/20150419/280107/?P=2
大量のデータで復活した
状況が変わり始めたのは2000年代後半である。
この頃になると学習に十分な大量データと、それを処理できる計算機が比較的容易に入手できるようになった。
これらの要因に加えて、冬の時代にも着々と進められた技術的進歩が相まって、深いニューラルネットは既存手法を凌駕する精度を達成できるようになった。
ディープラーニングという言葉が使われ始めたのもこの頃からである。
今もディープラーニングで指導的な研究を行うカナダのトロント大学のジェフリー・ヒントン教授は、2006年の論文で層が深いニューラルネットを総称してディープネットワークと呼び、
現在は中国のバイドゥに所属するアンドリュー・ング氏は2007年の論文で「高次元データの階層的な表現の学習」にディープラーニングという言葉を用いている。
ディープラーニングの圧倒的な精度を示す2つの出来事が2012年に起こった。
1つは画像認識コンテスト「ILSVRC（ImageNet Large Scale Visual Recognition Challenge）」で、ヒントン教授らのグループがニューラルネットを用いたSupervisionという手法で、1年前の優勝記録の誤り率25.7%から15.3%へと4割も削減し圧勝した。
もう1つは米グーグルが構築したニューラルネットがYouTubeの動画を学習して、猫を自動的に認識したことである。
これらはディープラーニングの威力を強く印象づけ、現在も続くブームを引き起こした。
0468１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 07:48:24.92ID:x93RSwbEいや、Q上代数的独立と線型独立は違うから、「V＝Bにしたり」することは出来んな。
だが、ハメル基底を一般化すると、ハメル基底Vを或る1つの実代数的数と実超越数全体からなる
集合の部分集合にすることはすぐ出来る。これはVが「Q上線型独立」を
「実代数的数からなる体K上線型独立」にいい換えただけの話。
0469現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 07:50:33.15ID:3TigoFfuhttp://business.nikkeibp.co.jp/article/bigdata/20150419/280107/?P=3
常識を覆すアプローチ法
精度の高さだけではなく、それを達成した方法も衝撃的だった。通常、機械学習で何らかの課題を解かせようとするとき、入力データにアルゴリズムを適用する前に「特徴抽出」と呼ばれる操作を施す。
特徴抽出とは動画像や文章などの膨大で非定型な入力データから予測に効くと思われる特徴を取り出す作業である。
精度を上げるには入力データの性質や課題の内容を反映した特徴抽出の方法が肝となる。
そのため、問題ごとに特徴抽出方法を人間が選択するのが常識であり、入力データや課題に応じた特徴抽出の手法やノウハウが開発されてきた。
ところが、ディープラーニングでは特徴抽出がアルゴリズムに組み込まれ、抽出すべき特徴の選択自体も機械に学習させる。
例えばヒントン教授らのSupervisionでは入力画像には最低限の前処理のみを行い、各ピクセルの画素値をそのままニューラルネットに与えていた。
実用化は既に始まっている
現在のところ、ディープラーニングの応用は特定の課題を精度よく解くことに向けられている。3つの方向性が顕著だ。
1つ目は自社が提供するサービスの精度を高めること。米アップルの音声認識システム「Siri」、グーグルやバイドゥの画像検索エンジンなどが典型例である。
2つ目はデータ解析のシステムやサービスの事業者にディープラーニング技術を提供する形態である。
自然言語処理と画像認識へのディープラーニング応用で知られるリチャード・ソッチャー氏が立ち上げた米メタマインドや、2013年のILSVRCで優勝した技術を基にマシュー・ジラー氏が立ち上げた米クラリファイ（Clarifai）はこの例である。
3つ目はディープラーニングを始めとする機械学習ベースのデータ解析インフラを提供する事業者である。
我々Preferred Networksはこの方向性に近い。
大野 健太｜ Kenta OONO
2011年東京大学大学院数理科学研究科修士課程修了。
同年Preferred Infrastructureに入社。2014年からPreferred Networksに移り、ディープラーニング関連の研究開発に従事。
0470１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 07:59:16.54ID:x93RSwbE代数的独立と線型独立の各定義に従うと、多分「V⊂Bにしたり」することも出来ないな。
もし出来るとしたら、病的なことになる。どうハメル基底Vを一般化しても、包含関係はV⊃Bだな。
0471現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 08:26:56.60ID:3TigoFfu">>451-454もおっちゃんですよ。時々はしましょうや。"
おっちゃん、しゃれきついな！ 大阪人か！？
0472現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 08:27:40.98ID:3TigoFfuども
私スレ主の理解は、ハメル基底の意味とは、
コーシーの関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y) >>382を扱うために
Rを、係数Qと基底（主に無理数）とに分けて、線形空間を構成したものだと
これを抽象化すると、ある数体Sとある基底Bとから、ある問題に適した線形空間Vを構成する手法と一般化できる
（下記は以前読んだときは、意味分からなかったが、いまなら少し分かる）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_%28%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメルに由来）や代数基底という用語が用いられる。
これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。
そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底およびマルクシェヴィチ基底が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。
これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。
位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。
即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。
先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。
有限個の例外を除く全ての項が 0 となる実数列全体の成す空間 c00 にノルム ?x? = supn|xn| を入れたものを考えると、その標準基底は可算ハメル基底になる。
0473現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 08:30:26.92ID:3TigoFfuどうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう
0474１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 08:49:48.48ID:x93RSwbEいや、関東。まあ、大阪の方にはずっと前に新幹線で行って来た。
大阪って都市の割には意外に高いビルが少ないんだってな。
で、日本一高いタワーがあるとか。大阪城は歴史的資料の展示場みたいだった。
名古屋駅から米原駅あたりにかけての新幹線からの風景はきれいだったね。
0475１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 09:08:38.58ID:iglK9R68↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0476現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 09:10:18.50ID:3TigoFfu>大野 健太｜ Kenta OONO
> 2011年東京大学大学院数理科学研究科修士課程修了。
>同年Preferred Infrastructureに入社。2014年からPreferred Networksに移り、ディープラーニング関連の研究開発に従事。
大野 健太, PFIか・・
https://preferred.jp/about/
ABOUT | 株式会社 Preferred Infrastructure:
Preferred Infrastructure (PFI)は「最先端の技術を最短路で実用化する」を目標に掲げ、2006年3月に設立されました。
PFIの研究開発は、5年後・10年後に新しいコンピュータサイエンスの分野を担うほどの可能性をもったテーマに集中します。
0477現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 09:26:06.79ID:3TigoFfuどうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう
>大阪って都市の割には意外に高いビルが少ないんだってな。
それは表現の問題で
東京って、日本で特別の都市で、高いビルが多いってことだな。
大阪と比較するなら、関東では横浜や千葉やさいたま市
中部なら名古屋でしょう
この比較なら、意外に高いビルが少ないってこともない
というか、最近結構増えたというか
>日本一高いタワー
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%82%E3%81%B9%E3%81%AE%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%82%B9
あべのハルカス（Abeno Harukas）は、大阪市阿倍野区に立地する超高層ビル。
阿部野橋ターミナルビルの中核を担っている。2010年（平成22年）1月9日に着工され、2014年（平成26年）3月7日に全面開業した[3][4][5]。
地上60階建て、高さ300mで、日本で最も高い超高層ビルであると同時に、日本初の「スーパートール」（高層ビル・都市居住協議会=CTBUHの基準による300m以上の超高層建築物）である。
建替計画は、略、2007年春の航空法の改正により制限がなくなったことを受け、日本一の高さとなるビルを建設する計画へ変更し[6]、同年8月8日に総事業費約1,300億円をかけ高さ300mの超高層ビルに建て替える計画を発表した[14]。
300mとした理由については、切りの良い数字であり、日本初のスーパートールになることと、高さ制限が青天井ではいずれ抜かされるところまで考慮したものであり、
同日の記者会見で近鉄の岡本直之副社長（当時）は「平成の通天閣として親しまれるビルにしたい」と意気込みを語った[15]。
ビル名称の「ハルカス」は古語の「晴るかす」に由来しており、平安時代に書かれた『伊勢物語』の第九十五段では、略
この言葉には「人の心を晴れ晴れとさせる」という意味があり、ビルの上層階から晴れやかな景色を見渡して爽快感を味わえることや、多彩で充実した施設で来訪者に心地よさを感じてもらいたい、という思いが込められている[17]。
なお、地名は「あべの」であるが、これに関しては「大阪」「天王寺」「上方」などの案もあった。しかし、日本一の超高層ビルになることで、知名度を上げていけるのなら「あべの」を全国区にしたいという意図により「あべの」が採用された[18]。
0478現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 09:45:44.31ID:3TigoFfu> 2011年東京大学大学院数理科学研究科修士課程修了。
>同年Preferred Infrastructureに入社。2014年からPreferred Networksに移り、ディープラーニング関連の研究開発に従事。
>PFIの研究開発は、5年後・10年後に新しいコンピュータサイエンスの分野を担うほどの可能性をもったテーマに集中します。
これ、>>418 「Galois for 21st-Century Readers Harold M. Edwards」より "Again, Study the Masters"につながる
Artin流の天下りガロア。はい、群環体、代数拡大、線形空間の次元、自己同型写像、はい可解です、非可解です、おわり。
これと対極が、Study the Masters
群環体、代数拡大、線形空間、自己同型写像など、なにも無いところから、ラグランジュ、ガウス、アーベルの肩の上
ガロアは自分の世界を作り上げた、いかにも手作りの・・
それが、ディープラーニング関連だ新しいコンピュータサイエンスだというときに、Artin流の天下りとは違う視点を与えてくれるだろう
歴史だけに埋没しては、訓詁学だ
がしかし、未来への視点を失わなければ、それは訓詁学以上の意味があるだろう・・
0479現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 09:53:44.76ID:3TigoFfu話は飛ぶが、こんまり氏
http://japan.techinsight.jp/2015/04/konmari-sekaieikyouryoku100-sinkyou20150417.html
【エンタがビタミン♪】近藤麻理恵さんが『世界で最も影響力のある100人』選出に喜び。「これからも片づけの素晴らしさ伝えたい」 2015年04月17日 16:30 by 真紀和泉
「片づけコンサルタント」として知られる近藤麻理恵さんが、米タイム誌による『世界で最も影響力のある100人』の1人に選ばれた。
彼女は自身のブログで喜びと感謝を伝えるとともに、「これからも片づけの素晴らしさ伝えたい」と変わらぬ目標を示している。
『人生がときめく片づけの魔法』を英語に翻訳したものが、昨年の10月に米国で出版されると67万部を超えるベストセラーとなった。
彼女の「ときめくかどうかによって、捨てるか否かを判断する」、「捨てる物には感謝を込めてお別れする」といった思考が米国では新鮮で共感を呼んだという。
http://toyokeizai.net/articles/-/69719
なぜ｢ときめきお片づけ｣に世界が夢中なのか ｢TIME100人｣に選ばれたこんまり氏の哲学 小林 浩志 ：日本アンガーマネジメント協会 理事 2015年05月16日
今回は、米TIME誌の「世界で最も影響力のある100人」（2015年4月発表）に、日本から村上春樹氏とともに選ばれた、片付けコンサルタントの近藤麻理恵氏（通称こんまり）について取り上げます。
さて、そもそも、皆さんはこんまり氏をご存知ですか？?
『人生がときめく片づけの魔法』『毎日がときめく片づけの魔法』（サンマーク出版）などの著書は、英語、韓国語、スペイン語、イタリア語などに翻訳され、今やこんまり氏の「ときめき整理収納法（Konmari Method）」は世界中で活用されているのです。
アンガーマネジメントとの共通項は？
これらの書籍で語られているこんまり氏の手法を観察してみると、そこにはアンガーマネジメント的思考法との共通項をいくつか見出すことができます。
そこで今日は、こんまり流お片づけで人生がときめく（人生なぜかうまくいく）論拠について、検討してみましょう。
0480現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 10:06:21.56ID:3TigoFfuStudy the Mastersというけれど、”きりが無い”！
その通りだ。そこで、ときめく哲学の出番
あなたは、ガロア理論にときめきますか？ それなら、Study the Masters！だ
ときめかないときは、スルーすべきだ
http://toyokeizai.net/articles/-/69719?page=3
なぜ｢ときめきお片づけ｣に世界が夢中なのか ｢TIME100人｣に選ばれたこんまり氏の哲学 小林 浩志 ：日本アンガーマネジメント協会 理事 2015年05月16日
「捨てられない」からの脱却策として、こんまり氏は「モノの役割を考えること」を挙げています。
たとえば、「買ったばかりだけれど、自分には似合わなかった服」。
こうしたケースでは、「私に似合わないタイプの服を教えてくれてありがとう」と、感謝の意を唱えながら、「もう役割を終えたモノ」を捨てることへの躊躇をなくすのです。
「いつか勉強し直すかもしれない」昔のセミナー資料、「いつか来るかもしれない」来客用の布団なども、「そのときが来たら入手すればいいや」程度に考えでいるほうが、すっきりしそうです。
数年に1回起きるか起きないかということのために部屋のスペースを塞がれるのは不幸ですし、つきつめれば、これがイライラのもとにもなります。
そうであるなら、「過去への執着をなくしてくれてありがとう」、「未来への不安を減らしてくれてありがとう」と感謝してからゴミ箱へ。部屋と心を整理して、ますます幸せな生活を目指せそうですね。
捨てる判断を繰り返し、大好きなものに囲まれる生活を送ることで、気持ちのいい時間が増えるはず。
すると、自分の判断に自信が出てきて、自分のことが好きになると、こんまり氏は説きます。
これは、自分の選択力、決断力、行動力が、ひいては人間関係、仕事、暮らし方など多方面につながるからではないでしょうか。
「誰と付き合えばときめくのか？」「どんな仕事をすればときめくのか？」。
「怒りやイライラのコントロール」という観点で考えても、自分にとって「ときめかない」人間関係、仕事などは、バッサリ切り捨ててしまう割り切りが必要と言えるでしょう。
0481現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 10:11:50.25ID:3TigoFfu"自分にとって「ときめかない」人間関係、仕事などは、バッサリ切り捨ててしまう割り切りが必要と言えるでしょう。"
自己責任でお願いします
実生活では、０か１かの二値判断の間に、いろんな多価の選択肢がある
それも生活の知恵
0482１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 10:16:58.46ID:x93RSwbEタワーじゃなくて高層ビルだったのか。
>それは表現の問題で
>東京って、日本で特別の都市で、高いビルが多いってことだな。
これでもかっていう位程多い。東京の都心は風景が汚い。
人口が減少する中昔ながらの家を取り壊して新築マンションを増設したり、
川の上にまで高速道路の分岐点を幾つも造ったりするあたりを見ると、
戦後の都市建築には計画性がないらしいなんだよな。ここまで計画性のない建築をする都市も珍しいでしょうね。
普通、人口減少の中での新築マンション増設や、川の上に高速道路の分岐点を造るなんてことしませんよ。
こんな都市設計をして、地震が起きたら都心はどうなるんでしょね。
それ位、東京の都心は無秩序で都市設計で造られた美がなさ過ぎる。
都心に物凄い数の人が集まっているんでしょうね。
そんな理由でもない限り、川の上の高速道路の建築の必要性が見当たらない。
横浜や千葉の方は余り行ったことなく、よく分からないんだよね。
0483１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 10:33:09.67ID:x93RSwbE>>482の
>戦後の都市建築には計画性がないらしいなんだよな。
の「ないらしいなんだよな。」→「ないらしいんだよな。」
まあ、人口減少の中での新築マンション増設をして売れるんだろうから、
都心にいる人口は物凄いんだろうね。直接建築物を見る限りでは、
大地震があったら、確実に都市壊滅に至るような都市設計の仕方ですね。
これじゃ、大地震があったら、川の上にまで高速道路、川にドボン、でしょう。
0484１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 10:47:27.68ID:x93RSwbE>>483の訂正：
「川の上にまで高速道路、川にドボン」→「川の上に造られた高速道路、川にドボン」
川に直接沿うような形で、川の上に高速道路を建築している部分が一番危険でしょうね。
そういうのが幾つもあるんですよ。これでは無計画で無謀としか。こんな方法で都市設計をする必要があるのかと。
戦前の東京の風景とは違うでしょう。戦前の都心はまだきれいだったんでしょう。
花やしきは昔からあった遊園地で、戦前の花やしきを見る限りでは都心は今より遥かにきれいです。
0485１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 11:36:36.55ID:x93RSwbE>>484の「>>447」は「>>477」の間違い。
まあ、東京の都心の建築については個人的感想ですので。
何かの資料で、戦前の花やしきを見た記憶がある。今ある花やしきは、戦後直後に建てられた。
阪神淡路大震災の教訓が生かされていれば、再びああいう高層ビルは建てないでしょうね。
これ以上建てると、危険ですよ。まあ、政治家や建設業でもない限り、私達ではどうしようもないことですし、
2チャンですので、「川の上に造られた高速道路、川にドボン」とか、半分キツイ冗談感覚で読んで下さい。
個人的には、都市の安全性については、事実であることには変わりがないと思いますけど。
0486現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 12:58:06.00ID:3TigoFfu過去ログ再録
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/302
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 彌永昌吉 シュプリンガー・フェアラーク (2002)
P272
「これに関連して、ガロアは”次数が（n-2）！の補助方程式”という語を用いているが、これがなにを指すのかわからない。結局この部分のガロアの証明は理解できなかったが、事実は第２章で証明されている。」となっている
ここ、次に説明するように、小杉「数学史」によれば、ラグランジュの方程式の理論に出てくる（当時方程式を研究する者には常識の）補助方程式のことだろう
略
0487現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 13:12:33.80ID:3TigoFfuおっちゃんらしいね
>>482
>ここまで計画性のない建築をする都市も珍しいでしょうね。
ああ、対比でよく言われるのが、名古屋の１００ｍ道路
http://ja.wikipedia.org/wiki/100m%E9%81%93%E8%B7%AF
100m道路（ひゃくメートルどうろ/ひゃくメーターどうろ）とは、都市の大通りのうち、100m以上の幅員を有するものの通称・総称である。
これらは戦災復興の都市計画に基づいて建設され、実際には、名古屋市の2本と、広島市の1本が知られる。
100m道路は、太平洋戦争（大東亜戦争）での日本の敗戦後、日本本土空襲によって被災した日本各都市の復興のために戦災復興院が立案し、1945年（昭和20年）12月に閣議決定された「戦災復興計画基本方針」のなかで計画されたものである。
戦災復興院は将来の車社会の到来を予想、主要幹線道路の幅員は大都市では50m以上、中小都市でも36m以上と定めたが、更に必要な場合の緑地帯と防火帯を兼ねたものとして計画されたのが100m幅での道路建設であった。
当初は全国で24本の100m道路が計画されていたものの、日本占領軍であった連合国軍最高司令官総司令部（GHQ）による、
「敗戦国に立派な道路は必要ない」との反対や、1949年（昭和24年）のドッジ・ラインに基づく緊縮財政などによって、名古屋市の2本と、広島市の1本のみが実現した。
（引用おわり）
大阪の御堂筋
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%A1%E5%A0%82%E7%AD%8B
名前は北御堂（本願寺津村別院）と南御堂（真宗大谷派難波別院）が沿道にあることに由来する。
全長4,027メートル、幅43.6メートル（24間）、全6車線の幹線道路で、日本の道100選のひとつ。
歴史
記録上、御堂筋の名が初めて現れるのは1615年（元和元年）、略
松尾芭蕉の没地は現在の大阪市中央区久太郎町4丁目付近で、御堂筋拡幅により現在は御堂筋の車線上にある。
道幅は3間ほどしかなく、堺筋・難波橋筋・心斎橋筋などと比べて見劣りのする、人通りの少ない道であった。
大正時代に入ると、大阪市助役から市長となった關一の都市計画により、1926年から地下鉄御堂筋線建設と合わせて総工費約3,380万円をかけて24間幅へ拡幅する工事が行われた。
0488現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 13:29:57.03ID:3TigoFfu>大地震があったら、確実に都市壊滅に至るような都市設計の仕方ですね。
>これじゃ、大地震があったら、川の上にまで高速道路、川にドボン、でしょう。
東京の大地震の一番の問題は古い木造と火事でしょう
阪神大震災のときも、高速道路倒壊の衝撃的写真があったが、人的被害の面では木造家屋倒壊によるものが圧倒的だった
また、火災の影響も大きい
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%98%AA%E7%A5%9E%E3%83%BB%E6%B7%A1%E8%B7%AF%E5%A4%A7%E9%9C%87%E7%81%BD
被害 死者 : 6,434名、行方不明者 : 3名、負傷者 : 43,792名[5]
被災者の死因
死者の80%相当、約5000人は木造家屋が倒壊し、家屋の下敷きになって即死した。特に1階で就寝中に圧死した人が多かった。
0489現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 14:24:40.30ID:3TigoFfu>「川の上にまで高速道路、川にドボン」→「川の上に造られた高速道路、川にドボン」
>川に直接沿うような形で、川の上に高速道路を建築している部分が一番危険でしょうね。
EU統合後は知らないが、独の都市計画は有名だね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%BD%E5%B8%82%E8%A8%88%E7%94%BB
ドイツの都市計画
日本の都市計画制度には、ドイツに起源がある部分も少なくない。
とくに、ゾーニング制度（地域地区制）はドイツで発展したものであるし、日本で「都市計画の母」と言われている土地区画整理事業や、戦前の市街地建築物法にあった建築線の制度は、ドイツから導入されたものである。
ドイツで「都市計画」は、建設法典（Baugesetzbuch）が根拠法となる。これは、連邦建設法と都市建設促進法を統合する形で、1986年に成立した。同法において、都市計画とは、自治体（市町村）が策定する建築基本計画をさす。
「ドイツの都市計画制度はすばらしい」として内容を誇張し、手放しで礼賛する傾向が、「ドイツ神話」と言われることもある。
0490１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 14:34:27.18ID:x93RSwbE火事も被害の要素になるけど、東京で古い木造家屋が多いところってどこかな。
私もよく分からん。火事になり易いのは一軒家が密集している墨田区とか東の方かな。
まあ、暇があったら東京にでも来てみて下さい。阪神・淡路大震災も大変だったんだな。
0491１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 14:36:25.12ID:x93RSwbE可算なハメル基底Hなら、デデキント切断で有理数から無理数を構成的に定義したのと同様に、
有理数体Qの拡大体Aに対してデデキント切断と同様の操作でA上線型独立な元aを構成的に定義してAの単拡大A(a)を構成し、
同じくA(a)に対して同様の操作を施すことを帰納的に繰り返して行けば、構成出来るよ。
0492１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 14:56:13.94ID:x93RSwbEデデキント切断と同様な操作で単拡大を帰納的に繰り返して単調増加な単拡大の列を構成した後、
可算選択公理で可算なハメル基底Hの元を取ることは必要になる。
0493１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 15:33:50.17ID:x93RSwbEいや、ハメル基底Hが元々非可算だから、可算なハメル基底の構成はやはり出来ないだろうな。
そのあたりは正確にはまだ分からんけど。一瞬Q⊂…⊂A(a)⊂…⊂A_1⊂A_2⊂…⊂A_n⊂Rで出来ると思ったんだが。
取り敢えず、>>491-492は無視して。
0494１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 15:55:32.75ID:x93RSwbE>>493について、訂正：
「Q⊂…⊂A(a)⊂…⊂A_1⊂A_2⊂…⊂A_n⊂R」→「Q⊂…⊂A(a)⊂…⊂A_1⊂A_2⊂…⊂A_n⊂…⊂R」
まあ、任意の完備な順序体は実数体Rに同型であることを用いれば、
Q、A(a)、…、A_1、A_2、…、A_n、…⊂Rは完備でない順序体になるから、
直観的には出来そうな気がしないでもないけどね。証明書いていないから、正確にはまだ分からんけど。
0495１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 16:13:55.37ID:x93RSwbE日本の都市計画は、ドイツの都市計画の一部を模範にしたのか。
ドイツには日本でいう下町のような風情がある町が少なくないとか。
0496現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 16:33:38.36ID:3TigoFfu>2チャンですので、「川の上に造られた高速道路、川にドボン」とか、半分キツイ冗談感覚で読んで下さい。
>個人的には、都市の安全性については、事実であることには変わりがないと思いますけど。
おっちゃんらしいね
ここらになると、私は数学以上に詳しい、というか仕事にかなり関係している
けどね、人が生きて行くというのは、本来大変なことなんだ
最近では、ネパール カトマンズでの大地震
都市計画どころか、耐震建築の方がめずらしい国
だけど、現地の人はそこで生きていくしかない
と同様に、日本人は日本列島で生きて行くのが、現状でのほぼ唯一の選択肢だろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%91%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%9C%B0%E9%9C%87_%282015%E5%B9%B4%29
2015年ネパール地震（2015ねんネパールじしん、2015 Nepal earthquake）とは、2015年4月25日にネパールで発生した地震。
この地震の強震によってネパールでは建物の倒壊、雪崩、土砂災害などにより甚大な被害が発生した。
ネパールやインド北部は元来地震が多い地域であるものの、建物はレンガ積みの耐震性のない脆弱な構造のものが多く、また山岳地帯では地すべりも発生しやすいなど被害が大きくなりやすい。
カトマンズでは地割れが発生するなどして多くの建物が倒壊[46][47]。カトマンズのダルバール広場、スワヤンブナート、ダラハラ塔、マナカマナなど歴史的な建造物や世界遺産の寺院などの多くが修復不可能な損傷を受けた[48][49][50][51]。
パックパッカーの聖地としてカトマンズ最大の観光客が集うタメル地区では、狭い路地にひしめくように宿泊施設やレストラン、土産物店などが軒を連ね、道幅が狭いことから車の通行も容易ではなく、救出活動はもっぱら手作業となった。
4月28日に国連は、ネパールの人口の約30%にあたる約800万人が被災したと発表[52]。
0497現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 16:41:34.87ID:3TigoFfu>と同様に、日本人は日本列島で生きて行くのが、現状でのほぼ唯一の選択肢だろう
なにも好き好んで、こんな日本列島にすむこともあるまい・・・
（地震、雷、火事、親父）＊（火山噴火に原発事故）＊（直下の活断層）
広いアメリカ大陸には、地震も噴火もないところがあるという
でもね、地球上で絶対安全なところなんてないんだろう・・
自然災害はなくとも、危険な人（犯罪者）がいるし
人が居ないところでは、病院がないから、病気になったら医者がいないので困る・・
結局、自然と人的要素と日本国内という安心感を総合すれば、日本は総合点では結構高得点だろう
と、同じことが東京にも・・
0498１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 16:57:42.66ID:x93RSwbE>おっちゃんらしいね
>ここらになると、私は数学以上に詳しい、というか仕事にかなり関係している
いや、言い訳がましいと思いますけど、今日書いた都市の安全性の考察は
すべて自分で考えて書いたモノで、工学系は全くの素人ですよ。知識は殆どありません。
日本はこれでも地震の他に治安などを加えて考えれば、世界で安全なんでしょうね。
まあ、悪いが、今日はここまで。チョット休みます。
0499現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 17:42:14.29ID:3TigoFfu>まあ、暇があったら東京にでも来てみて下さい。阪神・淡路大震災も大変だったんだな。
東京は、東京本社勤務時代があったから、ある程度分かっている
住んだことはないけどね
東京は都市計画はあった・・、というか江戸
ブラタモリなどで紹介されていたね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%9F%E6%88%B8#.E6.B1.9F.E6.88.B8.E3.81.AE.E7.AF.84.E5.9B.B2
江戸が都市として発展するためには、日比谷入江の東、隅田川河口の西にあたる江戸前島と呼ばれる砂州を除けば、城下町をつくるために十分な平地が存在しないことが大きな障害となる。
そこで徳川氏は、まず江戸城の和田倉門から隅田川まで道三堀を穿ち、そこから出た土で日比谷入江の埋め立てを開始した。
江戸は「の」の字形に設計された[10]ことが一般の城下町と比べて特異であるといわれる。
地図で見るとちょうど大手門から数寄屋橋に至るまでの「の」の字の堀の内外に渦巻き上に将軍・親藩・譜代・外様大名・旗本御家人・町人が配置されている形になる。
巻き貝が殻を大きくするように、渦巻き型に柔軟に拡大できる構造を取ったことが、江戸の拡大を手助けした。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%BF%E3%83%A2%E3%83%AA
『ブラタモリ』（英称：BURATAMORI）は、NHK総合テレビで2008年から断続的に放送されている日本の紀行・バラエティ番組。
内容
街歩きを趣味・趣向とするタモリが、江戸時代・明治時代などの古地図を手に毎回、実際に東京都区内や横浜市各地、地方などを練り歩き、
街の歴史を味わいながら、独自の視点・目線でユニークな街歩きを展開する。また、タモリ独特の軽妙なトークや街並みの変化を味わうという“探検散歩型番組”である。
0500現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 17:50:10.96ID:3TigoFfuどうも。スレ主です。レスありがとう
>>499
東京も、過去なんどか都市計画はあったろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC
東京は、江戸幕府の所在地の江戸を1868年9月に改称したものである[1]。[注 2] 1869年2月11日1878年（明治11年）に府制を施行[1]、「東京府」となった。
名称の由来
江戸を東京と改称するという構想は、江戸時代後期の経世家である佐藤信淵が文政6年（1823年）に著した『混同秘策』に既に現われていた[6][7]。
大久保利通が佐藤の書に影響を受けて江戸を東京と改称することを建言したという[6]。
1868年9月（慶応4年（明治元年）7月）に出された『江戸ヲ称シテ東京ト為スノ詔書』において江戸の町奉行支配地域を管轄する東京府が設置されると書かれたことにより「東京」という名称が用いられることになった。
江戸は太田道灌築城の江戸城に徳川家康が入り、家康による新たな構想に基づいて構築された都市である。
江戸城のまわりには巨大な外堀および内堀が渦巻状（「の」の字状）に作られており、南北・東西に水路が張り巡らされ、内海（東京湾）や利根川にまで通じる水路が整備され、水運によって各地から江戸への物資供給および江戸内の物流を支え、また重要な交通インフラであった。
こうした骨格となるインフラは現在の東京まで、基本的にはあまりかわらず継承されている。内堀は現在も皇居の周辺をとりかこみ、侵入者を防ぐ機能を果たしている。
水路・運河は現在も多くが残っており、例えば小名木川は隅田川と（旧）中川を東西に結ぶ大きな水路（運河）であるが、昭和時代も重要な物流インフラであったのであり、現在でも運河沿いの工場に様々な資源物資を運ぶのに使われているし、観光・遊覧船も行き来している。
江戸城のお堀は1964年のオリンピックにあわせて都心に高速道路を通そうとした時にも道路を物理的に通すための貴重な空間として利用されたのであり、つまり時代を経て船が自動車に変わりはしたが、都市の交通を支える役割を果たしたのである。
東京という都市が比較的うまく発展してきたのは、この都市を最初に構想した徳川家康の先見性、大胆な構想力と細やかな配慮によるところが大きい。[9]
0501現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 18:02:40.64ID:3TigoFfuどうも。スレ主です。おっちゃん、ありがとう
”「Q⊂…⊂A(a)⊂…⊂A_1⊂A_2⊂…⊂A_n⊂R」→「Q⊂…⊂A(a)⊂…⊂A_1⊂A_2⊂…⊂A_n⊂…⊂R」
まあ、任意の完備な順序体は実数体Rに同型であることを用いれば、
Q、A(a)、…、A_1、A_2、…、A_n、…⊂Rは完備でない順序体になるから、
直観的には出来そうな気がしないでもないけどね。証明書いていないから、正確にはまだ分からんけど。”
証明できたら、アップ頼む
0502現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 20:58:16.89ID:3TigoFfu遠隔レスご容赦
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/207
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
207 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/28(土) 12:24:04.15 ID:qQ9sbrDj
ガロア論文あるいはスレ主の手元にある本のどれかに「どうやってガロアは正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけたのか？」
の答えが書いてあればそもそも
（引用おわり）
ありました、本が。下記Jean‐Pierre Tignol (著)P307の 付録「ガロアによる置換群の表現」。これ、まさしくガロア記法のこと！見てなかった・・
同P311下段「順列群（*）というガロアの記述において、疑いのない明確な点は部分群、特に正規部分群の概念がこれから見ていくようにかなり自然なやり方で発生することである。」（*ガロア記法のこと）
と記されている
http://www.amazon.co.jp/dp/4320017706
代数方程式のガロアの理論 単行本 ? 2005/3/1
Jean‐Pierre Tignol (著), 新妻 弘 (翻訳)
0503現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 21:01:57.81ID:3TigoFfuガロア記法については、私スレ主の共役変換の意味（群構造の保存になる）を十分理解していなかったので混乱を招いたが
やっぱり、同じことを考えている人はいたんだ（その一人がJean‐Pierre Tignolだ）
0504現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/23(土) 21:39:52.52ID:3TigoFfu”私スレ主の理解は、ハメル基底の意味とは、
コーシーの関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y) >>382を扱うために
Rを、係数Qと基底（主に無理数）とに分けて、線形空間を構成したものだと
これを抽象化すると、ある数体Sとある基底Bとから、ある問題に適した線形空間Vを構成する手法と一般化できる”
>>283の「ゼロを除く複素数の成す乗法群」の問題を考えると
ハメル基底による係数Qの線形空間では、乗法との相性が悪いね・・
ハメル基底とこの問題（乗法）との相性はよくない
それが、私スレ主の結論だ
0505現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/24(日) 06:04:00.53ID:cQbF44Sx>ありました、本が。下記Jean‐Pierre Tignol (著)P307の 付録「ガロアによる置換群の表現」。これ、まさしくガロア記法のこと！見てなかった・・
>同P311下段「順列群（*）というガロアの記述において、疑いのない明確な点は部分群、特に正規部分群の概念がこれから見ていくようにかなり自然なやり方で発生することである。」（*ガロア記法のこと）
少し補足しておく
Jean‐Pierre Tignolは、ガロア記法を順列群と代入群という概念を用いて、ガロア記法を解説している
また、ちょっと趣旨は違うが、コックスも下記P446の歴史ノートで、ガロア第一論文における置換と代入の概念を解説しているので見ておくとよいだろう
http://www.amazon.co.jp/dp/4535784558
ガロワ理論(下) 単行本（ソフトカバー） ? 2010/9/15 デイヴィッド・A. コックス (著), 梶原 健 (翻訳)
0506１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 07:04:03.51ID:XFRnkIVT0507１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 14:46:28.82ID:mZNuW+eBまんこ派は生殖欲を満たそうとするタイプ：種保存欲求＞個体保存欲求
俺は両方派だけど何か？
0508１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 14:48:59.68ID:6i3Zlj0u0509１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 15:31:00.54ID:mZNuW+eB0510１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 15:33:22.46ID:hQNfqbrj0511現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/24(日) 16:59:54.47ID:cQbF44Sxどうも。スレ主です。
まあ、米MathOverflowとこの板をとを比べると、雲泥の差だな
猫さんの気持ちも分かるよ（こんな板燃やしてしまえ）
一つ提案は、この数学板とは別に、２ＣＨの外に記名式の専門板を作るべしだな
そして、管理人をおいて、バカカキコは管理人が削除することにすべし
２ＣＨは、基本大学１～２年くらいまで
それ以上の専門的な話は、記名式の専門板でと、棲み分けした方が良いね
で、記名式の専門板の方に有益な情報を集めることにする
２ＣＨにましな情報があれば、リンクを張るとか
まあ、日米の情報差をこのまま放置していても仕方ないと
ああ、院から上は、直米MathOverflowへという感じで運用すれば良いだろう・・
それぞれ、上のランクの者が、メンターとして指導することにすると
0512１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 17:05:04.65ID:ycJ28kMu0513現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/24(日) 17:09:55.22ID:cQbF44Sxまあ、補足すれば、ID:mZNuW+eBくんは、そのカキコの内容から
１．リアル彼女がいない（虚数のみ）
２．数学も成績がよくないだろう（カキコの数学センスぜろ）
３．∵だから、アラシの投稿をした。ＱＥＤ
チョウチン付けた、ID:6i3Zlj0uくんとID:hQNfqbrjくんも同じなんだろうね（これをスレ主予想という）
まあ、こういうのを排除するために、記名式にして、非数学カキコは管理人削除（証拠としてゴミ箱を作ってそこへ保管）
こうしないと、日本の数学板はだめだね・・
0514現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/24(日) 17:11:22.82ID:cQbF44Sxリアル彼女がいない（虚数のみ）に、ID:ycJ28kMuも追加して欲しいのか・・
0515１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 17:39:16.79ID:NJHXG5ds( ﾟДﾟ)y─┛~~
0516１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 18:17:28.87ID:oUnnfpMP0517１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 18:29:00.83ID:qOhA49oo0518現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/24(日) 19:51:59.19ID:cQbF44Sxどうも。スレ主です。
ID:NJHXG5dsくん、ID:oUnnfpMPくん、ID:qOhA49ooくん、３人か？
「リアル彼女がいない（虚数のみ）＆ 数学落ちこぼれ組」かい？
２ｃｈなら、モナーか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8A%E3%83%BC
モナーは、匿名掲示板2ちゃんねるなどの電子掲示板でよく用いられる、アスキーアート(AA)によるキャラクターの一種である。正式名称は「オマエモナー」。
ひとつずつ、君たちの証明の穴を突こう・・
１）ID:NJHXG5dsくん：MathOverflow基準が未定義だね。よって、この命題は成立しない
２）ID:oUnnfpMPくん：時制を間違っている。”された”に対して、反例が構成できるだろう。中学に行って時制を勉強しな！
３）ID:qOhA49ooくん：”2chレベル（）”酷い？ 自分のことだろうよ。反論あるなら、君が過去このスレでなくとも他スレでも良いが、数学板で自分が書いたレス例を示してくれ。出せない？？ だろうな（笑い）
ならば、私が作った雑魚つぶし問題を解いて貰おう！ >>283だ。大１の知識があれば分かるはず。が、まあ、君には解くのは無理だろうな・・・。雑魚認定確定だな！！（笑い）HaHaHa
0519１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 19:58:53.64ID:NJHXG5ds自分で調べもしない馬鹿は無視
0520現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/24(日) 20:15:27.46ID:cQbF44Sxhttp://meta.math.stackexchange.com/questions/41/differences-between-mathoverflow-and-math-stackexchange
Differences between mathoverflow and math.stackexchange.
answered Jul 21 '10
The two sites are meant for very different audiences, and have very different types of questions.
From the MathOverflow faq:
MathOverflow's primary goal is for users to ask and answer research level math questions, the sorts of questions you come across when you're writing or reading articles or graduate level books.
From the Area51 page for math.stackexchange:
Q&A site for people studying math at any level & professionals in related fields
Why separate the two?
The community at MathOverflow is not interested in the typical question here.
It is too elementary, and they don't want to be flooded with people asking basic math questions. Conversely, most MathOverflow questions would not be well suited to the audience here.
Many may not even be comprehensible! The concentration of professional mathematicians is too low (or will be after the site goes public, anyways), and the questions are not interesting to most people without graduate-level coursework in math.
Of course, there are plenty of exceptions to the above. Especially in the closed beta, there will be substantial overlap between the two sites, in terms of users, anyway. The distinction will probably be a lot more clear once the site goes public.
2 AaronLS Nov 10 '10
Yeh, it definitely is not clear on their site what their focus is if you are a new user.
I'm sure it's a unpleasant trial by fire.
It sounds like there is a need for something analgous to the relation ship between stackoverflow and serverfault, where questions can be migrated by mods appropriately if they don't fall within the criteria of research mathematics.
0521現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/24(日) 20:22:57.58ID:cQbF44Sx"Yeh, it definitely is not clear on their site what their focus is if you are a new user.
I'm sure it's a unpleasant trial by fire. "
というご意見もあるみたいだね
ともかく、それでは、>>511の意見を修正して、２ＣＨレベル対応なら、math.stackexchange相当の掲示板を作れば・・ということに変更しよう
なお、AaronLS氏は、not well-defined というご意見みたいだというのは、良いんだろうね？
0522１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 20:28:59.21ID:NJHXG5ds0523１３２人目の素数さん
2015/05/25(月) 00:36:57.47ID:HprP/BB60524１３２人目の素数さん
2015/05/25(月) 01:02:14.50ID:9vwOZrij・そもそもコピペだけで英語を書く力がない
・マスオーバーフロウじゃ相手にされない
・粘着して追い出されるだけ
まあ、適当なことを上から目線で言い訳しつつ、マスオーバーフロウには
スレ主は書き込みしない（できもしない）だろうねえｗｗｗ
0525１３２人目の素数さん
2015/05/25(月) 10:48:07.19ID:1KsMxhUqもう、ここに証明を書く気はない。紙に書いた方が遥かにマシ。
そもそも、2チャンって行列やベクトルが自由に書けんだろ。
記号が複雑になればなるほど書きづらくなる。そういう仕組みになっている。
0526１３２人目の素数さん
2015/05/25(月) 11:02:32.38ID:1KsMxhUq結果だけ書けば、ハメル基底が非可算で、有理数体Qが可算無限集合だから、
例の手法によって可算な(一般化した)ハメル基底が存在することは示せない。
連続体仮説の問題がある限り、そうなる。
0527１３２人目の素数さん
2015/05/29(金) 19:58:15.41ID:rVgIpH8G0528現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/29(金) 22:57:00.56ID:Cd6YJUHFhttp://campus.nikkei.co.jp/article/87025414_3.html
MBAはこう使う！ マネーフォワード社長 辻庸介氏(下) 日経Bizアカデミー 社会人大学院サーチ
マネックスに復職するかたわら起業 学んだソフトスキル生きる 2015/05/13 (3/3ページ)
最近は、メディアでＭＢＡを含めた自身のキャリアについて話をする機会も増えた。
振り返ってみると、ウォートンの２年間で学び、身に着けたものの中で一番大きかったのは、人間力だと思います。
いわゆるソフトスキルです。
優秀で素晴らしい仲間と２年間、仕事の損得抜きで、人間対人間として付き合い、友達になり、苦楽を共にしたことで、人間として非常に成長できたと感じています。留学前にはまったく想像していませんでした。
人間力のひとつにリーダーシップがあります。
これについては、私のベストフレンドで、陸軍の超エリートだった米国人のチームメートから一番多くのことを学びました。
彼の凄いところは、まず人の意見に真摯に耳を傾ける。
誠実で優しい。相手を尊重する。しかし最後は自分で議論を引っ張り、意思決定を下し実行する。
苦しい時でも絶対に逃げない。周りのみんなからもとても尊敬されていました。
これが真のリーダーシップなんだとしみじみ感じました。
彼以外にも、人間的な魅力にあふれたグローバルエリートは大勢いました。
彼らと付き合い、グローバルで活躍するには自分も人間的な魅力を上げないとだめだと思いましたね。
異文化や多様性への理解が深まったことも、人間として成長した証だと思います。
私のいたチームを例にとってみても、米国人もいれば外国籍もいて、アジア系もいるし、また６人中、２人は女性でした。キャリアのバックグラウンドも、投資銀行や軍隊、ＮＰＯなど様々です。
彼らとの共同作業を通じて、多様性があるということは、ビジネスをしていく上でも素晴らしいことだと心底思いました。
私はこの経験から、日本の若者もグローバルレベルで活躍しようとするなら、ＭＢＡに限らずなるべく早い時期に海外に出るべきだと思います。
日本にいれば、周りは自分と同じ民族で言葉も通じすごく楽ですが、若いうちは海外に出て多様な価値観の環境に身を置いて自分を磨いたほうが、人間的に成長しますし、後々のキャリアにもいいと思います。
0529現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/29(金) 23:19:07.66ID:Cd6YJUHFそれと対極なのが、>>506-510
いわゆる芸能界でいう下ネタ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8B%E3%83%8D%E3%82%BF
（関東では下ネタに対する反発は関西の芸能人が想像しているよりも根強いものがあり 関東の芸能タレントには現在でも一門の不文律などという形で下ネタをタブーとしている者が珍しくない。）
一つには、書いたもののレベルの低さ丸出し（学問レベルのみならず、おそらく私生活でも彼女レスｗ）。
一つには、学問掲示板として、不適切
∴こういう２ちゃんねる式（有害無益なカキコを排除できない）が、数学板には適さないのではという結論に至る
だから、math.stackexchange相当でも良いが、きちんとした別の掲示板を作った方が良いだろうと
0530１３２人目の素数さん
2015/05/29(金) 23:21:51.27ID:XBNYb1Op0531１３２人目の素数さん
2015/05/29(金) 23:27:29.61ID:43um1Y0t0532現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/29(金) 23:30:47.86ID:Cd6YJUHFおっちゃんの出題を少しひねった問題を私スレ主が考えたんだ
それが>>33だ
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
複素数の成す乗法群なんて、なんの予備知識もいらない
数学的思考力のみで問題が解けるだろうさ
上から目線で物をいうあなた>>522 >>524 >>527
ど う ぞ（笑い）HaHaHa
0533現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/29(金) 23:34:31.96ID:Cd6YJUHFおっちゃん、ども
”ここに証明を書く気はない。紙に書いた方が遥かにマシ。”か
確かにそうだね
だから、私は、リンクとそのコピペを主にしている
0534１３２人目の素数さん
2015/05/29(金) 23:54:05.05ID:peGFgZQmはスレ主のレベルを端的に表現してると思う
0535現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 05:36:53.55ID:oElFmoGEどうも。スレ主です。
まあ、そう発言するのは、君の表現の自由であり、権利だ
が、自分のレベルについて語っていない
そこでだ
>>532の問題を考えて、なにか書いてみてくれたまえ。そうすれば、君のレベルが分かるから、 HaHaHa
0536現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 05:55:25.15ID:oElFmoGEhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%AD%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%B3
生い立ちと来歴
祖父ビチャラ・ゴーンは、レバノンで生まれ13歳でブラジルに移住し、ブラジル北部、ブラジルとボリビア国境近くのロンドニア州の奥地 サンミゲル・ド・グァポレでゴム産業に参入。最終的には農産物を売買する会社のオーナーとなった。
レバノン系ブラジル人である父のホルヘ・ゴーンはロンドニア州の州都ポルト・ヴェーリョに居を構え、同じくナイジェリア生まれのレバノン人の女性と結婚。
1954年3月9日にカルロス・ゴーンが誕生した。
その後、カルロスが6歳の時[19]、祖父の母国であるレバノン・ベイルートに転居し、 その後、パリにあるプレップスクール リセ・スタニスラス、そして、リセ・サン＝ルイで学ぶ。
1974年、エコール・ポリテクニーク（グランゼコールエリート養成校の一つ）を卒業し、1978年にパリ国立高等鉱業学校（エコール・デ・ミーヌ・ドゥ・パリ）で工学博士を取得し卒業。
大学卒業後、1978年に欧州最大のタイヤメーカー、ミシュラン Michelin に入社した。
フランス国内で工場長、産業用タイヤ部門の研究開発ヘッドを歴任 後1985年、30歳の時に3億ドルの市場を持つ南米ミシュランの最高執行責任者(COO)に任命された。
その中で、南米事業部におけるフランス、ブラジル、その他多国籍の従業員の間での最良な業務形態を模索し、クロスファンクショナルマネージメントチームを結成。
このブラジルでの多文化体制下での経験は、後に彼の経営理念の核となるクロス・カルチャーな経営スタイルと強さの基盤を形成した。
「人は多様性から学び、そして共通性に安らぎを感じる。」とゴーンは語っている。
1989年、南米事業部を黒字転換させた後[28]、ミシュランの北米事業部の社長兼ミシュランの北米事業部の社長兼(COO)に選ばれ、家族を伴い米国サウスカロライナ州グリーンビルへと移転。
1990年にミシュランの北米の最高経営責任者(CEO)に昇格する。
1996年に、ルノーの上席副社長にヘッドハンティングされ、再びフランスへと居を移したが、1999年にルノーと日産の資本提携が行われた後[34][35]、ルノーでの役職も維持しながら日産の最高執行責任者(COO)に就任。家族とともに日本に移り住んだ。
0537現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 06:09:05.89ID:oElFmoGEhttp://homepage3.nifty.com/imura/22MathStory/Mathematician/Galois/Galois.html
エヴァリスト・ガロア Evariste Galois （1811～1832）
12歳でパリの名門リセ（中学校）であるルイ・ル・グラン校に入学しましたが、当時のフランスでは数学教育は重視されておらず、数学は将来の進む方向によって補習科で教えられていたのみでした。
ガロアがはじめて数学に興味をもったのは、成績が悪いということで最上級から1年下げられて、同じ学科を２度勉強するのもつまらなかったので、人気のなかった数学の授業に出た時でした。
優秀な教師リシャールに出会ったこともあり、予習でルジャンドルが著した初等幾何学の教科書を読みはじめたところ、すっかり熱中してしまい、2年間の教材を2日間で読み解いてしまいました。
やがて図書館でラグランジュやアーベルなどの著作を読みあさるようになり、将来は数学者になろうと決心したようです。
ガロアは有名な数学者を数多く生み出した最難関大学であった高等理工学校（エコール・ポリテクニーク）を受験しましたが、十分な準備を怠ったために失敗してしまいました。
この頃、当時の数学において最もむずかしい問題の解答をみつけて、17歳のとき最初の論文をコーシーに預けてフランス学士院に提出するように頼んだのですが、コーシーはそれを紛失してしまいます。
別の説では、それが高校生からのものだと知って、読まずに捨ててしまったとも言われています。
翌年エコール・ポリテクニークに再挑戦するのですが再び不合格で、結局１８２９年に高等師範学校（エコール・ノルマル・シュペリウール)に入学しています。
http://www.kaijo.ed.jp/education/subjects/mathematics/pdf/2011summer_1Hirayama.pdf
Galoisの生涯とGalois理論概説 平山裕之 2011.8.22
http://nakano.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/OpenCampus2009/galois_twenty_pdf.pdf
二十歳で死んだ数学者
ガロア| Evariste Galois
学習院大学 オープン・キャンパス 模擬講義
理学部数学科 中野 伸
2 Ao^ut 2009
0538現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 06:19:02.51ID:oElFmoGEこのスレを覗いてくれた人には、数学科の学生もいるだろう
言いたいことは、人生いろいろということだ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%BA%E7%94%9F%E3%81%84%E3%82%8D%E3%81%84%E3%82%8D
概要
TBSが同局で放送したテレビドラマ『三どしま』の主題歌制作を日音に依頼して制作された楽曲で島倉の代表曲でもある[2][3]。
浜口が函館の街をイメージして作った「坂のある町」が原曲。当初、作詞者の中山が予定した曲名は「笑いばなしにして」[3]で、「花ごよみ」のB面曲だった[3]。
当初酒で憂さを晴らす歌詞を酒を飲まない島倉に合わせて一部歌詞を変更[3]。
レコーディング時に同席した村上司・山田廣作の判断により、タイトルを分かりやすい「人生いろいろ」に変更し[1][4]、A面曲になった[4]。
本楽曲が話題になり始めたのは、1987年10月13日の「第20回日本作詩大賞」の受賞がきっかけである[5]。
同年には「第29回日本レコード大賞」で作詞賞を受賞し、
さらには当時のフジテレビ『オレたちひょうきん族』の「ひょうきんベストテン」コーナーで、山田邦子が島倉のものまねをしながら本曲を歌唱したことで、徐々にオリコンチャートや有線放送チャートを上昇して大ヒットとなり人気はさらに拡大した[6][7]。
同時期に他のものまねタレントでは、コロッケなども本曲を披露していた[8]。
「100万枚記念パーティー」では、山田とコロッケが招待されて本人の目の前で、島倉の物真似による「人生いろいろ」を熱唱。
これに対し島倉は、「山田邦子さんとコロッケさんのお陰で、『人生いろいろ』が若い方にも親しまれるようになり、光栄です」と2人を賞賛する（
ただしコロッケに対して、「コロッケさんは酷いと思う時もありますが」とも続けて冗談で述べていた。それでもコロッケ本人には「もっとふざけてやっていいのよ」と話していたという）。
0539現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 06:25:55.28ID:oElFmoGEいま、ゴーンを目指すならＭＢＡか
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%8F%E9%87%8E%E5%89%9B
夏野 剛（なつの たけし、1965年3月17日 - ）は、日本の実業家。学位はMBA（ペンシルベニア大学・1995年）。
慶應義塾大学大学院政策・メディア研究科特別招聘教授、株式会社KADOKAWA・DWANGO取締役、株式会社ドワンゴ取締役、
セガサミーホールディングス株式会社、ぴあ株式会社、トランスコスモス株式会社、、グリー株式会社、株式会社U-NEXT、株式会社ディー・エル・イーなどの取締役を兼任。
来歴
生い立ち
神奈川県出身。東京都立井草高等学校、早稲田大学政治経済学部経済学科卒業後、1988年に東京瓦斯に入社。
1996年に退社後、ペンシルベニア大学ウォートン校の経営大学院に留学、1995年に経営学修士（MBA）を取得。
同年日本に戻り、いわゆる一般的な広告モデルとは一線を画すダイレクトマーケティングモデルによるインターネットサービスプロバイダ（ISP）支援システムとしても一時話題となったハイパーネットの「ハイパーシステム」事業立ち上げに社外ブレーンとして参画し、
後に自ら同社の副社長に就任した。
1997年にハイパーネットが経営破綻したため、松永真理らの誘いで同年エヌ・ティ・ティ・ドコモに転職、iモードビジネスの立ち上げに携わる。
1997年9月12日、同社の開発プロジェクト・チームに対して示した基本コンセプト「ごくフツーの携帯電話によるインターネットへのアクセス」が、iモードビジネスの原点であると言われる。
この原案は、2000年発行の著書「iモード・ストラテジー」（日経BP社）に収録されている。
2005年6月、同社の執行役員（2005年5月10日新設）に就任。取締役に次ぐポストで、NTTグループとしては異例の昇進となった。
iモードビジネスにおける功績は、国際的にも知られている。
米国の経済誌『ビジネスウィーク』は、2000年1月17日号において、iモードビジネスに関する特集記事を組んだ。
続いて、2001年5月には「世界のeビジネスリーダー25人」に選出された。このほか2002年5月には、出身校のペンシルベニア大学ウォートン校から「ウォートン・インフォシスビジネス改革大賞」のTechnology Change Leader賞を受賞している。
0540現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 06:29:23.75ID:oElFmoGE夏野 剛 「1996年に退社後、ペンシルベニア大学ウォートン校の経営大学院に留学、1995年に経営学修士（MBA）を取得」って・・・
正しくは、東京瓦斯から社内留学でＭＢＡに行き、卒業後退社したんだ
で、インターネット関連のビジネスで活躍している
0541現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 08:17:02.98ID:oElFmoGEhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E5%B9%B3%E9%82%A6%E5%BD%A6
略歴
1915年 - 小平権一の長男として東京都に生まれる。
1935年 - 東京帝国大学数学科に入学。
1938年 - 同学科卒業後、同大学物理学科入学。
1944年 - 東京帝国大学物理学科助教授に就任。
1948年 - プリンストン高等研究所に招聘される。
1949年 - 東京大学より理学博士号、「Harmonic fields in Riemannian manifolds(リーマン空間に於ける調和場)」
1954年 - 国際数学者会議においてフィールズ賞を受賞。
kyoto-u.com > 談話室 > 議論 > バートランド・ラッセル曰く:
7. b 2005/09/11(日) 06:02:50
数学と物理はどっちが難しいのか？
8. c 2005/09/12(月) 19:25:45
物理だろう。
物理 2005/07/02(土) 23:47:53
加藤和也：天文学科に行きたかったが、希望がかなわなかった。
上野健爾：京理で理論物理をやろうと考えた事もあるが、数学にした。本人によれば、理論物理をやっていたら崩れていただろう。
佐藤幹夫：朝永振一郎に師事したが、数学者になった。
こういう実例から、物理ができない奴でも、数学科でなら教授になれる事が分かる。
0542現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 08:21:54.32ID:oElFmoGE>>539-540 こんなのもあるね
http://bizacademy.nikkei.co.jp/management/mba_holder/article.aspx?id=MMAC0w000011032015
東京糸井重里事務所取締役ＣＦＯ 篠田真貴子氏(上)――夫婦で私費MBA留学 互いにクラスメート支えに乗り切る 2015/3/16
コピーライターの糸井重里氏率いる、東京糸井重里事務所の取締役ＣＦＯ、篠田真貴子氏（47）は、大手コンサルティング会社や外資系製薬会社に勤務…
ＭＢＡを意識し始めたのは大学３年のころです。現役学生も含めたゼミの同窓会があり、その場で何人もの先輩が、「今度、会社派遣でＭＢＡ留学することになりました」とあいさつするのが、とても印象的でした。
すっかり感化され、自分の中で、ＭＢＡ留学が既定路線になりました。また、女性が仕事を続けるためには、何かわかりやすい箔を付けたほうがよいだろうと思ったことも、動機でした。
最初は、会社派遣でのＭＢＡ留学を試みたのですが、選考試験で落ちました。それなら私費留学しようと決め、ひそかに受験勉強を始め、留学費用も貯め始めました。合格通知が届いた時点で退職願を出しました。
0543現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 08:32:29.53ID:oElFmoGEが、数学科だけが人生じゃない
「人生いろいろ」>>538
MBAも一つの選択肢だろうし、別の学科も選択肢だろうし
まあ、いまはともかく、数学とかガロア理論を楽しんだらいいんじゃない？
下ネタ（506-510）は不要だ！
0544１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 08:34:38.42ID:bOcDO4QK0545現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 09:02:01.88ID:oElFmoGEhttp://www.saiensu.co.jp/
http://www.saiensu.co.jp/preview/2012-4910054690521/201205.pdf
数学vs・物理学' あるいは数学と物理の共鳴 伊東恵一 数理科学NO.587，MAY 2012
物理学者の言う証明と数学者の雷う証明とは微
妙に(多分かなり)違う.物理学者はあることを
信ずるのに「証明」が5個くらい(?) ないと信
用しないが(荒木先生のお好きな冗談)，数学，数
理物理学では「証明」は一つあれば十分である.
以前は寺沢寛一先生の教科書で済んでいた数学の
教科書に加藤敏夫先生のそれが加わり，今やReed-
Simonの4部作の教科書やA.Connesの非可換
幾何のテキストは必要な基礎知識の一つになって
しまった.これにstring理論や， Anderson局在，
量子ホール効果といった現代物理が加わるとそれ
を統一して術臨し，卓越した業績を残せる人はそ
れほど多くはない.
0546現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 09:04:48.17ID:oElFmoGEどうも。スレ主です。
数学科に入っちゃった口かね？ 彼女おらんのよねー
なら、>>532でも考えてみて
0547現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 09:13:22.27ID:oElFmoGE加藤 敏夫先生はこれかな
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E8%97%A4%E6%95%8F%E5%A4%AB
加藤 敏夫（かとう としお、1917年8月25日 - 1999年10月2日）は日本の数学者。専門は偏微分方程式、数理物理学、関数解析学。
栃木県鹿沼市に生まれる。1941年東京帝国大学理学部物理学科卒業。第二次世界大戦による中断を経て、1958年に東京大学教授となる。1962年よりカリフォルニア大学バークレー校教授。
1988年に退職し、カリフォルニア大学バークレー校名誉教授。
数理物理学に関する業績が多く、1951年には量子力学において現実的な（特異性のある）ポテンシャルでのシュレーディンガー作用素の自己共役性を示した。
また、非線型発展方程式、KdV方程式（Kato smoothing effect）、ナビエ-ストークス方程式の解について研究を行った。
これらの分野に影響を与えた "Perturbation theory of linear operators" の著者としても知られる。
1960年朝日賞受賞。1980年、アメリカ数学会・アメリカ応用数学会よりノーバート・ウィーナー応用数学賞を受賞。
1999年カリフォルニア州オークランドの自宅にて病没。
0548現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 09:39:38.64ID:oElFmoGEあらま、こんなのが・・
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20081202/1228226660
hiroyukikojimaの日記 2008-12-02 数学の道が閉ざされるとき
抜粋
映画『容疑者xの献身』を観てきた。実は、小学生の息子が、「どうしても観たい」、といったので連れていくことにしたのだ。
この映画を観て、いたたまれなかったのは、石神の数学へのひたすらの愛と、道が閉ざされたことへの絶望が、とてもとてもとてもよくわかるからである。
数学を志した多くの人は、かなり早期に、つまり少年期に、数学に目覚めている場合が多い。そして、ほとんどの場合、数学以外の将来を考えたことがない。
数学がなくなれば、人生のすべてが失われてしまう。数学のない人生は、全くの無意味なものだと思いこんでいる。
だから、数学の道が閉ざされたときのぼくの失意は、石神のそれと同じである、と思えた。
ぼくは、三度目に院試に落ちたその日に、数学の道にけじめをつけようと思った。
その日も、実は、塾で講義をした。
数学科の知り合いで塾の同僚だった人に、「よくこんな日に講義ができますね」、と慰めとも皮肉ともつかないことばをかけられたが、講義を休むという選択も思いつかないほど、ぼくは落胆していたのだ。
そして、ぼくはそこでなぜだか、「数学者になれなくとも、数学のそばにいよう」という決意をした。一般企業に就職するような選択はせず、不安定な身分ではあっても、塾で数学を教えながら、数学のそばにいよう、そう決意したことを覚えている。
それから今にいたるぼくの話は、『文系のための数学教室』講談社現代新書のあとがきで読んで欲しい。
そんなこんなで、犯人である数学者・石神を眺めながら、ぼくはずっと落涙していた。
映画的な試みだと思うが、湯川と石神が冬山を登山するシーンは象徴的だったと思う。
数学の道も物理の道も、まさに、このような雪山の登頂と同じだ。極寒のなか、死をも辞さず、一心不乱に昇り続ける。それは、ひたすら、頂上で見える風景のためだけにだ。
そして、その風景は、普通の人には価値あるものには思えない類のものである。でも、それがなければ、人生が無意味になってしまう。数学の道とは、そういうものなのだ。
0549現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 09:57:13.77ID:oElFmoGE前にもアップしたと思うが
東京大学理学部数学科卒業
このスレの多くは、東大数学科じゃないだろう・・
だから、人生観も違い、「人生いろいろ」>>538
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E5%B3%B6%E5%AF%9B%E4%B9%8B
小島 寛之（こじま ひろゆき、1958年 - ）は、日本の経済学者（東京大学博士（経済学））、数学エッセイスト。専門は、数理経済学。帝京大学教授。
東京大学理学部数学科卒業。中学生のときから数学者になることを夢見ていたが、東京大学院理学系研究科数学専攻(現数理科学研究科)大学院入試に3度落第し挫折[1]。
東大を卒業後、塾講師となり中学生に数学を教える。
市民講座で宇沢弘文の講演を聴き（弘文の息子達とは東大数学科の同期生）、経済学と出会う。東京大学大学院経済学研究科へ進学。同大学博士課程満期退学。
0550１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 10:13:26.29ID:rgJl+fq+0551１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 11:07:10.97ID:Pe1J7eIS0552現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 12:29:24.20ID:oElFmoGEお察しの通りだ
東大ではない（まあ、普通２ちゃんねるスレ主などが東大出である可能性小と思うだろう）
話は変わるが、東大だから幸せになる場合、逆の場合、両方あると思うんだよね
（例えば、同期入社で東大が数人居た。一人はノイローゼ気味で、結構早く亡くなった。東大法学部の一人（男）は、いまだ未婚・・）
同様に、東大じゃないけど、東大じゃなくて良かったとか、東大じゃなくても良かったとか、いろんなケースがあるんじゃないかな？
（例えば、上記篠田真貴子氏>>542、夏野 剛氏>>539、辻庸介氏>>528 など、東大じゃなくても良かったと・・）
私も、東大じゃなくても良かった・・、というか東大現役合格は無理だし、浪人する気もないし、浪人しても合格する可能性も低い・・から
人生いろいろで良いんじゃないかなと
0553１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 12:36:39.58ID:7Gd2/qOA0554現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 12:39:12.91ID:oElFmoGE数学科だから幸せになる場合、逆の場合、両方あると思うんだよね
少なくとも、いま数学科の人は
１．>>548を読むこと
２．人生いろいろ、ＭＢＡなども選択肢>>528
３．辻庸介氏は、京都大学農学部を卒業しソニーに入社、子会社再建通じ経営知識のなさ痛感 ウォートン校へ http://campus.nikkei.co.jp/article/86890318.html
４．要は、自分の人生設計は自分で考えることが肝要だと
５．その上で、数学科で学んだ知識とスキルは無駄にはならないと思うよ。必要十分ではないだろうが
0555現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 18:24:42.34ID:oElFmoGEどうも。スレ主です。
きみには、この言葉を贈ろう
http://anond.hatelabo.jp/20071107005433
2007-11-07
■自分より優れたるものを自分の周りに置きし者ここに眠る。カーネギー
自分で仕事をするのではなく、仕事をさせる適材を見つけることが大切だ。 アンドリュー・カーネギー
遠くを見通し得たとするならばそれは巨人の両肩の上に立っていたから
松下幸之助が考えた｢指導者の条件｣とは？｢自分より優れた人を使えることですな｣
自分よりスペックが上の人を雇える人が、社長として大成する
0556現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 18:34:11.99ID:oElFmoGEhttp://www.amazon.co.jp/dp/4062192802
iモードの猛獣使い 会社に20兆円稼がせたスーパー・サラリーマン 単行本（ソフトカバー） ? 2015/1/9 榎 啓一 (著)
https://newspicks.com/news/633569/
iモード開発の裏側に、ドコモ豪腕社長アリ！ NewsPicks編集部 2014年09月26日
1997年１月８日水曜日午後２時、虎ノ門の新日鉱ビル東棟10階にあるNTTドコモの社長室から私にとってのiモード開発は始まりました。iモードのすべてはここから始まったのです。
私は、ドコモの初代社長であり、日本の携帯電話市場の創造者である大星公二さんの前に立っていました。
「榎君、君の次の仕事はこれだ」
直立不動の私に異動先を示しながら大星さんは言いました。
「はい」
「同時にこの新商品の開発もやってくれ」
と言って冊子を渡されました。
「分かりました」
「こちらの仕事には部下がいるのでしょうか？」
「いない」
「社内公募で集めろ」
「社外から採用してもよろしいですか？」
「ＯＫ」
この時、私は新たな職務であるiモード、当時は「携帯ゲートウェイ」という仮名であった商品の開発を正式に命ぜられ、快諾しました。
0557１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 18:39:28.18ID:A0jMjgQsi-mode開発とlinux開発の価値の違い分かってないだろw
0558現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 20:19:20.01ID:oElFmoGEどうも。スレ主です。
>i-mode開発とlinux開発の価値の違い分かってないだろw
良い質問ですね by 池上 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%A0%E4%B8%8A%E5%BD%B0 ニュース解説で多用する「いい質問ですねぇ!」は2010年、ユーキャンの主催する「新語・流行語大賞」の上位10位入りした
国産 vs 外国産 ≒ 和算 vs 微分積分
クローズ vs オープン ≒ Magma vs GAP http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%BC%8F%E5%87%A6%E7%90%86%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7 (REDUCEなんてのも・・)
コンテンツ vs インフラ（or ツール） ≒ 物理や統計など vs pure math http://en.wikipedia.org/wiki/Pure_mathematics "Broadly speaking, pure mathematics is mathematics that studies entirely abstract concepts."
こんな感じでしょうか？ （＾＾
0559現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 20:45:19.66ID:oElFmoGE>松下幸之助が考えた｢指導者の条件｣とは？｢自分より優れた人を使えることですな｣
これ、数学でも例があるよね
一番有名なのが、佐藤幹夫。xxスクールとか言って、人を集めて、論文を書かせる
秋月康夫にも、似た話があるらしい http://wiki.yukawa100.org/index.php?%B2%AC%B7%E9%A4%C8%BD%A9%B7%EE%B9%AF%C9%D7%A4%CB%B4%D8%A4%B9%A4%EB%B5%AD%BD%D2
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/30/2/30_2_97/_article/-char/ja/
http://mathsoc.jp/pamph/history/100th/sugaku3002113-119.pdf
記念講演 日本の数学の発展 彌永昌吉 日本数学会創立100周年記念特集 1978
広中君は京都大学を1954年に卒業されました.
私がはじめて広中君に会いましたのは，赤倉の山小屋で、秋月さんが谷口奨学資金で主催された代数
幾何のセミナーのときでした.日本の数学の発展についてお話するとき忘れることのできないのは
秋月康夫さんと谷口豊三郎さんの功績のことです.
谷口さんはもと東洋紡の社長をしておられました.秋月さんのお友達でありまして，こうした研究会
のために援助を惜しまれませんでした.現在から将来にわたる計画にも，おかげをこうむっており
ます.秋月さんは京都大学で抽象代数学の先駆者であった園正造先生の御弟子で，代数幾何には最
も力を入れておられます.秋月さんのお友達にはまた多変数解析関数論について深い研究をされた，
岡潔さんもおられます.物理学者の方でノーベル賞を受けられた湯川さん，朝永さら，江崎さんも
秋月さんが教えられたと伺いました.広中君は秋月さんの最も秀れた御弟子の一人で
した.赤倉でお目にかかったのは1900何年でありましたかはっきり想い出せませんけれども，その
とき広中君がいかにも情熱的な態度で発表しておられたのを良く憶えております.あとPrinceton
で小平君やSpencerと広中君が議論しておられたとき，あるいはParisでGrothendieckと話して
おられたときにも御一緒したことがあります.
0560現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 21:00:31.63ID:oElFmoGEフェルマーで有名なWilesも、行き詰まったときに、助っ人を呼んだ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA
「それまでの単独研究というスタイルを捨て、弟子であるリチャード・テイラーも加えて、このギャップを埋めようとした」
リチャード・テイラー は、谷山・志村予想の証明、数論の超難問と称される佐藤・テイト予想を証明したことで有名だが
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Taylor_%28mathematician%29
共同研究も含めて、人を集めるのも才能だろうね
0561現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 21:14:13.24ID:oElFmoGE> 映画的な試みだと思うが、湯川と石神が冬山を登山するシーンは象徴的だったと思う。
>数学の道も物理の道も、まさに、このような雪山の登頂と同じだ。極寒のなか、死をも辞さず、一心不乱に昇り続ける。それは、ひたすら、頂上で見える風景のためだけにだ。
>そして、その風景は、普通の人には価値あるものには思えない類のものである。でも、それがなければ、人生が無意味になってしまう。数学の道とは、そういうものなのだ。
小島 寛之のこの文は、ストイックすぎと思うんだよね。院試に3度落第のバイアスかかりまくり
おれみたいな門外漢がいう話じゃないけどね・・
http://www.weblio.jp/content/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%82%A4%E3%83%83%E3%82%AF
実用日本語表現辞典
ストイック
英語：stoic
禁欲的な態度、自らを厳格に律する姿勢、怠惰や享楽へ逸脱することなく目標へと邁進する求道的な在り方、といった意味で用いられる表現。
ストイックの語は、元々は古代ギリシア哲学におけるストア派と呼ばれる学派の思想（ストイシズム）を指す形容詞である。
ストア派の思想は、大雑把に言ってしまえば、自律・自制によって道徳的・倫理的な幸福を求めようとする考え方であるといえる。
古代ギリシア哲学では、幸福を「快」として捉え享楽を肯定する学派（エピクロス派、エピキュロス派）も登場した。
今日では快楽主義を指す語として用いられ、ストア派とは対称的な考え方と位置づけられることが多い。
0562現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 21:24:38.31ID:oElFmoGEまあ、少なくとも、ガロアには無縁だったろう
決闘の１年以上前には、彼のガロア理論は頭の中にはあった。論文紛失事件さえなければもっと早く・・
ガロアは冬山登山などしていない
ガウスが、１７歳で円の等分問題をひらめいたのと同じか
当時の数学の最先端に楽々と立つと、すぐに頂上が見えたのかも
一方で、確かに、ｘｘ予想に人生を捧げたが、解けなかったという話も数知れず・・。例えば下記
ポアンカレ予想への挑戦 パパキリアコプロス http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%91%E3%83%91%E3%82%AD%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%82%B3%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B9
パパは米国に渡る以前から数学上の難問とされるポアンカレ予想の証明に情熱を注いでいた。
1976年6月29日、ポアンカレ予想証明を実現できないまま胃癌によりプリンストンにて62歳で死去。
ポアンカレ予想に翻弄された彼の人生は後に、アポストロス・ドキアディス (Apostolos Doxiadis) による『ペトロス伯父と「ゴールドバッハの予想」』 (Uncle Petros and Goldbach's Conjecture) というベストセラー小説のモデルとなった。
0563現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 21:37:16.26ID:oElFmoGEhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5
彼は高等研究所（IAS）で2年(1959-60)、次いで数理科学研究所（the Courant Institute of Mathematical Sciences）で2年 (1961-2) を過ごし、1962年にパデュー大学に赴任した。
ビーベルバッハ予想の証明（1984年）後は、リーマン予想(GRH)を含む数学のいくつかの重要な仮説の証明に取り組み、2009年までに4度、リーマン予想の証明を発表したことでも知られる。
業績
1984年にビーベルバッハ予想を証明。そのため、ビーベルバッハ予想は現在ルイ・ド・ブランジュの定理と呼ばれている。
http://en.wikipedia.org/wiki/Louis_de_Branges_de_Bourcia
0564現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 21:45:08.66ID:oElFmoGE”極寒のなか、死をも辞さず”ではない。おそらく「リーマン予想は、ダメ元だ」という気分でしょう。
そういえば、アーベルが自分の職を得るために、楕円関数論の論文を書いたのは有名な話だが
アーベルにしてみれば、山頂には楽々到達していたんだろう。書くのがおいつかないだけの話で・・
http://chiebukuro.yahoo.co.jp/tag/tags.php?tag=%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%89%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E5%8D%9A%E5%A3%AB
ＮＨＫでリーマン予想の番組を見たんですが、質問します ルイドブランジュ博士が最後に解けたと行っていた証明は まだ検証され続けているんですか？？？
質問日時：2010/09/20
0565現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/30(土) 21:45:42.32ID:oElFmoGE老婆心ながら一言
0566１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 22:23:18.04ID:urr7nfgRlllllllllll , ,lllllllllllllll ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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0567現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/31(日) 08:32:14.74ID:E7MOMeK9君は、数学があまりできないようだね
そういう人は、小島の毒気を多少吸い込む方がいいだろう
小島の毒気に戻れば、似た話で、囲碁将棋のプロへの試験ある
囲碁：入段試験を突破した者だけがプロ初段の棋士となり、プロ棋戦への参加資格を得る。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A3%8B%E5%A3%AB_%28%E5%9B%B2%E7%A2%81%29
将棋：普通は、奨励会三段リーグに入り、所定の成績を収めると、四段の棋士（プロ）となる。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A3%8B%E5%A3%AB_%28%E5%B0%86%E6%A3%8B%29
小島は、例えて言えば、このプロ棋士試験に３回失敗して、アマ棋士のままだと
「数学の道も物理の道も、まさに、このような雪山の登頂と同じだ。極寒のなか、死をも辞さず、一心不乱に昇り続ける。それは、ひたすら、頂上で見える風景のためだけにだ。
そして、その風景は、普通の人には価値あるものには思えない類のものである。でも、それがなければ、人生が無意味になってしまう。数学の道とは、そういうものなのだ。」>>561
小島さんは、そう仰いますが、そんな話はプロ棋士にだってある
名人位のタイトル戦、挑戦者決定戦、その後のタイトルを賭けた戦い。タイトルを取るか取れないかで、その後の人生が大きく変わる
将棋の名人なんて、将棋を知らない人から見れば、価値あるものには思えない類のものであるけれども（下記）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%87%E7%94%B0%E5%B9%B8%E4%B8%89
升田幸三：全日本選手権戦（後の十段戦→竜王戦）で対戦した木村名人に対して「名人など所詮はゴミのようなもの」と発言した。それに対し、ムッとした木村は「じゃあ君は一体なんだ？」と反論したところ「ゴミにたかるハエだな」と言うなど、毒舌ながらユーモアもあった。
小島で言えば、あんたのプロとしての土俵は、経済学のはず・・
経済学は、雪山の登頂じゃない？
なぜか？ それは「３度プロ試験に失敗した分野じゃないから・・」と。それが大きな理由だろう
数学科で言えば、数学のプロ試験に受かるやつ受からないやつ
小島みたく、身につけた数学の知識とスキルを生かして転身するやつ
人生いろいろだと>>538
あまりストイックに、なりすぎないように>>561
0568１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 09:43:55.16ID:CJ71xx4B0569１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 14:10:17.98ID:ftR0+JBr0570１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 16:03:18.27ID:xcpvyu6+0571現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/05/31(日) 19:13:49.95ID:E7MOMeK9どうも。スレ主です。
レスありがとう
Q1.スレ主さんは代数以外勉強しなかったの？
A1.代数も勉強していない。ただ、代数の定義がwell-difinedでないとおもうのだが。 http://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
しかし、ただ、代数の定義がwell-difinedでないとして、代数以外も勉強した。行列とか応力テンソルとか、常微分および偏微分方程式とか、複素関数論とかね。必要だから
Q2.代数の勉強じゃなくて何かを勘違いした基礎論の証明気分の陳述してるだけじゃないの？
A2.それはあなたの勘違いだろうさ。私スレ主は原則として、証明は書かない。証明を書く必要があるときは、ネット検索してＵＲＬとコピペとをアップするんだ。それが間違っていることはあるだろうがね
Q3.そうだね、代数的な話題はほとんどしないし、たまにすると間違ってるし
A3.良いんじゃない？ それで。ここは、２ちゃんで天下の落書き帳。専門的な内容で議論したければ、米国みたく大学で専門掲示板を自分たちで作れば・・？
で、間違ってる？ >>567が典型例だが、私スレ主は原則として、裏付けのＵＲＬとコピペは常に付けるようにしている
なので、他のだれかと勘違いしてないか？ もちろん、完璧ではない。また、たまに間違いがあることは否定しない
が、自分だけの主張は極力控えて、裏付けを常にアップするように気をつけているんだ
0572現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 06:53:34.48ID:2DYA/PLchttp://wofwof.blog60.fc2.com/blog-entry-612.html
Willyの脳内日記 アメリカ在住の駆け出し大学教員による留学・研究・生活情報、日米社会の考察 2013-04-09
抜粋
Author:Willy 日本の数学科で修士課程修了。金融機関勤務を経て、米国の統計学科博士課程に留学。2009年、某州立大数学科専任講師。2010年、助教。
私はいわゆる日本でサラリーマンをやってから いまは米国で博士号を取って大学教員をしているのだけど、何でそんなに変則的なキャリアになっているのか、少し書いてみたい。
大学に入学する前から数学者になりたいと思ってはいたけれども 同時にそれはイレギュラーなキャリアなのだという意識はあったし、大人になるにつれ、とびきり優秀でもない自分にとって それが非常にリスクの高いキャリアなのだということも
認識するようになっていった。
先輩の院生から、「現在の数学系研究職のジョブマーケットは求人倍率0.05倍（つまり２０人に１人しか就職できない）らしい。」などと言う話を聞いたり、博士課程の院生が仕事を見つけられずに苦しんでいるのを見て、「もちろんキャリアは自分の努力次第だけれども
仮に頑張ったところで上手く行かなければ大変なことになる」と思うようになった。
私は大学院で落ちこぼれて専門分野に対する興味自体を失っていったが、分野を変えたり環境を変えたりして何とか踏みとどまろうというエネルギーが
湧きおこらずに、ともかく新卒カードを切れるうちに就職してしまおうと思ったのは、自分が育った家庭のように経済的に何の不安もない豊かな生活を送りたいという、まわりから無意識のうちに刷り込まれた価値観とプレッシャーが大きかった。
そして実際にめでたく良い職場に就職し、親元を離れ、忙しくて楽しい充実した社会人生活を送ってみたものの、結局、経済的安定や社会的地位なんてものは自分をそれほど幸せにはしないようだし、キャリアに関する悩みはいつまでも消えないのだということに気付いて
もう一度分野を変えてやってみようと思い直したというわけだ。博士を取った時には、大学入学から実に１６年が経っていた。
もちろん、私は大学を４年で卒業したからこそ、修士を取り、良い職場で経験を積み、留学して大学院に行き直すことができたと 言えない事もないし、別に好き好んで１年間遊んでいたこともない。
0573現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 07:02:08.72ID:2DYA/PLchttp://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/usgrad.htm
河東のホームページに戻る．
アメリカ大学院(数学)への留学について
抜粋
私は履歴書のページにもあるとおり， 昔アメリカ(UCLA)の大学院に留学して博士(Ph.D.)を取っていて， うちの卒業生もこれまでに何人かアメリカの大学院に正規の大学院生として留学しているので， けっこう留学の方法について聞かれることがあります．
そこで一般的な情報についてここにまとめておくことにしました． 別にアメリカがなんでもすぐれているとか， みんなでこぞってアメリカに行くべきだとかはちっとも思いませんが，
一般的に言って日本の数学の学生でアメリカに留学する人はあまりに少な過ぎで， もう少したくさん行った方が本人のためにも日本の数学のためにもいいと思います． (中国人や韓国人の留学生はものすごい数でいるのに日本人はごくわずかです．)
いい学生がいれば奨学金はいろいろあるが誰かいないか， というようなことをアメリカ側から聞かれることもわりとあるので， これを書いてみました．
これは，あくまで私の経験と知識に基づく， 「アメリカ」の「数学科」の大学院への留学に関する情報であり， しかも大学での研究者を目指すケースを想定しています．
なお純粋数学の研究者を目指さない場合にも， 下記にあるようにいろいろな奨学金もありますし， アメリカでは数学のPh.D.で就職できる，条件の良い民間企業のポストはたくさんありますので，
アメリカにずっといるつもりであれば，純粋に経済的な面からもアメリカ留学は得だと思います．
ただしこの場合英語力がより高いものが必要ですが．
一般的な情報
まず，その辺で売っている留学案内みたいなものは数学とはだいぶ事情が違うので， ほとんど役にたちません．
アメリカの数学科大学院(博士課程)について最初に強調すべきことは， 基本的に授業料はタダないしタダ同然の上に生活費もくれるということです． 気前がよすぎると思うかもしれませんが， 日本の大学院の方が世界の常識から外れてケチなのです．
(この非常に重要な情報が日本で広く知られていないのはなぜでしょうか．) そのかわり，アメリカには Teaching Assistant と呼ばれる院生の仕事があって， 学部の演習などの手伝いをします．これについては下にもっと詳しく書きます．
0574現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 08:41:55.44ID:2DYA/PLchttp://anago.2ch.net/test/read.cgi/bizplus/1339996068/
【資格/米国】就職に役立つ修士号と役立たない修士号のランキング…フォーブス調査［12/06/18］
抜粋
経済誌フォーブスは、米国での就職に役立つ修士号と、役立たない修士号のランキングを
それぞれ上位5研究科まで発表した。
役立つ修士号は、準医師資格が第1位を獲得し、コンピューターサイエンスが第2位に
ランクインした。役立たない修士号の第1位は図書館情報学だという。
米国では、失業率が8.2％、不完全雇用率が18％を非常に高く、学部卒業生が進路選択を
悩んでいる。雇用状況改善の見通しが立たない今、大学院に進む学生が増えているという。
フォーブスによる同調査は、350万人の業界別平均給与データと、2010年から2020年までの
業界別雇用拡大・縮小予想をもとに、修士号取得後の就職の可能性と給与を考慮した
ランキングを作成した。
もっとも役立つ修士号とされたのは、準医師資格。
中堅社員の平均年収が約780万円で、修士号が就職に役立つ可能性は30％とされている。
第2位は、コンピューターサイエンスで、平均年収は870万円と準医師資格より高いが、
実務に役立つ可能性は22.3％とされている。
第3位は、電気工学の970万円・17.7％で、その後の第4位に数学の730万円・24.7％と
情報システムの760万円・23.3％がランクインした。
0575現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 08:48:39.20ID:2DYA/PLcほい
http://www.nikkei.com/article/DGXMZO85609010T10C15A4000000/
テクノロジー > 新技術 & 科学 > 「ネット20年」その先へ
ネット史に輝く金字塔、「ｉモード」生んだ運命の出会い ｉモードと呼ばれる前（１）2015/4/17
いまやインターネットを利用する際に、最も身近な端末となったスマートフォン（スマホ）。そのスマホが、米Apple（アップル）の手によって2007年に初めて発売される約8年も前。
携帯電話のインターネットサービスを世界に先駆けて事業化したのがNTTドコモの「iモード」である。
「スマホの原型」とも言える、この日本発のサービスの普及は、予想をはるかに超えるペースで進み、1990年代の停滞した日本経済の中で、ひときわまばゆい光彩を放つ20世紀最後の大ヒットとなった。
日経電子版創刊５周年企画「『ネット20年』その先へ」では今回から6回にわたり、iモードを事業化にこぎ着けるまでの技術者たちの奮闘を描いた開発物語「ｉモードと呼ばれる前」（日経エレクトロニクスが2002～2003年に掲載）をお届けする。
（つづく）
0576現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 08:54:13.62ID:2DYA/PLc抜粋
「iモード」開発の経緯を綴った自著「iモード事件」（角川書店）を、松永真理はこう書き出している。「いつのころからか、iモードの生みの親と呼ばれるようになった。そのたびに、首を傾げながら『私ひとりが生んだわけではありませんから』と訂正を入れる」。
「とらばーゆ」の編集長だった松永真理。ベンチャー企業の副社長から転じた夏野剛。そして、異色の人材を受け入れ、1つにまとめた榎啓一。 iモードを成功に導いた立役者として華々しく雑誌のグラビアを飾った人々がいる。
ユニークなビジネス・モデルを創造し、粒ぞろいのコンテンツを集めた彼らの功績は絶大だ。しかし、松永が指摘するように、彼らの奮闘は、物語の一面でしかない。
目覚ましい成功の裏に、独創的なアイデアと型破りな人間性で困難に打ち勝った技術者の存在があったことは意外と知られていない。
まだiモードという名称も、サービスの枠組みさえもなかったころ、その原型となる技術を開発していたベンチャー企業の技術者がいた。このベンチャー企業の先進性を見抜いたのがNTTドコモの1人の技術者だった。この2人の出会いがなければ、iモードは存在しなかった。
男は、眼鏡の奥から鋭い視線で部下をにらみつける。「どこの誰とも知れない人間に、全員が雁首そろえて会いに行くほどヒマじゃないだろ」
部下を追い払い、不機嫌そうに書類を片付けた。
男の機嫌が悪いのには理由があった。外部のコンサルタントが持ち込んでくる企画の会議がこのごろ急に増えていたからだ。「PDA（携帯情報端末）と携帯電話機を合体してインターネット・サービスを実現」。
こういったたぐいの話に正直なところうんざりしていた。「どいつもこいつも、すぐPDAを開発したがる。どうせ今日の話も同じだろう」。そう考えると余計、会議に出ることが億劫（おっくう）に思えてきた。
「普通の携帯電話機がネット端末にならないとダメだ」。それが男のかねてからの持論だった。男には苦い経験があった。
2年前にスイスのジュネーブで催された「Telecom95」で、NTTドコモはPDA型の携帯電話機を出展した。来場者の評判は芳しくなく、結局製品にならずに消えた。その開発責任者がこの男だった。
つづく
0577現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 09:00:51.69ID:2DYA/PLc抜粋
■「この人が技術のキーマンか」
ドアをノックして中に入ると、既に部屋は10数名の人間で混み合っている。席に座って腕時計に目を走らせる。ちょうど約束の時間の午後1時30分。もうすべてのメンバーがそろったころだろうと踏んで、話を切り出そうとした時だった。
突然、1人の男が扉を開けて足早に駆け込んで来た。最前の苛立ちの表情は、きれいさっぱりぬぐい去られている。男が部屋に入るなり、同席者は立ち上がり波が引くように道を譲った。
「きっと、この人がキーマンだな」。細身の男はこう直感した。名刺を差し出しながらあいさつする。「ACCESSの鎌田と申します」。手渡した名刺にこうある。「ACCESS 取締役副社長 研究開発担当 鎌田富久」。
もう一人の男は不敵な笑顔で名刺を取り出した。「NTTドコモ 移動機技術部 主幹技師 永田清人」。
iモードのひな型を築き上げた2人が初めて顔を合わせた瞬間だった。
鎌田の弁舌はどんどん滑らかになっていく。
「今回は携帯電話機への搭載ということですので、特別な拡張機能も用意しました。『phone to：スキーム』といいます。『phone to：03―XXXX―XXXX』とHTMLを記述すれば、いちいちダイヤル・ボタンを押さなくても、選択ボタンを押すだけで電話をかけられるようになります」
同席者から感嘆の声が漏れる。しかし永田の耳には入らない。そもそも、初めて会って「ウチの製品はこんなに良いモノなんですよ」と売り込む輩にろくな人間はいない。そう永田は常々思っていた。
つづく
0578現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 09:02:47.98ID:2DYA/PLc抜粋
■「本当に動くんですか？」
「私からの説明は以上です。何かご質問はありますか」
鎌田のプレゼンテーションが終わり、一同を沈黙が襲う。まだ永田は資料から目を離さない。一言一句を徹底的に精査していた。
NTTドコモ側の企画担当者が間を持たせるために何か言おうとした瞬間、突然堰（せき）を切ったように永田の口から質問があふれ出した。「どんなマイクロプロセッサーだとこれが動くんですか」
「…例えば（インテルの）x86系での動作を確認しています。他のプロセッサーへの移植もそれほど難しくないと考えています」
意表を突かれた鎌田を前に、永田は本領を発揮し始める。「鎌田さんがおっしゃる通り、 NetFrontがテレビやワープロで動いていることは分かりました。でも、携帯電話にはそんなに大きなメモリーは積めないんですよ。本当に動くんですか？」
もちろん鎌田は「動く」と答えるに決まっている。それでも永田は、この問いを口に出さずにはいられなかった。
永田は根っからのソフト屋を自認している。プログラムを小さく作るとか、メモリーが足りないといった話は感覚的に分かる。どんなに巧妙に飾り立てても、必ずウソは見破ってみせる。そんな気概が言葉の端々にみなぎった。
つづく
0579現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 09:06:40.65ID:2DYA/PLc抜粋
■「こんな人がNTTにいたのか」
平然を装いながらも、鎌田は内心では永田が自分の話を信用していないことを十二分に感じていた。
鎌田が驚いたのは、永田から飛び出す質問がどれも鋭くポイントを突いていたことだ。
HTMLのデータを圧縮するか否か、暗号化の方式、サーバー側に持たせる機能、クライアント側との処理の切り分けなど、これまで企画担当者との打ち合わせでは出てこなかった手ごわい質問が矢のように飛ぶ。
鎌田は何食わぬ顔で受け答えしていたが、実は永田の質問をメモするのに必死だった。
「この人はできる。この人を説得できなければ、一歩も先には進めない」
鎌田は長期戦を覚悟した。
「うーん…。言葉で説明されていることはよく分かるんですが、どうしてもイメージとしてピンとこないんですよね」。こう言って黙った永田は、鎌田のことを不思議な人物だと感じ始めていた。
「この人の自信はどこから来るんだろう。まるで技術が完成しているかのような話しぶりだ。もしかしたら本当に動くのか。まさか。そんなはずは絶対にない」。
永田は鎌田を徹底的に問い詰める作戦に出た。
「例えばね、Webサイトにアクセスするということは、閲覧するだけじゃなくて、文字を入力する必要も出てきますよね。今の携帯電話機では電話帳に名前が入れば十分ですから、パソコンみたいに大容量の辞書が載っていません。
ブラウザーを搭載するなら、辞書データだけで200Kから300Kバイトくらいにはなる。さらに仮名漢字変換の部分が40Kバイトか50Kバイトは必要になるでしょう。軽いとおっしゃるNetFrontですが、実装するためにはもっと軽くする必要が出てきます。それが本当に可能ですか」
「それともう一つ、ブラウザーのサイズをROM（読み出し専用メモリー）とRAM（書き換え可能なメモリー）に分けてもっと詳細に教えてください。どの機能にどれくらいメモリー領域が必要なのかが分からないと、何とも言えませんから」
永田は押し続けた。
つづく
0580現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 09:12:55.47ID:2DYA/PLc抜粋
鎌田はこれまで体験したことのない異常な熱気を感じていた。外気の暑さとは違う、人間だけが発する熱がひしひしと身に迫ってくる。「こんな人がNTTにいたなんて。この人に分かってもらうためには、実際に動いているモノを見せるしかないんじゃないか」。
鎌田は永田の威圧感に耐え切れなくなってきた。
「それでは、次回のミーティングで、動いているものを実際にお見せしながら再度提案させてください」。精一杯の力で鎌田はこう切り出した。
「それがいいですね」。永田も賛同した。
会議室に張り詰めていた空気が一気に開放され、2人のソフトウエア技術者のプライドを懸けた闘いはひとまず中断した。
次のミーティングは1997年7月22日の午後1時からと決まった。
「絶対に説得してみせる」鎌田の眼は1カ月先を見据えていた。
■「よし。いけるぞ」
「ほぉー」
ノートパソコンのディスプレーに映ったブラウザーを見て、同席者から感嘆の声が漏れた。1997年7月22日。鎌田富久はこの瞬間を待っていた。
「へぇ，本当に動くんだ」。永田は心の中で思わずこうつぶやいた。鎌田の1度目の提案から想像していたよりも、ずっと良い出来栄えだ。
「これだったら榎さんの構想も実現できるかもしれないな」
永田は、白髪の交じる小柄な紳士が、人懐こい笑顔で語った雲をつかむような話を、ぼんやりと思い起こしていた。
つづく
0581現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 09:17:32.18ID:2DYA/PLcまとめよう
i-mode開発の価値とは、スマホが、米Apple（アップル）の手によって2007年に初めて発売される約8年も前
携帯電話のインターネットサービスを世界に先駆けて事業化したのがNTTドコモの「iモード」である。
ネット史に輝く金字塔なのだ
0582１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 09:39:40.57ID:gKy+dM78これ、多分全米の人か何かの人間の集団の中から無作為に人を選んでその修士号が役立つと思うかどうかを聞いた調査だぞ。
>もっとも役立つ修士号とされたのは、準医師資格。
>中堅社員の平均年収が約780万円で、修士号が就職に役立つ可能性は30％とされている。
>第2位は、コンピューターサイエンスで、平均年収は870万円と準医師資格より高いが、実務に役立つ可能性は22.3％とされている。
>第3位は、電気工学の970万円・17.7％で、
>その後の第4位に数学の730万円・24.7％と情報システムの760万円・23.3％がランクインした。
全体で (第1位の)30%＋(第2位の)22.3%＋(第3位の)17.7%＋(第4位の情報システムの)23.3%＝103.3%＞100%
って結果からそのようにでも考えないと整合性が合わない。全体で100%を優に超えてる。
世論調査の一種だろうな。
0583１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 09:50:25.91ID:gKy+dM78計算間違え散ったw 下から3行目までのあたり、正しくは
>全体で (第1位の)30%＋(第2位の)22.3%＋(第3位の)17.7%＋(第4位の情報システムの)23.3%＝「93.3%」
>って結果からそのようにでも考えないと整合性が合わない。これに第4位の数学24.7％も足すと全体で100%を優に超えてる。
な。まあ、世論調査の一種であることに変わりはないだろうけど。
0584１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 10:02:47.42ID:gKy+dM78あれ？ 計算間違えちったw って書いたつもりが漢字変換したら
何か 計算間違え散ったw になっているな。>>583の訂正：
計算間違え散ったw → 計算間違えちったw
頭の中で (第2位の)22.3%＋(第3位の)17.7%＝40% って出してから
計算したのにその後小学校1、2年の足し算間違えちゃったw
0585現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 10:03:45.15ID:2DYA/PLclinux開発の価値について
果たして、>>557の質問者がどこまで分かっているのやら・・
１．雑学だが、”GNU/Linux”：「リーナス・トーバルズ自身もGNU/Linuxと呼称している」という http://ja.wikipedia.org/wiki/Linux
２．ユーザ空間のシステムツールやライブラリの多くは、リチャード・ストールマンが1983年に立ち上げたGNUプロジェクトによって作られたものであるため、フリーソフトウェア財団 (FSF) はGNU/Linuxという名前を使うことを推奨している[9][10]。
３．今日ではLinuxの普及に伴い国際規格が策定されている。Linuxカーネルを使用し、Linux Standard Base (LSB) Core Specification (ISO/IEC 23360シリーズ) に準拠したOSが、OSとしてのLinuxであるとされている。
４．携帯電話関連では、スマホOSのAndroid＝カーネルにはLinuxの関連技術が使用されている http://ja.wikipedia.org/wiki/Android
（因みに、Apple のiOSもUnixに起源を持ち、Linuxと同根と言える。）
５．Linux開発の価値とは、
「Linuxの開発は、フリーかつオープンソースなソフトウェアの共同開発として最も傑出した例のひとつである。
Linuxカーネルのソースコードは無償で入手でき、GNU 一般公衆利用許諾書のもとにおいて、非営利・営利に関わらず誰でも自由に使用・修正・頒布できる。
Linuxは、世界中の開発者の知識を取り入れるという方法によって、あらゆる方面に利用できる幅広い機能と柔軟性を獲得し、数多くのユーザの協力によって問題を修正していくことで高い信頼性を獲得した。」
http://ja.wikipedia.org/wiki/Linux ということだろう
0586現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 10:05:45.27ID:2DYA/PLcどうも。スレ主です。
その声は、おっちゃんかな？
レスありがとう
0587１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 10:07:50.96ID:PteHJbSh0588現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 10:57:16.35ID:2DYA/PLclinux開発で強調しておきたいこと
１．1991年に、当時フィンランドのヘルシンキ大学の学生であったリーナス・トーバルズはオペレーティングシステムに好奇心を抱くようになっていた。
当時、近代的なOSを動作させる能力を持つ Intel 80386 CPU を搭載した32ビットPC/AT互換パーソナルコンピュータが登場していた。
ワークステーションやミニコンピュータ等と比較すれば遥かに安価に入手できるものであったため、リーナスはこれを使ってUNIX互換の機能を持つOSを動作させてみたいと考えていた。
このためリーナスは、既に使用していた自作のターミナルエミュレータを改造したり、ファイルシステムなどのUnix互換APIを実装したりして、独自のOSカーネルの開発を開始した。最終的にこれが現在のLinuxカーネルへと成長することとなった。
２．当初のLinuxの実装は極めて単純なものであり、他の既存の自由でないUnixシステムのどれに対しても、その機能と実績において比肩しうるものではなかった。
また当時、自由なソフトウェアによるUnix互換OSを開発しようとしていたGNUプロジェクトは自身のカーネル (GNU Hurd) を完成していなかった（2013年現在もなお開発途上である）。
ライバルのBSDは1992年からUSLとの訴訟を抱えており権利上の問題をクリアしたバージョンがリリースされたのはFreeBSDでは1994年11月だった。
つまり、1990年代前半において、自由なUnix互換カーネルと呼べるようなもののうち、実用的で権利上の問題がないと考えられる存在はLinuxの他になかった。
３．GPLによって誰もが改良可能だったことから、より多くの機能を求める開発者たちによる改良を促した。開発者たちはLinuxカーネルを育てていくとともに、GNUコンポーネントとLinuxを統合する作業を行い、最終的に実用的かつフリーなオペレーティングシステムを作り上げた。
４．成長：開発工数見積り＝Debian GNU/Linux version 4.0 (etch)（2007年リリース） このディストリビューションは2億8300万行のコードを含んでおり、従来の方法で開発していたとするなら、3万6千人月が必要であり、80億4万ドル (2013年) が必要であったと推定された。
５．要するにリーナスの小さな一歩からLinuxの大きな成長。だが、リーナスに数十年先行するUnix, GNUの流れの中で捉えなければ、ならないのだった
0589現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 10:58:47.71ID:2DYA/PLcYesです
土日しかできないことが、自分の時間確保としては、いいかも・・
0590現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 11:08:21.66ID:2DYA/PLcなお、これも雑学だが
http://ja.wikipedia.org/wiki/GNU
GNUという単語は「GNUはUNIXではない (GNU's Not UNIX)」というフレーズから頭文字を取った略称で、再帰的命名という一種の言葉遊びになっている。
一般的な英語では、gnuは「ヌー」と発音し、ウシカモシカまたはヌーと呼ばれる動物をさす言葉である。
GNUプロジェクトは自らの名称を「it is pronounced g-noo, as one syllable with no vowel sound between the g and the n.」と呼ぶよう要請している。
0591現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 11:42:31.71ID:2DYA/PLcちいさくとも、一歩を踏み出すこと
これが大事だと思う
i-mode開発とlinux開発とも
0592現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 12:18:18.45ID:2DYA/PLc蛇足だが、下記
”UNIXにはオープンな文化が育まれ、また、これら創成期に生まれた設計思想、開発手法等はUNIX哲学として発展し、現在のUNIX系OSの開発に多大な影響を与えている”
http://ja.wikipedia.org/wiki/UNIX
抜粋
1960年代ケン・トンプソンはMultics開発に携わりながら、その上でファイルとページングの新たなシステムのシミュレーションプログラムを書いた。
そして彼はベル研究所であまり使われていないDEC社製のシステムであるPDP-7を発見[8]。このPDP-7上で、アセンブリ言語を用いてこのゲームを移植し[9]、
さらにベル研究所のトンプソンとリッチーを中心とする研究者チームが、階層型ファイルシステム、プロセスとデバイスファイルの概念、コマンドラインインタプリタ、いくつかの小さなユーティリティプログラムを開発した[7]。これがUNIXの始まりである。
1970年、ピーター・ノイマンはこのプロジェクトを Multics からの言葉遊びとして Unics (UNiplexed Information and Computing Service) と名付けた[10]。Unics は結局同時に複数のユーザーをサポートできるようになり、Unix と改称された。
Multicsでの失敗に基づき、UNIXの開発はシンプルで独立したモジュール群で構成することを目標としていた。
この事は、Multicsのmulti（複）に対してuni（単）という意味がUNIXの名称に込められていることからもわかる。
1972年前半には、New York Telephone Co. の Systems Development Center にて Dan Gielan の指揮でUNIX初の商用利用が始まった。
ケン・トンプソンは静かにUNIXをソースコードと共にメディアのコピー代だけで希望者に発送しはじめ、伝承によればそれぞれに "Love, Ken" とサインを添えたという[13]。
注釈付きのUNIXカーネルのソースはコピーされて広まり、1970年代後半にはニューサウスウェールズ大学の John Lions が Lions' Commentary on UNIX 6th Edition, with Source Code を出版したことでさらに広まり、格好の教材としてよく採用された。
それに伴ってバグの修正がAT&Tに送り返されてきたため[12]、さまざまな改変がUNIXに加えられることとなった。
その結果、UNIXにはオープンな文化が育まれ、また、これら創成期に生まれた設計思想、開発手法等はUNIX哲学として発展し、現在のUNIX系OSの開発に多大な影響を与えている。
0593１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 12:35:20.05ID:gKy+dM78おっちゃん戻って来ちゃいました～。
>>574を見る限りではアメリカで調査した結果なのだろうが、調査が意味を持つには
各修士号についてその修士号を持つ人の人数やその人が住む地域(アメリカは広い)を平等に選ばないと、
その後比較してランク付けしても扱いが不平等になって、調査してランク付けした意味がなくなる。
そして、アメリカは日本より個人情報の取り扱いが厳しく、1企業で
或る人が持っている修士号やその人の職業を知ることも難しいことになる。
意味があるように調査やランク付けをするにあたっては、少なくともこれらのような点を克服する必要がある。
で、企業として行う調査及びランク付けについて、こういった綿密な調査及びランク付けと
世論調査に似た調査やランク付けとでは、どちらが簡単か手間暇かからないかといったら、当然後者になる。
雑誌の出版社として行える調査やランク付けは世論調査に似たモノの方が簡単だろう。
行った調査やランク付けとしては、世論調査に似たモノの方が可能性が高くなる。
0594現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 13:42:12.35ID:2DYA/PLcどうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう！
0595現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 13:42:33.11ID:2DYA/PLchttp://ja.wikipedia.org/wiki/NEWS_%28%E3%82%BD%E3%83%8B%E3%83%BC%29
NEWS (ソニー)
NEWS（にゅーず[1]、Network Engineering WorkStation）とは、1980年代後半から1990年代前半にかけてソニーが開発、発売したUnixワークステーション・シリーズ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%82%AF%E3%83%88
Σプロジェクト（シグマプロジェクト）は、1985年に始まった日本の国家プロジェクト。Σ計画（シグマけいかく）とも呼ばれる。
1985年当時、1990年に25万人、2000年には97万人と推測されていたソフトウェア技術者の不足に対応するため、通商産業省（現在の経済産業省）が立案し、その外郭団体の情報処理振興事業協会 (IPA) が推進役となった。
5年後の1990年4月にコンピューターメーカーやソフト会社50社が資本金22億3000万円を出資し事業会社「シグマシステム」を設立したが、
1991年3月にはUNIXの国際標準化団体であるX/Open、UNIX International (UI)、Open Software Foundation (OSF) との共通仕様に合意し独自路線を放棄、
その後も1992年3月には独自の計算機センター閉鎖、1995年には会社も解散とじり貧に陥ってしまった。
0596現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 19:30:35.66ID:2DYA/PLchttp://oshiete.goo.ne.jp/qa/272799.html
抜粋
(^_^.) 数学がよくできる人って、ほんとうに頭がよい人？？ 質問者：yumi18 質問日時：2002/05/17
数学をべんきょうすると、ものの見かたが単純で、ひとりよがりで、心のせまい人間になるような気がするんですが……
ちょっとおおげさかもしれませんが、私はいまどきの人間がおちいっている数学信仰のようなものを捨てないかぎり、人類の未来はないのじゃないかなあ、とかんがえてますが、どうでしょうか？
No.16ベストアンサー 回答者：aster 回答日時：2002/05/18 08:19
数学者は、西欧中世においては、「知識人・教養人」としての必須条件は、「ラテン語を自在に使えることであった」と述べます。
そして、現代では、それが「ラテン語」ではなくなり、「数学」になっていると指摘します。
わたしの理解するところ、「数学」は、「ファッション」の可能性が高いということです。
明確に認識し、また指摘せねばならないことは、「数学」は「論理」とは異なるということです。
「メタ数学」とか「記号論理学」を通じて、「論理学」と「数学」は、二十世紀において、かなり接近しましたが、逆に、数学と論理は別のものだということが明らかになったとも言えます。
細かい話は省きますが、「論理的」であることは、真偽の判断において重要です。西欧中世は、ラテン語の教養が、人に論理性や適正な判断力、更に「智慧」を与えると考えたのです。
「論理性」も数学には含まれます。しかし、人間の「判断行為」で必要なのは、真偽だけでなく、善悪判断も必要なのです。西欧中世のラテン語教養は、古典的真偽判断能力と、善悪判断能力の「規範」というものを内含していました。
今日の「数学」には、真偽判断能力を向上させる規範があるかといえば、実は「ない」と言わざるを得ません。初等数学や中級数学なら、真偽判断が学習者にもできますが、あまりに錯綜した数学は、「論理思考」の訓練には役立ちません。
「論理」とは、多くの人にとって妥当明証とされる思考の道筋で、素晴らしく優れた数学者でないと真偽判断ができないような証明問題などは、論理思考にとって意味がないのです。数学の持つ「論理性」とは、実は非常に原始的なものだとも言えます。
0597１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 19:38:31.97ID:4Cb49HMj0598現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 19:46:07.40ID:2DYA/PLchttp://www.arp-nt.co.jp/rensai/index-sono50.html
その50 「頭がいい」とは、どういうこと？ 【執筆者】 梶谷通稔
学問の延長から見た、いわゆる仕事が出来る人といったものに始まり、さらにまた、
「人を引きつけ纏められる能力のある人」、「常識と礼儀を知っている人」、「バランス感覚のある人」、「感情的にならず、誰に対しても常に謙虚な人」、「確固とした自分の核を持ちながら、人の個性を尊重できる人」、
「機知に富み、ユーモアセンスにあふれる人」、「常に笑みを絶やさず、周囲に気を配れる人」、「環境に恵まれなくとも、自力で能力を高める向上心がある人」、「空気を的確に読める人」、「周囲の状況を素早く的確に見極められる人」、
「臨機応変、物事に柔軟に対処できる人」、「悟りを開いた人」、「人間関係の構築がうまい人」、「誰とでもうまく付き合え人」、「人の間を上手く取り持てる人」、「皆に慕われる人間性のある人」、「家族ともうまくやれる人」、「人を敬える人」
などなど、学力や仕事力だけでなく、日常における社会生活や家庭での関わりまでを含めた人間関係の視点から見たものまで多岐にわたって出てくることになり、中でも、単独の回答というよりもこれら複数の組合せによる回答が多く、
改めて人それぞれにいろんな思いがあることを思い知らされましたが、この事実から日本語のニュアンスで言う「賢い」の意味も含めて「頭がいい」には決まった定義などのないことがわかります、と同時に、次のようなこともわかってまいりました。
これら社会人の皆さんがおしなべて言及している内容を整理してみますと、記憶力、計算力、理解力、コミュニケーション力、忍耐／継続力、判断／決断力、チャレンジ／実行力、発想／創造力、先見／洞察力、思考／問題解決力、統率／人間力などにまとめられます。
そのうち小・中学生の回答は、前半最初のほうの項目をあげているだけですが、社会人の回答は、それ以外の項目に対する指摘が多いということです。
それらは地頭力に深く関連するものばかりです。つまり、前述のアインシュタインやビル・ゲイツ、司馬遼太郎らは、おしなべて学校の成績という一分野の能力だけでは測ることのできない地頭力が発揮されていたということになります。
0599現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 19:53:48.38ID:2DYA/PLchttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%82%AB%E3%83%AB%E4%BA%8B%E4%BB%B6
ソーカル事件（ソーカルじけん）とは、ニューヨーク大学物理学教授だったアラン・ソーカル（Alan Sokal、1955年-）[1]が起こした事件。
数学・科学用語を権威付けとしてでたらめに使用した人文評論家を批判するために、同じように、科学用語と数式をちりばめた無意味な内容の疑似哲学論文を作成し、これを著名な評論誌に送ったところ、雑誌の編集者のチェックを経て掲載されたできごとを指す。
掲載と同時にでたらめな疑似論文であったことを発表し、フランス現代思想系の人文批評への批判の一翼となった。
事件の経過
1994年、ニューヨーク大学物理学教授だったアラン・ソーカルは、当時最も人気のあったカルチュラル・スタディーズ系の評論雑誌の一つ『ソーシャル・テキスト』（Social Text）に、
『境界を侵犯すること：量子重力の変換解釈学に向けて』(Transgressing the Boundaries: Towards a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity)と題した疑似論文を投稿した。
この疑似論文は、ポストモダンの哲学者や社会学者達の言葉を引用してその内容を賞賛しつつ、それらと数学や理論物理学を関係付けたものを装っていたが、実際は意図的にでたらめを並べただけの意味の無いものであった。
ソーカルの投稿の意図は、この疑似論文がポストモダン派の研究者によってでたらめであることを見抜かれるかどうかを試すことにあった。
疑似論文は1995年に受諾され、1996年にソーシャル・テキスト誌にそのまま、しかもポストモダン哲学批判への反論という形で掲載された[2]。
当時同誌は査読制度を採っておらずこうした失態を招き、編集者は後にこの件によりイグノーベル賞を受賞している。また後に査読制度を取り入れた。
http://dic.nico
video.jp/a/%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%82%AB%E3%83%AB%E4%BA%8B%E4%BB%B6
ソーカル事件（ソーカルじけん）とは、物理学者アラン・ソーカルによって引き起こされた学問上の事件である。
0600現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 19:54:55.41ID:2DYA/PLcどうも。スレ主です。
レスありがとう
0601現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/06(土) 20:21:24.26ID:2DYA/PLc「とらばーゆ」の編集長だった松永真理。ベンチャー企業の副社長から転じた夏野剛。そして、異色の人材を受け入れ、1つにまとめた榎啓一
ACCESS 取締役副社長 研究開発担当 鎌田富久
NTTドコモ 移動機技術部 主幹技師 永田清人
フィンランドのヘルシンキ大学の学生であったリーナス・トーバルズ
ベル研究所のトンプソンとリッチー
MIT AI研でプログラマのリチャード・ストールマン
多少の頭の善し悪しより、ちいさくとも、一歩を踏み出すこと
そして、彼らはその時代を生きたんだ。各人各様に
0602現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/07(日) 07:32:10.38ID:/q0u/ewMUnixとインターネットの関係についても触れておきたい。下記だ
UUCP：要は、UNIXマシン同士でインターネットをやるってこと。だから、UNIXが必須だと
日本の最初のインターネットはUUCPだった
http://ja.wikipedia.org/wiki/Unix_to_Unix_Copy_Protocol
抜粋
Unix to Unix Copy Protocol（UUCP）は、UNIXマシン同士でデータ転送を行う通信プロトコルの一種。初期のインターネットの通信手段として広く使われていた。
料金定額制の電話回線において、または電話料金が安い夜間だけに、ファイルを転送したり、転送すべきデータが一定以上蓄積されたら転送するなど、ダイヤルアップで使うことが想定されている。
UUCP全盛の時代においては、バケツリレーと言う名でしばしば比喩される仕組みによって、メールやネットニュースが各組織に配信されていた。
すなわち、ある組織A（研究機関、大学、企業など）からある組織Dにメッセージを送信または配信したい場合、
組織Aから組織Dまでのインターネット経路上にある複数の組織の間で、UUCPによるメッセージ配信を順次リレーして（例えば組織A→組織B→組織C→組織Dの順に）、目的の組織までメッセージを届けていたのである。
このバケツリレーと言う思想は、TCP/IPにおけるIPパケットのルーティングにも引き継がれている。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88
抜粋
今日の日本のインターネットの基となったのは1984年に東京大学、東京工業大学、慶應義塾大学の3つの大学が互いに実験的にコンピュータをUUCPで結んだ“JUNET”であった。
やがて多くの大学や企業の研究機関がこの“JUNET”に参加し、そのネットワークが広がっていった。
0603現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/12(金) 23:16:10.00ID:OBAYkJoI0604１３２人目の素数さん
2015/06/12(金) 23:36:04.59ID:EtguvQrp0605現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 05:06:22.01ID:hlNpoH8zいものを考える.いま， f(x)がさらに次の性質を持つとする.
f(x+y)=f(x)+ f(y)， f(xy) = f(x)f(y)， f(1) = 1.
このとき，以下を示せ.
(1)すべての有理数x に対してf(x)= xである.
(2)実数x,yについてx≦yならばf(x)≦f(y)である.
(3)すべての実数x に対してf(x)= xである.
(配点率50%)
0606現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 05:12:16.76ID:hlNpoH8z河合塾/ 2015年度国公立大二次試験・私立大入試解答速報:
大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）問題１ です
0607現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 05:15:05.55ID:hlNpoH8zURL
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/15/ha1.html
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/15/ha1-22p.pdf
0610現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 05:28:35.54ID:hlNpoH8zhttp://www.tokyo-s.jp/products/d_gekkan/
「大学への数学」 6月号 にも大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）問題と解説がある
0611現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 05:35:10.07ID:hlNpoH8zどうも。スレ主です。
わざわざありがとう
実は、>>605-610 をまとめて１回で投稿しようとしたら、NGワードだと規制にひっかかった
それで、試しに”age”で投稿可能なことだけを確認した
今日、NGワード規制の場所が分からないので、分割して投稿したら、全部OKだった
0612現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 05:44:18.78ID:hlNpoH8z挑戦枠入試か、知らなかったね
http://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/challenge_ad/
挑戦枠入試
平成25年度から学部課程の入学者選抜において、与えられた知識を吸収することだけに満足せず、自分自身の頭脳でどこまでも粘り強く考察して真理を探究・発信することを熱望する人を受け入れるために前期日程に「挑戦枠」を導入しました。
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~hosotani/education.html
挑戦枠入試とは
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1295503242
2012/10/1121:40:29
大阪大学理学部の入試について
２５年度から挑戦枠というのが設けられるのですが、
このしくみがよくわかりません。
http://benesse.jp/blog/20110804/p2.html
≪超優秀≫な受験生に限定!? 阪大「挑戦枠」「AO」の背景2011/08/04
筆者：渡辺敦司
大阪大学が2013（平成25）年度から導入する新しい入試方法が、ちょっとした話題を集めています。
理学部で「挑戦枠」と「研究奨励AO入試」を設けるとともに、工学部・基礎工学部と合同で「国際科学オリンピックAO入試」を行うといいます。
しかも、こうした入試は、阪大にとどまらず、他大学にも広がっていくことが予想されます。どういうことでしょうか。
0613１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 06:54:51.28ID:qJLN1mmi0614１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 09:33:53.01ID:zC+Gk8wl教えて頂けますか？
0615１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 10:21:22.89ID:TU25QrQ90616１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 11:01:02.82ID:zC+Gk8wl基礎体の標数が０の場合任意の既約多項式は分離的だから。
それで、分離的な分解体は基礎体の正規拡大になるため、ってことですよね
なんかすいませんでした
0617１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 11:33:20.80ID:RvE/hvKY0618１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 11:47:17.17ID:2GDAwfby0619１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 12:45:42.03ID:7/7wObNP有名な定理を無証明で使ってよいなら、特に難しい問題とも思えない
逆に実数の公理しか使えないなら、とても制限時間内に終わりそうにない
0620１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 19:35:39.13ID:RvE/hvKY0621現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 20:58:08.80ID:hlNpoH8zhttp://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/wp-content/uploads/2014/06/%E5%B0%82%E9%96%80%E6%95%B0%E5%AD%A6.pdf
平成26年度入試 大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）
問題１
開区間(a,b)で定義された関数f(x)の原始関数のlつをF(x)とするとき，
任意の原始関数は定数Cを用いて
F(x) + C
と表すことができる.このことを平均値の定理を用いて証明せよ.
(配点率50%)
問題２（省略）
おそらく、ゼータ関数の変形：整数の逆数和→素数の逆数の例の式の積
を使った問題だろう
0622１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 21:03:45.05ID:o9szocgs背筋が凍るなあ、オイ！
0623現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 21:22:25.37ID:hlNpoH8zhttp://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/wp-content/uploads/2014/06/%E5%B0%82%E9%96%80%E6%95%B0%E5%AD%A6.pdf
平成26年度入試 大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）
問題１
有理数は，整数，有限峨，循環峨のいずれかで表される.乙れを証明せよ
(配点率50%)
問題２（省略）下記参照
http://examoonist.web.fc2.com/legendexam.html#2013osaka
2013年 大阪大学 理学部 挑戦枠 専門数学 先人達が歩んだ円周率の歴史を辿る～ルドルフの偉業～ 伝説の入試問題（数学）＠受験の月
0624現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 21:39:16.67ID:hlNpoH8z２番は省略したけど、スターリングの公式の誘導らしいね
http://wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-4028.html
わんこら日記 液晶に傷がいったら、スクリーンショットに毎回傷が写るやろ？: 【2015/03/04 03:09】
(抜粋)
二番は
言うても高校の範囲をほとんど逸脱してはない問題やな
これも、ウォリス積の証明でやったことあるわ
0≦x≦π/2で0≦sinx≦1やから
・・・
二番については言うても高校の範囲を全然超えてないし難しい数学Ⅲやっていれば対応できると思う
スターリングの公式とか言うよりも、そもそも誘導にしたがって答えなあかんしな。
数学Ⅲをハイレベルめの問題集やりまくったらええやろな。
0625現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 21:42:33.90ID:hlNpoH8z>>623
平成26年度入試
↓
平成25年度入試
補足
>>624 この２番は2015年分です
0626現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 21:54:33.19ID:hlNpoH8zどうも。スレ主です。
今日は、昼間出かけていたもので、失礼しました
>>619
>有名な定理を無証明で使ってよいなら、特に難しい問題とも思えない
そういう解法では、得点はあまり貰えないんだろうね、おそらく
>>617-618
阪大に奇形を飼い続ける度量があるとは思えない；2013年から始まった試みがうまく行っているかどうかだよね
>>614-616
私には、自力で解答できる力は無いですが
616で標数が０の場合で自己解決とありますが、614では標数が０の場合だけで良かったの？ ちょっと不整合という気が・・・
>>613
まあ、いまさら入試受けるつもりないけど、>>16の出題と解答に関連していると思ったんだよね
0627１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 23:31:31.64ID:l7HTOfjk0628現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/13(土) 23:51:43.16ID:hlNpoH8z外しているかも知れないが
>べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体が基礎体の正規拡大になるって理屈がよくわからないんですが
「分解体が基礎体の正規拡大になる」は、下記によれば正規拡大の定義そのままでは？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E6%8B%A1%E5%A4%A7
体の代数拡大 L/K は、L が K[X] の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（英: normal）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。
他の性質
L を体 K の拡大とすると、
・ L が K の正規拡大で E が中間体（すなわち L ⊃ E ⊃ K）であれば、L は E の正規拡大である。E は K の正規拡大とは限らない。
・ E と F が L に含まれる K の正規拡大であれば、合成体 EF および共通部分 E ∩ F も K の正規拡大である。
（引用おわり）
あと、べき根による拡大体について
アルティンのガロア理論（ガロア対応）を既知とすると
べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体のガロア群がアーベルにならないかな？
べき根拡大は、巡回群で、アーベル群だと（下記）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9
冪根拡大
K を体とし、a ∈ K の任意の 1 つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大 (radical extension) という。
もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n ? a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。
これをクンマー拡大 (Kummer extension) と呼ぶ。クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。
逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は、K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下で、クンマー拡大である。
このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。
この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。
0629現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 00:01:38.03ID:Vl116sFU>>623
有理数は，整数，有限峨，循環峨のいずれかで表される.乙れを証明せよ
↓
有理数は，整数，有限小数，循環小数のいずれかで表される.これを証明せよ
（補足：PDFのOCR読み取り機能を使ったら、文字化けした。ワードなどのスペルチェックを掛けるべきだった・・）
0630現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 06:13:27.89ID:Vl116sFUご参考
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
（抜粋）
数学、特に群論の分野において、可解群（かかいぐん、英: solvable group）は、群の拡大を用いてアーベル群から構成できる群のことである。
有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。
有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。
ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。無限群の場合は必ずしも同値ではない。
より一般的に、すべての冪零群は可解群である。特に、有限p-群は冪零群であるため可解群である。
冪零群ではないが可解群である位数の小さい群の一例は、対称群S3である。 実は、位数最小の非アーベル単純群が5次の交代群A5であり、従って位数60未満のすべての群は可解である。
関連する概念
有限生成群に限って議論すれば、群のクラスには以下のような強さの関係がある(右側ほど強い条件である):
巡回群 < アーベル群 < 冪零群 < 超可解群 < 多重巡回群（英語版） < 可解群 < 有限生成群
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4
（抜粋）
交代群
群 A4 はクラインの4元群 V を真の正規部分群として持つ。
V は A4 に属するふたつの互換の積として書ける元の全体 {(12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 V → A4 → A3 (= C3) は完全である。
ガロワ理論によればこの写像、あるいはこれに対応する S4 → S3 に、四次方程式のフェラリの解法における（三次の）ラグランジュ分解方程式（分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる）が対応している。
例外的な同型
小さい位数の交代群とリー型の群（とくに特殊射影線型群）との間には例外的な同型（英語版）と呼ばれる対応が取れるものがある。
A4 は PSL2(3) に同型である。また鏡像異種正六面体の対称性の群とも同型である。
0631現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 06:45:42.40ID:Vl116sFUhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
(抜粋)
ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、 拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。
より発展的な定式化
抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。
上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。
この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。
0632現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 06:46:40.74ID:Vl116sFUhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
ガロア理論の基本定理(fundamental theorem of Galois theory)は、体の拡大の構造を記述した結果である。
定理の最も基本的な形は、有限次ガロア拡大である体の拡大 E/F が与えられると、1:1の対応が中間体とガロア群の部分群の間に存在する。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）(Emil Artin)のむしろ微妙でデリケートな結果であり、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができる。
ガロア拡大 K/F の自己同型群は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
対応の性質
体 EH は F の正規拡大であること（同じことであるが分離拡大の部分拡大は分離的であるのでガロア拡大である）と、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
この場合は、Gal(E/F) の元の EH への制限は、Gal(EH/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。
応用
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
例えば、一般の五次方程式は冪根によって解けない（アーベル-ルフィニの定理を参照）ことを証明するため、
まず最初に、根基による拡大（英語版）(radical extension)（α を F のある元の n 乗根としたときに F(α) となるような拡大）により問題を言い換え、この基本定理を使い、根基拡大の問題を直接対応できる群の問題へ変換する。
クンマー理論と類体論のような理論は、この基本定理から予想することができる。
0633現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 07:19:24.47ID:Vl116sFUガロア理論の基本定理（ガロア対応）
”体の分離かつ正規拡大（分解体(splitting field)）” VS ”H が Gal(E/F) の正規部分群”
正規の定義は、体と群で定義が違う。が、どちらも、”normal ”を使う
突然ですが和英。正規の訳にもいろいろあるが
http://ejje.weblio.jp/content/%E6%AD%A3%E8%A6%8F
正規 JMdict
対訳 regular; normal; formal; legal; established; legitimate
突然ですが英和。要は、”normal ”は日常語で、「正常な」という意味もある
http://ejje.weblio.jp/content/normal
normal 研究社 新英和中辞典 研究社研究社
「〈人が〉正常な発達をしている，ノーマルな.」
0634現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 07:25:14.04ID:Vl116sFUここに戻る
>べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体が基礎体の正規拡大になるって理屈がよくわからないんですが
”べき根による拡大体について
アルティンのガロア理論（ガロア対応）を既知とすると
べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体のガロア群がアーベルにならないかな？
べき根拡大は、巡回群で、アーベル群だと（下記）”
とコメントした
そのこころは、
べき根による拡大体で分解体を含む場合→べき根拡大は巡回群
という連想ゲーム
そこから、巡回群ならその性質はよく分かる>>630
巡回群の部分群はすべて正規
そこから、「正規拡大になるって理屈」を納得するという線もありだろうと思った次第です
0635現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 07:38:12.28ID:Vl116sFU「大学への数学」 6月号 にも大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）問題と解説>>610
にも、スターリングの公式とウォリスの公式についての言及があるね
0636現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 10:14:26.24ID:Vl116sFUhttp://www.ritsumei.ac.jp/se/~kra/labo/ARCHIV.pdf
New! Archiv/Re-edited/2015/5/15[PDF] より
最近の言葉
(2008/6/20)
たしかに、後の世代が前の世代のことを全部学習するとなると、呆然とし
てしまう。とくに、若い人にとって現在の最前線に追いつくだけで精一杯と
いうことでまったく大変だ。でも、しばらく様子をみていると、最前線とい
うのは、じつは「細前線」であるということがわかる。つまり大部分が枝葉
末節をやっているのだ。勉強ではなくて自分独自のものをやるのが研究だと
いうわけで、だれかがでっちあげた怪しげな理論をもとにして論文なるもの
を書きまくる。そんなもの全部読まされるとたまったものでない。まあ、な
かには重要なものも含まれているので、どれを捨てて、どれを残すかという
判断基準を定めることは若い世代にはむずかしいところはあるかもしれない。
でも、しっかりと基礎的な勉強をしておけば、ある程度は判断ができるもの
だ。発育ざかりでいいものをしっかり食っておく必要があるのと同じである。
（出所）
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~kra/labo/ob.html
OB(OG) の皆様へ2015/5/15
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~kra/labo/
立命館大学理工学部物理科学科: 特任教授（総合理工学研究機構所属） 倉辻 比呂志(Kuratsuji Hiroshi)
0637現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 10:21:23.04ID:Vl116sFUマンフォードの言葉
（2008/6/6 記)
マンフォードは数学が、過度の抽象化に陥ることの危険性を警告している。
以下、それを敷衍してみる。
数学（および理論、数理物理においても）において、ある概念が発見されると、研究者はなかば本能的にその概念をできるだけ一般化しようと試みるものだ。
グロタンディークの数学というのはまさにそれを絵に描いたようなものである。
それは極端な抽象化といっていいだろう。
こういう抽象的なものは、とくに若い世代をひきつける。それゆえグロタンは、一定の期間若い数学者の英雄（または教祖）でありえた。
しかし、祭りが去ったようである。まさに、この過度な抽象化が、災いしたといえるかもしれない。
（このことが、グロタンをして失望せしめ、スペインの山奥に隠遁してしまった遠因となったかどうかはわからないが）。
数学といえども具体的対象がある。関数であるか、特定の幾何学的対象、代数的関係など。
このしっかりと具体現象がとなりにいることで、理論が生命を得る。
理論を拡大していくうちに、次第に現象から遊離したところにむかってしまうというのは、仕方がないことかもしれないが、そこが問題である。
ガウスからポアンカレの数学の道をながめてみると、理論は数学的な具体現象を的確に予測してそれを解決するというきわめて健全な営みのうえに築かれてきたのである。
現実の自然現象である物理との健全な関係もつねに保持されてきた。
数学には、歴史上、とってつけたような難問というものがいくつもある。
この難問を解決するために、気の遠くなるような抽象理論を構成していったといえるのであるが。。。。。
そして、そしてそのあげく難問が証明されたのは結構であるが、一般人はおろか数学者のなかでもごく小数の専門家にしか理解できないといういわば亀裂が生じてしまった。
数学は難解な論理をあやつることが知的な優越をもたらすものであるから、こういう状況は当然なのだと開きなおってしまえばそれまでだろうが。
この抽象化という行為は、物理の理論とくに統一理論を標榜する一連の試みにおいてみられる。
これは一種の宗教のようである。
略
0638１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 10:24:11.99ID:SlAs+kqN(1)が多分1番難しい。少しどうやって三角関数の不等式を使って
lim_{+∞}(b_n)＝√πを導くのか考えたが、全然簡単じゃない。
全体的に不自然な流れの証明になっている。(2)は不要。
自分で高校レベルの知識だけで最初っから考えろって話になると、鬼畜の入試。背筋凍る問題だわ。
反対に、大学のテキストでしっかり学習しておくと、発想が得易くなる。
0639１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 10:29:06.56ID:SlAs+kqN0640現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 10:46:27.58ID:Vl116sFU（下記神戸大 高山先生と思います）
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-05-ut-text29-a.pdf
付録E 講義のための補足ノート?東京大学
大学院集中講義
E.1 2007-05-29
Leck1/2.tex
E.1.1 今回の概要と数学の題材
E.1.2 Knoppix/Math のブート(起動方法) の仕方
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-05-ut-text29-b.pdf
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-05-ut-text29-c.pdf
http://park.itc.u-tokyo.ac.jp/atstat/CREST/kickoffmeeting/hamada241008.pdf
KNOPPIX/Math 紹介 - 東京大学 2008 濱田龍義 （福岡大学理学部/JST-CREST ）
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/KnoppixMath-doc/intro_math.pdf
はじめてのKNOPPIX/Math (2009) - 神戸大学 濱田龍義 福岡大学
0641現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 11:13:16.75ID:Vl116sFUどうも。スレ主です。
”lim_{n→+∞}(b_n)＝√π” この書き方良いかも（本来２行の下添え字のところ）
>2番は、式の形を見たけど、背景知らないと、多分制限時間内になんか解けない。
>(1)が多分1番難しい。
そういえば、 http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/15/ha1-23a.pdf の解答例を見ると、(1)が長いね
>反対に、大学のテキストでしっかり学習しておくと、発想が得易くなる。
そういうレベルを狙っているのかも
追伸
なお、挑戦枠は、普通の入試も受けて、プラスやってみようという人に挑戦枠なんだ
だから、挑戦枠が解けなくとも普通の入試で入る人も居るはず
0642現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/14(日) 11:29:24.46ID:Vl116sFU>巡回群の部分群はすべて正規
>そこから、「正規拡大になるって理屈」を納得するという線もありだろうと思った次第です
数学は、つまづくところが各人違う。だが、そこでじっくり考える。あるいは、先へ進む、その後戻る。人それぞれ
私のお薦めは、はやく全体像を掴むこと。ガロア理論の基本定理（ガロア対応）：”体の分離かつ正規拡大（分解体(splitting field)）” vs ”H が Gal(E/F) の正規部分群”
体 vs 群の対応をつけるために、エミール・アルティンのむしろ微妙でデリケートな結果がある。つまり、分離性だとか分解性だとか
そして、べき根拡大 vs 巡回群 を先取りする。そうすれば、高い立場で全体を俯瞰できると思うんだよね
そして、さらにガロア理論を広く解釈すれば、下記のようにある数学的対象と、それと対になる良く分かった代数的対象を見つけてくる理論
それが、現代数学の立場で、原ガロア理論（代数方程式の理論）はそのモデルになったと。では
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E5%B9%B9%E5%A4%AB_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85%29
ソリトン方程式のモジュライが無限次元グラスマン多様体になるという佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）で有名。
この定理は可積分微分方程式に対するガロア理論と見なすことができる。
0643１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 13:12:03.19ID:SlAs+kqNその線型常微分方程式版のガロア理論は代数解析より前にあって、
それから、代数解析によるガロア理論が発展したんです。
ピカール・ヴェッシオ理論から、もう一方で微分代数も独自に発展したんです。
体だと、拡大体や中間体、部分体という用語はあるのに、
群だと、部分群はあっても、拡大群や中間群という用語はないのな。
環も同じ。あるのは部分環だけ。
0644１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 18:34:28.72ID:uP0bLdtV0645１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 19:49:59.49ID:GaRTV0pt0646１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 20:51:59.51ID:BQIgIIUL0647１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 20:59:39.92ID:FpHs03Lb0648１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 19:01:28.59ID:a1EkKwzR0649現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/20(土) 06:42:58.04ID:w8s6oXPVどうも。スレ主です。
ピカール・ヴェッシオか・・
googleで検索すると、現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3 で２回出ている
100 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/04/17(火)は、私（スレ主）とは違うと思う。sageで書いているから
504 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2012/04/28(土)は、私です。梅村 浩先生のことを書いた記憶はあるし
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/100
100 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/04/17(火) 05:44:00.05
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E5%9C%8F
ガロア圏(Galois category)とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。
その他の話題 [編集]知られているすべてのガロア理論がガロア圏の言葉で表現できるわけではない。微分体のガロア理論であるピカール・ヴェシオ理論はガロア圏上では展開できない。それらのためにグロタンディークによる淡中圏の理論が構成されている。
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/504
504 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2012/04/28(土) 12:36:29.63
>>502
梅村 浩先生、なかなか面白いね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%85%E6%9D%91%E6%B5%A9
梅村 浩（うめむら ひろし 1944年 - ）は、日本の数学者。理学博士（名古屋大学）。元名古屋大学大学院多元数理科学研究科教授。名古屋大学名誉教授。愛知県名古屋市出身。
専門は、代数幾何学で、微分方程式のガロア理論を研究。特に、パンルヴェ方程式の代数的構造を解明し、さらに、ガロア体のピカール・ヴェッシオ理論の代数幾何的基礎付けに成功したことで知られる。1998年、日本数学会代数学賞受賞。
（引用おわり）
0650現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/20(土) 06:55:03.33ID:w8s6oXPVどうも。スレ主です。
ピカール・ヴェッシオ理論は、このスレでも何回か出た。初出は>>649みたいだね
>体だと、拡大体や中間体、部分体という用語はあるのに、
>群だと、部分群はあっても、拡大群や中間群という用語はないのな。
>環も同じ。あるのは部分環だけ。
確かに。ただ、環はよく知らないが、有限群論では拡大の概念はあったような記憶がある
中心拡大だったっけ？・・と、これかな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7
抜粋
群の拡大
数学において、群の拡大（ぐん-の-かくだい、英: group extension）は、一般に特定の正規部分群と剰余群を使って群を記述することを意味する。Q および N をふたつの群とするとき、G が N による Q の拡大 (extension) であるとは短完全列
1→ N→ G→ Q→ 1
が存在することを言う。G が N による Q の拡大ならば G は群であり、N は G の正規部分群で剰余群 G/N は群 Q に同型となる。群の拡大は、Q と N が既知の群であるとき、群 G の性質を決定できるかという拡大の問題 (extension problem)の文脈で現れる。
部分群 N が群 G の中心に含まれるような拡大は、中心拡大 (central extension)と呼ばれる。
拡大問題
群 H に対してどのような群 G が H の拡大として得られるかという問いは拡大の問題と呼ばれ、19世紀の後半から深く研究がなされてきた。
研究の動機としては、有限群の組成列が部分群の列 {Ai} で各 Ai+1 が Ai のある単純群による拡大であることが考えられる。
有限単純群の分類により、有限単純群については完全に判っているので、拡大問題が解決されれば一般に任意の有限群の構成と分類についての十分な情報が得られるということになる。
拡大の分類
拡大問題を解決するというのは、H の K による拡大を全て分類すること、あるいはもっと実際的にいえば、そのような拡大全てをもっと判り易くて計算し易い数学的対象を使って表現することをいう。
一般に拡大問題は非常に困難な問題で、他に条件を付け加えてやらないと意味のある拡大の分類というものは殆ど得られない。
以下略
0651１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 07:36:35.00ID:FRrjgsd3いや、私がいっていたのは、相対的な意味での用語のお話だよ。
拡大体や中間体というのは、有理数体QやQの拡大体Q(√2)、実数体Rを考えたとき、
包含関係はQ⊂Q(√2)⊂Rで、RやQ(√2)はQの拡大体、Q(√2)は体の拡大Q(√2)/Qの中間体というだろ。
このとき、RやQ(√2)は環や群でもあるから、RやQ(√2)はQの拡大群とか
Q(√2)は拡大Q(√2)/Qの中間群とかいっていい気がするんだよね。
そうやって、相対的な意味での用語を考えたら、例が既に存在する。
0652現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/20(土) 07:39:59.17ID:w8s6oXPV現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/
以下は基本新スレで
0653現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/20(土) 07:48:11.26ID:w8s6oXPVどうも。スレ主です。
ID:SlAs+kqN さんですね
>いや、私がいっていたのは、相対的な意味での用語のお話だよ。
うん、分かってますよ。”拡大”は、分野を超えた数学一般の概念だから。単純に”中心拡大”を思い出しただけ。有限単純群の分類で、”中心”的役割を果たしたと
ただ、>>650の記事を見ると、拡大群という概念を作ることは難しいみたいです（well-definedにならない？）
0654現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/06/20(土) 07:49:05.48ID:w8s6oXPV■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています