原始関数の定義は、

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「f を区間 I で定義された関数とする。もし、 F が同じ区間 I で微分可能な
関数で、

F’ = f

が成り立つならば、 F を f の原始関数という。」
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となっています。そもそも原始関数はある区間でのみ考えるわけですから。

∫dx/x = log(|x|) + C

とだけ書いてあったら、その解釈は、

「区間 (0, +∞) で定義された関数 1/x の原始関数は、区間 (0, +∞) で定義された関数 log(|x|) + Cである」

か、または、

「区間 (-∞, 0) で定義された関数 1/x の原始関数は、区間 (-∞, 0) で定義された関数 log(|x|) + Cである」

しかありえないわけですよね。