等式を予想したんですが誰か証明してください [転載禁止]©5ch.io
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0001１３２人目の素数さん
2015/02/26(木) 00:03:03.31ID:UjfUV2xI納n=1,m](n*C(m,n)*P(m,n)*P(l-m,m-n)/P(l,m))=m^2/l
l,mはl≧mを満たす自然数です。
100以下については全通り成り立つことをMathematicaで確認しました。
一般的な証明について、自分でもトライしてみたんですが、
ちょっとうまくいきませんでした。
どなたか証明できますか？
ちなみに上の等式をどこから予想したかというと、以下の問題です。
1から100までの数字が書かれたカード100枚がある。
この中から10枚をランダムにとりだす。
このとき、とりだしたカードに1から10までのカードは
何枚含まれることが期待できる？
この問題を一般化して100をl、10をmとして期待値を考えると上式に到達します。
左辺は素直に期待値を計算したもので、
右辺はそれが「取り出す枚数×（取り出す枚数／全体の枚数）」になるという意味です。
0002１３２人目の素数さん
2015/02/26(木) 00:08:06.33ID:uQt6uA9Uそうだね、青の洞窟はボンゴレロッソが一番美味いと思うよ
0003１３２人目の素数さん
2015/02/26(木) 02:41:28.15ID:UjfUV2xIf[l_, m_] :=
Sum[n Binomial[m, n] FactorialPower[m, n] FactorialPower[l - m,
m - n], {n, 1, m}]/FactorialPower[l, m]
k = 100;
matrix1 = Table[If[l >= m, f[l, m], 0], {l, k}, {m, k}];
matrix2 = Table[If[l >= m, m^2/l, 0], {l, k}, {m, k}];
matrix1 == matrix2
0004１３２人目の素数さん
2015/02/26(木) 17:34:20.68ID:kOIfMn4mヴァンデルモンドの恒等式を調べて、それでもできなかったら
このスレが落ちてから、高校数学スレで質問しな
0005１３２人目の素数さん
2015/02/26(木) 23:12:02.79ID:UjfUV2xIキーワードサンクス！
ちょっと考えてみる！
0006１３２人目の素数さん
2015/02/27(金) 08:59:07.85ID:ucd0FEI/たとえばl=mのとき期待値はmになるが左辺のP(l-m,m-n)=P(0,m-n)の定義はどうするんだ？
0007１３２人目の素数さん
2015/02/27(金) 09:00:11.37ID:ucd0FEI/l-m≧mだ
0008１３２人目の素数さん
2015/02/27(金) 10:41:14.39ID:EbhLAWFK0009１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 00:43:04.80ID:Aqj23NzLΣ[n=1,m]n C(m,n)C(l-m,m-n) = (m^2/l)C(l,m)…(A)。
総和のインデックスを k = n-1 に変換して、
Σ[k=1,m-1](k+1) C(m,k+1) C(l-m,m-n) = mΣC(m-1,k)C(l-m,m-1-k) ヴァンデルモントで畳込めば
= m C(l-1,m-1)。これと (A)の一致することは容易にわかる。
0010１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 01:11:05.91ID:8Hg7czK40011１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 01:32:26.17ID:Aqj23NzLC(m,n) = mCn = m!/(n! (m-1)!)。P(m,n) = mPn = m!/(m-n1)! の意味ね。
>>1の式を整理すれば、>>9の式になるでしょ。
あとはヴァンデルモンドだけど、(x+y)^(r+s) の x^n の項は2項係数を使って
C(r+s, n) x^n y^(r+s-n)…(A)。一方、(x+y)^(r+s) = (x+y)^r・(x+y)^s だから、
双方の 2項展開の積から x^nとなるものを拾えば、
Σ[k=0,n] C(r, k) x^k y^(r-k) C(s, n-k) x^(n-k) y(s-n+k)
= x^n y^(r+s-n)ΣC(r, k) C(s, n-k) … (B)。 （A)と(B)を見比べれば、
Σ[k=0,n]C(r, k) C(s, n-k) = C(r+s, n)
0012１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 01:36:30.48ID:Aqj23NzL× C(m,n) = mCn = m!/(n! (m-n)!)。P(m,n) = mPn = m!/(m-n)! の意味
0013１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 13:29:38.16ID:WWHsvG5/みんな色々な議論ありがとう。
>>6-7
＞l-m≧mだ
条件はl≧mだけ。
＞たとえばl=mのとき期待値はmになるが左辺のP(l-m,m-n)=P(0,m-n)の定義はどうするんだ？
P(0,m-n)はm=nのとき1でそれ以外は0
>>8
＞解析接続に乗り換えれば l=0 以外の全ての場合についていける
へ〜。解析接続すごいね。
俺はその辺の知識ないんだけど、ゼータ関数の話でよく聞くわ。
>>9,>>11-12
証明サンクス。
俺も>>5を書き込んだ後にやってみたらできたんだが、同じやり方。
一時変数名k=n-1の変換まで同じｗ（変換後のスタートは1になってるけど0だよな）
>>10
ヴァンデルモンドの畳み込みの証明まで>>11でしてくれたんだから感謝汁！
次の書き込みで問題を少し整理するわ。
0014１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 13:35:39.87ID:WWHsvG5/1から100までの数字が書かれたカード100枚がある。
この中から10枚をランダムにとりだす。
このとき、とりだしたカードに1から10までのカードは
何枚含まれることが期待できる？
にしたんだけど、これには数字が含まれてて、
そのときの俺は順列をまじえて期待値を定式化してしまっていた。
しかし、問題をより単純化すれば組み合わせだけで十分。
単純化した問題が以下。
100個の玉のうち、黒い玉が10個で残りが白い玉である。
この中から10個の玉をランダムにとりだすとき、
とりだした玉には何個の黒い玉が期待できる？
0015１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 13:53:58.71ID:WWHsvG5/定義通りの期待値は以下のようになる。
納n=1,m](n*C(m,n)*C(l-m,m-n)/C(l,m))=m^2/l
一方で、直感的には以下のようになる。
つまり、m個選んだときの黒と白の比率は元の比率と同一であることが期待できる。
m*(m/l)
これを結ぶと以下のような予想ができる。
納n=1,m](n*C(m,n)*C(l-m,m-n)/C(l,m))=m^2/l=m^2/l
ちなみに、
「m個選んだときの黒と白の比率は元の比率と同一であることが期待できる」
っていうのは直感に過ぎないと思ってるんだけど、どうかな？
つまり、この問題が出されたとき、左辺を経由せずに、上の理由かけば正解になる？
公理なのか定理なのかみたいな話かもしれないが、
直感的に正しそう、とか、当たり前に思えること、の扱いが難しい。
0016１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 13:57:41.90ID:WWHsvG5/○ 納n=1,m](n*C(m,n)*C(l-m,m-n)/C(l,m))
× 納n=1,m](n*C(m,n)*C(l-m,m-n)/C(l,m))=m^2/l=m^2/l
○ 納n=1,m](n*C(m,n)*C(l-m,m-n)/C(l,m))=m^2/l
0017１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 14:12:46.28ID:WWHsvG5/納n=1,m](n*C(m,n)*C(l-m,m-n)/C(l,m))=m^2/l
【証明】
証明に使うのは以下の二点だけ。
●n*C(m,n)=m*C(m-1,n-1)
●ヴァンデルモンドの畳み込み
左辺
=納n=1,m](m*C(m-1,n-1)*C(l-m,m-n)/C(l,m))
=(m/C(l,m))納k=0,m-1]C(m-1,k)C(l-m,m-(k+1))
=(m/C(l,m))C((m-1)+(l-m),m-1)
=m*C(l-1,m-1)/C(l,m)
=m*(m/l)
=右辺
0018１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 16:05:02.96ID:B7chP3f9■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています