((a+b)+c)の(a+b)^3*c^7の係数はC[10,3] = 10!/(3!*7!)
(a+b)^3のa^2*bの係数はC[3,2] = 3!/(2!*1!)

よって、3!/(2!*1!)*10!/(3!*7!) = 10!/(2!*1!*7!)
分子は全体の次数、分子は個々の文字の次数となっています。これを多項定理といいます。