思いついたことを、やってみるといい。
模範解答を覚えるより、手を動かすことが大切。

一旦 x=tanθ で置換した後、この三角関数の積分を
どうしたものかと考えてみれば、
u=cosθ の置換が見えてくる。
最後に振り返って、一気に x から u へ置換する
ことも考えてみればいい。
求積法は、別段数学でもなく、主に職人芸だから、
こういった経験の積み重ねがモノをいう。