>>968
＞Vのすべての要素にそれぞれ写像させたときに出来上がる集合がUのことだと
それ全射

＞Imfが含まれる任意の線形空間ならそれを記述するほうがいいと思います
意味不明
(線形)写像f:V→UがあってImfが定まるのであって、Imfが先に(Uの前に)あるわけではない

＞任意の線形空間ならImfに属しUに属さない要素が存在することがあります
ありません
線形写像の前に写像(集合)の定義を確認してください