順序対<x, y>の性質
<x, y> = <z, w> ⇔ x = z, y = w
は
<x, y> = {{x}, {x, y}}
という定義により順序対を定めても得られる

なぜなら
<x, y> = <z, w> ⇔　{{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}}
⇔ x = z, y = w

そこでこの順序対の定義により
全体集合{a, b}から得られる順序対を列挙すると

{{a}, {a, a}} = {{a}}
{{b}, {b, b}} = {{b}}
{{a}, {a, b}}
{{b}, {b, a}}

の４つが得られる

・・・ということなんですけど、
{φ, {a}} = {φ, { , a}}
{φ, {b}} = {φ, { , b}}
が順序対と認められない理由ってなんですか？

{φ, {x}} = {φ, {y}} ⇔　φの元は存在しないので等しい、かつ x = y
というような強弁が許されない集合論の世界とも思えないのですが…。