R=C[x]/(x^2(x-1)(x+2)^3)、f=x、g=x-1、h=x+2、j=(f^2)g(h^3) とおく。
除法の原理より ∀a∈C[x] に対し、deg(r)≦5 を満たす q,r∈C[x] が一意に定まり、a=jq+r を満たす。
容易に分かるように、a を適当に選んで、r=a-jq を5次以下の任意のC係数多項式にすることができるから
R={r∈C[x]|deg(r)≦5}
再び除法の原理より ∀a∈R に対し、deg(r)=0 を満たす q,r∈R が一意に定まり、a=fq+r を満たす。
同様に、a を適当に選んで、r=a-fq を0次の任意のC係数多項式にすることができるから
R/(f)={r∈C[x]|deg(r)=0}=C
ゆえに (f) は R の極大イデアル、(g),(h) も同様■