スレ合っているか分かりませんが、 

f_n(x) → f(x) が各点収束してかつ f_n''(x) が一様有界のときに f_n'(x) → f'(x) となる 

というのが書かれた本ありませんか？ 
日本語でも英語でもいいです 
ググってもstackexchangeしか出てきません