>>699　つづき

>>498
>複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。

無限集合論のところの証明がぐしゃぐしゃなので、レベル合わせ
http://ufcpp.net/study/set/cardinality.html#infinite
（抜粋）
濃度とは、 有限集合で言う所の“集合の元の数”に相当する概念です。 無限集合に対して「元の数」というと少しおかしいので、濃度という言い方をします。

可算濃度
自然数 ω は最小の無限集合になります。 この自然数 ω の濃度を可算濃度（countable cardinality）と呼び、 ‭א0 （アレフ0と読みます）で表します。

無限濃度に関する性質
まず、可算濃度 ‭א0 よりも大きな無限濃度が存在することについて説明します。

（有限・無限を問わず） ある集合 a に対して、 その冪集合 P (a) の濃度は 2 |a| になります。 そして、証明は省きますが、 a と P (a) の間には全単写が存在しない （＝ 同値にはならない） ので、 |a| < 2 |a| になります。

ここで、a の部分に自然数全体の集合 ω を入れると、 ‭א0 < 2 ‭א0 となり、可算濃度よりも大きな濃度が存在することが分かります。
可算濃度よりも大きな濃度を持つ集合を 非可算集合（uncountable set）と呼びます。 また、この式から、無限濃度がいくらでも作れることが分かります。

連続濃度
自然数、整数、有理数の濃度はいずれも ‭א0 でした。 しかし、実数の濃度は 2 ‭א0 > ‭א0 になります。 このことは以下のようにして示されます。