続き

＞一方、x≠yなるy∈Rと、yに対して定まる
＞y＝b_1・p_1+…+b_m・p_mなる何れも或るm∈N、(b_j,p_i)∈Q×S　j＝1,2,…,m　を取る。このとき
＞任意の1≦k≦min(m,n)なるk∈Nに対して(a_k,r_k)＝(b_k,p_k)∈Q×Sとすると、
＞min(m,n)≦L≦max(m,n)なる各L∈Nに対して、c_L、s_L≠0なる(c_L,s_L)∈Q×S
＞が定まって0＝Σ(c_M・s_M)、L≦M≦max(m,n)になるから、

↑ここは完全に間違っている。0＝Σ(c_M・s_M) の導出の仕方がおかしい。これを導出するには、x＝y としなければならない。
すなわち、x＝yかつ「任意の1≦k≦min(m,n)なるk∈Nに対して(a_k,r_k)＝(b_k,p_k)∈Q×S」としたならば、確かに
0＝Σ(c_M・s_M) が出てくる。しかし、今回はx≠yと仮定しているのだから、0＝Σ(c_M・s_M) は導出できないのだ。

＞或る1≦k≦min(m,n)なるk∈Nが存在して、
＞(a_k,r_k)≠(b_k,p_k)なる(a_k,r_k)、(b_k,p_k)∈Q×Sが両方共に定まる。

↑成り立たない。反例がある。Sの異なる元を2つ取って r_1, r_2 とし、x＝r_1＋r_2, y＝r_1と置くと、x≠yである。
n＝2, a_1＝a_2＝1, m＝1, b_1＝1, p_1＝r_1 とすれば、x＝a_1・r_1+…+a_n・r_n, y＝b_1・p_1+…+b_m・p_m と表せる。
そして、min(m,n)＝1であり、1≦k≦min(m,n)に対しては(a_k,r_k)＝(b_k,p_k)が成り立っている。
すなわち、これは反例である。

続く