>>501
(>>521の[第2段]の続き)
(2)、HがGの正規部分群であることを示す。g∈Gを任意に固定する。gHg^{-1}＝Hを示す。
h∈Hを任意に固定する。すると、H⊂Gから、h∈G。また、Gは通常の乗法・について可換群だから、g^{-1}∈G。
よって、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が定義され、ghg^{-1}＝g(hg^{-1})＝g(g^{-1}h)＝(gg^{-1})h＝1h＝h。
h∈Hだから、ghg^{-1}∈H。Hの元hは任意だったから、gによるHの両側剰余類gHg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈H}
と表わされる集合であることに注意して、hをHの中で動かせば、gHg^{-1}⊂H。
再度h∈Hを任意に固定する。すると、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が定義され、
h＝1h＝(gg^{-1})h＝g(g^{-1}h)＝g(hg^{-1})＝ghg^{-1}。ここで、gによるHの両側剰余類gHg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈H}と表わされる集合である。
よって、ghg^{-1}＝h∈gHg^{-1}。Hの元hは任意だったから、hをHの中で動かせば、H⊂gHg^{-1}。
gHg^{-1}⊂H、H⊂gHg^{-1}だから、gHg^{-1}＝H。故に、HはGの正規部分群である。　　((2)終了)
これでH(a)はGの正規部分群であることが示された。Aの元aは任意だから、
aをAの上で走らせれば、Gの正規部分群が非可算無限個存在することが示される。　　(証明終了)