>>501
(>>519の続き)
[第1段]：実数直線Rから1点0を除いたRの部分集合R-{0}が非可算無限集合であることを示す。
開区間(0,1)をIで表す。Iが非可算無限集合であることを示す。矛盾に導くため、
Iが可算集合だったとすると、確かにIに属する実数は無限個存在するから、Iは可算無限集合である。
1以上の自然数全体の集合Nは可算無限集合であることに注意すると、
Iは{n_1,n_2,n_3,…}の形で表せる集合である。つまり、I＝{n_1,n_2,n_3,…}。各(i,j)∈N×Nに対して、
ijを添数とする項k_{ij}が10個の数字0、1、…、9の中の1つを表すとする。
各i∈Nに対して、n_i∈Iの10進法による小数表示を、n_i＝0.k_{i1}k_{i2}k_{i3}…k_{ij}…　とする。
0でない自然数iの値が小さい方から、可算無限個の10進法による小数表示n_i＝0.k_{i1}k_{i2}k_{i3}…k_{ij}…を縦に並べて書く。
そして、任意の(i,j)∈N×Nに対して行列の成分のようにして現れた数字k_{ij}のうち、対角線上に並んだ可算無限個の数字
k_{11}、k_{22}、…、k_{jj}、…に着目し、各j∈Nについて、k_j≠k_{jj}かつ1≦k_j≦8 なるような数字 k_j∈{0,1,2,…,9}を任意に1つ選び、
n＝0.k_1k_2k_3…k_j… とおく。このとき、各j∈Nに対して1≦k_j≦8だから、実数nの10進法による小数表示は唯1通りに定まる。
Iの定義に注意すると、n∈Iだから、或るi∈Nが存在してn＝n_iとなる。よって、n_i＝n_{ii}となるが、これは満たすべき条件n_i≠n_{ii}に反し矛盾。
よって、背理法により、Iは可算集合ではない。つまり、Iは非可算無限集合である。
A＝R-{0}とおくと、I⊂Aだから、Aは非可算無限集合である。