>>269
”数える方法”ということのフォローをしておく
スレ主はなぜか選択公理を出してきたが今までも無限集合に群構造を入れる話は一切していないし
以下も有限の場合に限る

ある物の数がk個であるということは要素の数がkの集合{1, 2, ..., k}と1対1対応するということ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4
から例をとって
A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
の位数を実際に数えてみる
上のA4の元を左から順に{1, 2, 3, ...}に1対1対応させていくとA4の最後の元(14)(23)は12に対応する
要素が12個の集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}に1対1対応させることができるので位数は12である
この1対1対応は要素が12個の集合に4次交代群と同型の群構造を入れることと同じことで演算を@で表すことにすると
この場合は2@3=1, 2@2=3, 10@10=1などとなっている

あたりまえすぎてばかばかしいかもしれないが集合の要素がk個と言えば1対1対応させることができる群の位数は
必ずkになるし逆に群の位数がkと言えば1対1対応させることができる集合の要素数は必ずkになる
> 全射を許容するなら、位数３もあり
全射を許容しても位数２の群は{No1, No2}と1対1対応しているし仮にスレ主が位数3を持ち出す場合は
{No1, No2, No3}とこちらの要素数も3に増やすはずだ


ガロア記法のこと
実際の記法を略して大雑把に書くが右側の群でない奇置換も左側の群である偶置換と見なすことができるとの
ことだが逆の見方で何が見えるかを教えてくれ
つまり逆に左側の偶置換を右側の奇置換と同じように群でないと見なしたとする
このとき左側の偶置換の何を見れば群でないと見なせるか？