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>落合理 PDF P7"3. 群の作用と軌道分解"

次、下記に注目
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8
群作用 - Wikipedia
数学における群作用（ぐんさよう、英: group action）は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。

群作用を考えることによって得られる抽象化は、幾何学的な考え方をより抽象的な対象にも応用できるという面で非常に強力である。
多くの数学的対象はその上で定義される自然な群作用というものを持っており、特に群は別な群や自分自身への群作用を考えることができる。
このような一般性を持つにもかかわらず、群作用の理論は（軌道-安定化群定理 (orbit stabilizer theorem) のような）適用範囲の広い定理を含み、さまざまな分野での深い結果を示すのに用いられる。

例
任意の群 G は G 自身への自然だが本質的に異なる二種類の作用
g • x = gx (∀x ∈ G)
g • x = gxg−1 (∀x ∈ G)
を持つ。

後者の作用は内部自己同型による作用、両側移動作用 (twosided translation)、共軛作用 (conjugation) あるいは随伴作用 (adjoint action) などと呼ばれ、
この右作用版はよく冪記法を使って x^g = g−1xg のように書かれる。これは (x^g)^h = x^(gh) を満足する。