【解答】で使っている論理を要約すると以下になると思います。

「X, Yを集合とする。
fをXからYへの写像、gをYからXへの写像とする。
任意のx∈Xに対して、g(f(x))=xならば、fは全
単射である。」

しかし、導けるのはfが単射だということではないでしょうか？

たとえば、
Q∋x -> x∈Rという写像fとR∋x -> x∈Qという写像gを考えれば、
任意のx∈Qに対して、g(f(x))=xですが、fは単射ではあるけれども
全射ではありません。