>>170
「rot E = 0 であるときに　rot grad f =0　だから　E = grad f となるスカラーポテンシャルfが存在するといえるか」
というような議論をするときに、
このようなfが存在するための条件（積分可能条件）として偏微分の順序交換可能性が問題になるし、
fを考える空間が単連結ではないこともよくあるので、このあたりのことは病的なことではなく普通のことだと思うわけですよ。