そもそも参考書には、定理3.1の証明文で「∀xAが証明できればAが証明できる(>>658)。逆に、Aが証明できれば∀xAが証明できる(>>657)」と書いています。

このことに基づいてAと∀xAについて真理表を書けば、
(A→∀xA)∧(∀xA→A)
はトートロジーであることがわかります。トートロジーは“古典命題論理の範囲で”証明できるとあります。
そうです、しかし述語論理も入っていますし、このことは関係ありませんでしたねスミマセン。