この参考書では、
(Aが任意の論理式で、自由変数xを含んでいる)
A
ーー
∀xA

が推論規則として定義されてます。ていうことはこの推論規則から
A→∀xA
が証明できますよね。もしかして違いますか？

参考書には、「上の推論規則によって、Aが証明できれば∀xAが証明できる。」とあります。
つまり、A→∀xAが成り立つ、つまり証明できるということですよね。