もしsyntaxの土台の上にsemanticsがあるというピクチャでは
「完全性定理は、syntaxとsemanticsを結び付ける」と言われても
意義がどうもいまいちはっきりしないね。

やはり、狭義の統語論の土台の上にそれぞれ独立に定義される
「意味論」と「証明可能論・推論論？」を結び付ける、
と言って初めて完全性の意義が浮かび上がる。

積分を微分の逆演算と定義したのでは
微積分の基本定理の意味がしっくりこないのと同じ。

論理の完全性に対応するプログラム意味論の定理は
公理的意味論の完全性だけど、
こちらは「公理的意味論と表示的意味論を結び付ける」と言えるので
そういう問題は起きない。