(1)∀x(x=x)
(2)∀x∀y(x=y⇒y=x)
(3)∀x∀y∀z(x=y∧y=z⇒x=z)

例えば、(1)が(2)と(3)から導かれないことは
１点集合{a}において=を常にa=aが偽である
ようにモデルを作ると、このモデル上では
(2)と(3)は成り立つのに(1)は成り立たない
ということから証明できる
(2)が(1)と(3)から導かれないことや
(3)が(1)と(2)から導かれないことも
そういうモデルを作ることで証明できる
したがって(1)(2)(3)は互いに独立であることが示される