一階論理上の群、半群、環、可換環、整域、体は決定不能、
有限体、標数ｐの体は決定可能
ほかに決定可能な一階の理論は、冪なしの実数体、ユークリッド幾何学、双曲幾何学、ブール代数など
実数とか一階論理は記号を少し付けたり取ったりするだけで決定可能性が変わり複雑
例えば実数RでR^nにある2点から等距離にある点、ある2点の間にある点の3項演算子2つを入れたものはn＝2で決定可能で、
それ以外ではΠ^1_1-hardになり一気に決定不能になる
集合論から決定可能なものを切り出している計算機科学者もいる