数学基礎論・数理論理学 その15 [転載禁止]©5ch.io
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0001１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 07:58:05.2519世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その14
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/
0002１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 08:39:16.09カリー化って何のためにするの？その利点は何なの？
980 ：１３２人目の素数さん：2014/11/09(日) 00:21:57.35
>>979
値が何でもすべてが1変数関数として扱える
981 ：１３２人目の素数さん：2014/11/09(日) 20:29:57.54
>>980
ありがとう。
だけど、すべてが1変数関数として扱えるとなにがいいの？
カリー化することのデメリットはなに？
0003１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 08:40:40.45ShelahとWoodingとかを考えたときに
Shelahがforcingに詳しいと言うのは、恰も、
F1レーサーとマシンメカニシャンではレーサーの方が
エンジンの事をよく知っていると言うような話で大変一面的だと思う
972 ：１３２人目の素数さん：2014/11/05(水) 00:54:35.88
>>926
フォーシングのマシンメカニシャンって誰・どういう人たち？
976 ：１３２人目の素数さん：2014/11/06(木) 18:00:33.78
>>972
横からだがたぶんウディンとかってことじゃ？
977 ：１３２人目の素数さん：2014/11/06(木) 22:37:51.93
どっちかというと
シェラーの方がマシンメカニシャンで
ウディンがレーサーじゃないかなあ
978 ：１３２人目の素数さん：2014/11/06(木) 23:04:54.30
どうして？
独立命題という(ZFC主義者にとっての）ゴミを取り除いていって
ZFCからの真理を探そうとするところは気質的にはそうかもね
0004１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 08:44:51.68最近の基礎論ってどんな感じのことがはやってんの？
arxivとかみて
920 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 23:56:23.95
>>918
一流誌に近いのはJournal of Symbolic Logicとか
Annals of Pure and Applied Logicとか
Notre Dame Journal of Formal Logicとかになるのかなあ
954 ：１３２人目の素数さん：2014/11/01(土) 06:16:27.59
>>920
アメリカ数学会の提供しているMCQ(直近5年の被引用率)によると
論理の雑誌で0.4を超えているのは以下の2つ
Journal of Symbolic Logic
Annals of Pure and Applied Logic
0.3台の（2流雑誌？）が
Bulletin of Symbolic Logic
Archive for Mathematical Logic
Journal of Mathematical Logic
ノートルダムは0.2台の三流雑誌だ
0005１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 08:48:59.21哲学とか数学の雑誌の評価するときにIFとかMCQとか持ちだすのは何だかなあ、と思う
象牙の塔の典型例みたいな学問だからね
956 ：１３２人目の素数さん：2014/11/01(土) 16:26:04.88
Journal of Mathematical Logicって
ロジックにも高IFの雑誌を作ろうという意図があったと聞いたが。
引用される頻度で見る限りその企て失敗していたんだな。
959 ：１３２人目の素数さん：2014/11/01(土) 20:56:10.30
>>955
そういう指標と関係なしに
「APALとJSLがツートップで、AMLとかBSLがそれに続く」というのは
分野の誰もが認めることじゃないかな？
MCQはその共通認識に合致しているみたいだから
個人的に信用できると思ったのだが。
975 ：１３２人目の素数さん：2014/11/06(木) 12:04:33.02
>>959
長い論文ではAPALが最高峰で
短い論文についてはJSLが最高峰と聞くが？
そういう住み分けがあるんじゃない？
（短くてAPALに載った論文とか
長いJSLの論文がしょぼいってことはないんだろうけど）
0006１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 08:50:19.01ま、ぶっちゃけ、ペアノ数論みたいにテキトーな自然数の定義しといて、
無矛盾だと、無矛盾性が証明できない、ああ困った、とかいうのは、
なんつーか、自業自得というか、身から出た錆といえなくもない。
966 ：１３２人目の素数さん：2014/11/04(火) 21:48:22.46
じゃあ>>965がまず
適当じゃない自然数の定義をお願い
974 ：１３２人目の素数さん：2014/11/06(木) 07:06:28.91
>>966
第二不完全性定理を避けるなら、最後の数が必要だね。
「ｎが自然数なら、ｎ＋１が自然数」というような形じゃ
どうしようもない。
0007１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 08:56:31.080008１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 15:07:30.82トポスとか算術強制法の専門家がマシンメカニシャンなんジャマイカ
とか言ってみるテスト
0009１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 21:33:27.47フォーシングをブラックボックスとして使う人が多いから
そういうのはメカニシャンではなくレーサーと言えるかも知れないけれど、
シェラハとかウディンとかはちゃんと理解して使っていると思う。
0010１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 22:36:02.410011１３２人目の素数さん
2014/11/11(火) 22:38:59.24俺様の測度と積分論
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1328713470/
0012１３２人目の素数さん
2014/11/12(水) 18:21:11.94算術強制法は弱強制関係と強強制関係の間を行き来したり
強制法がうまく働くギリギリのところでやっている印象があるから
メカニズムを理解しないで使いこなすのは難しいだろうね
0013１３２人目の素数さん
2014/11/13(木) 00:05:09.42著者は結構な専門家なのだが一寸したケアレスミスなんだろな？
１．形式体系の重要な性質に健全性と完全性がある。
自然数を含む形式体系は、不完全性定理により、完全ではない。
２．健全性とは証明された定理が必ず正しいことを保証するもので、
矛盾を導かないことである。健全性は、モデルを与えることで
保証できる。
0014１３２人目の素数さん
2014/11/13(木) 19:48:02.33一流のレーサーはエンジンの仕組みは
それなりに理解してるんじゃないかと
0015１３２人目の素数さん
2014/11/13(木) 21:53:23.48訳自体は褒めていたが解説については痛いところを突いていた。
0016１３２人目の素数さん
2014/11/13(木) 22:16:38.19一流レーサーが一流メカニシャンとは限らない
（というか両者はまず一致することはない）
と言いたかったんだろうね。
0017１３２人目の素数さん
2014/11/13(木) 23:32:34.13書誌情報をkwsk
>>15
痛いところをkwsk
0018１３２人目の素数さん
2014/11/14(金) 08:36:51.961 ：１３２人目の素数さん：2014/10/29(水) 20:50:46.27
1963年，Paul Joseph Cohen により
ZFCと連続体仮説は独立であることが証明された．
然し現代数学に於いては選択公理の真理値を真とすることが自然であるように
数学的プラトニズムの立場から連続体仮説の真理値を決定することは重要である．
Kurt Gödel，William Hugh Woodin の様に真理値を偽と信じる専門家もいる．
そんな連続体仮説について議論するスレ．
4 ：１３２人目の素数さん：2014/11/01(土) 10:46:46.53
くるるさんの記事を読む限りでは偽とするのが自然のようだが。
8 ：１３２人目の素数さん：2014/11/05(水) 08:12:54.48
>>4
偽とするのを自然と思っているのは集合論者だけで
モデル論者は連続体仮説は真だと思っているらしい。
基礎論外でも真と思ってる方が多数派じゃないかな。
9 ：１３２人目の素数さん：2014/11/07(金) 21:27:49.45
証明論者や再帰論者はどう考えているの？
11 ：１３２人目の素数さん：2014/11/12(水) 09:14:12.00
>>4, >>8
Woodinは宗旨替えしていまは連続体仮説は真だと言っているらしいぞ
12 ：１３２人目の素数さん：2014/11/12(水) 21:23:10.33
>>11
ウッデンは「究極のL予想」というのを出しているらしい。
究極のLというからには、連続体仮説は真になるのだろう。
0019１３２人目の素数さん
2014/11/14(金) 09:44:43.75初心者の後学のために、どこがおかしいか教えてチョンマゲ。
0020１３２人目の素数さん
2014/11/14(金) 17:37:28.10http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1415948070/
0021１３２人目の素数さん
2014/11/14(金) 21:03:57.36「素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として」
は
「集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として」
に変えた方が良いと思います。
前スレの571にも根拠を書きましたが。
しかし、巨星落つ、ですね
0022１３２人目の素数さん
2014/11/14(金) 21:12:22.22>集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として
「解析学」ははずして
0023１３２人目の素数さん
2014/11/14(金) 21:46:01.29集合論は直接にはFourier展開の研究とかから生まれています。
またFregeは数学の論理の形式化の試み以外に、
実数論や自然数論の定式化なども行っています
（Frege全集の目次とかで確認できるかと）。
当時PeanoとかDedekindとかが、自然数や実数を特徴付ける
形式的な公理系を立てて議論をしようとした事は、、やはり数学史的には
解析学の基礎付けを目指す流れと同源のものだと思うんですけどね。
ジャキントの「確かさを求めて」はそういう立場で記述してありますし、
それ以外でも当時の数学史について書いた本はだいたい
解析学の時代、Fourier展開の発見→解析学の厳密化→集合論の誕生
という感じの流れになってると思います。
あと抽象代数研究の流れとかもありますが。
幾何学に関しては、あまり関連が深いとは言えないですね。
0024１３２人目の素数さん
2014/11/14(金) 22:01:34.90非ユークリッド幾何学が数理論理学の動機付けと無関係とは到底思えない。
また射影幾何学の双対原理は数学基礎論の萌芽と言われている。
0025１３２人目の素数さん
2014/11/14(金) 22:02:20.860026１３２人目の素数さん
2014/11/15(土) 06:25:57.31002723
2014/11/15(土) 06:36:37.14それは実は同意です。
ボヤイ・ロバチェフスキー→ヒルベルト「幾何学基礎論」の流れで
ヒルベルトの公理観数学観に多大な影響を及ぼした可能性は強いと思います。
幾何学の本流とどのくらい接点があるかというと若干微妙ですが。
あと20C初頭のドイツは非常に爛熟しかつ頽廃した空気が漂っており、
当時のドイツのインテリゲンツィア層には時代背景として
何かしらの危機感のようなものがありました。
もともと数学者であったフッサールも一時期、論理学や算術の哲学などに興味を持ち、
「ヨーロッパ諸学の危機と超越論的現象学」などという本も著しています。
第一次世界大戦→ドイツの敗戦、市民生活の悪化
→ワイマール共和国体制の構築とナチスドイツによるその実質的崩壊
という歴史的流れも絡んで、なんだか訳の分からない時代精神が流れています。
林晋さんなども調べれば調べるほど訳が分からなくなる、みたいなこと仰ってた気が。
0028１３２人目の素数さん
2014/11/15(土) 08:39:32.12説明の付かない現象がいろいろ見つかってきて
逆二乗則の指数は実は2じゃなくて2.00000000032くらいなんじゃなかろうか
みたいな末期的な論文が発表されたりしてた時代ですね
古典力学と電磁気学の黎明期に関する本とか
近代とドイツ精神 http://www.amazon.co.jp/dp/4896420128
こういう本読むと結構新しい発見がありそう。
0029１３２人目の素数さん
2014/11/15(土) 09:55:58.60射影幾何学の方はコメントなし？
0030１３２人目の素数さん
2014/11/15(土) 10:01:53.77語りえぬものについては、沈黙しなければなりません。
それは決して、それが重要ではない、と思っている訳ではないのです。
と思ったけどパスカルの定理とかブリアンションの定理とか
デザルグの定理の自己双対とかそこらへんですかね。
ちょっと時代遡りますけど、確かに少しメタな視点に移行する為の萌芽にはなりますよね。
0031１３２人目の素数さん
2014/11/15(土) 18:07:39.86前スレの実績（2年もった）から推し量ると
次スレ立てるのは2年後だよ。
いま議論しても忘れられるだけじゃないかな。
0032１３２人目の素数さん
2014/11/15(土) 23:30:46.73書いた本人の僕も忘れてました
また次も忘れるでしょう（笑
0033１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 09:15:45.74専門家の間で連続体仮説の真偽はどう理解されているの？
ウッディンが真と主張しているのなら
「偽と考えるのが主流」とはいえなくなったように思うんだが。
0034１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 09:23:41.53自分がいかに稚拙でも、まず自分の頭で考えることだ
話はそれからだ
0035１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 13:00:58.61連中はどこ行ったんだ？
0036１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 13:46:21.13だから大家が言ってるから主流ではないとは言えない。
0037１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 15:43:32.88必死だなｗ
0038１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 15:49:21.20003936
2014/11/16(日) 15:58:38.02実勢に則したレスだと思うんだけど
志村五郎の本に書いてある彼の意見が数学界の主流の意見ではないのはいい例
0040１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 17:19:19.29うん
だからおもしろい
0041１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 17:33:34.51必死だな
0042１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 17:35:30.96という打算が透けて見える
0043１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 19:49:07.53もっと基礎的な所をきちんと理解すべき
0044１３２人目の素数さん
2014/11/16(日) 19:50:30.420045１３２人目の素数さん
2014/11/17(月) 10:08:35.77「志村五郎が数学界の超大家」には異議ありだな
数学界の大家の中では小物だろ
0046１３２人目の素数さん
2014/11/17(月) 14:39:49.30数セミ2014年12月号53ページ
0047１３２人目の素数さん
2014/11/17(月) 14:42:13.86「訳者が紹介したい事柄が主題で、そのとりかかりとしてデデキントを扱うのならば、書名も構成も改めなくてはならないだろう。」
0048１３２人目の素数さん
2014/11/17(月) 15:02:36.36ワロタ
0049１３２人目の素数さん
2014/11/17(月) 21:04:25.99>>34や>>43みたいなレスは出てくるべきなのに
今まで出てこなかったのはなんでなんだろうか
「専門家は～」みたいな話は眉唾だって教訓だな
0050１３２人目の素数さん
2014/11/17(月) 22:32:06.80そりゃ本人から直接聞いた訳じゃないから伝聞情報だけど、
集合論の最先端なんてそんなもんだ
0051１３２人目の素数さん
2014/11/18(火) 15:41:48.2412月号って三角関数の特集だけど？タイポ？
書誌情報には、著者と記事のタイトルも書くもんだ
（タイポがあった場合に修正のとっかかりになる）
0052１３２人目の素数さん
2014/11/18(火) 16:04:48.56「ケプラー予想の計算機による証明と検証について」という記事だ
0053１３２人目の素数さん
2014/11/18(火) 16:19:19.13サンクス
0054１３２人目の素数さん
2014/11/18(火) 19:11:59.49むりやり解釈しようと思えば出来てしまう所が何ともモニョるな。
九工大と九大の先生の記事みたいだけど、
こういう記事見るにつけても、東大や九大とかにも
ロジック専攻の教授職を一匹分置いとくと便利だと思うけどなあ。
名古屋東北は既に割と強力な勢力があるけど。
0055１３２人目の素数さん
2014/11/18(火) 21:10:12.81同じ学内でも交流がなければ同じこと
0056１３２人目の素数さん
2014/11/18(火) 23:41:05.41あからさまに間違ってるんじゃない？
よくある間違いでもあるからケアレスミスではなさそうだ。
0057１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 00:28:46.40>自然数を含む形式体系は、不完全性定理により、完全ではない。
これも「無矛盾ならば」が抜けているとか言えば言えるけど、
そんなことで叩くのはちょっと本質的ではない気がする。
0058１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 07:54:13.87無矛盾性と健全性の混同はどう擁護する？
0060１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 10:10:58.43わかったけど、もっと大きな話をしようぜｗ
0061１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 13:18:58.74不完全性について素人の間違いをあげつらう一部の(twitter上の?)人々のように
批判する気にはならないけれど、
著者が数学者となると話は別だ。
たとえロジックは専門ではないのかもしれないが
専門用語は（専門外であっても使うのならば）きちんと定義に基づいて使うというのは
数学者として最低限の能力でありマナーだろう。
それが出来ていないのだから、数学者失格と言っていい。
0062１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 13:23:08.310063１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 15:06:03.95確かにツイッターとは随分雰囲気違うね
0064１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 18:45:38.62あ、ホンマや
0065１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 19:08:01.51その通り。
しかし、
>細かく言えば間違いとはいえ大枠としては大体正しいから
これは違う。「大体正しい」なんてことはない。
0066ISIS参加しようとするも逮捕されますた＞＜
2014/11/19(水) 20:26:06.47お前すごくね？
数学にも哲学にも詳しいな すげーわ
かなりIQ高そうだし数学できるんだろうな
今度強制法おしえてくんね？ぜんぜんわからなくて泣いてる
>>61
さすがにそれはなくね
まー雑誌に書いちゃうのはまずいけどね、読んだ人の影響かんがえると
しかし数学者失格とか他人を断罪できる立場にあるか自分のポジション考えてみな
もっちーの件にしろハーツホーンにしろ揚げ足しかとれてないのが基礎論住人の現状だから
ちぇけらっちょ ぷんしゅかぷんしゅか
0067１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 20:35:01.150068１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 21:16:19.751.については完全性を「標準モデルで真ならば証明可能」と理解すれば正しいし、
「\Pi^0_1完全」のように実際にこの意味で完全性を使う場合もある。
（この意味の完全性を「健全性と完全性」と並べることがあるかは疑問だけどね。）
2.は厳密には>>58の言うように擁護のしようがないけれど
健全性は固定した意味論（広義のモデル）での妥当性が演繹で保存されることで
無矛盾性はその意味の健全なモデルの存在として定義することもある。
0069１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 22:00:49.341.ぐずぐず言ってるが、早い話それが>>59のいう２つの完全性の混同だよ。
なお、標準モデルだけで真な命題が証明可能にはなり得ないし、
「健全性と完全性」と並べる完全性はどちらの完全性であるかも自明なことだ。
2. これは擁護してるのしてないのどっちだ？
0070１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 22:15:03.55誰も本気で擁護しようとなんてしていないでしょ。
擁護派も「黒に近いけど、黒とは断言しづらい」くらいにしか言ってない。
0071１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 22:36:30.78>>59のいう2つの完全性は
意味論的完全性と統語論的完全性（否定完全性ともいう）であって
>>68の「標準モデルで真ならば証明可能」という完全性はそれらとはまた別だよ。
>>68
その完全性で考えるのなら、
並べられる健全性も「証明可能ならば標準モデルで真」と解釈すべきでは？
モデルを与えることでどうして保証されるのか分からなくなるけど。
0072１３２人目の素数さん
2014/11/19(水) 23:16:54.07>並べられる健全性も「証明可能ならば標準モデルで真」と解釈すべきでは？
そういう妙に緩い「健全性」って意味あるんでしょうか？
0073１３２人目の素数さん
2014/11/20(木) 07:16:11.40君にとって意味あるかどうか知らないが
新井先生の論文にはそういう意味の「健全」が使われていたと思う
0074１３２人目の素数さん
2014/11/20(木) 11:15:39.94実は3つの完全性を2つに混同していたってオチかｗｗｗ
0075１３２人目の素数さん
2014/11/20(木) 12:05:58.233つ目の完全性はあんまり言及されることがないから
（田中一之先生の本なんかには出てくるけど）
この界隈のカキコ見て物知りになった気になってるだけの奴には。
それでも>>68はきちんと定義書いているんだから
「数学者として最低限の能力でありマナー」があれば
最初の2つとは違うことくらい分かるだろ、と思うけど。
0076１３２人目の素数さん
2014/11/20(木) 15:19:26.02著者達がエゴサーチしたときに掛かるように名前を晒しておく
溝口佳寛：
https://twitter.com/ym9658
田上真：
https://sites.google.com/site/tagami77/
0077１３２人目の素数さん
2014/11/20(木) 15:38:33.560078１３２人目の素数さん
2014/11/20(木) 16:22:48.08二人でやりあえよ（笑）
00791/3
2014/11/20(木) 21:13:20.11北の大学の数学科の方？
別に私も強制法をマスターした訳ではないけど。
書いてる事に確証は無いので参考までに。参考にするのは自己責任ということで。
強制法はたぶんJech読んだ方が要らない事書いてないから分かりやすい。
それから、定理が言ってることや定理の仮定や諸定義の意味がだいたい掴めたら
細かい論理のチェックは最初は読み飛ばしても良いと思う。
Kunenは細か過ぎるから最初は辞書的に使うと良いかも。
全部読むのには結構な根気と時間が要る。
あとKanamoriのCohen and set theoryとか
CohenのThe discovery of forcingとかいろいろ読んでみたら理解が深まる気がする。
00802/3
2014/11/20(木) 21:13:50.01Cohenの方法→ブール値モデル（Scott、Solovay、Vopenka）→Shoenfield式の定式化
という感じで定式化が変わってきている。
Cohen自身の強制法はよく知らんけど、たぶん
最初の→はvan Dalenいうところのesoteric→didactically soundという感じの変更だと思う。
一方で二つ目の→はprofane→sacredという感じの「強化」がされてる気がする。
Boole値モデルは、多値論理のアナロジーを取る方法。Jechはこのやり方。
付け加えたい対象からposet P とそのposet topologyを考えて、
その正則開集合全体の為す完備ブール代数 B = ro(P) を作り、
真偽値を増やしてM^Bを考えた後、
さらに真偽値をgeneric (ultra)filterで割って二値に潰す"俗"な方法。
ultrafilterを使った超準モデルの作り方とかを知ってるとこれは分かりやすい。
代数学で習う極大イデアルで割る操作とほぼ同じ類の操作。
一方で普通の教科書に書いてあるShoenfield流の方法は
syntax/semanticsのアナロジーを取って
一種のオラクルのような述語を一つ加えてやる事で新しい性質を持つ
モデルを考える方法、みたいな感じだと思う。
こっちは私はあまりきちんと知らんのだけど、
Mの中でM[G]の性質が（p∈Gかどうか以外）"ほぼ"分かることが数学的に大事だ、
とか言うのはこっちの流儀で学ばないとたぶん理解できないことだと思う。
00813/3
2014/11/20(木) 21:14:22.68最初に勉強する時はGがfilterであることの意味をもっと考えないといけない。
filterとかultrafilterというのは極限を考えたり、
多くのものを張り合わせたいときに使うものだけど、強制法のときもこれは同じ。
モデルを真に拡大したいのだから新しく付け加える対象 g はMに属してはいけない。
付け加えたい対象 g の部分情報たちを含むposet P を考えて、
その部分情報を適切に貼り合わせることで
（或いは、部分情報の一種の極限を考えることで） g を再構成する。
その張り合わせ方（或いは、"極限"の取り方）をコードしてるのがgeneric filter G。
ここでgenericって何だという話になるけど、
genericは「meagerの補集合」という概念と似た概念（cf. Kanamori）。
meagerの特別な場合のnowhere denseの場合、その補集合が
「全ての開集合と交わる」というgenericと同じ性質を満たすことは少し考えてみれば分かる。
それから、これはこないだのサマースクールで池上先生が仰ってた事だけど、
Mが可算推移モデルのときgeneric Gが存在するというRasiowa-Skorskiの定理が
Baireのカテゴリ定理とほぼ対応する。
あとは個々の強制の実例で
Gがgenericであることから何が従うか、いろいろ見てみれば、
genericityについては或る程度理解できるはず。
0082１３２人目の素数さん
2014/11/20(木) 21:21:44.58たとえば g の有限部分集合とか始切片とかそういう類の奴ね
0083１３２人目の素数さん
2014/11/21(金) 20:48:39.32>>71の意味の「妙に緩い」健全性が必要だけど。
Tが第3完全 ⇒ Tが統語論的完全：
任意の文Aについて、標準モデルでAまたは￢Aが成り立つので
第3の完全性より T \vdash A または T \vdash ￢A
Tが統語論的完全 ⇒ Tが第3完全：
Aが標準モデルで真だとすると
統語論的完全だから T \vdash A または T \vdash ￢A だが
>>71の意味の健全性より T \vdash ￢A ならば矛盾するので T \vdash A
0084１３２人目の素数さん
2014/11/21(金) 22:10:44.61確かに論理式の複雑さに制限をしなければ同値なんだけど
>>68に書いてあるように「第3完全性」や「妙緩健全性」は
論理式の複雑さを制限することが多くて
その場合は同値にならない。
Aが\Pi^0_1でも￢Aは\Pi^0_1とは限らないから
＞任意の文Aについて、標準モデルでAまたは￢Aが成り立つので
＞第3の完全性より T \vdash A または T \vdash ￢A
この部分が言えなくなる。
0085１３２人目の素数さん
2014/11/21(金) 22:36:43.550086１３２人目の素数さん
2014/11/21(金) 22:47:13.950087１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 00:00:01.060088ISIS参加しようとするも逮捕されますた＞＜
2014/11/22(土) 01:00:52.63サンクス
今親戚に匿われてて時間たっぷりあるゆえJech読み進める
0089１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 08:12:33.860090１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 08:16:26.85何が議論の前提で何が示すべき事柄なのか分からなくなるよね
集合と位相の教科書で見るからに当たり前の命題を
"証明"しろと言われたときの感覚と似てる
0091１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 09:53:17.93ゲーデルの不完全性定理は
「Qを含む再帰的公理化可能な妙緩健全な体系は第3完全でない」
といえてしまわない？
不完全性定理に「真」を使ったら間違いと習ったけど。
0092１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 12:54:14.74大学の時分は図書館で簡単に複写取る事が出来たけど
今はアクセスがないからなあ……
でもこのくらいの話題で数学セミナー買ってくる気もしないし
前月号の特集は買ったけどね
>>91
言いたいことは大体分かるが、そもそもその健全性とか完全性って
特定の自然数論の理論 T ごとの性質じゃないと思うんだけど。
>不完全性定理に「真」を使ったら間違いと習ったけど。
そんなことないよ。
ただ、真偽への言及を最小限にしたのがゲーデルの証明。
もっときちんと理解しないと。
0093１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 13:51:36.29では議論に資するだろうことを期待して、該当部分の引用をしてみる。
（引用にしてはちょっと長いかもしれないがフェアユースの範囲内でしょ）
５.形式証明の正しさ
形式証明の正しさについてはヘールズの論文[7]に
概説されている。形式的論理体系の性質で重要なもの
に健全性と完全性がある。完全であるとは正しい命題
が必ず証明できる形式論理体系を意味する。今考えて
いるHOLは自然数を含むので、ゲーデルの不完全性
定理により完全ではない。健全性とは証明された定理
が必ず正しいことを保証するもので、矛盾を導かない
ことである。健全性は、一般にはモデルを与えること
で保証できる。すなわち、形式体系の記号にモデルの
対象や操作を結びつけ、すべての公理と推論がモデル
で成立することを示す。矛盾のないモデルを持つ形式
体系は無矛盾である。…
ヘールズの論文[7]というのはT.Hales. "Developments in formal proofs",2014.のこと
0094１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 14:02:53.89正しい命題
≒普通の数学者が正しいと感じるような命題
≒標準構造で真＝Th(N)に属する
という言い方してるケースが結構あるんだよね。
確かに言葉の使い方がロジシャンとしては雑だけど
普通の数学者には一番通じやすい。
特にこの場合、Thomas C. HalesってLanglandsプログラムの研究者だから
いわゆる普通のworking mathematicianだからね。
なんか間違いだ！とか言って突っ込む人が多いけど、
ネットとか見てるとそういう批判してる当人がもっと雑駁な理解してる場合も多いよね。
まあ、本屋で立ち読みしてこようかな
0095１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 14:21:45.14雑過ぎるコメント
0096１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 14:31:24.45全く同感だ。
わかってる人がわざとくだけた言い方をしたのを口まねしてる感じ。
0097１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 14:36:05.35>そんなことないよ。
>ただ、真偽への言及を最小限にしたのがゲーデルの証明。
>もっときちんと理解しないと。
おいおい。不完全性定理が純統語論的定理であることは強調すべきじゃないの。
もっときちんと理解しないと。
0098１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 15:17:35.270099１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 16:04:54.41ないよ。どちらも中途半端な概念だから。
0100１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 16:06:05.270101１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 20:11:00.27じゃあ算術的な完全性定理とかを使った
不完全性定理の意味論的証明とかは「間違い」な訳だね？
～～を（ほとんど）使わないで証明できる、というのと
～～を使って証明したら「間違いだ」、というのでは天と地ほど違うと思うが。
誰がどう弁明しても>>91は後者の書き方してるからね。
（自分は）～～と習ったから～～が正しい、という根拠の主張の仕方がそもそもおかしいと思う。
0102１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 20:38:33.23まあ確かに雑だけどね。
（自然数論に関する）「正しい命題」とは恒真な命題の事である、という解釈の仕方も変でしょ。
だいたいどの理論の上で恒真な命題のことだ、ということになる。
（一階述語論理上の）Peano算術ではありえない。同様にZFCでもありえない。
Th(N)を使ったら、同語反復、循環論法になってしまう。
つまり、Tarskiの真理定義条項が、決して真理を一意に決め切れておらず、
量化の複雑な式の真偽の定義は、背景にある意味論を考える
集合論の宇宙の取り方に依存してしまう。
二階や高階の述語論理を用いても同様の問題は出て来る。
このへんについてコメントしている教科書はたぶん無いはず。
日本語の本で似た問題に言及しているのは、私が知る限り
菊池先生の本（「自然数」Nに対応する概念を三種類くらい区別している所）
しかないな。あとは辻下さんのpdfとかになる。
>>98
まあ、そうね。でも大抵の教科書は
「標準構造 N っていうのはまあアレだ、分かるでしょ、あの N のことだ」
というどうみても定義になってない臭いものに蓋式の書き方してるけどね。
0103１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 20:42:23.55>不完全性定理の意味論的証明とかは「間違い」な訳だね？
不完全性定理が純統語論的定理であることは強調すべきことだ
と言った。意味論的証明はもちろんあってよい。ただしそれは、
簡便な証明にはなるが構成的ではないので、あくまで「別証」と
いう位置づけだと思う。
>誰がどう弁明しても>>91は後者の書き方してるからね。
91は、「不完全性定理に不用意に「真」を使うのは理解があやしい
場合が多い」と言おうとしたのじゃないか？
>（自分は）～～と習ったから～～が正しい、という根拠の主張の仕方
これは小学生でもなければやらないんじゃないか？
0104１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 21:07:03.57http://d.hatena.ne.jp/keyword/%B4%B2%CD%C6%A4%CE%B8%B6%CD%FD
分析哲学の方法論の話だけど、最初にこれを学んだ時は
たちまち目から鱗のようなものが落ち、私は元どおり見えるようになった。
0105１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 21:13:30.90いいこと言うね。こういう人政界にもほしいね。ほんと。
0106１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 22:04:33.54>不完全性定理が純統語論的定理であることは強調すべきじゃないの。
>もっときちんと理解しないと。
不完全性定理が純統語論的定理かどうかは主観的な問題だろう。
PAとかZFCみたいな「ゆるふわ健全」な体系（逆数学でもそうでない体系は出てこない）
にしか適用しない人には>>91のような定式化でいいわけだから。
ゲーデル本人が示したのは～、という反論がありそうだが、
それなら「ゲーデルの不完全性定理はプリンキピアの体系に関する定理で
PAやZFCなど現代メジャーになっている体系に関する定理ではない」のか？
「本質的に同じだからこれも誰誰の定理」だとか
「その差は無視できないから別の定理」だとかは
所詮は主観的な価値観の問題に過ぎない。
「ゆるふわ健全」な体系にしか不完全性定理を適用しない価値観から見れば
>>91の定式化も純統語論的な定式化も同じことなんだよ。
0107１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 22:31:32.02あんただれ？言ってることがゆるふわしてて複雑だわ
0108１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 22:37:02.800109１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 22:39:29.500110１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 22:42:38.630111１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 22:52:55.07中途半端な概念だと考えているようだけど、
第二不完全性を厳密に証明していることで有名なブーロスの本で
可証性条件１の証明にこの第3の意味での\Sigma^0_1完全性を使っていたりするんだな。
0112１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 23:22:06.10数セミのあやしげな記述が出発点だという所から捉えると、もはや「フェルマーはフェルマー予想と志村谷山予想の関連に気づいていた」レベルの妄言のように思える。
0113１３２人目の素数さん
2014/11/22(土) 23:25:35.34実際、
自然数というものは一つに定まっている訳ではない、揺らいでいるのだ、
とか言い出したら、数学の基礎について考え過ぎて頭おかしくなったか、
とか言われても仕方ないよね
0114１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 08:52:30.37昔から「ゲーデルの不完全性定理を真偽概念を使うのは間違いだ」と言い立てていたし。
「間違いだ！とか言って突っ込む人が多いけど、
ネットとか見てるとそういう批判してる当人がもっと雑駁な理解してる」典型例。
0115１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 09:24:15.31批判派からは「完全性と言えばこの完全性に決まっている」という態度しか感じ取れない。
言葉づかいは流派によって異なるもので
「自分の周りで完全性といえば一階述語論理の完全性だから」と考えているのなら典型的な厨二病。
>>104の原理に沿えば「第3完全性」と理解するのが自然だろう。
0116１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 09:35:19.86＞が必ず証明できる形式論理体系を意味する。
0117１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 09:39:20.680118１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 09:55:26.220119１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 09:55:55.50一階述語論理の完全性を意味しているわけではないのはほぼ明らかではなかろうか？
一階述語論理の完全性とゲーデルの不完全性定理は関係ないし
HOLでも一階述語論理の完全性は成り立つのだから。
「標準モデルで真ならば証明可能」と理解すればすべて辻褄が合うし
この完全性も確立された使い方なのに
わざわざ意味の通らない解釈持ち出して「間違ってる！」と主張する香具師ってなんなの？
0120１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 10:00:45.19その論説にあるようなHOLを見てみれば、その区別がいつも明確にできるわけじゃないことを悟れると思うよ。
0121１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 10:09:27.03PAみたいな明らかな「理論」ですら
「形式論理体系」と呼ぶことはあると思うぞ
0122１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 11:00:35.18>「標準モデルで真ならば証明可能」と理解すればすべて辻褄が合うし
>この完全性も確立された使い方なのに
そのセンスがおかしんだよ。
もともと陥りやすい混同をしたものだから、わざわざそういうを解釈しないと
辻褄が合わなくなっただけだよ。後から辻褄合わせが要らないように書いとけという話。
0123１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 11:06:38.43自分のセンスを押しつけるんじゃなくて、ちゃんと根拠を示せよ。
0124１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 11:17:17.68そもそも115は何言ってるんだ？２つを「混同」していると言ってるのだが
0125１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 11:19:48.070126１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 11:21:53.64ここの議論はお互いのポエムを語ってるだけ
0127１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 11:28:24.732.著者は一貫して「第3完全性」を意味している。
2を主張する側は「それだと自然に解釈できる」を根拠にしているが
1の側はその主張の根拠は何？
0128１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 11:39:24.70フェルマーの書き込みも、志村谷山予想を使った証明を知っていたとすれば自然に解釈できるよ。
余白には書けない驚くべき証明だ。
0129１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 11:41:08.410130１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:01:51.03健全性と無矛盾性の混同はどう擁護するんだ？
>>58でガイシュツの問題だが。
0131１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:10:20.79そこは俺には擁護不能。ってか間違いだと思うし、著者はよく理解できていないと思う。
だけど、一か所間違いがあるからと言って、他の箇所が間違っている根拠にはならない。
0132１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:12:03.08初心者が陥りがちな典型的な間違いだから
そういわれても仕方ないけどね
0133１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:13:48.08いや、間違い方のレベルが同じようだから、もう一つも。
0134１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:14:26.630135１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:16:06.31そういう根拠で人を批判するのは感心しないなあ
0136１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:16:43.940137１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:19:45.07人を批判してるわけじゃないんだが
0138１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:25:05.71あとは「初学者の陥りやすい間違いの典型例を俺は知っているぜ」という自己顕示欲？
0139１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:30:59.40人として恥ずかしくないのかねえ
0140１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:37:41.86その記事を読む読者の事を忘れてませんか？
誤解を生む表現ならそれを指摘して正す必要があると思いますよ
0141１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:41:50.39細かいことを言うのはもうやめよう。志を高く。
0142１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:54:14.19それは何か根拠があってのことでしょうか
>>104の理念に反するように思われますが？
0143１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:54:22.660144１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 12:58:22.13全然思わないよ。
数学で間違いの指摘は人格批判ではない。
0145１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 15:50:04.331. 著者は初学者っぽい
2. 初学者が陥りやすい間違いである
3. だから間違いである
というだけに見えるんだけど、
これだけで辻褄の合わない解釈をわざわざ持ってくる根拠になると本気で思っているの？
0146１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 15:55:27.59「誤解を生む表現」と主張するのと
「間違いだ」「混同だ」と主張するのとでは
天と地ほどの違いがありますよね？
0147１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 16:00:25.19なんぼ弁護しても書き手がゴメンナサイしたら終わりやで。
代わりに責任持つ覚悟で擁護してんの？
0148１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 16:01:46.52著者は初学者だから典型的な間違いをしているはず、
というのは一種の侮辱だと思いますよ。
0149１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 16:06:20.22著者を擁護する気なんて最初からないわ。
「間違いだ」という主張に問題があると言っているんだ。
それが分からんか？
0150１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 17:32:57.31隣接分野から参入しようとしても、ちょっと間違えただけで
初学者認定されてあることないこと全部間違いにされちゃうんだから。
そりゃ誰も基礎論にお近づきになろうとしなくなるわ。
0151１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 17:43:26.87非寛容なのはアマだけでプロは違うと思いたい。
>>99みたいに言い切ってしまうのは典型的なアマの万能感だし。
0152１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 19:04:14.770153１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 20:10:14.500154１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 20:29:40.13標準モデルに言及するすると胡散臭くなると考えている人がいるみたいだけど、
「任意の矛盾に至る証明について」とか「矛盾に至る証明は存在しない」とかの
量化の範囲を固定するのと、自然数論の標準モデルを固定するのはほぼ同じだよね。
（強いていえば後者の方がまだましかと思う。）
>>>111に書いてある\Sigma^0_1完全性の証明とか自分で証明してみると
そういうことがよく分かると思う。
0155１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 20:42:39.742ch のスレ見て何を言ってるんだ君は
0156１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 20:43:20.45どうしても買いたいときは新幹線で隣町まで行くか
インターネッツで購入せんといかんらしい。
腐っても政令指定都市なのになあ……
「完全性」はarithmetical completenessの意味だ、と解釈したら
一応>>93の引用文は整合的になるけど、
筆者は当然そういう意味で書いたのだ、というのは若干むりやりかもね。
>健全性とは証明された定理が必ず正しいことを保証するもので、
>矛盾を導かないことである。
こっちの解釈はもっと厳しい
0157104
2014/11/23(日) 20:59:54.11「哲学思考トレーニング」で知ったんだけど、
この本には、princple of charityがあるからといって
「京都は日本の首府だ」とか言っている京都人に対して
京都が日本の首府な訳ないから、きっとこの人は
「京都」という単語を東京という意味で使っているんだろう、
みたいな無理な解釈をすると逆に失礼だから、程度には気を付けよう、
みたいな絶妙な補足も書いてあったりします（笑） この本は割とお勧め。
>>150
いや、実際、難しいんですよ。こういう用語の使い訳は。
そしてそもそも術語の名付け方や啓蒙書入門書の書かれ方が
初学者をこういう落とし穴に嵌めてしまいやすい書き方になってる気もします。
そんなに難しい区別では無いはずなんですけどね。
「meta/objectの区別とsemantics/syntaxの区別の区別」は割と難しいですが。
0158１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 21:00:54.462chに限らずなのだが。不完全性定理の魔女狩りはネット上で有名じゃないか。
>>156
一応は整合的に読めるものを「間違いだ」「混同だ」と決めつけるのはいくないでしょ。
しかも根拠が>>132や>>133みたいなのでは。
0159１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 21:01:20.180160１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 21:05:37.47とりあえず買って、面白そうだなあ、と思いながら積読してます
0161１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 21:10:08.10＞「任意の矛盾に至る証明について」とか「矛盾に至る証明は存在しない」とかの
＞量化の範囲を固定するのと、自然数論の標準モデルを固定するのはほぼ同じだよね。
確かにその通りなんだけど、意味論・モデルと聞くと
とても強いオントロジカルな仮定にコミットしている気がしてしまうんだよね。
なんでなんだろう。
0162１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 21:14:08.81俺も面白そうだったから買った。内容については聞かないで。
0163１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 21:16:39.66本屋で立ち読みしたけど、結局買うのは辞めちゃった
0164１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 21:24:37.99同意。不完全性定理は真偽概念を（全く）用いずに証明できる、
と言う人はこういうことはどう考えてるんだろう、と時々思う。
証明をそのGoedel数と同一視したら
実質的に自然数を扱っている事になる、という点を措いても
数項毎の表現可能性（numeralwise representability）とかは
自然数の標準構造を前提にしないと何言ってるか良く分からなくなると思う。
この本では自然数の標準モデル N を前提する、とだけ断り書きする方がよほど潔い。
欲を言えば、算術の或るモデル N' があることを仮定する、
と書くのと比べて違うのはどういう点なのか、読むのは初学者なのだから、
きちんと明確に説明してくれていれば言う事は無いが
（真面目に考えると案外non-trivialで面白い）。
まあ私も不完全性定理の証明の存在論的な仮定が何であるか
綿密に分析したりした訳じゃない（し、大して興味も無い）けど。
0166１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 22:43:51.60自然数は０項演算０と１項演算後者で自由生成される構造。
証明全体や記号列全体はもっと多くの演算で自由生成される。
どうして後者を走る量化はよくて
前者を走る量化を胡散臭いとみなすのか理解できないよね。
0167１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 22:45:34.480168１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 22:47:03.41真偽概念を使うことと自然数の標準構造を前提にすることとはどう関係するの？
0169１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 23:57:38.79前提するのがこれだけなら認識論的な仮定はかなり弱い気がする。
だから個人的には、存在論的な仮定も同じくらい弱いような気分はする。
でも認識論的な仮定の弱さから存在論的な仮定も弱いということが
どうやって出て来るんだとか言われたらDummettがやってるような
晦渋な議論をしないといけないんだろうな。
0170１３２人目の素数さん
2014/11/23(日) 23:58:13.850171１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 07:13:46.050 は <N, S(・), +> で定義可能だからどっちでもいいわけだが。
本当に分かって喋ってる？
0172１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 07:38:16.59指摘ありがとうございます。
最初166を参照して<N, S(・)>と書いた後に、決定可能性に関して
加法を入れても大きな違いは無い、と思って
<N, S(・), +>と書き直したので頭の中でごっちゃになってました。
0173１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 07:39:47.25<N, S(・)>でも 0 はもちろん定義可能ですね
ダメだ良く考えてからレスしないと
というかモデル理論勉強しないと
0174１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 07:50:11.140175１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 08:10:02.19>>166の自由生成の概念を一階の構造に帰着させるのは違和感がある。
加法も乗法も（冪も）自由生成に基づいて定義するわけだが
自由生成させる演算である後者関数から一階定義可能ではない。
有限列に関しても、連結演算は自由生成に基づいて定義するが
自由生成させる演算から一階定義可能ではない。
0176１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 08:35:31.83集合論援用してるようなものじゃん
0177１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 11:50:48.60一階では足りないが二階のごく一部分でいいのだから。
0178１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 12:43:40.53「証明全体」など統語論的対象の全体でも同じ問題がある、という話でしょ？
一階を逸脱する概念を持ち込まなきゃいけないのは当然のことじゃないか。
>>176は一体何を問題視しているんだい？
0179１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 14:36:18.23>健全性とは証明された定理が必ず正しいことを保証するもので、
>矛盾を導かないことである。
これだけなら「妙緩健全」とか「ゆるふわ健全」と言われているもの
（arithmetical soundness というのかな？）理解すればいいのでは？
無矛盾性と同値ではないけれど、無矛盾性を導くのだから
「健全でないけど無矛盾な場合」が文脈上で重要でなければ
「ことである」は許容範囲でしょう。
誤解を招く表現なのは確かだけどね。
問題は、それに続く「モデルを与えることで保証できる」まで
整合的に解釈すること。殆ど不可能にみえる。
0180１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 14:49:52.62きちんとした根拠に基づいて「間違いだ」「混同だ」と批判するのなら健全なことで賛成する。
しかし強調したいのは、証拠の上がった犯罪者に「どうせ悪いことしたんだろ」と
他の罪まで薄弱な根拠でなすりつけるような真似をするべきはないということ。
0181１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 14:53:48.20あれの代わりにどのように書かれていたらよかったと言うんだろ。
0182１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 14:58:34.50「他の罪」にあたるものを明示していないので何も言ってないに等しい。
0183１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 15:06:37.67逃げちゃった？
0184１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 15:12:56.44arithmeticalな意味での不完全性定理をどうやって証明できるのだろうか
0185１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 15:30:04.31どうしたらそれが出来るの？
0186１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 18:16:15.95統語論は具体的というのなら標準自然数だって同程度に具体的。
これいかに？
0187１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 18:57:22.880188１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 19:07:30.16＞健全性は、一般にはモデルを与えることで保証できる。
この２つの記述に不備がないとすると、著者の言う「健全性」とは「無矛盾性」と同値な性質だよね
0189１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 19:11:21.63そうなの？
その気になれば証明は存在するが
10^10^10^10以下の長さの証明は存在しない式とか普通に作れるけど
0190１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 19:44:10.46標準自然数の存在を仮定するなら10^10^10^10どころじゃない
0191１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 20:51:23.71個別の証明だけではだめで、
証明全体が定まっていないといけない。
0192１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 20:57:27.05「証明された定理が必ず正しい」の「正しい」はどういう意味になる？
0193１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 21:11:36.98「その否定が証明可能でない」かな
0194１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 21:17:23.65なるほどねー。
どこかの分野（たとえば筆者の属していそうな分野）で
そういう言葉遣いが確立されていることを示す例は出せる？
0195１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 21:25:25.03不完全性定理はφも￢φも正しいようなφが存在する事を示した。
これは真理の複数性が～～みたいな文章も問題無い事になる。
ぎりぎり自己矛盾はしてないけど、個人的には非専門家が
こんな文章書いてたら頭の中に警報アラーム点灯させながら読むな。流石に。
というか、あまり無茶苦茶な解釈しちゃダメだよって言われてるじゃん
0196１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 21:36:50.82>これは真理の複数性が～～みたいな文章も問題無い事になる。
ヒルベルトの数学的な存在と無矛盾を同一視する立場を援用して
どこかの哲学者がそういう文章を普通に書いてそうだけどね。
0197１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 21:49:07.020198１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 23:27:02.79健全性については「正しい＝否定が証明不可能」と解釈すれば整合的。
だけどだけど両方合わせたら整合的じゃなくなるじゃん！
0199１３２人目の素数さん
2014/11/24(月) 23:40:40.96面白そうだったから買った。
中では鹿島さんの記事が比較的よかったはよかったが、
この分野全体あまりに進展がなさそうなのでビックリした。
単にこの特集記事の集め方の問題か？
0200１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 03:08:42.92「証明は計算できる／項書き換えシステムと定理証明」に期待して買ったら、
続 新しいプログラミング・パラダイム 共立出版 1990/11/25 の
「最大公約数…」と同じ内容でがっかりした。
0201１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 07:30:00.83完全性＝正しい命題は証明可能＝否定が証明不可能な命題は証明可能
とみれば一応整合性はとれるんじゃない？
0202１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 07:39:32.070203１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 07:56:25.92それは正に統語論的完全性だね。
問題は世間の言葉遣いとの整合性。>>194への答え次第だね。
（すべての分野の言葉遣いを知ってるわけじゃないので
俺は「そんな言葉遣いはない」とは言い切れない。）
極端な話出てくる単語の意味を全部変えれば
なんだって自己整合的には出来るわけだから
自己整合性だけではちょっとね。
0205１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 11:49:43.64そういう用語法があってもおかしくはない、とも言えない絶妙なボーダー事例だね。
あ、事例であるかすら怪しいのか。
0206１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 12:06:15.14ずぶずぶに寛容だなｗ
0207１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 12:17:03.92算術的完全性ときちんと名前が付いた言葉遣いがある完全性のときとはかなり違うだろ。
0208１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 13:54:03.31算術的完全性は局所的にか解決しないが
「正しい＝否定が証明不可能」はここ一か所で不自然さにさえ目を瞑れば
万事解決するというのは大きくないか？
0209１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 14:05:55.510210１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 14:15:59.290211１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 14:31:08.26盗作や誤訳のような若干主観的判断が要ることになると途端に
「どっちとも言えないなあ」と口を濁す奴を知っている。
実証的学問をやり過ぎて、普通とか常識とか相場とかの感覚を意図的に殺しているとそうなる。
0212１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 14:47:57.73>普通とか常識とか相場とかの感覚を意図的に殺している
学問板では褒め言葉だよねｗ
0213１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 14:57:25.40学問的な事は真っ当なのに、ちょっとでもそこを外れると滅茶苦茶な事を言い出す人はうじゃうじゃいる。
渕野昌さんはその系統。
0214１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 14:57:55.49その通りだな。
0215１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 15:04:25.780216１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 17:13:11.08決定可能と認識論的に弱いこととはどういう関係があるの？
0217１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 19:47:05.23そうでもない。中庸・common senseは大事。
ただ、誰にも思いつかないような極端で気違い地味たな事を言う人の
妄想というか発想の中からこそ、進歩が生まれるのも事実。
用語の細かい間違いを論う偏執狂にもそれなりの意味はあるんだろう。
たぶん両方が必要なんだと思う。まあ難しいけどね。
0218１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 19:51:56.20決定可能だったら有限個の公理のセットを知っていればそれで良いけど
決定不能だったらそうはいかないでしょ。
「Th(<N, S(・), ＋, ×>)については読者はよく知っていると仮定する」
とか言われても、実際この中にRiemann予想（の自然数論上の同値命題）
とか双子予想とかが入ってるかどうかなんて分からないんだから
ちょっと真面目に考えると途方に暮れるしかない訳で。
まあ原理的には決定可能な命題の中にも、
IMOの実不等式の証明問題になるようなnon-trivialな命題は存在するけどね。
あとこういう話題にはTuring還元の話とかとも関係すると思う。
0219１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 20:02:06.43誤：双子予想
正：双子素数予想
0220１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 20:50:20.75決定可能（統語論的完全）な理論は有限公理化可能なの？
0221１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 21:05:29.420222１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 21:16:45.870223１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 21:34:38.65ね。
相場や普通や常識を忌避している人間の発言の典型でしょ。
0224１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 22:21:26.36あなたの発言にはずっと大いに賛成なのだが、218についてはおかしいとは思わないのだが？
0225１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 22:37:01.840226１３２人目の素数さん
2014/11/25(火) 23:37:24.08http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1416399853/
ID表示制導入投票スレ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1416399853/
0227１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 00:10:33.82よく知っているとする、というのは、常識的なことをそれなりに知っててね、ということでしかない。
「よく考え」ない方が良いことである。
0228１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 00:14:40.80たぶんアンカー間違えてるんじゃなかろうか
217宛てでは？
0229１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 00:21:01.06決定可能って言った場合はもっとeffectiveに決定できるって
ニュアンスがある気がするけど。
まあとにかく、上で決定可能と書いたのは
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/incomp.pdf
この定義10の、decidable set = recursive setかどうか
という意味で使ってるのでそういう風に解釈して下さい。
0230１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 08:35:23.460231１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 10:53:47.17非常識ほど自分が常識あると思ってるもんさ
0232１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 11:41:43.1399君の反論はまだ？
決定可能≠統語論的完全だとしても>>220への回答もまだだよ？
「相場」だの「常識」だのとごまかさないで数学的意味のあることを言ってくれ。
0233１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 11:49:50.720234１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 12:47:06.91雑誌のこの文章おかしくないか、と話題にするのがなぜ人格批判になるのか？
常識とか相場とかを持ち出しているのは私だが、数セミ記事の筆者を叩くレスをした覚えはない。
0235１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 14:18:06.91決定的かつ統語論的完全（再帰的公理化可能なので両者は同値）だけど
有限公理化可能ではないよね。
「有限個の公理のセットを知っていればそれで良い」の意味は
有限公理化可能ではないらしいけど、どういう意味なんだろうね？
0236１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 14:45:30.870237１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 17:14:01.830238１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 17:15:44.100239１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 18:01:53.870240218=229
2014/11/26(水) 18:09:01.7599を書いたのは私ではありません。
>決定可能（統語論的完全）な理論は
229見れば分かるでしょうが、そもそも
決定可能＝統語論的完全という同一視を当然だと思われると困ります。
計算可能性理論の言葉遣いともちょっとズレるわけです。
だから、Godelの不完全性定理の論文について、
「彼が言いたかったのは本当は統語論的完全性なのに、
ロジックが未発達だったから形式的に決定不可能という言い方をしたんだ」、
と見るのはおかしい訳です。数学史的に見ても、不完全性定理の後、
彼はrecursive functionの正しい定義とは何であるかを調べる仕事に移っています。
Hilbertが漠然と信じていたのも、統語論的完全性というより
決定可能性に近いと言った方が正しいでしょう。
Hilbertの第十問題もディオファンタス方程式の決定性の問題ですしね。
0241218=229
2014/11/26(水) 18:09:48.88というのは、きちんと細かい定義は考えていませんでしたが
ZFの公理は外延性、対、和、無限、冪、置換、正則性の7つだ、
とかいう数え方をするときの「7」のことです。実際は置換公理は無限個ありますが、
それにも関わらず我々は置換公理について、
一塊りの公理群として一応ちゃんと理解できる訳です。
算術における数学的帰納法の公理スキームについても同様です。
ただ誤解を呼ぶ書き方なのは確かですね。「有限個の公理のセット」ではなく
「有限種類の公理のセット」或いは「有限個の規則のセットを」くらいに読み替えて下さい。
最悪、φが正しいかどうかを万能Turing machineで判定するときの
動作規則の数と思って読んで下さい。本質的に有限的、という感じです。
>>233
相場がどうとか理由が要らないとかそういう主張は私（218）自身はしていません。
0242１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 18:43:07.290243１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 18:55:35.58一階述語論理上の群論（や環論・体論）の理論は
再帰的公理化可能ですけど統語論的完全ではないですよね。
ということは決定不能ということで良いんでしょうか？
再帰的公理化可能なときに決定的と統語論的完全が
同値になるということはどういう文献に載っているんですか？
純粋に興味があるので御教示いただければ幸いです。
0244235
2014/11/26(水) 22:00:05.28申し訳ない、書き方がかなり悪かったのだけど
「再帰的公理化可能なときに決定的と統語論的完全が同値になる」という意味ではなくて
「標数0の代数閉体の理論の場合はどっちで考えても同じ」くらいの意味です。
どちらも真だから同値くらいの（無意味と言われれば無意味な）意味でした。
0245１３２人目の素数さん
2014/11/26(水) 22:11:17.12再帰的公理化可能だから両者合わせて決定可能性も従うので、
どちらの定義でも同じことだよね、と思って書いたんです。
0246１３２人目の素数さん
2014/11/27(木) 08:20:25.92>「有限種類の公理のセット」或いは「有限個の規則のセットを」くらいに読み替えて下さい。
>最悪、φが正しいかどうかを万能Turing machineで判定するときの
>動作規則の数と思って読んで下さい
最悪以下まで緩めればもちろん正しいけれど
必ずしも有限の公理図式（スキーム）に収められるとは限らないよね？
（ここで公理図式とは「穴」の空いた論理式を考え
この「穴」に任意の論理式を代入したものは公理とすることとする。）
ZFのように有限の図式にできる場合を例に挙げるのは特殊すぎると思う。
0247１３２人目の素数さん
2014/11/27(木) 21:03:50.90とりあえず読めるようリンクを貼っておく。
http://arxiv.org/abs/1408.6474
0248１３２人目の素数さん
2014/11/27(木) 22:26:34.92そっちの方が理解が早そう。
まあ今近くに数セミ売ってないから、
来年四月以降に大学図書館とか訪れた際にでも気が向いたら。
真理は決して逃げていかないからね。
0249１３２人目の素数さん
2014/11/27(木) 22:37:37.33ふちの先生は割と慎重に文章を書く人だと思います。
crazyでoriginalで考え抜かれた意見こそ学問では大事だと思います。
0250241
2014/11/27(木) 23:13:31.58たしかにちょっと特殊ですね。
元々の169の構造はPresburger算術のintended modelなので有限公理化可能ですけどね。
「有限個の公理スキームで公理化可能な理論」は
面倒なのでfinitely-schematically axiomatizable 有限図式的公理化可能とか
図式的公理化可能 schematically axiomatizable とでも呼びましょうか。
調べてみるとDummettのお弟子さんのNeil Tennantという人が
Changes of Mindという本のDef.40でそういう定義をしているみたいですね。
FS公理化可能な理論は「決定可能理論」のなかで、
実際に外延的に特殊例となっているのか（つまり前者は後者の真部分集合なのか）、
或いは見かけ上特殊なだけか、ってのは一つの興味ある問題ですね。
実際に特殊例となっているなら、決定可能だがFS公理化可能でない理論を挙げよ。 （課題１）
2012年九月号のBSLに割と関連が深いかも知れない論文が載ってますね。
http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/1803-toc.htm
Vaught's Theorem on Axiomatizability by a Scheme, by Albert Visser, pages 382 - 402.
Visserって聞いたことあるなあと思ったらやっぱりinterpretability logicの研究者ですね。
あと一階述語論理上の群論【resp. 環論・可換環論・体論・可換体論・標数pの体論 etc.】
の理論は決定可能か、それとも決定不能なのか、というのも面白い問題だと思います。 （課題２）
再帰的公理化可能性と決定可能性から統語論的完全性が従うかどうか、
従わないなら反例は何か、とかも面白い気がします。 （課題３）
有限公理化不可能なZFCの保守拡大であるNBGは有限公理化可能ですが、
同じような現象は一般的に起こるのかどうか。
つまりPeano算術の保守拡大で有限公理化可能な理論はあるのかどうか。 （課題４）
有限公理化不可能で、そのどんな保守拡大を取っても
有限公理化不可能な公理はあるのかどうか？ （課題５）
0251１３２人目の素数さん
2014/11/27(木) 23:16:48.98まさにNBGがそうでした
0252１３２人目の素数さん
2014/11/28(金) 00:00:57.56自分の専門に関しては慎重なんだろうけど、そこから飛び出すと…という話をしている。
0253251
2014/11/28(金) 00:11:34.64NBGはPAの保守拡大でも何でもありませんでした
0254１３２人目の素数さん
2014/11/28(金) 08:23:21.37そうしたらこのスレが参考文献に出る？なんかすごいね。
0255１３２人目の素数さん
2014/11/28(金) 11:54:54.75んなことはない。課題４は ACA_0 で瞬殺。
0256１３２人目の素数さん
2014/11/28(金) 21:13:11.58http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1409217956/
0257１３２人目の素数さん
2014/11/29(土) 13:15:35.37動作規則の数が有限なのだから有限公理化可能な保守拡大ができるんじゃないかと思います。
0258１３２人目の素数さん
2014/11/29(土) 14:49:35.66＞一方、現実の数学の証明は何らかの単純な規則に基づいていると思われるが、
＞形式系として規則を明文化すると実際に使われる以上の推論まで許してしまうことになるのは、事実上避けられない。
これな
よく議論になるのがZFCの置換公理
実際の数学では \Sigma_1 とか \Pi_1 くらいしか使わないのではないかという主張は多い
0259１３２人目の素数さん
2014/11/29(土) 17:18:39.260260１３２人目の素数さん
2014/11/29(土) 17:21:22.52意図しているのは以下のようなこと？
言語L上の理論Tを決定可能とする。
算術の言語とLの両方を disjoint に含む言語L'とその上の理論T'を考える。
T ⊢ A も ￢(T ⊢ A) も \Sigma^0_1 命題だから算術でコードできて
T'がロビンソン算術さえ含めば話題の \Sigma^0_1 完全性より以下が言える。
T ⊢ A ⇒ T' ⊢ "T ⊢ A"
￢(T ⊢ A) ⇒ T' ⊢ ￢"T ⊢ A"
さらにT'が公理図式
(*) "T ⊢ A" ←→ A (A:閉論理式)
を含んでいてかつ無矛盾ならば
T ⊢ A ⇒ T' ⊢ A
￢(T ⊢ A) ⇒ ￢(T' ⊢ A)
がいえるのでT'はTの保存的拡大といえる。
従ってT'はロンビンソン算術（有限の公理）と図式(*)だけでいい。
だけど図式(*)はあくまで一つの図式に過ぎず有限個の公理ではない。
このような図式を使わずに
チューリング機械をコードした話と、Tの中の話を「繋ぐ」ことはできる？
0261１３２人目の素数さん
2014/11/29(土) 18:17:31.510262１３２人目の素数さん
2014/11/29(土) 18:18:32.020263１３２人目の素数さん
2014/11/29(土) 18:18:51.31課題５って理論の決定可能性を仮定しているの？
>>250ではZFCやPAの場合を一般化できるかという話だったのだから
決定可能性は仮定していないんじゃないかな？
もちろん true arithmetic が有限公理化可能な保存拡大を持たないのは自明なので
再帰的公理化可能な理論くらいの仮定はいるだろうけどね。
（「理論」の定義に再帰的公理化可能性を入れる流儀があることは承知している。）
0264１３２人目の素数さん
2014/11/29(土) 20:28:23.12課題１のFSに出てくる「図式」の定義は>>246のでいいの？
だとすると>>235であげられた「標数０の代数閉体の理論」はFS公理化可能ではないのでは？
「標数０」の部分は「穴」にどんな論理式を入れてもいいわけではないので。
>>260
その図式(*)も>>246の意味の図式にはなっていないよね？
"T ⊢ A" とコードの中にAを代入するのは「穴」に代入するのとは別のメカニズムが必要なので。
0265１３２人目の素数さん
2014/11/29(土) 22:40:29.06これらが正しいかどうかは知らない、出題者の>>250に判断して貰いたい。
課題１
実際に外延的に特殊。例：標数０の代数閉体の理論
課題４
ある。例：ACA_0
課題５
ある。例：true arithmetic
課題２と３は未解決。
0266１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 12:37:26.79有限体、標数ｐの体は決定可能
ほかに決定可能な一階の理論は、冪なしの実数体、ユークリッド幾何学、双曲幾何学、ブール代数など
実数とか一階論理は記号を少し付けたり取ったりするだけで決定可能性が変わり複雑
例えば実数RでR^nにある2点から等距離にある点、ある2点の間にある点の3項演算子2つを入れたものはn＝2で決定可能で、
それ以外ではΠ^1_1-hardになり一気に決定不能になる
集合論から決定可能なものを切り出している計算機科学者もいる
0267１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 12:42:27.87標数ｐの体ではなくｐ進体が決定可能
標数ｐの体は実閉体で決定可能がわかっている
0268１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 13:28:34.63意味がわからん
標数ｐの体の理論は決定可能なのか不能なのか？
0269１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 14:49:24.66なぜなら体が決定不能なので、それに0とpを同一視する公理を加えたものも決定不能なる
だたし、実閉体のような決定可能な理論に標数を設定した場合は逐一確かめないとならない
実閉体に関しては標数をｐとしても決定可能性を保てる
また、体に可換性の公理を加えても体が決定不能なのでやはり決定不能
つまり、課題２の解答はすべて決定不能
0270１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 14:53:42.14>>266
どういう文献に記載されていますか？
0271１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 15:02:22.03一般の標数ｐの体は決定不能であるにもかかわらず、
数学的にはF_pは標数ｐの有限体だけど決定可能になる
同様、自然数論は決定不能だけど、冪のない実数論は決定可能になる
それからR^2に、ある2点の間にある点の3項演算子を付け加えたものが
Rから掛け算をとったものに同等になりどちらも決定可能になる。
通常の数学で、群より一般的な数学的対象だからといって
その理論まで決定不能性を引き継いでいるとは限らない
0272１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 15:14:40.67「標数0」の部分で、∀x≠0,
∀x≠0 x + x ≠ 0,
∀x≠0 x + x + x ≠ 0,
∀x≠0 x + x + x + x ≠0,
......... ,
∀x≠0 nx（xをn回足したもの）≠0
を全てのnについて公理とする、ただしnはメタな自然数、
という定義の仕方で、或る意味、純粋にobjectレベルではない
自然数の標準構造の情報が、若干、密輸入されてる感はありますよね。
Neil Tennantの本の当該部を見ると、そこらへんは
substitutionによって得られる"normalな"axiom schemeを指すことにする、
と書いてありますから、彼は>>246式の定義を考えていると思います。
Tenannt式の定義では、schematically axiomatizableでない
decidableな理論が存在する、ということで問題無いと思います。
ただ代数閉体の理論は公理図式によって公理化されていると言ったら間違いかというと、
それはロジシャン各人の用語法によってさまざまだと思います。
或るTuring machineによって生成されるような公理系であれば、
全て図式的に公理化可能と呼ぶことにすれば、これはc.e.ないしsemi-decidableと同じ事ですね。
ここまで拡張的に解釈しても、semi-decidableではあるがdecidableではないような理論は存在しますね。
0273１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 15:22:21.36Mathematical Logic J. Donald Monk
に基本的なリストが掲載されていますが古いものです。
ただし課題２は60年代で解決済です、あとの研究は個別の論文をあたるしかないと思います
リストみたいなものは見たことないです
決定可能集合論は割と新しい
Set Theory for Computing (Monographs in Computer Science)
最近でも自然数論に掛け算の代わりに連分数演算をぶち込んで決定可能にしたり
興味深いことは多い
0274１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 16:50:04.12>なぜなら体が決定不能なので、それに0とpを同一視する公理を加えたものも決定不能なる
よく分からないのだが、この理屈だと
「体が決定不能なので、それに代数的閉の公理を加えたものも決定不能」
といえてしまわないのだろうか？
0275１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 17:54:42.36＞それはロジシャン各人の用語法によってさまざまだと思います。
これに反応して自称相場師が湧きそうなおかん
0276１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 18:17:15.24対偶をとれば決定不能な理論から有限個の公理を除いても決定不能とはいえるよね。
だけど逆は>>274のいう通り成立しないんじゃない？
とすると>>269の以下の記述はどう理解すればいいの？
>なぜなら体が決定不能なので、それに0とpを同一視する公理を加えたものも決定不能なる
>また、体に可換性の公理を加えても体が決定不能なのでやはり決定不能
結論だけでなくて「個別の論文」の情報もあげてくれない？
0277１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 19:29:31.48ありがとうございます
２．４．と１．は解決
５．も超越的で良ければtrue arithmeticで解決
c.e.性ないし決定可能性を仮定した場合は分からない
３．は未
って感じですね
0278１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 20:42:36.44∀x (x^2=e) は Z/4Z で不成立、(Z/2Z)^2 で成立なので、統語論的に完全ではない。
どんな代数構造でも、範疇的にならない有限濃度なら同じ議論ができる。
以上、課題３の略解。
0279１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 20:55:21.600280１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 21:08:34.500281１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 22:25:10.05「体が決定不能なので、それに0とpを同一視する公理を加えたものも決定不能なる」
って p=1 だと明らかに嘘でしょ？
体の理論に「1=0」を加えても無矛盾だけれど、
範疇的な理論でモデルが有限なので決定可能。
もちろん1は素数でないけど
「公理を加えただけだから」は理由にならないってこと。
0282１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 23:50:45.99だから本質的決定不能という用語がある
実際に群は決定不能なのにアーベル群は決定可能になってしまう。
またMが決定可能ならその商体Q(M)は決定不能
逆にMが決定不能ならその商体Q(M)は決定可能という例もある
0283１３２人目の素数さん
2014/11/30(日) 23:54:02.23標数0を考えて通常の代数的閉体の決定可能性を示している。
0284１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 01:26:15.24決定可能な理論が決定不能な理論に格調されるのではないの？
0285１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 01:27:19.450286１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 07:27:01.74そういう言語を拡張するのはまた別
0287１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 08:28:02.09＞逆にMが決定不能ならその商体Q(M)は決定可能という例もある
Mの理論とQ(M)の理論の関係は、公理を加えたり除いたりする関係にあるわけ？
一見関係ありそうで関係ない話を持ち出してきて混乱させるのやめてくれない？
0288１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 10:28:29.98＞だたし、実閉体のような決定可能な理論に標数を設定した場合は逐一確かめないとならない
＞実閉体に関しては標数をｐとしても決定可能性を保てる
>>276の指摘で一文目がナンセンスであることは分かるが
そもそも実閉体は順序体なのだから標数は0以外あり得ない。
「標数をｐとしても」というが標数をpにしたら矛盾するのだから
決定可能性が保たれるには違いないがそもそもナンセンス。
0289１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 14:13:47.390290１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 17:34:15.43>最近でも自然数論に掛け算の代わりに連分数演算をぶち込んで決定可能にしたり
検索のヒント教えてください
0291１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 19:45:19.85OSTROWSKI NUMERATION SYSTEMS
0292１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 20:01:55.06落として読みます。
0293１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 21:03:54.660294１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 21:07:11.22>>265が課題２は未解決といってたこともありGoogleを駆使して
>>266>>267>>269>>271>>273>>282>>283>>291を執筆しました
もちろんモデル理論などまったくわかりません。
ではこれにて失礼
0295１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 21:23:07.61死ね
0296１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 21:27:59.26検索結果と独自研究を分けて書けば喜ばれただろうに
0297１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 21:50:07.990298１３２人目の素数さん
2014/12/01(月) 21:57:10.93どうせ物事の真偽を最終的に判断するのは自分だ。
Monkの本には確かに何か一覧表見たいなものが載ってた気がする。
Monkの本は>>294のレスと違ってちゃんと出典を明らかにしてたはずだし、
かりに載ってなくてもMonkの本は定評のあるGTMの本だから
あれを参照してみることは無駄にはならんだろう。
0299１３２人目の素数さん
2014/12/02(火) 13:02:17.51語の問題
http://en.wikipedia.org/wiki/Word_problem_for_groups
特にリンク先にあるBoone-Rogersの定理と
有限表現可能な群の語の問題は一階の閉論理式で記述可能であることから
群の理論は決定可能ではない。
したがって>>276の二行目により
モノイドの理論、半群の理論も決定不能。
0300１３２人目の素数さん
2014/12/03(水) 14:27:11.87非可算集合の存在を主張するZFに可算モデルがあるというやつ。
モデルの中からとか外からという説明がよく分からんのだが。
0301１３２人目の素数さん
2014/12/03(水) 18:06:07.72それで良さそうだね。他の理論（環とか）は？
>>298
その本見てみたら結果を書いてくれない？
0302１３２人目の素数さん
2014/12/03(水) 19:08:49.47双曲幾何のPoincare円盤モデル（Hyp）はE^2内ではただの円盤C⊆E^2に見えている。
円盤モデルの中での直線は、E^2の図形として見ると、Cに直行する円弧に見える。
つまり
(直線)^(Hyp)
= (Cに直行する円のうちC内の部分の円)^(E^2)
= Cに直行する円のうちC内の部分の円
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/Triangolo_iperbolico.svg
スコーレムの話も同じことだよ。当時既に非ユークリッド幾何なんて
普通に知られていたから、数学者の間で大激論が起こったりとかはしなかった。
スコーレム自身が自分で解決したんじゃなかったかな。
0303１３２人目の素数さん
2014/12/04(木) 12:06:39.01スコーレムのパラドックス自体にまったく触れずに
非ユークリッド幾何と同じと言ってもなｗ
ZFに限らずそもそも形式系は可算と非可算の区別ができないというのが、
このパラドックスを理解するポイントじゃないのか？
0304１３２人目の素数さん
2014/12/04(木) 14:43:26.36俺はSTS君ではないが
http://en.wikipedia.org/wiki/Decidability_%28logic%29#Some_undecidable_theories
The first-order theory of groups, established by Alfred Tarski in 1953.[2]
Remarkably, not only the general theory of groups is undecidable, but also several more specific theories, for example (as established by Mal'cev 1961) the theory of finite groups.
Mal'cev also established that the theory of semigroups and the theory of rings are undecidable.
Robinson established in 1949 that the theory of fields is undecidable.
0305１３２人目の素数さん
2014/12/04(木) 22:34:23.70語の問題といっしょに
0306１３２人目の素数さん
2014/12/04(木) 23:07:14.31>モデルの中からとか外からという説明がよく分からんのだが。
とあったので、それに対するレスのつもり。
あるモデルMでは、Mの中での可算とMの中での非可算の区別は
当然出来る。ただ、xがMの中で可算とは、
Mの中にωとxの間の全単射が含まれること、つまり
「∃f s.t. f:ω → x は函数かつ全単射」がMで成り立つことなので、それはMに依存する。
このなかで∃fの部分が本質的に非有界な操作なので、可算という概念は
絶対的（Mの中と外で解釈が同じこと）にはならない。
0307１３２人目の素数さん
2014/12/04(木) 23:27:58.100308１３２人目の素数さん
2014/12/05(金) 00:38:37.84可算推移モデル（c.t.m.）みたいな感じになってくるので微妙
0309１３２人目の素数さん
2014/12/05(金) 08:02:13.89大体教科書にはそう書いてあってその文章を追うことはできるんだが
よくわかった気がせんのだ。
モデルの中とか外とか言うが、そもそもモデルってどっちから見るものなんだ？
だれが見るんだ？
0310１３２人目の素数さん
2014/12/05(金) 08:05:43.860311１３２人目の素数さん
2014/12/05(金) 21:25:06.21集合論では「モデルの中」という言葉に相当する概念として
relativization相対化とsatisfaction充足という、二つの異なった概念がある。
具体的には、相対化はproper classでも定義できるけど
或るクラスにおけるsatisfactionは、ZFCの論理式としては表現できない。
これはきちんと区別できないと集合論を理解しているとは言い難い。
モデルの中/外というのは、だいたい公理ZFC（±α）（:= X）の下で
ZFC±αの集合論（:= Y）のモデルのことを考えているときのことを言うと思う。
このとき X における話の事をモデルの外、 Y における話の事をモデルの中というと思う。
ただあと中とか外とかいう言葉遣いをしている人は、往々にして
meta/objectとsemantics/syntaxの区別を区別していない。
これもきちんと区別しないといけない概念だと思う。
0312１３２人目の素数さん
2014/12/06(土) 13:16:54.49同じように、再帰的関数論の定理で集合論を必要とするものは知られていますか？
0313１３２人目の素数さん
2014/12/06(土) 13:45:25.19Hardy階層/fast growing階層の上の方(ε_o 以上)の関数の全域性
0314１３２人目の素数さん
2014/12/06(土) 14:23:33.32どうやらグッドスタイン数列の長さもfast growing階層に入ってるんですね
これの全域性がペアノ算術で証明できないのは、言われてみれば当たり前でした…
0315１３２人目の素数さん
2014/12/06(土) 18:15:42.45ただこの定理もGoodsteinの定理も再帰関数論の定理っていうのかな？
再帰的関数の部分クラスの全域性は再帰関数論の定理といえるだろうけど。
0316１３２人目の素数さん
2014/12/08(月) 15:47:44.42誰か知らない？
0317１３２人目の素数さん
2014/12/11(木) 19:53:29.61The Collected Works of Julia Robinson/ Julia Robinson
0318１３２人目の素数さん
2014/12/11(木) 22:34:35.71モデルの濃度が有限になるような理論だったら決定可能なのは当たり前。
それに標数が有限だからと言って体そのものが有限とは限らないよね？
0319１３２人目の素数さん
2014/12/11(木) 23:21:21.68そしたら学習者の手引きってとこにたくさん参考書が載ってるわけよ
皆この教科書何冊も借りて、被ってないとこ読んでるの？
そうやって学習してるの？
0320１３２人目の素数さん
2014/12/12(金) 09:23:47.210321１３２人目の素数さん
2014/12/12(金) 20:45:27.400322317
2014/12/12(金) 20:48:49.970323１３２人目の素数さん
2014/12/17(水) 00:30:19.85横からかつ亀で申し訳ないが、その「外」というところで成り立っている規則が明示されていない、という感覚を持っている。
metaの世界で使っていい論法って何？
0324１３２人目の素数さん
2014/12/17(水) 23:01:38.96逆数学などではいろいろな前提が置かれているようだ。
普遍的な規則など何も仮定しない。
0325311
2014/12/18(木) 00:44:35.30まず、311にも書いたけど「外」＝metaではない。
311に書いた例で言えばX（=ZFC±α）という地の理論の上で
Yのsemanticsやsyntaxを考えているだけ。
従ってYのモデルM_Yの外でどうのこうのとか言った時には
使って良い規則は当然X（=ZFC±α）の公理と普通の推論規則になる。
metaな世界で使って良い論法は、対象理論の論理式などについて
考察するときに必要になる論法だから、弱めの自然数論で足りる場合が多いはず。
場合によっては可算個のモノの集まりなどは使いたくなる場合もあるかもしれない。
Tarskiとかは、メタ論理としては一階古典論理を採用する、と明言していたりするみたい。
それはそれで一つの明晰な立場だとは思う。
ただ最近いろいろ勉強してて思うのが、メタ論理として許容するのは
一階古典論理だとか二値原理だとかいうのは、突き詰めて考えれば、
ただのconvention規約に近いと思う。
0326１３２人目の素数さん
2014/12/18(木) 00:45:26.90相対化というのはある論理式φに対して、そのMへの相対化φ^Mを考える操作の事で、
従って式φの属する理論と同じレベルでは相対化という操作φ |→ φ^M 自体は扱えない。
つまりこれは一種のmetaな操作になる。
一方、「<m, r> |= "φ"」というのは」これ自身が集合m、m上の関係r、
論理式をコードするゲーデル数（または遺伝的有限集合）"φ"という
3つの変数を持つ一つの論理式とみなすことができる。
「<m, r> |= "φ"」もφの複雑さについての帰納法で下から定義することが出来る。
（省略せずに言うと「φはψの部分論理式である」という関係は、自然数"φ"と"ψ"の
関係として整礎的なので、"φ"についての命題は整礎関係に関する帰納法によって
定義することが出来る。）
0327１３２人目の素数さん
2014/12/19(金) 23:29:24.83弱めの自然数論と一階古典論理ってどっちが強いとか弱いとかあるの？
0328１３２人目の素数さん
2014/12/20(土) 04:30:25.05直観主義論理とかの上で展開されるものなんじゃないの
0329１３２人目の素数さん
2014/12/20(土) 12:02:32.20ということは、その議論では、メタ数学は
不完全性定理の主張で出てくる算術で形式化できなければならない。
この場合、ZFC＋αなんて強すぎる。
（ZFCについての不完全性定理を述べるならそれでもいいが。）
0330１３２人目の素数さん
2014/12/20(土) 20:30:19.26という質問になる。
0331１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 00:41:33.67違うよね？
0332１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 11:16:10.101とか2とか+とかが一階古典論理の対象でない以上、成り立つもクソもないでしょう。
0333１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 11:43:20.96成り立ったり成り立たなかったりするものじゃなくて、
ただどこかに在るものなのだと思う。
命題間の帰結関係も、そのなかに関係としてただ在って、
そのpathをたどっていく事で、数学者は新しい認識的価値を持つ命題に辿り着くのだと思う。
その帰結関係の有無を統べる法則が論理的な公理や推論規則。
0334１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 13:00:32.260335１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 13:05:24.44自然数の実在が揺らいでいても驚くにはあたらないかと
0336１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 13:35:35.870337１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 15:46:10.690338１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 16:50:57.600339１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 20:00:00.72圏論はZFに収まらないってのは精確にはどういうことですか？
良く聞くけどいつも良く分からないです。
個人的には、代数学者でロジックに詳しくない人とかの言う事は
あまり鵜呑みに出来ず、自分で判断しないと危ないと思ってます。
0340１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 20:02:34.830341１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 20:18:58.38それに収まらない問題は疑似問題だから無視してよい。
0342１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 20:23:05.27そもそもそれは数学的に定式化できる類の問題ではないので、精確にはどうかと問うても仕方がない。
0344１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 21:29:51.72良く分からんけど、atomとかurelementとかは無いの？
集合論で全てが集合なのは
・それだけで十分済むから
・扱いが簡単だから
この二点であって、別に深遠な哲学的根拠から
対象領域の全ての要素集合だという事になったわけではないよ。
>>342
数学的に定式化できる問題でなければきちんとした意味が無いの？
だとしたらそもそも正しいかどうかも分からないんじゃない？
0345１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 22:04:02.520346１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 22:31:13.460347１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 22:31:57.300348１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 22:39:42.64「全てが集合」で本当に最後まで世界のすべてを形式化できそうなんだし、それでいいじゃないか。
どうしてもできない、となってからオルタナティブなものを考えればいいのさ。
0349１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:01:40.43構成法を忘れてしまいたい代表例だと思うけどなあ
実数をどういう風に構成するかなんて非本質的な情報の
最たるものなのに、それを最後まで残る意義が分からない
0350１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:05:16.47斎藤の
http://www.amazon.co.jp/超積と超準解析―ノンスタンダード・アナリシス-斎藤-正彦/dp/4489003749
とかにも原子のある集合論の紹介があったから、基礎論の専門家でない人は気にするようだよ。
0351１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:08:16.51原 子 力 研 究 開 発 機 構 原発 推 進 国 策 法 人
原 子 力 研 究 開 発 機 構 原発 推 進 国 策 法 人
原 子 力 研 究 開 発 機 構 原発 推 進 国 策 法 人
税金でボーナス２３０万 原発推進 東電天下り集団
税金でボーナス２３０万 原発活用 東電天下り集団
原子力研究開発機構 東電天下り 国税２３００億円じゃびじゃびゅ
原子力研究開発機構 東電天下り 国税２３００億円じゃｂじゃびゅ
0352１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:14:25.75ZF公理系を充足するように一歩一歩拡大していくことによって簡単にできる
んじゃないかと思うのだが、どこで間違ってる？
0353１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:17:21.89JechのAxiom of Choiceとか
HalebisenのCombinatorial Set Theoryとか
BarwiseのAdmissible Sets and Structuresとかでも
atomとかurelementのある集合論が載ってるよ
この人たちは専門家じゃないんだろうね
専門家の350さんには勝てませんなあ
0354１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:18:16.49そういう非構成的集合が一つ取れることの証明は？
0355１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:20:43.81このスレは以前から下手の横好きしかいない
0356１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:26:32.61言ってる発言は頭が悪いから総じて相手にする必要無いと思う
専門家が、素人っぽいと言ってる場合、
細部での詰めの甘さとかを総合して言っている事はあるけど、
それならそれで詰めが甘いとか少しでも具体的に言うべき
0357１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:45:46.50Lに属さない或るものをとってきて、それがLといっしょにZF公理系を充足
させるというだけでいいんじゃないの？それが「取れる」とうことでしょ？
0358１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:54:40.29「全てが圏」で本当に最後まで世界のすべてを形式化できそうなんだし、それでいいじゃないか。
どうしてもできない、となってから集合なんてものを考えればいいのさ。
0359１３２人目の素数さん
2014/12/21(日) 23:56:51.82口喧嘩するにも機転の良し悪しとかユーモアセンスとかが問われるよね
0360１３２人目の素数さん
2014/12/22(月) 00:18:47.90L に含まれない新しい要素 a を付け加えるにしても、
Lとかの要素 x を任意に取って来たとき、
x ∈ a はどういう x に対して成り立ってどういう x に対しては成り立たないかは
決めてやる必要があるでしょ。
これが決まってないのに ZF を満たすも満たさないも無いでしょ。
0361１３２人目の素数さん
2014/12/23(火) 10:30:45.02|u|＞ωのときはDef(u)⊂P(u)だから、P(u)-Def(u)の部分から取ればいんじゃないの？
0362１３２人目の素数さん
2014/12/23(火) 10:45:15.13特殊なuの選び方するのかもしれないけど、具体的にはどう取るの？
というかCON(ZF)のもとで、
「非構成的集合が一つ存在する」
⇒「非構成的集合が一つ存在すると仮定しても矛盾しない」
⇔「ZF+V/=L の無矛盾性」
だからね
0363１３２人目の素数さん
2014/12/23(火) 11:39:58.17>その集合はL-rankがもっと高いだけで定義可能な要素である場合もあるでしょ。
そこだけど、そんなことあり得るかな？ だって「rank」なんだしｗ
もしあったとしても、各rank nについて、Def(L(n))⊂P(V(n))なんだから、
結局、Lに属さない集合がVの中のどこかに取れるはずだね？
なお、下の5行は分かってる。
0364１３２人目の素数さん
2014/12/23(火) 13:00:22.930365１３２人目の素数さん
2014/12/23(火) 15:22:51.64あなたはZF + V = L が矛盾してるって言いたいの？
我々が当面棲んでるモデルではV=Lが成り立ってるかもしれないのだが。
>>363
実例が新Kunenのconstructible universeに演習問題扱いで載ってたはず
今手元に無いから確認不可だが
0366１３２人目の素数さん
2014/12/23(火) 17:34:40.640367１３２人目の素数さん
2014/12/23(火) 18:12:40.970368１３２人目の素数さん
2014/12/23(火) 19:15:12.53>あなたはZF + V = L が矛盾してるって言いたいの？
いや、ZF + V /= L があり得ると言ってるつもり。
もちろん、ZF + V = L もあり得るし。
>実例が新Kunenのconstructible universeに演習問題扱いで載ってたはず
少し探したが見つからなかった
0369１３２人目の素数さん
2014/12/23(火) 19:46:46.52もし「ZF + V = L」であれば存在しないような要素を一つ無造作に持ってきて
それを使って証明しても、何を示した事にもなってないでしょ
大丈夫？
0370１３２人目の素数さん
2014/12/26(金) 13:23:18.36ID:7HLZVdWF階数(rank)と度数(degree)の違いを理解していない人が多いよな
0371１３２人目の素数さん
2014/12/27(土) 00:45:32.36ID:YAF4YSPU0372１３２人目の素数さん
2014/12/28(日) 09:17:04.54ID:p7ggcCxE度数nの集合のなす構造において定義可能な集合の度数がn+1になる。
（有り体に言えば度数nの集合を走る量化を使って定義可能な集合の度数がn+1）
よって自然数の集合（階数ω）たちの中に色々な度数を持つ集合が存在するわけ。
Lの構成は確かに階数も上げて行くが
L-rankというのは分岐型理論のdegreeと考えた方が良い。
0373１３２人目の素数さん
2014/12/28(日) 15:34:00.38ID:3KsUA0jk正規文法（Deterministic Finite Automaton）は統語論的にも意味論的にも完全
文脈自由文法（Push Down Automaton）は統語論的にも意味論的にも完全
文脈規定文法（with Backtrack）は統語論的には完全だが意味論的には不完全
句構造文法（Turing Machine）は統語論的にも意味論的にも不完全
ちなみに計算機屋の直観に過ぎず数学はあまり知らないです
0374１３２人目の素数さん
2014/12/28(日) 15:41:27.11ID:3KsUA0jkType0＝Σ^0_1＝RE⊇Δ^0_1＝R＝RE∩co-RE＝CLH1⊇Type1＝IL⊇CLH2⊇Type2⊇Type3
CLH1、CLH2のマシンスペックを教えてください
0375１３２人目の素数さん
2015/01/03(土) 15:51:59.56ID:2Poiqfi30376TTT
2015/01/04(日) 00:06:58.50ID:LUBGFHcm自分でもなぜそんなことを考えたのか・・・
完全性は形式体系でしか意味を持たない
形式文法の完全性は意味をなさない
他はcomplexitly zooを調べてくれ！
0377１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 00:36:03.56ID:SK2m6pqV文脈自由文法: Push Down Automaton: テープとスタック一本のヘッダ
文脈規定文法: with Backtrack: テープのバックトラックができる
句構造文法: Turing Machine: テープの書き換えができる
0378１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 00:52:16.65ID:LUBGFHcm完全性はまったく違う概念だし証明体系にしか通用しない概念だから
証明体系の決定可能性（＝完全性）と計算論的な決定可能性をはき違えたか？
0379１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 00:53:55.58ID:SK2m6pqVうんうん頷いてる
0380１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 00:55:07.88ID:SK2m6pqV0381１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 01:02:29.32ID:SK2m6pqV意味論的な決定可能性ってじゃあなんですか？ 統語論的不完全、意味論的
不完全以外に第三の不完全性があるということ自体に懐疑的な計算機屋です
0382１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 01:12:55.85ID:LUBGFHcm2つの体系が意味論と統語論の関係にあることは全く違う
0383１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 01:15:11.82ID:SK2m6pqV僕は統語論と意味論以外のものなんて世の中にないと思いますよ
0384１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 02:19:54.34ID:LUBGFHcmそれらはすべて統語論的に完全
さらにすべて完全性をみたす（＝同値な）意味論的体系をもつ
0385１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 05:09:48.62ID:SK2m6pqVチューリングマシンの意味論が完全なのですか？
0386１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 05:11:43.37ID:SK2m6pqV0387１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 10:15:08.32ID:efy1N43Mチューリングマシンは決定可能な体系
万有チューリングマシンになると半決定可能になる。
0388１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 14:06:31.59ID:SK2m6pqVみなさん、意味論と言えば考え得る限りのうちで「最小の」意味論みたいな
ものを想定されてますか？
0389１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 14:48:26.80ID:XxuvqTcGそうでない数学・哲学の人でだいぶ発想が違うと思う
言語学はその中間かな
そもそも良く分からないsyntaxが最初に与えられてて
それに何種類もsemanticsを考えないといけない、という状況があまり無い気がする
0390１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 15:12:33.81ID:NIAo2Zzj集合論やモデル理論だと意味論は色々考えることになる
0391１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 15:21:30.67ID:NIAo2Zzjちがうんだったら意味論とか考える意味がなくなるから
0392１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 15:31:57.58ID:SK2m6pqV0393１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 18:41:28.16ID:7U7+4hw50394１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 20:28:27.27ID:9D6l8J09不完全性定理は形式体系の完全性（＝決定可能性
2階論理の完全性は意味論的完全性
0395１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 20:59:58.34ID:7U7+4hw5あれは完璧構文的問題じゃん。意味なんて全然考えない。
0396１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 21:20:42.52ID:7U7+4hw5「公理」って恒真な論理式の形式だぜ。
0397１３２人目の素数さん
2015/01/04(日) 22:47:21.24ID:9D6l8J09完全性定理の方が意味論的問題で、ゲーデルの不完全性定理の方が構文論的問題だよ。
完全性定理は意味論（モデル）と構文論（一階述語論理の証明体系）の整合性がとれていることを示している。
ゲーデルの第一不完全定理は証明にはモデル側がでてくるが、
実際の決定不能な命題は意味論側とは無関係に存在しているもの。
0398１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 12:16:22.53ID:YmoEB8UAつまり意味論にも構文論にも両方に関わる定理なのに
なぜ「完全性定理は意味論の定理」と言われるのか？
「不完全性定理は構文論の定理」が
意味論に関わらないという意味を含むのなら、
「完全性定理は意味論の定理」は
構文論に関わらないという意味を含むことになってしまう。
「不完全性定理は構文論の定理」と「完全性定理は意味論の定理」は
対にして並べるべきスローガンではないと思う。
0399１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 18:00:19.68ID:Da5cS2lzsemanticsも考えようがないからね
ただ、こういう議論は代数的閉包の存在は
集合論の定理なのか、代数学の定理なのか、
みたいな議論と同じで、あまり意味無いと思う。
どっちでも良いじゃん、というのが結論。
>>394
上で出てきた話だけど
true arithmeticとかは完全だけど決定可能じゃないので
構文論的完全性＝決定可能性とか書くとちょっとアレ
0400１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 19:53:47.82ID:v+EtTKZw曲がりなりにもなんとか読んでるからこうやって書いているんだが。
完全性定理は第一階述語論理の恒真論理式が、公理系から導出可能かどうかという定理で
モデルはその証明に出てくるだけであって、主張には出てこなかったはず。
確信は持てないが、完全性定理が意味論的で、不完全性定理が構文的というのは逆じゃないか。
不完全性定理の原題って「PMやその関連体系での形式的に決定不可能な命題について」だぜ
決定可能性って、論理式の表現が恒真であるかどうかを確認できるかどうかって性質でそれは意味論側。
>>399
構文的完全性＝決定可能性は、第一階述語論理にしか言えない。ゲーデルの完全性定理から。
0401１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 20:45:57.02ID:Da5cS2lztrue arithmetic（TA）って一階述語論理の理論なんだけど。
0402１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 20:50:28.85ID:v+EtTKZw0403401
2015/01/05(月) 20:52:14.06ID:Da5cS2lz恒真の定義は知ってる？
構造とかモデルの概念が出て来るじゃん
>決定可能性って、論理式の表現が恒真であるかどうかを確認できるかどうかって性質
これもちょっと変で、単にφが正しいのかnot φが正しいのかを
実効的に確かめるためのアルゴリズムがあるかどうか、という問題だよ。
つまり計算可能性の問題。syntaxかsemanticsかという問はあまり意味が無い。
上野動物園のパンダは中国人なのか日本人なのか、とか恰もそういう感じ。
0404１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 20:52:53.67ID:2aPTrt7j構文論的と意味論的な完全性ってのは
完全性定理と不完全性定理を見分けるためとどこかで読んだ
あとゲーデルの原論文では意味論と構文論はわかれていない
そのかわり無限階述語論理（型論理？）みたいなのを使っていたと思う
0405１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 20:54:02.14ID:mAek2SMM>semanticsも考えようがないからね
正にそこだよ。そもそも syntax というのは
何が well formed formula なのかを決める、つまり言語を定めるもの。
言語学でもプログラム言語の理論でもそういう使い方をされる
（以下「狭義の構文論」と呼ぶ）。
公理とか証明可能性とか（便宜上、以下「証明可能性論」と呼ぶ）
までを構文論 syntax に入れてしまうのは論理学界隈だけの変な習慣だと思う。
プログラミング言語の公理的意味論との類似が強い。
意味論に必須なのは狭義の構文論だけであって証明可能性論は必要ない。
坪井先生などモデル理論の人の書いたのを見るとそういう立場で書かれている。
狭義の構文論の上に（それぞれ独立に）構築される
モデル（意味）論と証明可能性論の関係を述べるのが完全性定理。
一方、不完全性定理は証明可能性論の定理なので
広義の構文論（狭義の構文論＋証明可能性論）だけで記述できる。
この意味でも、構文論と意味論の対立で説明するのは不適切だと思う。
0406１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 21:05:12.85ID:v+EtTKZw一体何がすごいの（すごかったの）ということが知りたいのです。
0407１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 21:25:16.30ID:v+EtTKZw素朴な疑問なんですが、不完全性定理の証明に出てくる述語 Bew って
単項述語をとる述語で二階述語です。だから
∃r . Bew(r)
が恒真だけど決定不可能、
つまり恒真ということを公理系から確認するためのアルゴリズムが原理的にない
ってことですよね。
というわけで、恒真論理式≠決定可能な論理式
で公理系が完全ではない
全然関係ないですが公理系が完全ってヒルベルト空間の基底が完全系を成すというのが元だと思う。
0408１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 21:32:23.65ID:Da5cS2lz仕方無いんじゃないの
>>404
もっときちんと勉強しよう
syntax（統語論/構文論）とsemantics（意味論）は、
別に完全性定理と不完全性定理を区別する為に考え出されたものではない。
もし何かの本にそう書いていたのなら、その著者
（か、それを紹介している404）が適当な理解しているだけ。
ゲーデルの論文で使われてるのは型の理論という
syntacticalなシステム。
前原昭二の数学基礎論入門は原論文のまま、これでやっている。
0409１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 21:39:57.27ID:Da5cS2lzその、任意の個体領域で～～みたいな概念は意味論的概念なんだけどね。
>不完全性定理の証明に出てくる述語 Bew って単項述語をとる述語で二階述語
単項述語を取る述語じゃなくて、単項述語（を表す文字列）のゲーデル数を取ってるから
自然数を引数に取る一階の述語でしょ。
だからこそ一種の自己言及が可能になって不完全性定理が証明できる。
二階の述語というのは、一階の述語そのものを引数に取る述語で、これらは全然違う。
ゲーデル数化というのは、やはり当時にあっては革命的なアイディアで、
このアイディアが計算機の理論や技術の発展に根本的に効いているのでそれをスルーするのはおかしい。
「LISPやってる奴からすれば不完全性定理とか当然じゃん。ヒルベルトとかゲーデル馬鹿じゃね？」
とかそういう意見をたまに目にするけど、とんでもない。
0410１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 21:46:45.91ID:v+EtTKZw>単項述語を取る述語じゃなくて、単項述語（を表す文字列）のゲーデル数を取ってるから
>自然数を引数に取る一階の述語でしょ。
そうなんだよ！そこがわけわからんのだよ。最初は単項述語とる述語とされているんだけど、
ゲーデル数を代わりにとると途中でなるから一階なのか二階なのかわからないんだよ。
それに、ゲーデル数のアイディアってレーヴェン＝ハイムスコーレムの定理である程度使われてない？
LISPでもリフレクション計算知らないと当然とまでは言えないし、一体なんなのかわからない。
0411１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 21:47:32.66ID:v+EtTKZw0412１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 21:53:13.20ID:Da5cS2lzそもそも自己言及を許さないようにするために
RusselとWhiteheadのPrincipia Mathematicaで導入されたものなんですよ。
この本で展開されているのが（分岐）型理論 ramified type theoryというもの。
低階の述語は高階の述語を参照できないというのが悪循環原理 vicious-circle principleというもので、
これはPoincareとかの非可述性（unpredicativity）批判が元になっています。
啓蒙書では数学を本当に勉強することは出来ないとか言うけど、
こういう史的事項に限って言えば、ロジックの教科書にはほとんど書いてなくて
一般向けの啓蒙書の方が寧ろ詳しい。岩波新書（赤）の三浦のラッセルの本とかも。
こういう非数学的なことも重要であれば割と良く書いている点で
菊池誠先生の不完全性定理の本は良い本です。
タイプ理論の起源と発展 ← こういうのを読むと勉強になると思う。
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/151121/1/ronso38_S49_type.pdf
0413１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 21:57:59.81ID:v+EtTKZwhttp://www.amazon.co.jp/dp/B000JAQISY
というよりもこの本が発端だ。
なぜ誰にも読めないと言われたPMの型理論が知られているかというとこの本が解説したからだ。
0414412
2015/01/05(月) 22:06:30.70ID:Da5cS2lz言われる理由がちょっと分かった気がする。
普通、ブルバキズム以降の数学の専門書では
或る概念を考える意義とか意味合いについてはｇｄｇｄ語らずに
使ってりゃ慣れるし自ずと分かる、という立場が貫かれている。
ところが数理論理含めて論理学では、その概念導入の
契機となった歴史的出来事とか論争とかを知らないと
何のために概念を導入するかが全く理解できないからだ。
なんで俺みたいな数学科出てない人間が、数学科のほとんどの人間より
良く不完全性定理のことを分かっているんだろうと思ってたけど、なんか納得。
数学科の人はたいてい数学史的理解を（相対的に）軽視するからなんだと思う。
>>413
そのHilbert-Ackermannの本の原書は
Grundzuge der theoretischen Logikっていって1928年の本。
そこに挙がってた課題を解決して研究者としてのキャリアをスタートさせたのがゲーデル。
歴史上の聖遺物みたいなものだね。史的事項が解説されている本というか、正に史的な本。
岡潔にとってのBehnke-Thullenとかと一緒。
0415１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 22:09:36.75ID:Da5cS2lzunpredicativityじゃなくてimpredicativityだ
俺アホや
0416１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 22:44:13.91ID:v+EtTKZw>そこに挙がってた課題を解決して研究者としてのキャリアをスタートさせたのがゲーデル。
そうだ完全性定理はまさしくそうだし（狭義の述語論理の完全性）、
不完全性定理もそうだ（広義の述語論理の完全性）。
ここに書き込むのはちょっとしたチャレンジだったが朝日が見えてきたような？
0417１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 22:47:37.99ID:dUrn9Oqx自然数がペアノの公理系のモデルになってる？とか、完全性定理の証明に集合論の仮定が出てくるとか
訳のわからないものはだいたいモデルってやつが登場してくる。
0418１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 22:49:50.59ID:v+EtTKZw0419１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 22:59:32.31ID:dUrn9Oqxいやさすがにそれはない・・・
モデルの話の中に完全性定理が出てくる。
それくらいはオレでもわかる。
0420１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 23:07:56.24ID:v+EtTKZw0421１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 23:21:17.54ID:FFE/5qyf(2)∀x∀y(x=y⇒y=x)
(3)∀x∀y∀z(x=y∧y=z⇒x=z)
例えば、(1)が(2)と(3)から導かれないことは
１点集合{a}において=を常にa=aが偽である
ようにモデルを作ると、このモデル上では
(2)と(3)は成り立つのに(1)は成り立たない
ということから証明できる
(2)が(1)と(3)から導かれないことや
(3)が(1)と(2)から導かれないことも
そういうモデルを作ることで証明できる
したがって(1)(2)(3)は互いに独立であることが示される
0422１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 23:53:39.94ID:YmoEB8UA>syntaxとsemanticsの区別自体が数理論理発の考え方だから
何言っているんだ？ syntax と semantics の区別は言語学で古くからある
文法用語として ordinal と cardinal の区別があったのと同じで
そうでなければもっと人工的な言葉になるでしょ
（和製漢語の「構文論」「意味論」はいかにもな造語だけど）
プログラム言語の理論での syntax の用法は
数理論理経由ではなくて、言語学から直接入ったように見えるけど、
実際の歴史はどうなんだろね
>>405の「証明可能性論」を syntax と言ってしまう慣習は
「意味論的概念を使わない」という否定的な意味以上のものはないと思う
これを syntax と呼ぶ積極的な理由が見当たらない
0423１３２人目の素数さん
2015/01/05(月) 23:58:56.08ID:v+EtTKZw恒真性とつながりがわかってきました。きちんと勉強します。
なにはともあれ、不完全性定理＝第二階述語論理の公理系の不完全性
といってもトンデモ扱いにされないということがわかりました。
なんでもかんでもトンデモ扱いしてるとどんどん業界が狭くなっていくと思うので
安全な言明というのを確保していかんと一般向けのアピールもなんもないです。
森田某さんとかも結構そういう意味で頑張っとると思うんですが、
あんまウケよくないっすよね。俺は結構応援してますよ。
0424１３２人目の素数さん
2015/01/06(火) 00:01:11.68ID:nVabzE2iと思う
0425１３２人目の素数さん
2015/01/06(火) 02:00:56.25ID:gMX3PmPD論理式だけじゃなくてその有限列の証明とか、
式からつくられたsequentとかは全部syntacticalな対象だと見做しても
別におかしくないと思うけどなあ。
ただ、semanticsのために必要なsyntaxはごくごくわずかに過ぎない、
というのは事実だし大事なことだけどね。
0426１３２人目の素数さん
2015/01/06(火) 08:36:39.20ID:IVGa2w31その大事な事実を見落とすような言葉遣いが定着してしまっているのは残念だよね
君なら「semantics の為に必要な syntax」とそれ以外の「証明可能性論」を
どういう言葉で区別すればいいと思う？
0427１３２人目の素数さん
2015/01/06(火) 09:29:51.04ID:p/NeFy4Q文法的な論理式を定めた後に「証明可能」「証明不可能」という区別を導入するんだから
「証明可能性論」はむしろ意味論の範疇に入るのではないか？
プログラミング言語の公理的意味論が「意味論」と呼ばれるのもこういう考え方からだろう。
「意味論的概念を使わない」という否定的な意味、すら怪しい。
>>424
同意。
証明不可能であることをシンタックスエラーとは言わない。
文法的でないという意味でしか使わない。
0428１３２人目の素数さん
2015/01/07(水) 02:10:56.42ID:5a1IlPin> 何言っているんだ？ syntax と semantics の区別は言語学で古くからある
・・・
> （和製漢語の「構文論」「意味論」はいかにもな造語だけど）
本来の（つまり自然言語を研究対象とする）言語学では"syntax"の訳語は「構文論」ではなく「統語論」を用いるほうが圧倒的に多い。
"syntax"に対して「構文論」という訳語を常用するのは計算機科学屋や数理論理学屋だね。
論理学でも（「論理学」と言えば数理論理学を指すようになる以前の哲学での論理学を指していた時代の）古い文献などでは
「統語論」という訳語を用いているのを散見するので、
ひょっとしたら「構文論」という訳語は計算機科学（言語理論かプログラミング言語論）屋が造語したのか又は（昔、誰かが創案したものの
流行らずに忘れ去られていたのを）リバイバルさせたのかも知れないね。
0429１３２人目の素数さん
2015/01/07(水) 12:22:33.83ID:b726ceUB「完全性定理は、syntaxとsemanticsを結び付ける」と言われても
意義がどうもいまいちはっきりしないね。
やはり、狭義の統語論の土台の上にそれぞれ独立に定義される
「意味論」と「証明可能論・推論論？」を結び付ける、
と言って初めて完全性の意義が浮かび上がる。
積分を微分の逆演算と定義したのでは
微積分の基本定理の意味がしっくりこないのと同じ。
論理の完全性に対応するプログラム意味論の定理は
公理的意味論の完全性だけど、
こちらは「公理的意味論と表示的意味論を結び付ける」と言えるので
そういう問題は起きない。
0430１３２人目の素数さん
2015/01/07(水) 19:46:38.82ID:8GATPbPi公理的意味論と表示的意味論を結びつける！そういうことか。
あと、やや軸がずれるけれど、そういう論理学とプログラミング言語と
融合させる話ってもっと外に出していくべきだ。よく言われるけれど、
これからは分野の融合が重要だってそのとおりだと思う。
だから個々の分野の要点というのはなるべく出していくべきだ、と思う。
0431１３２人目の素数さん
2015/01/07(水) 20:21:47.91ID:h7rIxKjm0432１３２人目の素数さん
2015/01/07(水) 21:11:15.66ID:b726ceUBその動作こそが意味である、というのが操作的意味論。
しかし論理式は何かに「動作を命令するもの」ではないので
操作的意味論に相当するものがあるようには思えない。
ちなみに言語学にも統語論と意味論の他に音韻論や語用論などもあるが、
それらすべての対応物がプログラム言語論や数理論理になければいけないものではない。
たとえば音韻論の対応物を考えることはできるだろうが、意味があるとは思えない。
0433１３２人目の素数さん
2015/01/07(水) 21:37:20.52ID:rH0YItp9>文法的な論理式を定めた後に「証明可能」「証明不可能」という区別を導入するんだから
>「証明可能性論」はむしろ意味論の範疇に入るのではないか？
そういう側面を強調したのが、最近哲学方面で流行っている「証明論的意味論」なんじゃないの？
科学哲学会でシンポジウムもあったみたい↓
http://pssj.info/program/program_data/46/ws/46ws.html
オーガナイザの矢田部さんって
「不完全性定理は統語論の定理」って熱心に布教しているっぽいけど
このスレの議論を見たらなんて言うんだろうね。
「不完全性定理は統語論の定理」というときの「統語論」は狭義の統語論ではあり得ないので
「証明論的意味論」の「証明論」と同じ意味だと思うけど、
そうすると「統語論的意味論」なんていう言い方も許すんだろうか？
0434１３２人目の素数さん
2015/01/07(水) 21:52:16.71ID:8GATPbPi>それらすべての対応物がプログラム言語論や数理論理になければいけないものではない。
そこは確かにすごい重要だな。何でもかんでも別分野で意味付けようとするのはまぎれもないトンデモで
話を聞いてもらえなくなる。あくまで現実の問題解決するという見通しつけられるものでないとだめだろう。
0435１３２人目の素数さん
2015/01/07(水) 23:33:30.78ID:qhwNSNwDp.74でtermの定義が，
「The set of terms is the set of expressions that can be built up from the constant symbols and variables by applying (zero or more times) the Ff operations.」
となっていますが，「the constant symbols and variables」の「and」は「or」の方が正しくないでしょうか．
ちなみにFf operationは
Ff(ε1, ..., εn) = fε1, ..., εn
となっています．
0436１３２人目の素数さん
2015/01/08(木) 02:47:23.35ID:y5eA49ZV英語学者に聞いた方がいいぞ
Endertonがどういう文脈でtheを使っているかわからないけど
the [constant symbols and variables]
という風にtermのurelement(原要素)を一つの集合として考えていればand。
質問者は多分
[the constant symbols] and [variables]
と解釈して両方共という意味にとっているのかもしれない。
その場合はorだけど[the constant symbols]だとどの論理体系でも
決まった定項があるみたいに聞こえる。
0437１３２人目の素数さん
2015/01/08(木) 09:04:27.54ID:M7HxBMcvそれどころか意味論の一種（証明論的意味論）だと言う話まで出てきたら
完全性定理で結びつけられるもう一方を単に「意味論」とは呼べなくなるけれど、なんて呼べばいいの？
モデル論？
プログラムの「公理的意味論と表示的意味論を繋ぐ」に対応して
論理学では「証明論的意味論とモデル論的意味論を繋ぐ」と言うことになるのかな？
0438１３２人目の素数さん
2015/01/08(木) 09:31:04.29ID:tgqwNFEP数学者がモテないのは数学が解決する学問だからだよ
0439１３２人目の素数さん
2015/01/08(木) 12:14:08.82ID:tHk20E2N>論理学では「証明論的意味論とモデル論的意味論を繋ぐ」と言うことになるのかな？
単に「証明論とモデル論を繋ぐ」でもいいと思うけどね。
でも二つの意味論を繋ぐという意味で「意味論的完全性」という名前がしっくりくることになるかもね。
一方の「統語論的完全性」っていう名称は不適切ってことだね。
「証明論的完全性」と言うか、まったく別の観点の名称である「否定完全性」というべきなのかな。
ちょっと前に話題になった第3の完全性こと「算術的完全性」も
「証明論的意味論とモデル論的意味論を繋ぐ」と言えてしまうので
「意味論的完全性」の一種ということになってしまうけど。
0440１３２人目の素数さん
2015/01/08(木) 19:16:40.04ID:0x+k9WnTそれはモデル理論でも同じなので、
単に証明可能性と恒真性の関係を示すもの、ということで良いと思うけどね。
証明可能性はあくまで統語論的に定義される概念で、
恒真性は意味論的に定義される。それだけの話なのに
証明可能性＝統語論とか恒真性＝意味論みたいな話をするからおかしくなる。
0441１３２人目の素数さん
2015/01/08(木) 19:58:27.48ID:tgqwNFEP0442１３２人目の素数さん
2015/01/08(木) 19:59:47.41ID:tgqwNFEP娘の戸籍も作れる
0443１３２人目の素数さん
2015/01/08(木) 20:01:27.53ID:tgqwNFEP0444１３２人目の素数さん
2015/01/09(金) 07:10:42.80ID:2T7+xeaQ「証明論的完全性」は証明論ではまず使われずモデル論でよく使われるわけだが。
ゲーデルの完全性定理によりモデル論的帰結で定義しても同値な概念だよね。
証明論だけで定義できるから「証明論的完全性」というのなら
モデル論だけでも定義できるのだから「モデル論的完全性」でもいいことになるよ。
後者の方が使用実態に即しているよね。
>>440
その「統語論的に」と「意味論的に」の意味が、数理論理学以外の
本来の言語学やプログラミングでの意味と違うというのが趣旨だったと思うが、
そこを「それだけの話」で済ませたら
（変だと言われている論理学での使い方に固執していると理解できるけど）
議論はかみ合わないよ。
0445１３２人目の素数さん
2015/01/09(金) 09:55:14.72ID:rgy9E6lYなるほど，納得できました．
と思ったら同じページに，
「The terms are defined to be those expressions that can be built up
from the constant symbols and the variables by prefixing
the function symbols.」
とも書いてありました．
謎ですね．
確かに，英語学者に聞いた方がいいかもしれませんね．
0446１３２人目の素数さん
2015/01/11(日) 09:38:58.67ID:2FjdQ/JV(A)「形式的基準で」 (B)「文法的であるかどうかを決める」
という意味合いだと思う。
この用語を論理学に流用する際に、
前半(A)を重視するか後半(B)を重視するかで食い違うということでしょ。
前半を重視すれば証明可能性は「統語論」だということになる。
ただ言語学で
形式的基準で文法以外のことを定めても（(A)かつ￢(B)）「統語論」と呼ぶか
というと呼ばないと思うんだ。
たとえば形式的基準で意味を決めても「統語論」と呼ばれることはないと思う。
「形式的」＝「統語論的」というとらえ方はまずいと思う。
0447１３２人目の素数さん
2015/01/12(月) 20:55:45.34ID:SOHvXY20現状のsyntax/semanticsの使い方で
充分意義がある概念的区別を出来ていると思う。
ただ言語学での使い方に合わせることによるメリットがあるようには感じないけどな。
デメリットはあるけど。
プログラミング言語での使い方と合わせろというのはさらに無茶。
圏論のモナドという概念がHaskellのモナドと違うからHaskellに合わせろというような感じ。
ライブニッツの単子論からズレてるとか、categoryがアリストテレスのカテゴリー論と
似ても似つかないと言われるなら理解は出来るが。
0448１３２人目の素数さん
2015/01/13(火) 13:03:19.30ID:iZygaNY+（semanticsが依存する部分と独立の部分の区別が見えなくなる）
だったと思うが。
「形式的」は「形式的」と言えばいいのであって
わざわざ他所から言葉を借りてきて「統語論的」なんていう
メリットこそないと思うけどな。
0449１３２人目の素数さん
2015/01/13(火) 20:57:38.33ID:aolX718/2ch.netユーザには見られないのでコピペしとくわ。
446 ：１３２人目の素数さん：2015/01/10(土) 13:15:03.12 ID:lW602vQxX
>>440
>単に証明可能性と恒真性の関係を示すもの、ということで良いと思うけどね。
それはつまり
「論理的公理からの証明可能性」と「任意の一階構造での充足性」が同値
といういわゆる弱完全性だけだよね？
「非論理的公理からの証明可能性」と「非論理的公理の任意のモデルでの充足性」が同値
（>>444風に表現すると「証明論的帰結とモデル論的帰結が同値」）
といういわゆる強完全性をそう表現するのは変だと思うけど。
後者を「恒真」とは言わないと思うし。
もしゲーデルの完全性定理を弱完全性の形でしか知らないのなら
（そこまで馬鹿にするなと怒られそうだけど）
非論理的公理が無限の場合を考えると、
強完全性は弱完全性より真に強いことが分かるよ。
ゲーデルのオリジナルがどちらの形なのかは知らないけれど
現代では強完全性まで含めてゲーデルの完全性定理と呼ばれる。
0450１３２人目の素数さん
2015/01/14(水) 00:15:06.62ID:S3hph08g弱完全性しか知らないで、メリットだのデメリットだのと語られてもな。
0451１３２人目の素数さん
2015/01/14(水) 13:14:29.75ID:IKcOKAb8言葉の問題をいうのならその直前の2行で指摘している問題も大事だと思う。
逆数学や算術はモデル論的な議論ばかりしていても証明論に分類されたり、
集合論と呼ばれる理論でも構成的だと集合論ではなく証明論で扱われる。
使われる手法、研究対象としての理論、研究分野の名称が
どれも「○○論」で表示されるのでこんなメチャクチャなことになる。
0452１３２人目の素数さん
2015/01/14(水) 16:53:58.11ID:0duPZJWs0453１３２人目の素数さん
2015/01/14(水) 23:04:46.14ID:Yulpb0t7Σ |= φを「Σのモデルでφは恒真」とかそういう言い方するんじゃないの？
私が大昔に勉強した教科書では確かそんな書き方してた記憶がある。
毎回Σ |= φという単純な式を「φはΣの任意のモデルにおいて充足可能」と読むより、
Sigma models phi、「Σのモデルではφが恒に真」とか
「Σにおいてφは恒真」とでも読むほうが数学的には自然だと思う。
言葉遣いが違っても数学的には言ってる事はどれも同じ。
逆に弱完全とか強完全とかそういう使い分けを強調してる教科書とか見たことない。
区別することで何が嬉しいのか分からない。
数理論理の教科書は結構持ってる方だが
"弱完全"の場合のみ証明した教科書とか見た事無いよ。
二階算術で完全性定理それ自体の命題の強さを
評価したい場合とかのレアケースに限られるんじゃないかな？
0454１３２人目の素数さん
2015/01/14(水) 23:08:21.35ID:Yulpb0t7逆数学とか自然数の超準モデルの理論を
証明論に分類するのって、単に岩波数学辞典が全くの便宜上
そういう項目に載せてるしてるだけじゃないの？
非可換幾何は代数なのか幾何なのか解析なのかという疑問と同じくらいナンセンスだと思う
0455１３２人目の素数さん
2015/01/15(木) 00:36:20.12ID:d6Mp3790という一文からして理解できんわｗ
0456訂正
2015/01/15(木) 01:06:44.81ID:WWMDbcZ1という一文からして理解できんわｗ
0457１３２人目の素数さん
2015/01/15(木) 08:29:02.43ID:g9urN3sS>Σ |= φを「Σのモデルでφは恒真」とかそういう言い方するんじゃないの？
うーん、「恒等式」と「方程式」の区別でもそうだけど
条件があるときに「恒」真というのは違和感あるなあ。
英語のtautologyなら尚更違和感。
でもそんな言い方してる文献が絶対ないとは言えないので
そういう文献があるならあげてもらえる？
0458１３２人目の素数さん
2015/01/15(木) 21:02:57.36ID:nCPcORXw「ゲーデルの完全性定理」は弱い形で述べてから
その拡張として強完全性を提示している入門者向け文献が
幾つか見つかるんだが。
（だからゲーデルのオリジナルは弱完全性らしい。）
非古典論理に重点をおいた入門書だと
非古典論理の中には弱完全だが強完全でないものがあると注意があって
きちんと２つの完全性の違いを説明しているものも出て来る。
>逆に弱完全とか強完全とかそういう使い分けを強調してる教科書とか見たことない。
>区別することで何が嬉しいのか分からない。
何を知っていてこういうことを言っているんだか。
0459１３２人目の素数さん
2015/01/15(木) 21:22:39.41ID:PFm0qJPg>非古典論理に重点をおいた入門書だと
そういう本ではそうかもね
>>457
いろいろ段ボールひっくり返して蔵書調べてみたら
440の用語法は一般的じゃないみたいだ
スマソ
0460１３２人目の素数さん
2015/01/15(木) 22:18:25.63ID:d6Mp3790A．公理系の完全性
1．（強い完全性）形式論理体系で、その公理系から導出（証明）可能で無い式を一つでも公理系に付け加えると常に矛盾するという性質
2．（弱い完全性）形式論理体系で、普遍妥当な表現がその公理系から必ず導出（証明）できる性質
B．形式論理体系で表現可能な任意の文の肯定または否定が証明できる性質
これを見るとA-1の強い完全性ってのはB．の完全性と同じことを言っているように思えるんだが・・・
0461１３２人目の素数さん
2015/01/15(木) 23:09:38.12ID:PFm0qJPg0462１３２人目の素数さん
2015/01/15(木) 23:14:42.59ID:d6Mp3790そうなの？その議論してるのは見たけど。
A-1では「式」って言っていてBでは「文」って言ってるのは気にするところじゃない？
0463１３２人目の素数さん
2015/01/16(金) 01:34:20.72ID:Yrx2VTi0お世話になります。
私、責任者の加茂と申します。以後、宜しくお願い致します。
http://www.apamanshop.com/membersite/27009206/images/kamo.jpg
浪速建設様の見解と致しましては、メールによる対応に関しましては
受付しないということで、当初より返信を行っていないようで、今後につい
てもメールや書面での対応は致しかねるというお答えでした。
http://www.o-naniwa.com/index.html 事務員 東条 南野
http://www.o-naniwa.com/company/
このように現在まで６通のメールを送られたとのことですが、結果一度も
返信がないとう状況になっています。
http://www.apamanshop-hd.co.jp/ 加茂 舟橋
http://s-at-e.net/scurl/nibn-apaman.html
私どものほうでも現在までのメール履歴は随時削除を致しております
ので実際に１１通のメールを頂戴しているか不明なところであります。
・ハンガー・ゲーム http://s-at-e.net/scurl/TheHungerGames-Aircraft.html
・スタートレック http://s-at-e.net/scurl/StarTrek-Aircraft.html
・アバター http://s-at-e.net/scurl/Avatar-Shuttle.html
・アバター http://s-at-e.net/scurl/Avatar-Dragon.html
・トランスフォーマー http://s-at-e.net/scurl/Transformers-Flyingboat.html
・Star Citizen http://s-at-e.net/scurl/StarCitizen-Starfarer.html
・Ｔ http://s-at-e.net/scurl/ia-T.html
・Ｚle http://s-at-e.net/scurl/ia-Zle.html
大阪府八尾市上之島町南 ４-１１ クリスタル通り２番館203
に入居の引きこもりニートから長期にわたる執拗な嫌がらせを受けています。
この入居者かその家族、親類などについてご存知の方はお知らせ下さい。
[email protected]
0464１３２人目の素数さん
2015/01/16(金) 21:00:21.75ID:RAonCivi導出とか帰結関係を記述する際に表れる論理式は
全称閉包(universal closure)を取ったものを考える
という規約をするのが普通だと思うので
（従って A(x) |- B(x) は |- ∀xA(x)→∀xB(x) と同値で
|- ∀x(A(x)→B(x)) とは異なることに注意！）
どっちでも一緒じゃないかな？
そのウィキペディアの記事はおかしいので
リンクのある英語の記事を見た方が良いと思うよ。
0465１３２人目の素数さん
2015/01/16(金) 21:09:59.56ID:J8wx2yFqこれは一体なんなのだ
0466１３２人目の素数さん
2015/01/16(金) 22:55:16.42ID:SnZ3Imkw通りすがりの者ですが
どれくらい関連書籍もっていますか？段ボールに入れるくらいあるみたいですが
あと書籍以外で使用しているものはありますか？
あと基礎論の専門家、あるいはそうでなければその知識に到達するまでどれほどかかりましたか？
0467１３２人目の素数さん
2015/01/16(金) 23:36:21.63ID:J8wx2yFq自然数→記号→文法→論理→自然数→・・・
という奇妙な循環関係
0468１３２人目の素数さん
2015/01/17(土) 01:08:46.91ID:na572W3gああごめん調べとくわ。
0469１３２人目の素数さん
2015/01/17(土) 01:23:13.87ID:NtzUtAyh素直に負けを認めない奴だな
0470１３２人目の素数さん
2015/01/17(土) 21:58:18.81ID:na572W3gわからないことがあったら本で調べましょう、って指導しても
その人にとって調べようもない概念なんてネットで調べちゃうんだから。
変なウェブページみてものすごい誤解した人とか本人もまわりも損するだけ
なんだからそんな状況放置しておいたらいかんだろ。
0471１３２人目の素数さん
2015/01/17(土) 23:04:49.82ID:9dYt4N97変なウェブページは数限りなくあると思うけど、Wikipediaは間違ってると思うんだったらどこがどうダメなのか具体的に指摘しろよ。
0472１３２人目の素数さん
2015/01/17(土) 23:05:41.81ID:nd86gAgh0473１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 00:25:41.74ID:2C7shQrq単純にそういう用語法は一般的では無い、というだけかと。
wikipediaのその部分は、ヒルベルト・アッケルマンだけを頼りに
いろんな記事に「斬新」な事を書いてる人がいるだけ。
三版と六版を持ってて両方参考文献にしてるあたりはちょっとすごい。
本人は、参考文献の挙げ方が偏っているとは思ってないんだろうな。
0474１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 00:29:52.55ID:AYxqtUDq「実際に理論を定義するとき、個々の述語記号の変数の数は具体的に決めます。
また個々の関数記号の変数の数も具体的に決めます。これには自然数論は要りません。」
とあるけど、それで済んでるか？ 自然数の一般的な性質を使っとるのではないか？
0475１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 04:21:12.79ID:bslH0LUs「自然数を使っている」のだから「自然数論が必要」というご意見ですか?
一つ目の箱にはボールを2個入れます。二つ目の箱にはボールを5個入れます・・・
というように、それぞれの箱にボールを何個入れるかは具体的に決められています、と言うのにも自然数論が必要?
0476１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 09:47:47.89ID:xSy2+Xky同値であるA-1とBを「二つの意味」として書いたら
「用語法は一般的では無い」というより「誤植」と言うのでは？
0477１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 11:06:04.48ID:2C7shQrqどういう範囲を指してるのか分からんけど、ほぼ同じことだよね。
0478１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 11:53:47.12ID:AYxqtUDqそりゃ2個とか5個だったら自然数論はいらない。
具体的な「ある個数」の範囲までだろうな。
0479１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 14:11:26.80ID:C7ftLgO/「それぞれの箱に入れるボールの数を具体的に決めます」と言うには
自然数論が必要ということ?
「箱」ではなくて「函」だったらどうだろう?
0480１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 19:19:55.05ID:AYxqtUDq＞ 「それぞれの箱に入れるボールの数を具体的に決めます」と言うには
それに自然数論が必要かどうかわからないが、論理学の構成にそのような議論がでてくるわけではないだろうから
どうでもいいのではなかろうか。
0481１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 21:29:49.52ID:6jDEFlA2論理式が扱われる様子(変形とか)を箱を使って説明するのは「論理学の構成」の話とはみなせないということかな。
実際に何をやっているかより、関数や述語という言葉を使うかどうかが重要とか?
0482１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 21:32:31.89ID:b/Qg22gu箱の喩えの意味が分かるんだ
0483１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 21:51:02.15ID:AYxqtUDq0484１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 21:57:29.16ID:Fiy4RRYv・ その数列から、ある性質を満たす部分列 { a_f(n) }_{n∈N} が取れたとする。
・ その数列から、ある性質を満たす部分列 { a_f(g(n)) }_{n∈N} が取れたとする。
・ その数列から、ある性質を満たす部分列 { a_f(g(h(n))) }_{n∈N} が取れたとする。
・ このような作業自体が何度でも実行可能として、k回目にとった部分列は
{ a_f1(f2(…(fk(n))…)) }_{n∈N} と書くことにする。
・ 数列 { a_f1(f2(…(fn(n))…)) }_{n∈N} に対して、何らかの性質を見出す(対角線論法)。
こういう感じの議論だと、自然数論がなければマズイんじゃね。
0485１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 22:04:18.73ID:AYxqtUDqそんな複雑なものでなくても、帰納的な議論の多くは成り立たないのではないでしょうか？
0486１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 22:16:45.30ID:hxZlHAT5元の話はそういう複雑なのではなく、
述語記号の変数の数や関数記号の変数の数が決まっているというためには自然数論が要るのではないか?
という話だから。
0487１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 22:32:17.01ID:AYxqtUDq「∈と＝は2変数の関数記号である」というのに自然数論はいらないだろう。
記号の数を数えることはできるんだよ。実際できるから。
そこには「成り立たないのではないか?」という疑いを差し挟む部分はどこにもないじゃないか。
0488１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 22:39:08.56ID:hxZlHAT5>>474は
>述語記号の変数の数や関数記号の変数の数が決まっているというためには自然数論が要るのではないか?
という話ではないの?
0489１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 22:48:16.70ID:AYxqtUDq違う
>>474の「それで済んでいるか？」は、
「述語記号の変数の数や関数記号の変数の数が決まっている」では済まずに、それ以上の自然数の性質を使っているのではないか？
という意味だ。誤解させたらスマソ
0490１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 22:55:21.61ID:b/Qg22gu形式的理論で何を示すにしろ、「一般の論理式」に言及することなしには済ませられないだろう
その際、帰納法抜きでは代入すら定義できないよ
0491１３２人目の素数さん
2015/01/18(日) 23:25:34.18ID:AYxqtUDqそんなはずはない
0492１３２人目の素数さん
2015/01/20(火) 00:36:33.63ID:COEDoQOX＞ 形式的理論で何を示すにしろ、「一般の論理式」に言及することなしには済ませられないだろう
『形式理論で対象理論の定理を証明する』んだよ。
それが目的じゃ。
完全性はそのための道具でもある。
0493１３２人目の素数さん
2015/01/20(火) 00:40:03.53ID:/Q1/WnS/0494１３２人目の素数さん
2015/01/20(火) 00:47:05.57ID:COEDoQOXプログラムで言えば、それらしいことが記述してあるけどコンパイルできないコードと一緒。
0495１３２人目の素数さん
2015/01/20(火) 01:12:56.96ID:/Q1/WnS/0496１３２人目の素数さん
2015/01/20(火) 01:17:53.74ID:COEDoQOX帰納法なしで対象理論の定理を証明することができるが、あんたのいうものは確かめられないのかもしれない。
それが何か?
それに検証プログラムとやらの『正しさ』が確かめられるわけではないだろ？なるべく正確に言おうぜ。
0497１３２人目の素数さん
2015/01/20(火) 01:20:59.44ID:/Q1/WnS/何を言ってるか分からない
0498１３２人目の素数さん
2015/01/20(火) 07:16:38.20ID:yeRZY6Yu>>444
モデル理論ではモデル完全性というのも出てくる。
「すべての論理式が全称型と同値」とも定義できるので
証明論的な概念ともいえる。
>>464
その英語のページ、色々な完全性がまとめてあるけど
モデル完全性にはなぜか触れていない。
0499１３２人目の素数さん
2015/01/23(金) 22:08:00.28ID:wO7jIyx2否定完全性が統語論・証明論的」
という区分がナンセンスなのはわかったんだが、
初学者にトンデモにならないように教える現場の立場では、
２つの完全性の区別を単純化した図式で分かった気にさせて
先に進まないといけないという事情も理解して欲しい。
0500１３２人目の素数さん
2015/01/24(土) 00:09:06.84ID:84fwbSTAナンセンスだとは思わないけどなあ
0501１３２人目の素数さん
2015/01/24(土) 09:15:12.44ID:9kQ/FWwk掛け算の順序問題での教育関係者みたいな理屈だな。
>>500
両者の区別は大事だが、あの区別の仕方は正にナンセンスだろ。
否定完全性が純粋にモデル論的でもあるのだから。
0502１３２人目の素数さん
2015/01/24(土) 23:07:17.73ID:wRfeBQPl二階算術では弱い完全性と強い完全性の強さの違いはどう評価されるのでしょうか？
0503１３２人目の素数さん
2015/01/24(土) 23:40:09.35ID:Ljqpu5sBってどういう意味なん？
0504１３２人目の素数さん
2015/01/25(日) 00:57:40.87ID:vR2IkVNT0505１３２人目の素数さん
2015/01/25(日) 20:52:50.35ID:tBXEi3wM一階の述語論理を定式化するところで、記号列を構造によって集合の話として解釈するって定義されてるけど
その集合の話には論理が必要だと思うし、そうすると一体何が基礎にあって集合やら論理がどう関係してるのか分からない
バカらしい質問かもしれないけど優しい人教えてほしいです
0506１３２人目の素数さん
2015/01/25(日) 20:56:20.05ID:UN8BD9ZMよく考えるまでもなく、もしもメタレベルで論理を一切使えないならメタ証明というものはあり得ないでしょ
0507１３２人目の素数さん
2015/01/25(日) 21:08:35.48ID:tBXEi3wMメタ証明とか知らないけど論理を使わずには何もできないって気はする
気にせず読んでいきます、ありがとう
0508１３２人目の素数さん
2015/01/25(日) 22:01:57.12ID:W9Gyx4LL0509１３２人目の素数さん
2015/01/25(日) 23:12:49.91ID:F0t46Iz9逃げの一手しか見たことがないのだが、結局、本当の「基礎」ってどこにあるの？
どこまで行っても循環論法なの？
0510１３２人目の素数さん
2015/01/25(日) 23:19:40.95ID:W9Gyx4LL基礎づけなんていらないんじゃない？
前提無く受け入れなくちゃならないのはせいぜい
式 x+x=y のxに1を代入し、yに2を代入したら、式 1+1=2 が得られる。
くらいのことだろうし、自分もそれ以上のものを受け入れるつもりはない。
0511１３２人目の素数さん
2015/01/26(月) 02:02:14.33ID:aUgQmK9u0512１３２人目の素数さん
2015/01/26(月) 04:25:14.44ID:1H6B4Cd8ω無矛盾が弱い完全性で普通の無矛盾が強い完全性なのですか？
0513１３２人目の素数さん
2015/01/26(月) 05:30:14.88ID:1H6B4Cd82つ、ないしは３つの完全性はそこから出てきた成果なのでしょうか
0514１３２人目の素数さん
2015/01/26(月) 05:41:15.12ID:1H6B4Cd8論文書くより２ちゃんの方が性に合ってるだけだ
0515１３２人目の素数さん
2015/01/26(月) 08:12:34.22ID:1H6B4Cd80516１３２人目の素数さん
2015/01/26(月) 22:24:59.36ID:1T0l/m9C0517１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 03:28:03.54ID:iieby8Ez群は単に群の公理を満たす集合でしょ。何を証明するの？
0518１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 03:50:30.37ID:iieby8Ez0519１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 05:04:53.01ID:iieby8Ez0520１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 08:45:22.16ID:8SyVBWWA0521１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 08:48:10.63ID:8SyVBWWA群の公理を満たす任意の集合が性質Aを持つとき、Aは群論の定理である、ということ。
0522１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 09:39:24.18ID:iieby8Ez性質Aはうんこだよ、うんこ
0523１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 10:52:55.54ID:8SyVBWWA0524１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 10:57:43.60ID:iieby8Ez文脈規定文法の補集合もまた文脈規定文法
0525１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 22:43:55.98ID:WZBGeOwy性質Aが群論の定理であるかはどうでもよくて、
「集合Gが群の公理を満たすときGは性質Aを持つ」が証明できれば満足
という人もいるのかも。
0526１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 23:00:55.59ID:71/NiTLYわざと頭悪いふりしてるんだよね？
0527１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 23:02:56.78ID:WZBGeOwy？
0528１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 23:37:44.17ID:ROOodUmI普通に数学をやる時は一階述語論理かどうかなんてどうでも良い
超準解析とかやるときは少々関係してくるけど
0529１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 23:39:09.02ID:WZBGeOwy>>521に関しては？
0530１３２人目の素数さん
2015/01/27(火) 23:45:28.34ID:ROOodUmI正確に言うなら
一階述語論理の論理式で書かれた群論の公理系から
一階述語論理の論理的規則のみを用いて導出できる、
という意味なので、そういうことが分かったからと言って
普通の数学でどういうメリットがあるかよく分からない。
もちろん群論におけるZFCからの独立命題とかを探しているときとかは
役に立つかもしれないけどね。
0531１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 00:19:01.83ID:dIV+fx3b普通普通いうけど、とにかく証明を厳密にしたいと考えたら、
「一階述語論理の論理式で書かれた群論の公理系から一階述語論理の論理的規則のみを用いて導出」
するしかない。
全部人力でやる必要はないかもしれないけど。
0532１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 00:23:04.93ID:n+Ifjp070533１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 00:32:09.22ID:dIV+fx3b集合論はそれ自体が理論じゃん。何が言いたい？
>>530が言うように、二階論理ではなく一階で証明されたことを「定理」と呼んでいる。
0534１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 00:34:49.12ID:7UN2Wn9F0535１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 00:38:46.77ID:dIV+fx3bそりゃ最初にそう断ればね。
0536１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 00:47:13.57ID:dIV+fx3b普通の数学で現在知られているすべての定理は、一階論理上で厳密に証明できるんだと認識しているが間違ってないだろ？
だから一階論理の完全性定理がいかなる前提の下でも成り立つことを求めている。
二階の話は全然別物じゃないか？
0537１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 00:53:48.29ID:l2jlPFrP無理だよね？
0538１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 01:01:06.75ID:dIV+fx3bそういうのは、
「正確に言うと」群論の定理ではない
と表現すればいいだけでは？
0539１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 05:06:04.25ID:KhCYcEFd> 質問です
> 例えば群であれば、ある位数nの群すべてを多項式時間で見つけ出す
> アルゴリズムは存在しているといえるのですか？
>
> 364 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/08/12(日) 22:33:17.37
> nが2のべきの時に位数nの群の同型類の個数はやたら大きくなるから
> そもそも個数自体が多項式で抑えられるか疑問だと思う
> たぶん無理
>
> 位数256の群は56,092個
> 位数512の群は10,494,213個
> 位数1024の群は49,487,365,422個
>
> http://www.icm.tu-bs.de/ag_algebra/software/small/number.html
(log 56092 2)
15.775507403800043
(log 10492213 2)
23.322815665044164
(log 49487365422 2)
35.52634118780943
微妙
0540１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 07:48:10.01ID:7UN2Wn9F普通に数学をやる上での群論の話をしているのに？
0541１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 08:45:15.84ID:8g28lmzC微妙。
だから>>525を書いた。
0542１３２人目の素数さん
2015/01/28(水) 23:15:27.53ID:yQ2tUtL3タイプ理論からやるのが吉。集合はその一部に含まれる。
この手の本だと前原の数学基礎論がお勧め。
0543１３２人目の素数さん
2015/01/29(木) 01:01:25.07ID:gAVsDV1Wどうもありがとう
あの大きい本でいいんだよね
0544１３２人目の素数さん
2015/01/29(木) 01:27:39.65ID:kEdh2XEFあと、タイプ理論の哲学の方面からの解説なら、岩波新書の「ラッセルのパラドクス」にも
いろいろ書いてある。
0545１３２人目の素数さん
2015/01/29(木) 02:02:48.54ID:gAVsDV1Wそっちも眺めてみるわ
重ね重ね感謝
0546１３２人目の素数さん
2015/01/30(金) 15:30:57.27ID:wgHos1J4お世話になります。
私、責任者の加茂と申します。以後、宜しくお願い致します。
http://www.apamanshop.com/membersite/27009206/images/kamo.jpg
浪速建設様の見解と致しましては、メールによる対応に関しましては
受付しないということで、当初より返信を行っていないようで、今後につい
てもメールや書面での対応は致しかねるというお答えでした。
http://www.o-naniwa.com/index.html 事務員 東条 南野
http://www.o-naniwa.com/company/ 岡田常路
このように現在まで６通のメールを送られたとのことですが、結果一度も
返信がないとう状況になっています。
http://www.apamanshop-hd.co.jp/ 加茂正樹 舟橋大介
http://s-at-e.net/scurl/nibn-apaman.html 大村浩次
私どものほうでも現在までのメール履歴は随時削除を致しております
ので実際に１１通のメールを頂戴しているか不明なところであります。
http://s-at-e.net/scurl/mediation-1.html
・ハンガー・ゲーム http://s-at-e.net/scurl/TheHungerGames-Aircraft.html
・スタートレック http://s-at-e.net/scurl/StarTrek-Aircraft.html
・アバター http://s-at-e.net/scurl/Avatar-Shuttle.html
・Ｔ http://s-at-e.net/scurl/ia-T.html
・Ｚle http://s-at-e.net/scurl/ia-Zle.html
大阪府八尾市上之島町南 ４-１１ クリスタル通り２番館203
に入居の引きこもりニートから長期にわたる執拗な嫌がらせを受けています。
この入居者かその家族、親類などについてご存知の方はお知らせ下さい。
[email protected]
0547１３２人目の素数さん
2015/02/01(日) 17:20:14.23ID:4XXyzJE4誰にもかみつく林晋が
>不完全性定理をじっくり勉強したい、特にゲーデルのオリジナル論文の技術的内容を理解したいという人には、
>今でも最高の本としてお薦めします。
と書いているぐらいだから悪い本ではないだろう。
0548１３２人目の素数さん
2015/02/01(日) 23:45:18.10ID:YuMkSnkE今でもそうなん？
0549１３２人目の素数さん
2015/02/02(月) 07:17:05.70ID:Sbi1orOEどれに進もうか迷う、という感じの迷い方する人は多数派じゃないだろうね
学部で授業無い場合が多いし
0550１３２人目の素数さん
2015/02/02(月) 09:16:44.18ID:rSWDzBppと言ったら言い過ぎになる？それとも当たってる？
0551１３２人目の素数さん
2015/02/02(月) 13:13:48.88ID:C4tgSrVx0552１３２人目の素数さん
2015/02/02(月) 17:42:21.46ID:BK4rSRzI1. 伝統的な数学の分野に限るか
2. 理論計算機科学などの新しい数学を含めてなのか
3. 数学の外まで拡げるのか
に拠るとしか言えないね。
1なら当たらずとも遠からじと言ったところ。
2とすれば基礎論で生まれた概念なしには生まれなかったので的外れと断言できる。
0553１３２人目の素数さん
2015/02/02(月) 20:14:15.39ID:ynepYiab１です
0554１３２人目の素数さん
2015/02/02(月) 21:00:12.53ID:xNJFDgfq0555１３２人目の素数さん
2015/02/02(月) 21:19:37.76ID:SORVcXUP0556１３２人目の素数さん
2015/02/02(月) 22:21:20.65ID:5vQZNoIw0557１３２人目の素数さん
2015/02/03(火) 07:59:16.44ID:vmu4ULxC代表的な未解決問題のリストとして定評があったヒルベルトの23問題を考えると、
第1、第2、第10問題の解決に基礎論・数理論理学が使われている。
3/23 ≒ 13％を多いと見るか少ないと見るか。
第1と第2は元々基礎論の問題だったのだから当然だけど
第10問題は元々代数の問題が基礎論を使って解決した例。
これでも「目覚ましいものはない」と言ってしまう？
0558１３２人目の素数さん
2015/02/03(火) 09:13:10.19ID:zaxrM7mL過去形なのか、これからも期待できるかが問題じゃないかな
0559１３２人目の素数さん
2015/02/03(火) 10:14:34.08ID:Z5Knmxsw過去の実績にしか「目覚ましい」って言えないと思うんだけど。
0560１３２人目の素数さん
2015/02/03(火) 11:47:05.89ID:2Vjl+Y4P0561１３２人目の素数さん
2015/02/03(火) 13:22:12.91ID:bEDKZyMd0562１３２人目の素数さん
2015/02/03(火) 13:48:39.69ID:2Vjl+Y4P0563１３２人目の素数さん
2015/02/03(火) 14:12:41.34ID:aPSzMfXA結局応用されない役に立たないものだけが数学基礎論とみなされるという風潮
0564１３２人目の素数さん
2015/02/03(火) 15:10:22.58ID:2Vjl+Y4P上手いことを言おうとして実勢とかけ離れたことを言ってしまう
よくあること
0565１３２人目の素数さん
2015/02/03(火) 22:54:57.17ID:ZSKixdZw0566１３２人目の素数さん
2015/02/04(水) 11:48:16.05ID:3nD4Z4vC0567１３２人目の素数さん
2015/02/04(水) 18:01:34.68ID:oi2hMlF9第10問題の解決は、基礎論の中ですら第1や第2に比べて扱いが軽いような気がするね。
0568１３２人目の素数さん
2015/02/04(水) 20:58:20.88ID:/+TBegpJ関数解析でモデル理論使って証明
代数幾何はもうモデル理論でしか研究不能って状態
0569１３２人目の素数さん
2015/02/04(水) 21:12:31.10ID:/+TBegpJ彼のBookとかいう高次トポスの分厚い本にも
到達不能基数使って定義するやつある
あと三角圏の構成にシェラが構成した順序数の理論使う
C*とかフォンノイマン環とかにも噛んでたかな
それから無限トポロジーとか点集合トポロジーあたりが集合論での有名どこ
それから離散数学は多いねこれは周知すぎて言うまでもないけど
測度論での単層理論とかもでてくるねボレル構成が
0570１３２人目の素数さん
2015/02/04(水) 22:57:55.29ID:aNpnoC3T0571１３２人目の素数さん
2015/02/04(水) 23:32:54.12ID:1C0AHy5Q0572１３２人目の素数さん
2015/02/05(木) 11:42:28.09ID:/ydtfn4Kモデル理論を使って証明した＝証明した、でいいの？
0573１３２人目の素数さん
2015/02/05(木) 15:15:09.48ID:XgRBWqn9それは確かに考えなきゃいけないことだけど
どれくらいの推論なら大丈夫とするのかは問題ごと
個別にしか議論できないだろ。
カミオカンデでニュートリノ観測されたけど
体感できないからまだあるかどうかわからないって言ってもしょうがないし。
0574１３２人目の素数さん
2015/02/05(木) 18:49:02.59ID:a//vBMnF極論すると、選択公理を使って極大イデアルの存在を証明してもいいの？って話になる。
0575１３２人目の素数さん
2015/02/05(木) 22:06:20.83ID:8eAbJ+9Jはいはいﾜﾛｽﾜﾛｽって言っとけば良いのかな？
0576１３２人目の素数さん
2015/02/05(木) 22:51:30.86ID:fGsO9JdKそれは>>572で問題にしていることとは関係ない。
0577１３２人目の素数さん
2015/02/05(木) 23:11:47.38ID:S6jCFflIこの第二段階の形式的証明がどれほど不自然で奇妙で病的な過程をたどっていても、
それを「数学の証明」と認めて読みとることになる
…ということを問題視しているという理解でいいのかな
0578１３２人目の素数さん
2015/02/05(木) 23:41:36.05ID:S6jCFflI「数学の証明」の正式な定義なんてないものね
0579１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 00:00:07.47ID:sLnFYum/その条件とは何だろう。
0580１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 17:38:30.75ID:prp83qC/そういうことに興味があれば逆数学を勉強してみるのがよい
0581１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 22:22:49.24ID:sLnFYum/証明の定義は固定的なものではないが、ひとつ定めて議論するとき、その定義は証明論とか論理学に限定されるわけじゃなく、
普通の数学の証明にも当然適用されるわけだ。
実際にそこまで形式的に厳密に記述することはないが、「証明」の定義は全数学で共通。
>>580
そこに直接興味があるわけではない。
逆数学で設定している仮定の上に逆数学の成果があるが、他部門の数学がその仮定を共有している訳ではないから
そちらに応用することはできないよね。
0582１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 22:32:28.49ID:Jc2J942A違う違う
それは正確には形式的証明の定義であり、
厳しい言い方をすれば、論理学にとって都合が良いので普通の数学の証明にも敷衍されると勝手に言ってるだけ
0583１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 22:36:01.81ID:Jc2J942Aと言い直しておく
0584１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 22:37:20.50ID:mytcAQd4>>502が似たような質問をしているが
それに対して>>453の返事はまだない（ように見える）
0585１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 22:40:56.54ID:sLnFYum/そうは言っても普通の数学の証明だって最終的には形式化されないと正しさが確認できないでしょ？
実際に形式化して書くとは言ってないが。
例えて言えば、
正しいプログラムとはコンパイルして機械語に翻訳できるものである。
皆が機械語でプログラムを書く必要はない。高級言語で書けば十分である。
でもコンパイルエラーとなって機械語に落とせないものはダメよ。
ということ。
0586１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 22:52:20.40ID:Jc2J942A普通の数学の証明を形式化してチェックする分には問題ない
>>577の要点は
メタ数学的考察の必要上、形式的証明の定義を一つ固定したとき、どんな証明図でも「普通の数学の証明」と認められるのか？
という疑い
0587１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 22:57:55.00ID:sLnFYum/>>577には
＞ この第二段階の形式的証明がどれほど不自然で奇妙で病的な過程をたどっていても、
と書いてあるけど、何が言いたいのかちょっとわかりにくい。
「不自然で奇妙で病的な過程」
最初に設定している「仮定」じゃなくて「過程」？ （ダジャレじゃないよ）
これは何を指しているの？
0588１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 23:06:31.16ID:Jc2J942A完全性定理で存在が保障されている形式的証明の実態は分からない
その形式的証明は、我々が普段、単に「証明」と呼んでいる非形式的概念にあてはまるのか？という神経質な問いかけをしている
>>568の文脈で我々が本当に欲しいものは、きちんと定式化された形式的証明ではなく、非形式的な「証明」なのだから
そこが極大イデアルの存在証明との違い
0589１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 23:26:46.54ID:Jc2J942A俺は>>576までの話を引き継いで、何が論点となっているのか憶測で解説してきただけだからね、悪しからず
0590１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 23:29:57.33ID:sLnFYum/キミの疑問を否定する気はないので悪いが自分にとってはそれは疑似問題だ。
「形式的証明の範疇におさまらないような非形式的な証明概念」なんてものの具体例があるの？
0591１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 23:37:20.64ID:Jc2J942A＞「形式的証明の範疇におさまらないような非形式的な証明概念」なんてものの具体例があるの？
当然、知られていないだろうね
でもこれは純粋に哲学の範疇の問題だと思うから、「形式的証明＝数学の証明」を肯定するのは、事実の表明ではなく信念の表明
神経質な問いかけだと言っただろう？
0592１３２人目の素数さん
2015/02/06(金) 23:50:46.84ID:Jc2J942A知られていないというより、これこそが疑似問題と言うべきか
そもそも、形式的証明と比較するために数学の俎上に載せようにも、それができないから非形式的概念と呼んでいるわけだし
0593１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 00:11:05.38ID:FsLNnjuB到達不可能基数の存在を公理に入れた体系に形式化したところで
数学の証明としての正しさをチェックしたことにはならない、
という話ではないの？
0594１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 00:12:49.66ID:4hwvFWuE>>581に書いたように、「証明」の意味は全数学で同一であるべきだが、メタ数学が設定している仮定までは共有できない。
間違っている可能性すらあるわけだ。
0595１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 01:13:17.80ID:aamqTECZ今のところモデル論的証明は局地的にしか使われていないから、たとえ害があるとしても他への影響は少ないのだろうけど。
0596１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 14:00:53.93ID:2cSgo5dq自分も同じような問題意識はもっている気がするので的はずれかもしれんが書くと
モデル理論の証明だって形式証明の範疇なのだからそれ自体としては自立してるけど
形式証明に非形式的な意味を読み込もうとする度に困難が発生してもおかしくはない
ということではないの？
そうなると数学はどれくらいのことを人間に教えてくれるんだろう
っていうかなり怪しげな話になってきてリタイヤせざるえない
0597１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 18:03:41.34ID:O7DWtuNi現実の数学研究ではそんな統一基準を設ける必要を全く感じない
0598１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 18:53:35.56ID:aamqTECZしかも「クラスAの論理式φ、の形式的証明が存在するなら、φのクラスBの形式的証明が存在する」が成り立つような。
0599１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 20:50:48.21ID:9u0jju2x和書は漢字で無駄に頭が疲れてるんじゃないだろうか。
それとも知識がある程度たまったから読みやすくなったのか。
あと和書だとぼったくり価格が多い
0600１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 21:37:47.36ID:4hwvFWuE形式的証明とは実際に書き下されたものだけを指す。
0601１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 22:12:53.91ID:aamqTECZその条件は厳し過ぎて
「クラスAの論理式φ、の形式的証明が存在するなら、φのクラスBの形式的証明が存在する」
という定理が得られたとしても、論理式のクラスの方も限定され過ぎて、定理としては役に立たないのではありませんか？なんとなくですけど。
0602１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 23:31:34.37ID:4hwvFWuEそれは妥協するのが難しい。
形式的証明とは実際に書き下されたものだけを指す。
0603１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 23:34:44.13ID:O7DWtuNi「実際に書き下ろされたもの」
何ていい加減な言葉遣いだろう。
0604１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 23:39:05.56ID:4hwvFWuE>>601のいう「形式的証明が存在する」に対抗して「実際に書き下されたものを指す」と言ったまで。
お前の妄想など知らん。
0605１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 23:43:40.21ID:aamqTECZそういう1か0かみたいな態度では結局何も進展しないのではないかという気がします。
>>604
私の何に対抗されたのか、さっぱり分からないのですが…
「実際に書き下される」という条件はクラスBのことですよね？
0606１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 23:47:24.40ID:4hwvFWuE「クラスAの論理式φ、の形式的証明が存在するなら、φのクラスBの形式的証明が存在するという定理」が得られたとしても
実際に書き下されなければ形式的証明を得たとは言えない
という意味だけど？
0607１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 23:51:05.41ID:aamqTECZああ、そういう主義の人でしたか…
ではモデル論的証明が云々は問題にもなりませんね、これは失礼しました。
0608１３２人目の素数さん
2015/02/07(土) 23:57:16.70ID:4hwvFWuE「実際に書き下されなければ形式的証明を得たとは言えない」というのは妥協しにくいね。
これは別に主義でもなんでもないと思っているが・・・
あなたの主義は何なの？
0609１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 00:01:29.35ID:hRT3/Xtl0610１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 00:02:25.85ID:9oZsfGT+数学的に定式化できる？
できないでしょ、どうせ。
0611１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 08:39:20.67ID:9SZrA8dH実際に書かれた証明を見て「ここに形式的証明が存在する」、という行為を数学的に定式化しろと言うのか。
ちょっとイメージできない。何をすればいいんだ？
>>609は
「完全性定理が存在を主張しているなら、その証明は実際に存在している」と言っているのだろう。
俺はそれは認められない。
0612１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 10:16:44.89ID:9oZsfGT+「俺は認めない」では数学にならない。
0613１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 10:57:24.10ID:9SZrA8dH＞数学にならない。
「証明論やメタ数学が成立しない」の間違いだろ？
通常の形式化できる数学の定理は影響皆無なんだから、数学にならないなんてことはない。
0614１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 11:02:35.38ID:9SZrA8dH「形式的証明とは完全性定理が存在を主張しているところのものです。」
は、「形式的証明」の定義としてどうなの？
0615１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 11:03:03.77ID:9oZsfGT+抽象的思考が苦手なのか。
「実際に書き下ろされた」の曖昧さも理解してないようだし。
0616１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 11:18:37.44ID:hRT3/Xtl「形式的証明の定義」として書いたわけではありませんよ。
ずっと思っていたんですが、文脈を読むことを覚えてくださいよ…
0617１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 11:21:51.17ID:BppYub/Qに依存するから、完全性定理によりφの証明が存在する、という主張も
ACとかBPIに依存することになる。
だから、この場合、
メタなレベルで本物の論理式を相手にしているのではなくて
φ自体も形式的対象であると考えるか、
或いは（根拠はともかく、）メタレベルで幾ばくかの集合論と選択公理が
成り立っていると仮定する必要がある。
0618１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 13:13:55.45ID:9SZrA8dH「実際に書き下ろされた」の曖昧さって
概念自体に曖昧さを含んでいるのか、単に俺の表現が曖昧なのか、
そこは教えてくださいよ。
0619１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 13:17:36.24ID:9SZrA8dH＞メタなレベルで本物の論理式を相手にしている
→これが俺の立場で、
＞のではなくてφ自体も形式的対象であると考えるか、
→これが証明論の立場で、
＞或いは（根拠はともかく、）メタレベルで幾ばくかの集合論と選択公理が成り立っていると仮定する必要がある。
→これが「俺は認めない」といってるもの
0620１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 14:25:52.95ID:HJi6bMbU任意の一階述語論理の言語だとそうだが、
可算の言語に限ればACとかBPIとかそんな大仰なものは要らない
「数学の形式化」には有限個の非論理的記号で十分だろ？
0621１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 15:18:25.38ID:BppYub/Qだとしても弱Konigの補題くらい要る
0622１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 15:33:12.61ID:9SZrA8dH俺は別に形式化された証明の範囲を同定しようとしているわけでも、「実際に書き下された証明の集合」とかを定義してるつもりもない。
メタレベルの算術は誤りを含みうるので、個別の定理に対して形式化されたという証跡を求めてるだけさ。
0623１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 15:33:17.59ID:HJi6bMbU弱ケーニッヒとACやBPIでは非構成さのレベルが全然違うだろｗ
弱ケーニッヒを使う程度ならまだ具体的と言うこともできるわけで、
むしろ完全性定理の（通常の）証明で
ヘンキンの補題「証明不可能なら反例モデルが存在する」から
背理法により証明の存在を導く部分の方が問題だろう。
0624１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 16:36:21.59ID:wG6m1IsK0625１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 17:42:20.87ID:9oZsfGT+そうすると、意地悪いことに個々の定理の検証に誤りを含みうる。
誤りを防ぐための工夫がある種の算術の正しさを前提とする。
0626１３２人目の素数さん
2015/02/08(日) 20:10:31.03ID:9SZrA8dH個々なんだから検証に誤りを含みうるってことはないでしょ。
検証するための一般的なアルゴリズムとかの話のこと？
0627１３２人目の素数さん
2015/02/09(月) 00:13:18.00ID:PAZo9a9o0628１３２人目の素数さん
2015/02/09(月) 22:39:43.56ID:7LdYk5aH最後に完全性定理を使う限り>>623の指摘の通り
対偶法・背理法に訴えて証明の存在を示しているので
非構成性は免れないということになる。
モデル論的議論の部分が如何に具体的かという議論は余り意味がない。
>>627
この問題は、古典論理を用いている限り逆数学では扱えないので、
構成的逆数学が必要になる。
0629１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 14:07:52.97ID:pDvOEPOx・ 文字数が1兆個以下で書かれた
と定義するｗ
あとの方で不都合が出てきたときの方針としては、1兆ではなく、
100兆とか1000兆とかの大きな数字に変更する。それ以上のことは言えない。
たとえば、このことを一般化して
・ 具体的な数字αを1つ固定し、「実際に書き下ろされた」を「文字数がα個以下で書かれた」と定義し、
あとの方で不都合が出てきたら、αをより大きな具体的な数字に変更する
などと定義してはいけない。それは「定義の方針」とは呼べるが、「定義」には出来ない。
なぜなら、この方針は "具体的な数字" という曖昧な概念を含んでいるからだ。定義にはならない。
定義はやはり
・ 文字数が1兆個以下で書かれた
と定義するｗ
あとの方で不都合が出てきたときの「方針」としては、1兆ではなく、
100兆とか1000兆とかの大きな数字に変更する。やはり、それ以上のことは言えない。
0630１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 16:35:34.54ID:kKFvaotN誰も「書き下された」の定義付けをしてはいないのでは？
単に文字の固まりを見て証明になっていると確認できればそれでよし、一般的な判定アルゴリズムの有無についても言ってないだろう。
0631１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 16:45:54.63ID:kqQnkBBf書き下ろされたものしか認めないといってる奴が、漠然とした思い付きでものを言ってるだけ。
0632１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 16:52:25.53ID:NLbF7EOHという問題に対する、そもそもモデル理論を使った証明はあり得ない、という立場の表明だと理解したが
「モデル理論における証明」と「代数・幾何・解析のような通常の数学における、モデル理論を使った証明」の違いに注意
0633１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 17:25:56.49ID:pDvOEPOx俺はそいつとは別人だが、>>629に漠然とした部分はどこにも無いし、思い付きでもない。
「実際に書き下された」を、そのニュアンスを汲み取ってマジメに定義しようとしたら、
>>629しかありえない。
>>630
＞単に文字の固まりを見て証明になっていると確認できればそれでよし、
「実際に書き下された」の話題においては、「文字の固まり」という表現が既に曖昧だからダメでしょ。
0634１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 18:58:22.56ID:NLbF7EOH形式的証明の非構成的な存在証明は駄目──これで十分じゃないの
0635１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 19:35:20.86ID:pDvOEPOxえー、だって>>610が「厳密に定義してみろ」って言ってるじゃん。
>>615でも「 "実際に書き下された" という言葉は曖昧」って言ってるし。
と書いていて気づいたが、そんなこと気にしてたのは ID:9oZsfGT+ の1人だけみたいだな。
0636１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 19:42:27.26ID:kqQnkBBf非構成的な存在証明を認めなかったら、現代数学のほとんどの成果は認められないことになるよ。
0637１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 19:44:35.24ID:NLbF7EOH”形式的証明の”非構成的な存在証明
0638１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 19:55:10.62ID:kqQnkBBf数理論理学も非構成的な存在証明で重要な結果を得てるってことでしょ。
0639１３２人目の素数さん
2015/02/10(火) 19:58:34.03ID:NLbF7EOH0640１３２人目の素数さん
2015/02/11(水) 01:18:52.21ID:jbrjVFbEと言ってる人に対して
「有限長の文字列」の定義は曖昧である
と返すのに意味あるのかね？
0641１３２人目の素数さん
2015/02/11(水) 02:55:44.46ID:KqksaOlr何億字もある文字列が「この文字列はこれこれこういう規則に従って並んでいます」
って言われて検証できるか、ということ。
0642１３２人目の素数さん
2015/02/12(木) 10:30:54.18ID:aYGHzG5L任意の文字列を確実に検証することを目標にしてるなんて思ってない？
検証ができていないものに対しては「正しくない可能性がある」と考えろ。
形式化が成功していない証明は「未だ証明になっておらず正しくない可能性すらある」と認識すればいいだけさ。
0643１３２人目の素数さん
2015/02/12(木) 12:30:41.67ID:8ZS+yxmuその言葉は有言不実行に終わるよ。実践できるはずがない。
0644１３２人目の素数さん
2015/02/12(木) 14:49:38.45ID:aYGHzG5L通常の証明とは違ってそれは人任せでも構わないと思う。
0645１３２人目の素数さん
2015/02/17(火) 09:21:57.21ID:Qvuad0442chはもうだめだ。
0646１３２人目の素数さん
2015/02/17(火) 11:51:08.57ID:UqZAdOC20647１３２人目の素数さん
2015/02/17(火) 12:18:17.84ID:Qvuad044だかもう限界集落だろう。みんな都会に行ってしまった。
0648１３２人目の素数さん
2015/02/17(火) 14:58:04.96ID:zg5rbUQ6都会ってどこ？
0649１３２人目の素数さん
2015/02/17(火) 15:08:38.80ID:0EIW2D7b0650１３２人目の素数さん
2015/02/25(水) 16:49:52.95ID:hRiwSw+Tペアノ公理系のモデルの存在は示せますか？
0651１３２人目の素数さん
2015/02/27(金) 00:00:34.77ID:l6KHXviPD-f(D)は空ではないからそこから要素 z が取れる。
このとき、z∈X、x∈M→f(x)∈Xを満たすような最初の集合XをMとすると
(M, f, z)が(N, S, 0)と同型になることが示せる気がするけど、細かい部分は確かめる気が起きないなあ
0652１３２人目の素数さん
2015/02/27(金) 00:01:09.91ID:l6KHXviP誤：最初
正：最小
0653１３２人目の素数さん
2015/02/27(金) 00:02:33.40ID:l6KHXviP一般人は銀座あたりの高級店でセレブな宴会に呼ぶ女の子のことかって思うよね
0654１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 00:58:05.39ID:KlHWNPkL定理3.1 :
“論理式∀xAが証明できるのは、Aそのものが証明できるとき、およびその時に限る。”(Aは任意の論理式で、自由変数としてxを含んでいる。)
とあるけど、これってつまり
∀xA→A
が(Aが自由変数xを含んでいても)成り立つということですよね。
だれか上の参考書を持ってる人答えてもらえませんか。
0655１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 00:59:04.50ID:KlHWNPkL定理3.1 :
“論理式∀xAが証明できるのは、Aそのものが証明できるとき、およびその時に限る。”(Aは任意の論理式で、自由変数としてxを含んでいる。)
とあるけど、これってつまり
(∀xA→A)∧(A→∀xA)
が(Aが自由変数xを含んでいても)成り立つということですよね。
だれか上の参考書を持ってる人答えてもらえませんか。
0656１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 01:02:29.35ID:gG2foJNf落ち着いて「論理式が証明できる」の定義を確認し、定理3.1の文言を読み直すべし
0657１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 01:25:52.14ID:KlHWNPkL(Aが任意の論理式で、自由変数xを含んでいる)
A
ーー
∀xA
が推論規則として定義されてます。ていうことはこの推論規則から
A→∀xA
が証明できますよね。もしかして違いますか？
参考書には、「上の推論規則によって、Aが証明できれば∀xAが証明できる。」とあります。
つまり、A→∀xAが成り立つ、つまり証明できるということですよね。
0658１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 01:33:56.81ID:KlHWNPkL∀xF(x)→F(t)
参考書にもあるように、この公理から、(F(x)をAとして、tをxに置き換えれば)
∀xA→A
が証明でき、∀xAが証明できるときはAも証明できます。
0659１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 01:40:19.77ID:KlHWNPkLこのことに基づいてAと∀xAについて真理表を書けば、
(A→∀xA)∧(∀xA→A)
はトートロジーであることがわかります。トートロジーは“古典命題論理の範囲で”証明できるとあります。
そうです、しかし述語論理も入っていますし、このことは関係ありませんでしたねスミマセン。
0660１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 01:46:07.97ID:KlHWNPkLでも間違ってる点の指摘は募集中ですのでよろしく。
0661１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 01:52:15.87ID:KlHWNPkL0662１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 11:49:34.03ID:uYwdb+0Jとりあえず「Aが証明できる」と「A」は違う概念だから区別しよう。
Aが成り立つ、という言い方だとどっちなのか微妙。
0663１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 19:56:25.98ID:FIHrqrdoうろ覚えだが、
理論TでAが証明できるとき、理論Tで∀xAが証明できる
理論TにAを公理として追加した理論
0664１３２人目の素数さん
2015/02/28(土) 19:58:07.47ID:FIHrqrdoうろ覚えだが、
理論TでAが証明できるとき、理論Tで∀xAが証明できる
理論TにAを公理として追加した理論T2でBが証明できるとき、理論TでA→Bが証明できる
の違い
0665１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 00:50:25.19ID:Fq+Q20mM>が推論規則として定義されてます。ていうことはこの推論規則から
>A→∀xA
>が証明できますよね。もしかして違いますか？
演繹定理のこと言ってるの？ だったら、俺の持っている本だと
広瀬の「ゲーデルの世界」に証明が出ているな。
0666１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 03:06:23.95ID:3NTkbY9m今考え中です。
アドバイスありがとうございます。
>>665
数学基礎論に手を出す前に数理論理学をある程度分かっていないといけないようですね。
0667１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 04:48:31.51ID:TiEGcBstそれと、述語論理の章に「変数条件」という言葉が出てくる。
仮定の下での推論は無条件に成り立つわけではなく、変数条件を満たす場合にその推論を認めている。
その本では推論法則を「A1, A2, …, An が証明できるなら B も証明できる」という紛らわしい表現で説明しているが、
正確には、推論法則とは証明の樹形図の一部分（パーツ）であり、このパーツを組合せて一つの証明図を作ることができる。
これを踏まえれば、変数条件は当たり前の但し書きに過ぎないと納得できるはず。
最後に重要な指摘を。
その本には意味論的概念は一切出てこない。”→”という記号に意味はない。
「Aが証明できる”ならば”∀xAも証明できる」からといって、日本語の”ならば”と記号”→”に繋がりを見てとり、
「A→∀xAは証明できる」と期待してはいけない（実際これは成り立たない）。
「証明できる」という言葉を以下のように直接的に言い換えれば、別に不自然なことではないと分かるだろう。
「Aを根の位置に配置した証明の樹形図が与えられたとき、∀xAを根の位置に配置した証明の樹形図も得られる。
しかし、（任意に与えられたAに対して）A→∀xAを根の位置に配置した証明の樹形図が存在するかどうかとは無関係である」
0668１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 04:56:54.69ID:TiEGcBst正確には、推論法則とは証明の樹形図の一部分（パーツ）の省略表現であり、
0669１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 05:27:53.64ID:3NTkbY9mしかし前原の本では、
「
A
―
B
は『Aが証明できる”ならば”Bが証明できる』と読み、
そのことから、
公理： A→（B→A）
を、
A
――
A→B
と書ける。」と書いてあります。
これはつまり、「A→（B→A）」は「Aが証明できる”ならば”B→Aが証明できる」という意味であるといえますよね。
（それとも、そう読めるだけであって、そういう意味ではないのですか。しかしここまで書いてそれは通用しないと思います。）
そうであれば、「Aが証明できる”ならば”∀xAも証明できる」は「A→∀xAは証明できる」といえるのではないですか？
おそらくどこか間違っていると思うので、アドバイスお願いします。
0670１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 05:28:28.26ID:3NTkbY9m0671１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 05:37:37.68ID:3NTkbY9m僕が言いたいことはつまり、
前原の本の書き込みから、
「
A
― と A→B は『Aが証明できればBは証明できる』という点で共通している。
B
つまりその点においては、
A
― と（A→B）は同値である。
B
」
と要約できるのではないか、と言っており、
それなれば、「『Aが証明できる”ならば”∀xAも証明できる』は『A→∀xAは証明できる』といえるのではないですか」と言っているのです。
0672１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 05:37:53.07ID:TiEGcBstでもそれ以前に書かれてある定義を正確に理解していれば、後に書かれたものが不正確な記述であると気付けたはずだよ。
著者はその部分では噛み砕いた説明をしようとしたに過ぎない。なんせ正確な定義は以前に与えてあるのだから。
0673１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 05:45:52.07ID:TiEGcBst―という推論法則が成り立つこと と A→Bが証明できること は同値である。
B
これは命題論理では正しい。変数条件を気にする必要がないから。
変数条件という制約のある述語論理では正しくない。
0674１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 08:44:45.45ID:RLAJOR8Y同値じゃないよ。
A→Bから『Aが証明できればBは証明できる』は言えるけど逆は言えない。
理論TでAが証明できるという仮定をおくことと、Tに仮定Aを追加することは違う。
0675１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 09:41:32.04ID:mc57Xud7という話と、形式的体系を外から眺めたメタな議論に於ける証明を
区別できないと論理学は理解不能だろう。
0676１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 09:52:06.95ID:RLAJOR8Y0677１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 10:08:05.09ID:3NTkbY9mつまりあなたから見て僕はその区別ができていないように見える、ということですか？
だとしたら区別できるためのヒントをください。
ちなみに参考書では型の理論を使用しています。
0678１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 10:44:55.89ID:TiEGcBstその本では推論規則と「仮定の下での推論」を同じ図で表現する
今話題にしているのは後者
0679１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 15:20:18.83ID:Gb8UBArA>変数条件という制約のある述語論理では正しくない。
広瀬「ゲーデルの世界」では、「Aに含まれる自由変数は変化しない」という条件のもとで、
述語論理でも成立すると書いてある。
正確に書けば、Tが適当な仮定としたとき、
T, A T
―― と ――― は同値。
B A→B
0680１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 15:48:33.66ID:wfU+P6CEいろいろわかってないようだけど、とりあえず、
前原昭二「数学基礎論入門」定理3.7の中に、「しかも変数xが仮定C1,C2,...,Cnのいずれにも自由変数として含まれていなければ、」って書かれてるの見た？
0681１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 18:05:08.51ID:3NTkbY9m見ましたが、それは後に出てくることだから関係ないと思っているのですが、
まさかそれが関係あるのでしょうか。
0682１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 18:16:19.33ID:mc57Xud7自分で同値性を証明すればいいだけじゃん。
0683１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 18:16:44.34ID:3NTkbY9m①なぜ A/B は A→B とできるのに、A/∀xA は A→∀xA とできないのですか。
ようするに、このようなことを引き起こしている、命題論理と述語論理の違いを教えてください。
②（証明できる論理式、つまり真な論理式を表す記号を ∧ とします。）
A→∧≡A
の証明を教えてください。
その際、次の公理を使用してよいです。
A→（B→A)
0684１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 18:20:58.60ID:TiEGcBst真面目に回答して損した
0685１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 18:31:32.43ID:3NTkbY9m∧→（A→∧）は上で挙げた公理から容易にわかるのですが、その逆がわかりません。
ほかの公理をすべてあげるのは面倒なので、とりあえず公理の選択については無視でお願いします。
ちなみに、参考書の証明は「上に挙げた公理による」としか書いていませんでした。
>>684
もうすこし明確な回答してもらえないでしょうか。
要するに、>>673のさらに詳しい説明をお願いしたいのです。
それができないのならば、回答していただかなくとも結構です。
あと草生やさないでください。
0686１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 18:37:11.94ID:TiEGcBstここまでの回答というのは、なにも俺の書き込みのことだけではないぞ
0687１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 18:47:46.08ID:3NTkbY9m0688１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 18:54:17.66ID:TiEGcBst俺よりも丁寧な解説をしてくれた人にも唾してることになるぞ、と注意したんだがな
0689１３２人目の素数さん
2015/03/01(日) 19:04:51.19ID:kxU/Ro/wこの手の教わる側なのに偉そうな人凄く多いよね。
ネットだけじゃなくてリアルでも。
0690１３２人目の素数さん
2015/03/02(月) 11:02:23.29ID:qtQxIl5G少しでも不可解に感じる疑問点があれば、
そこをどんどん突っ込んだほうがいいと思います。
疑問をぶつけあってとにかく徹底的に議論することです。
欧米の学生はそれを互いにやっています。
0691１３２人目の素数さん
2015/03/02(月) 11:50:43.11ID:2vr3FDJi0692１３２人目の素数さん
2015/03/02(月) 12:39:04.60ID:qtQxIl5G偉い先生が書いた本にも間違いはあるもの。
しかし初学者にはそれが間違いなのか自分の思い違いなのか
書かれていない別の意味があるのか、一概に判断がつかにもの。
0693１３２人目の素数さん
2015/03/02(月) 12:39:34.66ID:qtQxIl5G0694１３２人目の素数さん
2015/03/02(月) 19:37:57.42ID:3N5Inw47質問する前に100時間考えろ。話はそれからだ。
0695１３２人目の素数さん
2015/03/02(月) 21:17:02.48ID:ifUb9WNUそれは言い過ぎ。7時間でいい。すなわち一晩。
0696１３２人目の素数さん
2015/03/03(火) 00:23:36.43ID:qcj3dvfuネットリテラシーをもっと勉強・習得すべきでしょう。
0697１３２人目の素数さん
2015/03/03(火) 00:41:03.59ID:BJ+P39soネットだけじゃなくてリアルでもよく見かける
0698１３２人目の素数さん
2015/03/03(火) 01:13:53.61ID:+9yJY/kQを、
A
――
A→B
と書ける。」と書いてあります。
いや、こんなことは書かれていない
件の本には
公理： A→（B→A）
から
A
――
A→B
と書ける。」としか書かれていない
0699１３２人目の素数さん
2015/03/03(火) 05:38:52.63ID:7VRJDEF8知的持久力無いね、君。
一晩考えてわからないくらいで他人に尋ねるようでは
基礎論なんて無理ですよ。
他の学問も無理だと思いますけどね。
0700１３２人目の素数さん
2015/03/03(火) 06:11:32.86ID:7VRJDEF8自分の頭で考えるのは時間の無駄ではあるね。
微積分と線型代数で挫折しちゃった人なんだろう。
0701１３２人目の素数さん
2015/03/03(火) 07:49:09.69ID:Zrvh4lbC0702１３２人目の素数さん
2015/03/03(火) 08:32:41.63ID:Zrvh4lbCA/B を無条件に A→B とできるわけじゃなくてAがclosed formulaである必要があるからだろ。 A/∀xA が成り立つことはそれと無関係。
0703１３２人目の素数さん
2015/03/04(水) 22:15:36.12ID:VdHTfVhDというか、やっと皆さんの回答を理解できるようになりました。とても参考になりました。
ありがとうございました。
0704１３２人目の素数さん
2015/03/05(木) 07:10:12.55ID:s8kYEglS0705１３２人目の素数さん
2015/03/05(木) 07:51:22.69ID:uSF0H5Pr大学のセミナーじゃないんだから
0706１３２人目の素数さん
2015/03/05(木) 08:07:38.71ID:Q2nCHyY/0707１３２人目の素数さん
2015/03/05(木) 08:11:33.06ID:K223A6w6>>705
学生をDQNと常に見積もる馬鹿教員にも笑えるものあり
0708１３２人目の素数さん
2015/03/05(木) 08:28:32.83ID:Q2nCHyY/僕が何をしたっていうんだ！！！！うおおおおおぉぉぉ！！！
0709１３２人目の素数さん
2015/03/05(木) 08:30:53.22ID:ybH1h9dIうん、そうだ。
君は賢いと思うよ。
きちんと話も聞かず、見込みで君を馬鹿と見積もる奴らの方が愚かだよ。
0710１３２人目の素数さん
2015/03/05(木) 08:33:25.87ID:Q2nCHyY//´ ヽ ／、 ヽ
| / | / / |
. | .| | ,/ . |
| |∧＿∧ / ﾉ ,|
. | |(´・ω・｀) 丿
ﾉヽ｀ ノヽ / ｀ /
/ ,/ｿ ＼ /
（ ,/ ｀´ |
＼ イ ´ |
＼ ヽ ＼ 八 ﾉ
ヽ ｀ ー ´人｀ /
＼ ／ ´,､ヽﾉ
ノ⌒ / |
/ ﾉ_
| ﾉ ヽ 丿 ＼
/⌒l |. / ＼
/ l,丿 , ■ . ＼
| / ´ ／⌒`l ＼
丿 / , .／ ヽ ヽ |
/ |, | ／ ）＼ ヽ
ヽ ノ ヽ__,／ . （ _＼＿ |
(_)__)|＿＿＿,/ (__)_)_)ヽ、＿＿/
0711１３２人目の素数さん
2015/03/05(木) 08:37:55.63ID:Q2nCHyY/あなたのおかげで暴れずに済みましたありがとうございます。
0712１３２人目の素数さん
2015/03/05(木) 13:22:47.67ID:e4PZ/BF1逆に見積もる教員もつらいぞ。
上野建爾は初めて担当したゼミに藤田隆夫と満渕俊樹がいて学生の能力はこれが標準だと思ったらしい。
0713１３２人目の素数さん
2015/03/05(木) 20:53:50.82ID:UpeCPUA9人文系の人にもなかなか好評みたいだけど
0714１３２人目の素数さん
2015/03/06(金) 04:24:57.00ID:msHz3x11読んでないから、ちょっとかいつまんで要約してみてYO
0715１３２人目の素数さん
2015/03/06(金) 05:26:54.96ID:8WC4qnbIたまたまだ。
そうそう、そんな学生に遭遇するはずも無く。
0716１３２人目の素数さん
2015/03/06(金) 06:08:03.87ID:nCFhxpvVhttp://www.amazon.co.jp/dp/4837957552
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0717１３２人目の素数さん
2015/03/06(金) 17:36:25.78ID:j2NlMIL+買ったけど読んでない
ちょっと引越しと重なって読む時間に乏しいけど
読んだら感想書くかも
0718713
2015/03/06(金) 23:36:03.32ID:wj+AYrC9まず最初に一階述語論理を直感的に導入
形式体系を擬人化しながら紹介していく
例えばQは小学生レベルの算数ができる
RCAは中高生レベルのことができるなど。
結構具体的にどんなことができるかが紹介される
最後はZFCでおわる
そして不完全性定理、誤解されないよう十分配慮されてる
それからラムダ計算を証明とは何かということで具体的に紹介
その他細かい話題がいくつか
0719713
2015/03/06(金) 23:43:54.94ID:wj+AYrC9順序数とPvsNPについての章のこと
凄い丁寧に書かれてるけど数理論理学全く知らないと
ついていけない部分が結構あると思う
最初の方の形式体系の紹介以外はよくある内容
コンピューターより基礎論に興味がある人向け
0720１３２人目の素数さん
2015/03/07(土) 21:44:17.73ID:E9l12Cyp0721１３２人目の素数さん
2015/03/07(土) 21:45:52.23ID:AvYM801B0722１３２人目の素数さん
2015/03/09(月) 09:31:58.73ID:FbDhOBgo経済学は数学を誤用している [転載禁止](c)2ch.net
http://yomogi.2ch.net/test/read.cgi/economics/1425101388/
0723１３２人目の素数さん
2015/03/09(月) 20:54:22.37ID:ar9H3cST0724１３２人目の素数さん
2015/03/11(水) 09:27:20.25ID:ksyuvet40725１３２人目の素数さん
2015/03/13(金) 13:06:06.36ID:pxbfXTBn0726１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 07:46:33.35ID:+LtwznMq0727１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 12:27:48.92ID:P+queqBu0728１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 12:43:29.14ID:SwDWqZM90729１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 17:44:23.98ID:P+queqBu旦那
0730１３２人目の素数さん
2015/03/17(火) 18:11:43.71ID:SwDWqZM90731１３２人目の素数さん
2015/03/18(水) 15:30:17.94ID:AVi7reNk「第一と違い、第二不完全性定理にはΣ1帰納法がないといけない」
という意味に勘違いする香具師が出た元の文章の著者だけど
今度の本ではどう記述されている？
「小学校レベルの算数」に第二不完全性に必要な道具立ては入っている？
0732１３２人目の素数さん
2015/03/19(木) 23:22:46.73ID:1Hh5rHrF0733１３２人目の素数さん
2015/03/20(金) 22:42:20.08ID:EK1T8QSSそのためだけに買ったりわざわざ本屋を回ったりしたくない人間もいるってことでしょ
0734１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 02:04:53.74ID:3/6WEyJUとりあえず最初の方で第一はQのce拡大、
第二はIΣ1のce拡大について成り立つと書いている。
後の計算量の章も参照、と注で書いてて、そこで
Q < S12 < S2 < IΣ1の順になってて
S12でも第二が成り立つことに触れてる。
またS2はCon(Q)を示せないので第二での体系の分離が出来ないことも書いてある。
ただここまで読んでないので、4章以降はチラ見。
まあロッサー化についても分かりやすくどういうことか説明してあったりして
割と良い本だから数学科でロジックに興味を持ってる人は全員買って良いと思う。
ちなみに菊池誠「不完全性定理」でも、弱い体系に対して
第二不完全性定理が結果として成り立つこと自体は書いてある。
ただ証明法がかなり違うと書いてた記憶があるけど。
Bussの教科書だとQの拡大について示してるね。
ただ、結局S12より強い場合を先に示してそれを使って
Qの拡大でS12を含まない場合についても示すので、
第二が成り立つ理由も定理の性格もちょっと違ってくると理解した方が無難だと思う。
0735１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 02:37:26.69ID:bRC0GWqrさんくす。良さそうな本だね。買ってみようかな。
0736１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 12:19:13.80ID:Xhj3Vaq8「Continuum Hypothesis」で検索すれば
Assuming CH then ... がいっぱい出てきますが、
連続体仮説が成り立たない場合
（ω0 < ω1 < A とかその他）
を調べたい場合はどういう単語で検索すればいいですか？
Non-Continuum Hypothesis ？
Uncontinuum Hypothesis ？
良く分かりません
0737１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 20:54:51.28ID:EHifEmxC連続体仮説が成り立たない場合でないと意味ないんでない？
0738１３２人目の素数さん
2015/03/21(土) 21:13:23.75ID:EHifEmxCThink different? by 2ch.net/bbspink.com
0739１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 13:16:48.70ID:loLPB14y前に話題になったときにも
「S12より強い場合を先に示してそれを使ってQの拡大でS12を含まない場合についても示す」ことと
「PAより強い場合を先に示してそれを使ってZFの拡大の場合についても示す」こととの間に
原理的な違いはないということが言われていたけれど。
ZFCの場合はPAと比べて「第二が成り立つ理由も定理の性格もちょっと違ってくる」と理解するべきだと？
0740１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 21:02:20.28ID:Uz42T5OzPAについて第二不完全性が成り立つことを示せば
自動的にZFについても第二不完全性が成り立つことはついてくる。
同様に、S12がQで解釈できることを事前に知っていれば
S12について第二不完全性が成り立つことを示せば
Qについても第二不完全性が成り立つことは自動的についてくる。
>>734は、S12のQでの解釈解釈可能性を、
Qでの第二不完全性の証明の一部分としてしか認識できなかった。
つまり、事前に知らなかったし、
不完全性定理以外の文脈での有用性に考えが至らない
（あるいは、まだ至っていない）というそれだけのこと。
0741１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 21:16:33.54ID:6nQUwcSoあんた、文章下手だな。
0742１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 22:46:34.32ID:50L4Q+MwZFCの場合、基本的には可証性述語は算術を埋め込んで
その算術上の可証性述語として解釈する方法しかない。
H(ω)の理論を展開してこの上にコードもできるけど
これはZF上は全く同じことをやっていて、互いに同値であることを示せる。
（これも、KPのように内包公理が制限されるような
弱い集合論上でも同値性が示せるのかどうかは知らない。）
一方QにS12を埋め込む場合、元のQ上の普通の可証性述語と
S12上の可証性述語がQに埋め込まれたものの二つが出て来る。
この二つは、一応違う可証性述語と考えるべき。
0743１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 22:49:42.08ID:50L4Q+Mw734では定理の性格が「ちょっと」違う、場合によっては区別しないといけない、
としか書いていないし、いかなる場合でも違うなどとは決して言っていない。
740にせよS12がQで解釈できる事を見ればそれで十分である「場合もある」
ということしか言っていないので、私は「ああそうですね」としか言いようがない。
QとS12は本質的に同じ強さの理論だ、と言いたいのかもしれないが
この二つは証明能力が違う以上、S12の方がより強い理論で、
ただ解釈可能性で同値類を取って割るという少し粗いことをすると
その差は潰れてしまう、という方が正しい。
0744１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 23:43:29.38ID:Uz42T5Oz>>742はロッサー文とかクライゼルの注意とか知らないらしい。
0745１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 23:45:22.61ID:ip3s0mEpえっ、どこにそんなこと書いてあるの
0746１３２人目の素数さん
2015/03/22(日) 23:53:14.31ID:Uz42T5Oz最後の段落
>一方QにS12を埋め込む場合、元のQ上の普通の可証性述語と
>S12上の可証性述語がQに埋め込まれたものの二つが出て来る。
>この二つは、一応違う可証性述語と考えるべき。
を読む限りそう理解するしかないだろう。
可証性述語が複数ある前提なら、
「二つが出て来る」ことがZFCの場合との違いにはならない。
0747１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 00:44:37.51ID:A25minQ6（「自然な」とか「素直な」とかを許せば簡単なんだけどね）
条件を見つけよ、というのは結構長い議論の歴史があって、
最終的にはLoebの可導条件に落ち着いたんじゃないのかな。
ただそうすると>>742が「元のQ上の普通の可証性述語」という言葉で表そうとしていたものは
可導条件を満たさない（と思う）ので可証性述語と呼べないことになるけど。
0748１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 02:24:51.45ID:NGpKT8HYPAなどでの普通の可証性述語をQ上で考えたもの、という意味。
可導性条件を満たさなかったら可証性述語と呼ばない、
なんて聞いたことが無い。
個人的にそういうポリシーを持つのは勝手だが全くコンセンサスが無い。
そもそもそれだとRosserの可証性述語、という言い方が間違いになる。
実際はそんな用例のある論文はいくらでも見つかる。
>>746
>>734で「コンピューターは数学者になれるのか」は
>ロッサー化についても分かりやすくどういうことか説明してあったりして割と良い本
と書いたつもりだけどね。
いずれにせよ、Q上の第二不完全性とPA上の第二不完全性の
可証性述語が違うものを使っている（可能性がある）ことは認めるの？
違う可証性述語についての第二不完全性定理なら
違う定理だと考えざるを得ないでしょ。
ロッサーの可証性述語Prov_Rを用いて
Con_R:⇔￢Prov_R("⊥") とするとCon_Rは無矛盾性をコードしていると
単純に考えられなくなる。同じ話で。
0749１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 07:26:43.17ID:UHCbvGrkなんか話題をずらしてない？
0750１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 18:03:40.87ID:NGpKT8HYS12を埋め込むことで証明したQ上の第二不完全性定理とに
違いがあるか、という話だったと思うけど。
特定のZFCという公理系についての話は、単に例に挙げる人が居た、
というだけの話だが、ZFC上の不完全性定理について考えたいのだとしても
ZFC上の可証性述語とQにS12の可証性述語を埋め込んだものが
違う可証性述語ならば同じ話。
0751１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 20:41:03.57ID:UHCbvGrk明らかに>>739の要点はZFとかZFCの場合との比較だよ？
ZFCとQやS12は言語が違うわけだから
可証性述語が同じとか違うとかそもそもどういう意味で言ってるの？
ってのが問題の肝だと理解しているんだけど。
0752１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 21:32:51.97ID:NGpKT8HYメタ数学的に重要な性質が両方とも同じであるか、
また仮に同じであるとしても、そのことを同様の議論で示せるか、ということ。
たとえばT := ZF＋￢Con(ZF)みたいな変な理論にも
PAを埋め込んで可証性述語っぽい述語は作れる。
しかしこういう理論は算術について健全でないので、
T上の定理でなくて、第二不完全性みたいな
Tについてのメタ数学上の結論を導きたい場合には細かい注意が必要になる。
ロッサー化はそういう細かい工夫の一つ。
こｊれはTがZFそのものである場合も同様で、
ZFが算術の偽の文を証明する無矛盾な理論である可能性はあるのだから、
第二不完全性定理をメタレベルで厳密に示す為には、
本当はZFの或る種の健全であることを或る程度仮定しないといけないはず。
それは、S12をQに埋めこんだ場合でも同様なんじゃないの、という話。
Qを拡大した理論（Tとする）の中にはPRAとすら両立しないような理論もあるので、
そういう不健全な理論の上の可証性述語とはそもそも何なのか、という話。
メタ数学上最低限仮定されている自然数についての事実とは何なのか、
PRAで良いのかどうかという問題もあるけど、いずれにせよ
「S12をQに埋め込むプロセスがメタ数学的に問題無いのは自明」とは
到底言い難いと思う。
0753１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 22:10:11.78ID:NGpKT8HY「（Tが～～を満たす時、）TからはTの無矛盾性を何らかの意味で
コードする命題ConTが証明できない。」
という形をしているけど「何らかの意味で」という表現は実際は数学的に厳密には、
「TからはTの無矛盾性をこういう方法でコードした命題ConTが証明できない。」
或いは
「TからはTの無矛盾性を、こういう意味でコードする命題ConTが証明できない。」
という形の言明であると考えなければならない。
今、議論の対象となっている例ではコードの方法は埋め込むという操作を経るか
どうかという点で確かに少し違う。後者だとしても、「こういう意味で」という部分が
変わっているのならば違う定理だと考えなければならない。
0754１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 22:55:36.98ID:A25minQ6>メタ数学的に重要な性質が両方とも同じであるか、
>また仮に同じであるとしても、そのことを同様の議論で示せるか、ということ。
それなら「解釈」で移り合えれる可証性述語は「同じ」じゃないの？
可導性条件は解釈で保存するのだから。
むしろ同じ言語の同じ可証性述語でも、
理論が違えば「違う」ということになるのでは？
理論に可導性条件は導けたり導けなかったりするのだから。
S12のQでの解釈により埋め込む前と後の可証性述語が「同じ」であって、
解釈によって変化させない全く同じ可証性述語が
S12の中で扱う場合とQの中で扱う場合とで「違う」と考えないといけない、
ということになると思うけど、そういうことを言っているの？
なんか正反対のことを言っているようにも見えるんだけど。
0755１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 23:31:22.93ID:A25minQ6ただ>>742はQの場合とZFCの場合の対比を述べているけど
>>746の通り、可証性述語が一つだと考えないと対比にならないので
>>742の意図を汲み取ろうと「どういう意味で可証性述語が一つと言っているのか？」と考えて
可導性条件なのかな、と思っただけ。
繰り返しになるけど、
ロッサー可証性述語のような可導性条件を満たさないものでもいいのなら
可証性はそれこそ無数にあるわけで（ZFCの場合でも）、
Qの場合に2種類出て来ることがZFCとの違いにはならないよね？
（可算無限の2倍は可算無限で変わらない）
結局、>>742では何が言いたかったのか分からないんだよね。
0756１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 23:40:20.61ID:A25minQ6>違う定理だと考えざるを得ないでしょ。
これもよく分からないんだよね。
PAでの証明可能性とIΣ1の証明可能性は
（形式化以前の問題で）違うのだから
当然、可証性述語は別物でしょ？
だけど今問題にしているのは
「PAやIΣ1やS12に対する第二不完全性と
Qに対する第二不完全性は違う」という>>734の主張。
つまりPAやIΣ1やS12に対する第二不完全性は同じという前提の話だったのに
いつのまにかこれらも違う定理ってことになってる。
申し訳ないんだけど、主張内容を前提から含めて整理して頂けませんか？
0757１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 23:41:15.95ID:NGpKT8HY当然そうだという前提で話をされても困るのだけど。
あなたが解釈によって保存しない性質に興味が無いのは勝手だけど、
だからってそういうものを全て重要でないことにして
みな無視するべきだ、無視しないのはおかしい、と言い出すのは
（そう言っているようにしか思えないのだけど）辞めて欲しい。
Qを解釈できる無矛盾な理論TからはCon(T)が導けない、
というのが定理のステートメントなのに、
証明はTがS12を解釈できる場合と解釈できない場合で場合分けして、
それぞれの場合で述語Con(x)として違うものを取ってる訳でしょ？
それは若干反則気味じゃないの？という話でしょ。
互いに同値であることが或る弱い理論で示せれば、
その弱い理論が前提されている状況では同じと見做せるが、
そうだとしても、それは証明してチェックしないといけないこと。
0758１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 23:44:01.38ID:A25minQ6誤) 理論に可導性条件は導けたり導けなかったりするのだから。
正) 理論によって可導性条件は導けたり導けなかったりするのだから。
0759１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 23:58:27.15ID:A25minQ6可導性条件があれば出るのだから、
それが保存されたら今の問題には区別する必要ないように思うけどな。
いずれにせよ、自分でも
「例えば可導性条件などのメタ数学的に重要な性質」と
これしか例にあげていないので、
良かったら癇癪で保存されない例をあげてもらる？
0760１３２人目の素数さん
2015/03/23(月) 23:59:55.52ID:A25minQ6正) 解釈
0761１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 07:03:40.72ID:ck5vzA71自分で例として挙げたのは解釈で保存されるものだけ。
ところが解釈の下での保存を仮定すると怒りだす。
解釈を通すか通さないかがずっと問題になってきたにも関わらずである。
自分の例示の仕方に問題があるだけだろう。
他にも「或る種の」とか「若干反則気味」とか
主観的というか正確な意味のとれない言葉が並んでいる。
0762１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 07:16:06.87ID:nK64TAci証明能力の強弱は或る程度潰れるでしょ
0763１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 07:47:26.68ID:nK64TAci性質が重要であることの数学的定義を挙げよとか言われても
私には出来ないよ。他の誰にも出来るとは思わないけど。
可導性条件は第二を導くための条件に過ぎないし
可導性条件を満たす述語も複数あるだろうから
第二不完全性定理を使って何か別の結論を得たい場合には
違うConを使っても問題無いのか考える必要がある。
そういうところの微妙さが私には反則に感じるというだけ。
別に反則だと思わなくても良いが、微妙なのには変わらない。
0764１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 12:43:47.24ID:ck5vzA710765１３２人目の素数さん
2015/03/24(火) 17:40:17.78ID:Uv5y626I読んでみたけど、確かに書評じゃなくてエッセイというかモノローグというかポエムというか……
0766１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 18:12:10.10ID:w+WEfv9G「算術を解釈できる再帰的公理化可能理論について」
という形で書いてある（日本語だと河合の本がそうだった筈）人間や、
そうでなくてもその後そういう見方に慣れた人間にとっては、
S12をQで解釈しても特になんとも思わないのだろうが、
それまで触れてこなかった人間には
「証明してチェックしないといけないこと」になるのだろう。
ただそれなら本来ならZFCに拡張するときに引っかかるはずなんだけど。
要は>>740で終わってたってこと。
0767１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 19:08:17.46ID:PbXrwE9n0768１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 19:10:01.13ID:VJsgtpcI0769１３２人目の素数さん
2015/03/25(水) 20:51:15.40ID:EyOrSk2T第二不完全性とは何か？という問には
専門家はみんな一家言あるんだろうね。
最初に勉強した本にも拠るだろうし
普段どれくらいの抽象度で生きているか、
日々どういう応用を念頭においているか
という要素で変わってくるのでしょう。
0770１３２人目の素数さん
2015/03/26(木) 00:13:20.09ID:4n1Lq3JE>そもそもの問題はS12（より強い算術）の第二不完全性定理と
>S12を埋め込むことで証明したQ上の第二不完全性定理とに
>違いがあるか、という話だったと思うけど。
>Qを拡大した理論（Tとする）の中にはPRAとすら両立しないような理論もあるので、
>そういう不健全な理論の上の可証性述語とはそもそも何なのか、という話。
ここも前提に齟齬があるよね。
S12を拡大した理論の中にもPRAとすら両立しないような理論もあるのだから、
２つ目の引用が「違う」という理由ならば
S12の第二不完全性定理だって、PAやIΣ1のの第二不完全性定理と違うはず。
ま、それ以前に>>756の通りなんだけどね。
0771１３２人目の素数さん
2015/03/26(木) 19:40:24.68ID:9zC1jxWPどういう意味で一つなのかと言われても困る。
言っているのは、性質の違う可証性述語に対する
第二不完全性は違う定理だと考えねばならない、
ということ。性質が同じとはどういうことかと言われても困るけど。
或る述語が可証性述語だということも別に定義がある訳ではないし。
PAからの可証性とIΣ1からの可証性は
違うというような自明な話をしているのではなくて
理論TとT'を固定した時にTからの可証性をコードするような
T'上の述語が複数あるということを言っている。
0772１３２人目の素数さん
2015/03/26(木) 20:49:29.36ID:nziChZFw0773１３２人目の素数さん
2015/03/27(金) 00:06:51.60ID:EjPtqV5t俺が初っ端ユニーク特定の話をした理由が理解できたかな？
トリ？俺はいつでもできるよ？
お前は逃げるだけでできないだろｗ豚。
0774１３２人目の素数さん
2015/03/27(金) 05:39:02.23ID:iQyrz35u言ってることもよう分からんし
0775１３２人目の素数さん
2015/03/30(月) 18:47:10.50ID:LEkGO0rZ0776１３２人目の素数さん
2015/04/11(土) 17:24:22.08ID:osSnm/+qおまえら基礎論厨の好むと好まざるといえども鬼っ子としか言いようがない「スレ主」が育っちゃってるんですけどどうにかしてくだしあ
0777１３２人目の素数さん
2015/04/12(日) 11:39:20.35ID:hIuQ3hsv0778１３２人目の素数さん
2015/04/14(火) 22:19:37.09ID:ZXpIArNx照井先生には「売れるネタ」に擦り寄らずに
線型論理等自分の専門のネタを中心に語って欲しかったなあ。
0779１３２人目の素数さん
2015/04/14(火) 23:48:39.31ID:Z5lOJyFk0780１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 11:42:15.28ID:x2/IYne+0781１３２人目の素数さん
2015/04/15(水) 23:35:05.76ID:li9fQYL0はトートロジーですか？
0782１３２人目の素数さん
2015/04/16(木) 00:20:03.92ID:UeSxaQ1aそれが偽であるためには(p→r)∨(q→r)が偽でないといけない。
p→rもq→rも偽でないといけない。
つまりpとqは真でrは偽でないといけない。
このとき(p∧q)→rは偽になるから、与式は真となり与式が偽になることはない。
よって与式はトートロジー。
0783１３２人目の素数さん
2015/04/16(木) 04:24:52.62ID:tOgg5h6l0784１３２人目の素数さん
2015/04/16(木) 21:15:01.53ID:T2xlPoxCおまいらは非ロジシャンの数学者がロジックについて語れば口角泡飛ばして批判するのに
ロジシャンがロジック内の非専門分野について語るのにはずぶずぶに寛容だな。
0785１３２人目の素数さん
2015/04/16(木) 21:18:00.78ID:VDd4MV390786１３２人目の素数さん
2015/04/18(土) 11:05:16.72ID:4UasglT9間違ってるから叩かれてるだけでしょ。
照井先生は間違ったこと書いてたの？
0787１３２人目の素数さん
2015/04/18(土) 15:12:16.63ID:0kwXMmA4素人が雑な言い方をすると叩いて
専門家が同じような雑な言い方しても叩かない、という人は確かに居る
0788１３２人目の素数さん
2015/04/18(土) 19:21:10.84ID:P1WJoK2G素人に毛が生えた教師や啓蒙書作家にはけちつけるけど
東大の大先生の野矢茂樹がトンでも書いてるのに全く指摘しない
常々鴨が批判してるそのものずばりの勘違いが
べストセラーにかかれてるのに
0789１３２人目の素数さん
2015/04/18(土) 21:03:49.82ID:l6oyl9k+最初にそれを言ったオッペンハイマーをトンデモとは言わないって先日も批判されてたね
0790１３２人目の素数さん
2015/04/19(日) 11:06:19.84ID:tROnp2OYこの論理式は
(p→q)∨(q→p)
と似ていて、直観主義論理では証明できないトートロジーなので、
難しいし、（ある意味）真偽の場合分け以外では証明できません。
0791１３２人目の素数さん
2015/04/19(日) 11:29:03.79ID:r46kaJnT0792１３２人目の素数さん
2015/04/19(日) 19:00:32.36ID:tROnp2OYそれを指すのでは？
0793１３２人目の素数さん
2015/04/19(日) 22:35:17.08ID:05nx2q960794１３２人目の素数さん
2015/04/19(日) 23:50:07.27ID:tROnp2OY0795１３２人目の素数さん
2015/04/20(月) 09:24:50.18ID:qDRdan6v0796１３２人目の素数さん
2015/04/20(月) 10:34:24.88ID:8JLDe7hJ0797１３２人目の素数さん
2015/04/20(月) 11:42:44.47ID:/bUd4GuD0798１３２人目の素数さん
2015/04/20(月) 12:24:29.68ID:qDRdan6v命題論理の体系の一種だという理解でいいんでしょうか？
0799１３２人目の素数さん
2015/04/20(月) 13:33:58.35ID:ZEcLfQ6Jいや全然違う。自由変数が使えるのはかなりデカイよ
実際Π1文に「相当する」論理式だって作れる
0800１３２人目の素数さん
2015/04/20(月) 22:10:52.10ID:I4Xesr3K一体全体どう「全然違う」というのか？
0801１３２人目の素数さん
2015/04/20(月) 23:03:12.66ID:Wd/2lYtNよこからだけど
命題論理で言うとトートロジーでないけど、妥当な式があるってことでしょ
PRAは算術だから等号公理や算術に関する公理も含んでいるから、例えば「どの数も次に続く数より小さい」と言う内容を定理として導出できるだろうけど、この内容は命題論理の範囲を超えてるよね
0802１３２人目の素数さん
2015/04/20(月) 23:16:33.87ID:Wd/2lYtN自己レス
この例は間違いくさいな
0803１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 09:55:11.31ID:azu8WN1T命題論理だと非論理的公理は考えてはいけなくて
論理的公理だけにしなければならない、と仰る？
0804１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 13:10:46.75ID:UN176F5Aあまり意味がない
たとえば算術が展開できるような命題論理の拡張はちょっと想像できない
0805１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 13:16:30.07ID:UN176F5A何かをここで議論せずにいろいろ調べてからくればいいとおもう
全然違うから
0806１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 18:19:48.40ID:azu8WN1T「意味がない」とか「想像できない」とか「いろいろ調べて」とか言ってないで
どう違うのかを示してから出直してきな
0807１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 20:28:25.15ID:YVKkoffZＵＲＬ貼れないから
メンガ って検索してみてね！
※正しいサイト名は英語です。
0808１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 20:51:52.71ID:e2srAhxk極端な話、すべての真なる命題を公理にしてしまえば
「算術が展開できるような命題論理の拡張」にはなるけど
PRAとは言えないよね。そういうことだよ
0809１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 21:03:25.01ID:gn+kqYPv量化だけを許さず他の論理結合子は許さないような形で定式化した
PRAが命題論理（に非論理的公理を加えた）体系である、
というのは正しい。
（>>805=>>808 は「正しくない」と主張しているみたいだけど
それならそうやって逃げてないで根拠を示してね。）
ただし量化を許す（つまり通常の述語論理上の理論としての）定式化もあるし
逆に∧や∨や￢すら許さないような定式化もあるので
特定の定式化でしか言えない命題論理の体系の拡張として見ることに
どれほどの意義があるのかは謎だけどね。
WFFがきちんと書かれていなくて不安になった初心者が
暫定的に命題論理の一種だと考えて先に進めるようになる
という意義はあるのかもしれないけれど。
0810１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 21:08:42.46ID:gn+kqYPv× 他の論理結合子は許さないような形
○ 他の論理結合子は許すような形
0811１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 21:12:43.40ID:Mje/N0Jl意味わかる人いるのか？
0812１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 22:15:36.99ID:gBi0EHtPどこが疑問なんだ？
命題は列挙できるよな？
0813１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 22:19:11.13ID:nJK3V5dIhttp://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_arithmetic
0814１３２人目の素数さん
2015/04/21(火) 23:32:18.37ID:U640+OvL￢（S(x)=０）
という命題があるけどこれは命題論理でどう表現するんだよ
命題論理の定義が間違ってるだろ
命題論理の言語に等号も定項も変項もないだろ
命題論理の言語に含まれるのは
命題変項
論理結合子
必要であれば命題定項
だろ
wikiみればわかるけどPRAは量化子がない述語論理で公理を加えて表現できるけど、論理結合子使わなくても表現できる
PRAが命題論理って言ってるやつはとりあえずwikipedia見てみろ。読んでないだろ
0815１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 00:08:03.60ID:hGmPZIV6もちろん列挙できないし、真偽もわからない
0816１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 04:42:21.90ID:LwWZnW80ゲーデル数も知らない池沼ｗ
0817１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 07:14:55.13ID:hGmPZIV6そんなのは数論の定理に過ぎないのでは？
0818１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 09:55:52.84ID:4sdpJaey0819１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 10:55:19.93ID:7u0FfmAWwikipedia見た？
PRAは命題論理なくても展開できるんだって
0820１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 11:39:11.84ID:4sdpJaeywikipediaに限らず>>809も言ってるが
命題論理なしでもできるが
命題論理に基づく定式化も可能だということだ。
自分の挙げたwikipediaくらいよく嫁
0821１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 14:13:54.11ID:the46EzP大体これは可算概念の相対性によって説明されるのだが、他の説明の仕方はないの？
そもそも概念の相対性はどこから生じてるの？
0822１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 14:45:18.20ID:Ff+D0fTk>>798は「PRAが命題論理の拡張」かどうか聞いていて、その答えはnoだろ
命題論理でもできるし、命題論理なしでもできる
命題論理に全く依存してないでしょ
0823１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 17:54:12.73ID:4sdpJaey命題論理の拡張だろ？
命題論理までなしにした定式化のPRAが最初に出来たのは>>809だ。
お前本当に頭悪いんじゃないか？
0824１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 18:00:48.40ID:3m567tgt曖昧な言葉こそ飯の種
0825１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 19:08:10.64ID:iC0TLEzL想定してる命題論理の定義が違う
命題論理の言語は命題変項と論理結合子
述語論理の言語は述語記号と関数記号と定項と変項と論理結合子と量化子
命題論理の言語ではPRAは作れないでしょ
PRAが述語論理の量化子なしで定義されたというのに文句を言ってるのではない
それを命題論理と呼ぶことに反対してる
間違いではないかも知れないがミスリーディングだ
0826１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 19:33:09.24ID:3BtVKS+e議論してる途中で頭悪いとか人格攻撃するのはやめなよ
0827１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 21:14:17.93ID:uiZ6Vy2z禅問答の域に達しているので相手をする必要はないと思うけど
他にも勘違いしている人もいるようなので注意しておくと
同じPRAと言う名称で呼ばれている体系でも
厳密に言えば全く違う体系だということ。
1. 述語論理上の体系として定式化したPRA
（シンプソンの有名な本ではこれを採用している）
2. 命題結合子は許す定式化のPRA
（wikipediaの記事でメインで採用されている定式化）
3. 命題結合子すら許さない純粋な等式理論としてのPRA
（wikipediaの記事でlogic-freeと呼ばれている定式化）
これらは同じPRAという名前で呼ばれているだけで別の体系。
その記事にあるような通常の利用目的の
「基本的な証明論のための超数学的な形式的体系」としては
どれでも大差がないので同じ名前を付けているだけ。
（もちろん、その利用目的に合わせて適切な同値関係を入れれば
同じ同値類だということはできるけど。）
>>825
述語論理さえ、原子論理式や量化で出来た論理式を命題定項とみなして
量化に関する公理は非論理的公理とみなすことで
命題論理の拡張だと見せることは知ってる？
Shoenfieldとかの標準的な教科書には載ってるよ。
>>809の通りその見方に意義があるかどうか分からないし
ミスリーディングと言えばミスリーディングな場面もあるかもしれないけど
>>798のように聞かれたらYesと答えるしかないでしょ？
0828１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 21:46:30.33ID:hGmPZIV6>述語論理さえ、原子論理式や量化で出来た論理式を命題定項とみなして
>量化に関する公理は非論理的公理とみなすことで
>命題論理の拡張だと見せることは知ってる？
>Shoenfieldとかの標準的な教科書には載ってるよ。
Shoenfieldは持ってるんですが、どこのことなのか教えてください。
0829１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 22:24:32.98ID:uiZ6Vy2zいま本が手元にないのでうる覚えだけれど
述語論理の完全性の証明をその見方でしていたと思う。
記憶違いだったら勘弁。
その見方で述語論理が命題論理上の理論と見做せるのは
参考文献を挙げるまでもなく自明なことなので。
0830１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 22:33:03.69ID:h02Op0SIこういうレスが書ける人になりたい
0831１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 22:40:58.92ID:hGmPZIV6もしかして、3.1 THE TAUTOLOGY THEOREMのところですかね？
A formula is elementary if it is either an atomic formula or an instantiation.
A truth valuation for T is a mapping from the set of elementary formulas in T to the set of truth values.
0832１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 22:43:58.84ID:x6YEGMnV田中一之さんの章もそういう定式化扱ってたね
0833１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 22:55:14.85ID:Hh8oVyDRPRAを命題論理の一種とか拡張だとかいうのが間違いだと言ってるんだって
0834１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 23:03:53.97ID:xH9FXtAB知ってるって
ヘンキン定数とヘンキン公理を使って量化の文を命題論理のトートロジーに還元する完全性定理の証明でしょ
還元できたとしても述語論理を命題論理の一種だとか拡張だとか言わないでしょ
PRAを命題論理の一種だとか拡張だとかいうのは
述語論理を命題論理の一種だとか拡張だとかいうのと同じ
それはミスリーディングじゃん
0835１３２人目の素数さん
2015/04/22(水) 23:47:16.94ID:h02Op0SI>>827を読んだ上で言ってる？
0836１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 00:37:20.64ID:zDCjbyC5> >>822は「関係あるともいえるしないとも言えるから関係ないでしょ」とかって
> 禅問答の域に達しているので相手をする必要はないと思うけど
> 他にも勘違いしている人もいるようなので注意しておくと
> 同じPRAと言う名称で呼ばれている体系でも
> 厳密に言えば全く違う体系だということ。
これが大体間違ってる
PRAは命題論理を使っても使わなくても定式化できるという意味で、
PRAが命題論理に「依存してない」と私は言ったので
「関係ない」とは言ってない
厳密に議論できずに言葉じりを変えて自分の意見に沿うように捻じ曲げないでほしい
0837１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 00:46:17.86ID:zDCjbyC5↓これについてどう思ってるの？
> 還元できたとしても述語論理を命題論理の一種だとか拡張だとか言わないでしょ
>
> PRAを命題論理の一種だとか拡張だとかいうのは
> 述語論理を命題論理の一種だとか拡張だとかいうのと同じ
>
> それはミスリーディングじゃん
PRAを命題論理の一種というならその定義を示してよ
Wikipediaの定式化の一つは述語論理の量化子を除いた部分を使っているから、
それは述語論理での定式化でしょ命題論理の一種ではない
0838１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 00:49:41.48ID:zDCjbyC5Schoenfield読んだし手元にもあるけど
述語論理が命題論理の一種だとか拡張だとかどこに書いてあるの？
見た覚えがないんだけど
0839１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 11:07:46.47ID:jk69BTKV意味分かるやついるの？
0840１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 20:43:57.74ID:D1rTDJdZこれは命題論理の範囲外じゃね？
もちろん非論理的公理として付け加えることはできるけど
0841１３２人目の素数さん
2015/04/23(木) 21:10:28.66ID:V945QTjfゲーデルの不完全性定理って成り立つの？
0842１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 08:21:46.61ID:YRNjwXTi改めて>>827を読んだら
2番の量化なしの述語論理の定式化が
命題論理の拡張になっていることがわかりました
本当にすみませんでした
以後自粛します
0843１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 08:29:56.22ID:0Le+MCKzわかったというなら実際に量化なしの定式化を命題論理に拡張して見せてよ
0844１３２人目の素数さん
2015/04/24(金) 21:42:06.13ID:SKEhiuav同じPRAって名前がついてるくらいだし
不完全性定理のような重要な性質の
成立・不成立は>>827の1,2,3のどれでも変わらない
（だからどれでも成立する）と思うけど
照井先生の本には書いてない？
不完全性定理が成立する最弱の理論は何か？って
少し前に話題になってたけれど
PRAもEFAも述語論理の体系になっていない場合に
「不完全性定理が成り立つ」ってどう定義するんだろうね？
0845１３２人目の素数さん
2015/04/27(月) 22:25:47.31ID:4dkvnz7oまあでもこのスレの人々は、
かの望月新一氏でさえ間違っていると叩く位だから、
照井氏だろうが新井氏だろうが間違っていれば叩くのでは？
逆に「不完全性定理は第二階述語論理の公理系の不完全性」みたいなこと言っても
（間違いとは言えないので）このスレでは叩かれない。
0846１３２人目の素数さん
2015/04/27(月) 22:44:32.83ID:eFYGri5a0847１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 21:11:36.24ID:jHyOwYRe0848１３２人目の素数さん
2015/04/28(火) 21:53:35.71ID:NLID5z0Y実際、ネット上での彼の取巻きは
「不完全性定理は第二階述語論理の公理系の不完全性」
という発言をトンデモだと決めつけた（自称？）専門家もいるし。
0849１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 10:16:56.30ID:mSgc706jっていうのは
「古典論理上の理論であって直観主義論理上の理論ではない」
ってのと同型だな。
前半は後半の根拠にすらなるのに
あたかも後半が成り立たないことの根拠に前半を述べるのもそっくり。
一部の論理公理が非論理公理になったりはするが
自分で手を動かしていれば絶対に言わないようなこと。
表面的な言葉で理解したつもりの哲屑を見分けるのに最適。
0850１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 19:51:19.26ID:hpoBQ/W2あと古典論理上の理論を、直観主義論理に非論理的公理
￢￢φ→φが付いたものと見做すのも相当不自然だしね
0851１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 21:00:27.45ID:giyCBGLTその自称専門家ってもしかして
「直観主義論理上の理論はすべて disjunction/existence proterty が成立する」と言いながら
平気で「古典論理上では disjunction/existence proterty は成り立たない」とか言っちゃうあの人？
0852１３２人目の素数さん
2015/04/29(水) 23:42:36.52ID:+7jZYgZ0自然不自然じゃなくて安全性が同等だっていう意義じゃなかった？
古典論理で矛盾が出れば直観論理でも矛盾が出るよって話。
0853１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 00:04:36.54ID:24Q2DEyz不自然だという感覚がわからないのですが、
良かったら説明して頂けませんか？
0854１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 02:01:40.51ID:1zQ9kDEd古典論理が直観主義論理に埋め込めるってのは知ってるけど
今の話がその話だった訳では無いんじゃないの
849じゃないから知らんけど
>>853
何かの数学的対象の性質を規定した公理じゃなくて
論理記号￢の性質を規定した公理だから
論理記号についての公理と見做すのが自然かと
0855１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 10:27:20.56ID:v1y0tZ7S哲屑批判をしている本人が実は哲屑だったわけだな。
自分で手を動かしていないことが丸分かり。
自然じゃないだの不自然だの言って数学的事実を疎かにすると
こういう哲屑になるという典型。
「正方形は長方形である」を不自然不自然と騒ぐのと一緒。
0856１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 12:36:31.32ID:XflG0qvIあなたの主張はどの書き込みにもとづいて言ってるの？
よくわからない。
0857１３２人目の素数さん
2015/04/30(木) 21:01:38.79ID:24Q2DEyz二重否定除去や排中律を非論理的公理として扱って
その制限した形と他の算術的公理との関係を調べるという研究↓があるみたいですが
こういった研究は不自然であり筋が悪いということでしょうか？
www.shayashi.jp/PALCM/hierarchy.pdf
0858１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 17:49:45.97ID:H6axLZqb必要に応じていつでも非論理公理という見方にも切り替えられるのが数学徒
0859１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 18:20:16.73ID:eIKZaxI1もしかして無意識にそうしたんですか？
0860１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 21:00:04.58ID:F+P9hOFoむしろ可能・不可能の問題を誰かが(825の最後の一文あたり？)
自然・不自然にすり替えたように思うけどね。
数学上のブレークスルーというのは
誰も気づかなかった見方をするのがキーになるので
不自然だと言って或る見方に否定的な態度を取るんじゃなくて
常に新しい見方に対してオープンでありたいものだね。
0861１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 21:32:30.40ID:5irjRbPx0862１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 21:52:21.76ID:x/lYBi6K0863１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 22:42:02.97ID:5irjRbPx言われてみれば、よく考えてみれば自然である。
そうでなかった例の方を教えてほしい。
0864１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 22:57:11.74ID:tPfpNoT20865１３２人目の素数さん
2015/05/01(金) 22:58:50.46ID:5irjRbPx0866１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 08:41:19.51ID:hLf0eCFy選択公理が論理的公理だと言うのなら分からないけど
二重否定除去を直観主義論理上で非論理的公理だと看做すのは必然だと思う。
それを不自然だと論じることに一体どんなメリットがあるのか850に聞きたい。
0867１３２人目の素数さん
2015/05/02(土) 22:22:05.14ID:gPdH5Ev9利点があるとか無いとかそういうことはそもそも言っていないので困るのだけど。
>>857
排中律という論理的公理と他の算術の公理との関係を調べている、
と言ってはいけないの？
排中律は直観主義では正しくないから非論理的公理だ、とか言うなら
A→(A→B)は最小論理では正しくないから非論理的公理だ、ということになってしまう。
実際、最小論理上の算術と、それに付加される論理的公理との関係の研究だって出来るとは思うけどね。
0868１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 09:50:49.65ID:vbFff34k>A→(A→B)は最小論理では正しくないから非論理的公理だ、ということになってしまう。
最小論理に入っていない直観主義論理の公理を最小論理上で扱うには
非論理公理として扱っているという話だろ。
「～するときには～とみなす」ではなく
「～は正しくない」という言い方になってしまうのは
観点を切り替えるということを知らない>>858のいうところの鉄屑。
0869１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 21:22:41.61ID:bTG4qIlb論理的公理と見るか非論理的公理と見るかは場面によって柔軟に切り替えるべき
というのがこれまでの趣旨なのだから、
「直観主義で正しくないから『どんな場面でも』非論理的公理と見るべきだ」
なんて誰も言っていないと思うし、
少なくてもあなたの反論している>>857は言っていないよ。
藁人形論法は相変わらずだね。
あと、最小論理って Johansson の minimal logic のことだと思うけど
A→(A→B)は論理的公理だよ。
ここでは本質的でないけど、本質的でない所で知ったかが露呈すると恥ずかしいよね。
0870１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 21:35:17.14ID:rUkvF0Kr0871１３２人目の素数さん 転載ダメ©2ch.net
2015/05/03(日) 22:09:30.91ID:IEOrP2nn数学の勉強法教えてくれ。 いくらやっても成長しない。 リカモメン達の上達法を知りたい。
http://fox.2ch.net/test/read.cgi/poverty/1430658417/
-
0872１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 23:13:23.51ID:bTG4qIlbおっと俺も間違えてた。サンクス。
A→(A→B)は論理的公理じゃないな。実に恥ずかしいね。
0873１３２人目の素数さん
2015/05/03(日) 23:50:06.51ID:hZz5u/r70874１３２人目の素数さん
2015/05/04(月) 14:59:31.51ID:AzFYn+Mj外延性公理って入ってなかったっけ？
選択公理付きの直観主義集合論ってたとえばどんなん？
0875１３２人目の素数さん
2015/05/04(月) 23:24:53.03ID:9UCGvuXgいずれも外延性を採用して選択公理は含んでないね。
http://en.wikipedia.org/wiki/Constructive_set_theory
0876１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 10:23:35.36ID:UznaKpX4「直観主義集合論で外延性の公理はあまり採用されない」というけど
Wikipediaには採用されるものばっかりだよ？
もちろんWikipediaがスタンダードだとは言わないけど
参考文献くらいあげておいて欲しい。
0877１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 21:05:21.16ID:0qrN1Tmbその知見について興味をもった企業の技術者が、Aという製品を開発するにあたってそれは
なんだか使えそうな感じがするからそのAという製品についても勉強してくれるのなら
技術アドバイザーの形でとりあえず短期契約の形で参加してくれないか？と要請されたら受ける人はいるか？
デメリットとしては応用なので学問の理論的進展には寄与できないとする。
0878１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 21:32:05.42ID:0qrN1Tmbこだわりの強さで会話が成立しないからだ。だから、そういう自分の傾向に自覚的で、なんとか
対話しようって思うやつじゃないと無理だが。
0879１３２人目の素数さん
2015/05/05(火) 23:54:45.54ID:xNTfXV9q工学部には腐るほど居るので
そういう応用で簡単に実現可能なものは割と実現されてる気がするけど
0880１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 01:53:34.75ID:RsBaNXlP0881１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 14:27:55.25ID:vhwrpNYZhttp://openlogicproject.org/
0882１３２人目の素数さん
2015/05/06(水) 14:36:28.91ID:IZNSfLO/A⇒(A⇒B)
A⇒B
B
0883１３２人目の素数さん
2015/05/10(日) 12:27:34.54ID:p/WApVSo0884１３２人目の素数さん
2015/05/17(日) 21:45:46.18ID:hH0Ip1F90885１３２人目の素数さん
2015/05/20(水) 09:09:53.24ID:431EL249今は直観主義に、はまりたくないので恐る恐る質問します。
b⊆{a}->(b={}∨b={a})
が直観主義では証明できないと前のスレで言われました。
もしそれが本当なら、要素を1つしか持たない集合に対して、
直観主義の方々はどのように思っているのでしょうか。あるいは、
要素を1つしか持たない集合という考え方がそもそもいけないのでしょうか。
あるいは、上記の論理式において、aが空集合のような具体的なものの
場合は話が違ってくるのでしょうか。それとも証明できるのでしょうか。
できるのなら教えていただけないでしょうか。
偉い方どうかよろしくお願いします。
0886１３２人目の素数さん
2015/05/20(水) 14:59:12.84ID:jbb2q2vy> b⊆{a}->(b={}∨b={a})
> が直観主義では証明できないと前のスレで言われました。
確かに証明できないですね。
その理由は b⊆{a} というだけでは右辺のどちらのケースが該当しているのか不明だからです。
> もしそれが本当なら、要素を1つしか持たない集合に対して、
> 直観主義の方々はどのように思っているのでしょうか。あるいは、
古典論理に基づく通常の数学との対比で直観主義論理をベースの論理として採用した数学理論、
例えば直観主義集合論の特異性は、「要素を１つしか持たない集合」という概念の違いというよりも、
直観主義論理での論理和 ∨ （および存在限量子 ∃）解釈に起因しています。
例えば、あなたが例として挙げられた含意の右辺の (b={}∨b={a}) は、直観主義論理に対するKolmogorov解釈では、
「bが空集合という証明を持っているか、bが{a}という単一要素集合である証明を持っているかの何れかである」
という解釈をします。一方、左辺の包含関係の証明を持っているというだけでは、どちらかのケースの証明を持っている保証はありません。
（例えば、bの要素数が２以上だと仮定すれば矛盾するという証明が左辺の証明としては可能です。）
ですから、あなたの例の場合、集合やその要素数という数学的概念に対する直観主義での扱いが（古典論理と比べて）特異的なのではなく、
あくまでも直観主義論理そのものの特異性（論理和や存在限量子の解釈が構成的であること）に起因しています。
0887１３２人目の素数さん
2015/05/20(水) 17:33:18.39ID:pav7t4EIそれでは
b⊆{a} -> ￢(￢b={} ∧ ￢b={a})
なら証明可能なのでしょうか？
0888１３２人目の素数さん
2015/05/20(水) 22:21:32.73ID:MrmoinDF公理的集合論についてはよく知らないが。
0889１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 00:35:21.30ID:U1mdoGwpということで決着したのでしょうか？
>>885と>>886はそれぞれ、
外延性の公理を認めた上で話をしているのですか？
そうでないのならば、
空集合{}や一元集合{a}は一意に定まらないはずですから
b={},b⊆{a},b={a}はそれぞれ何の略記なのでしょうか？
0890１３２人目の素数さん
2015/05/21(木) 17:30:47.12ID:BbRyE9Is0891886
2015/05/22(金) 01:35:30.56ID:ponKEfCB> 「直観主義の集合論では外延性の公理は採用するのが標準的」
> ということで決着したのでしょうか？
886はその公理を前提として書いていますが、
現在の直観主義集合論研究コミュニティで標準的かは知りません
（なにせ理論計算機科学としての構成的型理論から直観主義論理に触れた人間なので）。
ただ、直観主義集合論に関するほぼ唯一の日本語の参考書である
竹内外史のモノグラフでは外延性公理を採用していたように記憶していますが
それとも私の記憶違いかなあ？
0892885
2015/05/22(金) 15:17:20.56ID:8I7Qamu0お礼の挨拶が送れてすみません。大感謝です。
さすが本スレですね。いきなりしっかりとしたレスをいただいて、前スレとの違いに
びっくりしてます。
あと型理論についてくわしいなら、CICというか、特に再帰型についてわからないことが
あるんだけどどうしようかなあ。
0893１３２人目の素数さん
2015/05/23(土) 10:49:28.77ID:g8u1FOsY0894886
2015/05/24(日) 14:52:31.35ID:k4QyY6aK> >>891=>>886は>>887には答えないの？
887の答えはわざわざ改めて書くまでもなく「証明できる」だと思いますが。
0895１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 21:10:37.44ID:nPB9mO67>>888なんて出来ないみたいなこと書いているし。
もう少しここの住人の知的レベルを考慮して欲しい。
0896１３２人目の素数さん
2015/05/24(日) 22:47:25.20ID:csHg0+LENKでAが証明可能⇔NJで￢￢Aが証明可能ってやつ
0897１３２人目の素数さん
2015/05/25(月) 00:11:17.92ID:X7rVSVwp述語論理では成り立たない話で命題論理限定な
しかも非論理的公理のない純粋な論理体系の話
0898１３２人目の素数さん
2015/05/25(月) 00:18:38.79ID:p7LUQdPK0899１３２人目の素数さん
2015/05/26(火) 09:27:02.81ID:w/IFGaNKそれ二重否定翻訳のこと？
http://en.wikipedia.org/wiki/Double-negation_translation
0900１３２人目の素数さん
2015/05/28(木) 21:22:03.94ID:Utp55abAいずれにせよ非論理的公理である集合論の公理が
二重否定翻訳で保存されることを言わない限り
>>887の問題には適用できない。
0901１３２人目の素数さん
2015/05/29(金) 22:08:04.86ID:P2ZSzF3c述語論理のセマンティックスで、
V(∀ξB) = 1を「モデルMのすべてのα変種について、V(B[α/ξ:]) = 1」
と定義する。
αは∀ξBに現われない定項ならば、なんでもいいので、
これは
「すべてのa変種について～」かつ「すべてのb変種について～」かつ…
と「かつ」でむすんで理解してはおかしいでしょうか。
あえてむすぶなら「または」でむすぶ…？
0902１３２人目の素数さん
2015/05/29(金) 23:22:54.43ID:mfKjJVP9参考にしている文献の情報は？
どれが標準的な用語でどれがその本特有の用語なのかは
初学者には判断できないものだから
質問する際には必ず勉強している本の情報を記すこと。
0903１３２人目の素数さん
2015/05/29(金) 23:31:34.31ID:P2ZSzF3cVは「付値関数」と書いてあります。
「変種」という用語も独特なのかどうか、よくわかりません。
0904１３２人目の素数さん
2015/05/29(金) 23:41:03.22ID:P2ZSzF3c原子式、複合論理式、量化式の真理をつぎつぎに定義していく箇所です。
0905１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 01:35:55.10ID:mzJ5IRs8複合論理式ってのもその本がそういう言葉遣いしてるだけ
まあこっちは何となく推測付くけど
0906１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 09:00:03.15ID:KnsvKoRrcompound formula って用語は出ているぞ
http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_formula
最初の段落の最後の一文
これの単なる訳語だろ
0907１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 09:17:02.99ID:mzJ5IRs8・英語の原語自体のバラツキ
（数学系なのか哲学系なのか計算機科学系なのか言語学系なのかで割と違う）
・訳語のバラツキ
・日本語の本で新しく術語を定義する場合
などがあって、割と些細な言葉遣いでゴチャゴチャしてるけど
今の場合大きいのは二番目だね。
あと、少なくとも数学系の本ではcompound formulaという言葉を
敢えて定義することも少ないから一番目もあるかも。
quantifier-free formulaって言えば通じるからね。
0908１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 22:07:57.42ID:aFGaWFkCなかなか斬新な説だなｗｗｗ
0909１３２人目の素数さん
2015/05/30(土) 22:18:18.20ID:mzJ5IRs80910１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 11:04:21.14ID:hmuKNWuwいかにもRIMSの数学の研究者っぽい風貌だった。
自分は数学者ではなくて数理論理学者です、とおっしゃってたけど。
内容は青土社の本に沿ったもので
三つの限界（決定不能性、計算複雑性、不完全性）、
三つの特徴（証明の代数性、ダイナミズム、連続性）、
証明支援系や自動証明システムの話など。
0911１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 21:01:03.34ID:ESNIbgH6（読んだことある人が答えてくれることをお祈りしております）
ふと疑問に思ったのは「α変種」と「a変種」の両方出て来るの？
通常、ギリシア文字とラテン文字は別の種類のオブジェクトを指すと思うんだけど
「変種」は２通りの使い方をしている？
0912１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 21:27:07.97ID:xZa+GFRw個体定項：a, b ,c, …
個体変項：x, y, z, …
述語記号：P, Q, R, S, …
などの取り決めがあります。
それからギリシア文字の「α」「β」等は上の個体定項を表わす図式文字として、すなわち
「個体定項a, b, c等をどれと定めずに代表する」
ために使うらしいです。
同様に、ギリシア文字の「ξ」「ζ」等は上の個体変項を表わす図式文字。
0913１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 21:38:52.91ID:xZa+GFRwV/αは付値関数Vの個体定項αに関する変種（短く「α変種」と言う）である
⇔V/αは個体定項αに対して割り当てる個体だけがVと異なり、
その他の個体定項や述語記号に対する割り当てはVと同じ付値関数である。
ただし、もともとのVじしんもV/αの一種と考えることにする。
ついでに、モデルM＝＜D，V＞で、DはそのままにしてVをこのα変種V/αに取り換えたものを、
モデルMのα変種と言い、M/αと書くことにしよう。
「変種」は以上のような定義です。
0914１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 21:45:55.55ID:xZa+GFRw∀ｘPxが真なのはPa、Pb、Pc、Pd等々がみんな真のときだと言いたい、
でも個体定項として用意されたものは論議領域Dの個体数に足りないかもしれない、
だからaならaという一つの定項をあるときはこれの名、別のときはあれの名といった具合に、
いわば変数あつかいにしよう、
ということらしいです。そういう文脈で出てきます。
0915１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 22:59:42.98ID:xZa+GFRw閉論理式だけに限定して真理を帰納的に定義していく方針
A、B等は論理式を表わすとする。
αは「語彙」のリスト中の個体定項をどれとも定めずさす図式文字。
Φは「語彙」のリスト中の述語記号（MPLでは一項述語）をどれとも定めずさす図式文字。
付値関数Vは個体定項には論議領域Dの個体を割り当て、
述語記号には論議領域Dの部分集合を割り当てます。
（＝１はモデルMの付値関数Vがその論理式を真と評価するということで…）
Aが原子式のとき
V(Φα) = 1 ⇔ V(α)?（属する）V(Φ)
AがB∧Cのとき
V(A) = 1 ⇔ V(B) = 1 かつ V(C) = 1
AがB∨C等々のとき略
Aが∀ξBのとき
V(A) = 1 ⇔ M（モデル）のすべてのα変種M/αについて、V_M/α(B[α/ξ]) = 1
ただし、αはAに現われない個体定項とする。
0916１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 23:05:09.45ID:WgzP4d5G一体何を質問しているんだよ
0917１３２人目の素数さん
2015/05/31(日) 23:21:25.27ID:xZa+GFRwすべてのa変種についてV_M/a(Pa) = 1 かつ
すべてのｂ変種についてV_M/b(Pb) = 1 かつ …
と理解するものなのか、
すべてのa変種についてV_M/a(Pa) = 1 または
すべてのｂ変種についてV_M/b(Pb) = 1 または …
と理解するものなのか、ということなのですが。
最初は「かつ」でむすぶのが正しいような気がしたけど、
変種のために選ぶ定項はそのつど一つあれば十分なので、
「または」でむすぶのが妥当な気もしてきました…。
長々とすいません。
0918１３２人目の素数さん
2015/06/01(月) 12:24:30.92ID:RWlCBnRV「すべてのa変種についてV_M/a(Pa) = 1」と
「すべてのｂ変種についてV_M/b(Pb) = 1」
って同値じゃないの？
同値なものを連言で結ぼうが選言で結ぼうが同じじゃない？
0919１３２人目の素数さん
2015/06/01(月) 19:48:35.45ID:hGstFtBxずっとうまい言い方が見つからなくて引っかかっていました。
直観的に同値ぽいです。厳密な証明はわからないけれど。
ではでは。長々と失礼しました。
0920１３２人目の素数さん
2015/06/02(火) 10:08:21.96ID:jdhQfYOk図式文字のαで代表させているわけか
0921１３２人目の素数さん
2015/06/06(土) 23:36:08.83ID:AOwEdhb00922１３２人目の素数さん
2015/06/07(日) 22:20:42.80ID:P5bo69qMhttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423428746/
0923１３２人目の素数さん
2015/06/10(水) 21:28:35.54ID:0IgZUek4∈ の名称を決めよう [転載禁止]&#169;2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1431674934/
0924１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 09:01:05.37ID:33DvXaVv0925１３２人目の素数さん
2015/06/13(土) 21:29:14.40ID:hWgvIWwr>>923のリンク先は「a∈b」みたいな数式中でどう読むかという話でしょ？
「a∈b」を「エイ・イプサイロン・リレイション・ビー」とは
余り読まないような氣がするけど？
0926１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 00:58:14.40ID:P3BgfvmXこれは∈だけじゃなくて全ての記号で応用が利く。
0927１３２人目の素数さん
2015/06/14(日) 17:21:54.84ID:4Uml7uS90928１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 22:30:10.40ID:omNAztCe真っ先に文科大臣の通知の犠牲になっちゃうのかな？
0929１３２人目の素数さん
2015/06/16(火) 22:36:26.20ID:LwEZtFE9世間とは数学業界のことではないんだよ
0930１３２人目の素数さん
2015/06/17(水) 03:05:20.96ID:dNZWsRmK0931１３２人目の素数さん
2015/06/17(水) 12:40:33.43ID:xF54buXY海外で今後もずっと海外にいる予定の方？
0932１３２人目の素数さん
2015/06/17(水) 13:39:29.61ID:KdyDfHZV0933１３２人目の素数さん
2015/06/17(水) 15:26:33.91ID:0v7UChw5無数に存在する可能な演算の中から、正解に結びつくものだけを選んで実行できるんだぜ
確率論的に考えればそれが出来る確率は限りなく0に近いし、人間業とは思えない
お前はどこの超能力者なんだって話だよ
0934１３２人目の素数さん
2015/06/17(水) 23:44:30.48ID:8K7b/+Tr学校の入試なんてただのパターン問題だよ
0935１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 00:26:13.38ID:J/J3jud/0936１３２人目の素数さん
2015/06/18(木) 00:29:04.11ID:D7UfZt820937１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 12:46:37.59ID:AAl5SazXすごく不思議です。
0938１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 21:11:52.50ID:Hc4fCR9h0939１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 21:33:10.92ID:AAl5SazX0940１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 22:45:38.28ID:Hc4fCR9h「どうやってNANDの完全性を見つけることができたのか？」と
「どうしてNANDなんていう演算を考えようと思ったのか？」のどちら？
どちらにしても答えは知らないけれど。
0941１３２人目の素数さん
2015/06/20(土) 23:34:56.00ID:KFAETe7c全部で16種類しか無いんだから
割とすぐ思いつくと思うけどね
0942１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 00:53:08.58ID:+ol+8LMf実際研究していた人間は、本でちょっと勉強した人間より
はるかに論理記号をいじりたおしているわけだから
その過程で自然に発見できると思う。
おそらく以前から知っている人はいくらでもいて
たまたま著名なシェーファーが採用した記号が後に残ったんだと思う。
NANDじゃなくてNORに対応する記号もあったけどたしかmendelsonの本にのってた
0943１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 10:11:03.04ID:gHME8Vilその16種類が全部1種類のものだけで表せるのはなぜ？
0944１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 10:33:34.78ID:SmTXXJXEそれはまた別の種類の話だろ。
0945１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 10:34:03.81ID:qYAw3gAl0946１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 11:27:12.20ID:ZkZl4f660947１３２人目の素数さん
2015/06/21(日) 13:05:42.04ID:vxB6YHf1シェーファーはブール代数の完備な真理関数が２つあることを証明した。
これは場合分けを多用した組合せ論てきな証明。
この業績以外ではシェーファーの名は聞いたことない。
0948１３２人目の素数さん
2015/06/24(水) 22:58:13.14ID:QLN1SBXG0949１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 00:49:56.08ID:K1d5gVd1数理論理学は数学の一部であり論理学の一部でもあるけれど。
0950１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 03:07:20.96ID:wV0JffyK0951１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 03:17:18.01ID:N10r83vv0952１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 03:28:34.02ID:wV0JffyK0953１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 03:30:12.37ID:N10r83vv0954１３２人目の素数さん
2015/06/25(木) 22:50:54.37ID:BTN8XMh7最近は新フレーゲ主義とかいうのが流行っているらしい。
0955１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 00:45:22.79ID:2SpRF9J0フレーゲは失敗したわけだね。
0956１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 17:51:15.38ID:7rNdWm9+0957１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 20:58:51.71ID:n7ZRhwn60958１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 23:22:04.86ID:Z1bwdKzgフレーゲはこれに失敗したんじゃなかったかな。
0959１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 23:25:26.85ID:xR21Pyfi序数（自然数）などが集合論など非直観的なところから定義されるのはおかしい。
序数はもっと人間の論理的な性質からくるものだ！と主張して数詞って概念を提唱した。
とくにトーマスライトって人が実際にそのような体系を作ったことで有名。
自然数には最大の数があるとか、10と10^10は同じ種類の数ではないとかいろんな学派があって
半集合とかいろいろな体系をつくりだしている。
0960１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 23:32:37.49ID:xR21Pyfi数詞はギョーム理論だった
0961１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 23:35:08.73ID:n7ZRhwn6最大の自然数はわからないけど、論理だけから算術を導いたら「無限」は得られないんだろうな。
0962１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 23:44:47.92ID:xR21Pyfi成功してる、2階述語論理からペアノ公理相当の定理がでるとはフレーゲが発見
あとトーマスライトらいとじゃなくてクリスピンライトだった
0963１３２人目の素数さん
2015/06/26(金) 23:45:55.26ID:VJ/udEk/0964１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 00:01:23.10ID:yI/03CvL参考文献お願いします
1階領域が一元＊のみで、二階領域が空集合∅と全体集合{＊}からなる
二階の構造は二階述語論理のモデルになるけれど
そこから導かれる「ペアノ公理相当の定理」は
このモデルではどうなってるの？
０≠１って成り立つ？
0965１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 01:33:41.36ID:X/D8wwzT0966１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 07:24:04.21ID:piZdQ187何か以前wikipediaにデタラメばかり書いてた人と同じ臭いがする。
2chの落書き言う事を鵜呑みにするんじゃなくて、
まともに知りたい人は
「論理の哲学（講談社選書メチエ）」「フレーゲ哲学の最新像」
とかを図書館で借りて来て読みましょう。
同じ論理学でも数学というより哲学よりの話なので
もしかしたら数学系の人は騙される人が居るかも知れないので一応。
もしかしたら「知の欺瞞」のソーカル論文みたいなことを
やってるつもりなのかも知れないけど、分かってる人間は
苦々しい思いで見てるだけなので、勘違いしないで欲しい。
自分がブログで紹介してた概念とかが濫用されてるのを見て
ブログ辞めちゃった若手研究者とかまで居るし。
0967１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 10:23:03.03ID:1XN3VFjThttp://ac-net.org/tjst/archives/05710-tjst-kyouritsu.pdf
http://plato.stanford.edu/entries/frege-theorem/
気軽に楽しみな＾＾；
0968１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 10:23:52.36ID:1XN3VFjT> ブログ辞めちゃった若手研究者とかまで居るし。
誰なのそれ
0969１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 10:47:14.85ID:X/D8wwzTリンクはるだけならガロア理論スレのあいつでもできる。
0970１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 11:25:31.28ID:aARmF73A>同じ論理学でも数学というより哲学よりの話なので
>もしかしたら数学系の人は騙される人が居るかも知れないので一応。
哲学系の人は知らない話にすぐ騙されるけど
数学系だと>>964みたいな突っ込みが入るから
そう簡単には騙せないんじゃない？
0971１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 20:55:12.64ID:yI/03CvL0972STS446
2015/06/27(土) 21:54:24.32ID:Yo3Bm24A0973１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 22:19:37.45ID:piZdQ187Hume's principleという一種の公理的なものを仮定する必要がある。
こいつの位置付けが色々微妙なので議論されてたりする
0974１３２人目の素数さん
2015/06/27(土) 22:20:47.60ID:piZdQ187その上の方の資料は新Frege主義と関係無いから。
なんかそれっぽい話でありゃ良いって問題じゃないんだぞ。
>>970
>哲学系の人は知らない話にすぐ騙される
そうとも限らないんじゃないの？特に分析系の人はなかなか騙されないよ
数学の人と同じできちんとした哲学者は自分が知らない事は知らないと言うので。
学部生とかで万が一変な勘違いする人が出るのが嫌なので966書いただけ
0975１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 10:49:39.56ID:8SbRTZoA0976１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 11:31:05.47ID:lpNRsUiX0977１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 14:22:04.70ID:pp39DKc50978１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 15:38:32.02ID:3PsK6ldzマヌ豚ババアってここで何がしたいんだろ？
大嫌いな数学板に永年張り付いて毎日ブフィブフィ騒いで
色々な人に散々弄られ小バカにされるだけの人生 ・・・
なにか意図が有るのかね？精神的に崩壊しちゃってるのかな？
0979１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 16:37:52.00ID:lpNRsUiX専門でもないし、わかりません。
0980１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 16:38:17.44ID:lpNRsUiX0981１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 17:51:35.98ID:PjIfakftちょっと振り向いてみただけ
0982１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 18:27:04.64ID:LHx5aImv0983１３２人目の素数さん
2015/06/28(日) 21:03:49.50ID:sWAQFjLVhttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1435492940/
0984１３２人目の素数さん
2015/06/29(月) 00:11:53.80ID:XxZU8NBG>>975には返事しないでスルー？
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。