>>804
図形的な解法が出来ない場合は,座標を設定し,代数的に処理する手段が有効です.機械的な計算で答を求められます.

XY平面上でA(3,0),B(0,4),C(0,0)とおく.
△ABCは直角3角形だから,△ABCの外接円の直径は△ABCの斜辺である.よってその長さは,三平方の定理より,
√(8^2+6^2)=10
△ABCの内接円の半径をrとおくと,△ABCの面積について,
6*8/2=(6+8+10)r/2 ∴r=2
△ABCの外接円,内接円の中心をそれぞれD,Eとおくと,その座標は,
D(3,4),E(2,2)
円D,Eの方程式はそれぞれ,
円D:(X-3)^2+(Y-4)^2=25 ･･･①
円E:(X-2)^2+(Y-2)^2=4 ･･･②
直線DEの方程式は,
DE:Y=2X-2 ･･･③
また,問の設定から,
2x+2y-(円Eの直径の長さ)=(円Dの直径の長さ)
∴x+y=7 ･･･④
直線DEと円Dとの交点のうちX座標が大きい方をF,直線DEと円Eとの交点のうちX座標が小さい方をGとおく.
①,③を連立してYを消去し,Xについて解くと,
X=3±√5 ∴F(3+√5,4+2√5)
②,③を連立してYを消去し,Xについて解くと,
X=(10±2√5)/5 ∴G((10-2√5)/5,(10-4√5)/5)
よって,
2x=FG=7+√5 ∴x=(7+√5)/2
④より,y=(7-√5)/2
∴xy=11 ･･･(答)