>>769
おおよその答が分かっていたから解けました.あまり実用的ではないですが,紹介します.

問の制限から,求める領域は原点対称なので,第1象限に限定して考える.その中での領域は,y=xに関して対称である.さらにその領域を縁取る第1象限内部の曲線Cは,(0,1),(1,0)を通り,かつx軸,y軸と滑らかに繋がる.よって,その曲線の方程式は,
C:x^α+y^α=1 (α∈R)
と予想できる.
両辺をxで微分し整理すると,
dy/dx=-(x/y)^(α-1)
よって,C上の点(X,Y)(ただしX^α+Y^α=1,0≦X≦1,0≦Y≦1)における接線lの方程式は,
l:{X^(α-1)}(x-X)+{Y^(α-1)}(y-Y)=0
lのx切片,y切片は,それぞれ
1/X^(α-1),1/Y^(α-1)
だから,lの第1象限部分の長さLについて,
L^2={1/X^(α-1)}^2+{1/Y^(α-1)}^2
=X^2(1-α)+Y^2(1-α)
ここで,問の条件より,任意点(X,Y)に対してL^2=1.つまり,必要条件として,X=Y⇔X^α=1/2のとき,
L^2=8X^2=1 ∴X=(1/2)^(3/2)
X^α=1/2より,α=2/3
逆に,α=2/3ならば,
L^2=x^{1-(2/3)}+y^{1-(2/3)}
=x^α+y^α=1
問の操作でできる領域はただ1つだけだから,C:x^α+y^α=1 (α∈R)のもとで,
α=2/3⇔L^2=1
以上より,求める領域は,
(±x)^(2/3)+(±y)^(2/3)≦1 (複号任意) ･･･(答)

途中式等を多く省いたので,疑問の点があれば遠慮なくどうぞ.