それに

3垂線の定理から、或る点Oが存在して、OA＝OB＝OC　

ここまでは百歩譲ってよくても

かつ　△ABCは正3角形だから

これは飛びすぎだろ。一般の四面体についていってるならOがABCの外心の法線上にある事はいえてもABCが正三角形だなんて言えないだろ。

マジで手を抜く場所と気合い入れる場所がおかしいから