>>609
(>>675の続き)
点W∈Lは　M≠WかつN≠W　という条件の下で任意に取っていたから、
L上でWを　M≠WかつN≠W　という条件の下で走らせて考えると、
或る点W∈Lが存在して、M≠WかつN≠W　であって、WX＝WY＝WZ、∠XWY＝∠YWZ　が両方共に成り立つ。
このとき、2つの3角形△XWY、△ZWYにおいて、WX＝WY、WZ＝WY、∠XWY＝∠ZWY　であるから、
△XWY≡△ZWYから、XY＝ZY　即ち、XY＝YZ。△XYZの3辺の中で最も長い長さの辺HをXYとしていたから、
△XYZの3辺について、XY＝YZ≧ZX、従って、XY＝YZ＝ZXから、△XYZは正3角形である。これは矛盾である。 (補題2の証明終)
[第３段]：4面体ABCD(以後Sと書く)の4辺が①を満たすとき、Sの6辺全てに接する球が存在することを示す。
補題2から、Sは正4面体であるから、Sの中心をOとすると、正4面体の点Oに関する対称性から、
Oから線分であるSの各辺に下ろした垂線の各足合計6個の垂線の足とOとの距離は相等しい。
また、A、B、C、Dの中の任意の異なる2点をX、Yとすると、3角形OXYにおいて、
最長の長さの辺つまり線分はXYである。よって、Sの6辺全てに接する球は存在する。