>>609
十分性だけ示す。
[記号の準備]：以下のように記号のお約束をする。
確かに任意の平面は、点からなる、空集合ではないような集合であることに注意する。
P'を平面P上の空集合ではない部分集合とする。
P'上に平面P上の点Oが存在するとき、O∈P'と書くことにする。
Pの任意の空集合ではない点の集合としての部分集合P''に対して、
P''の任意の点がP'上に存在するとき、P''⊂P'と書くことにする。
例えば、3角形△OMAは平面△OMA上では点からなる集合と考えられ、△OMA⊂Pである。
あとは通常通りの方法で(ユークリッド幾何つまり初等幾何の)記号を用いる。
ここに、長さが等しいときの記号を通常通りで用いることを強調しておく。
[第１段]：次の補題1を示す。
補題1：3次元空間E^3内に、異なる2点A、Bを任意に取り、線分ABの中点をMとする。
Mを通り、直線ABに垂直な平面をPとする。このとき、任意のMとは異なる点O∈Pに対して、△OAM≡△OBM。
補題1の証明]　Mとは異なる点O∈Pを任意に取る。すると、平面PとABは直交する。また、PとABとの交点はMである。
よって、OM⊥AB　である。仮定から、3点A、M、Bはその順で１直線上に並んでおり、AM＝BM　である。
2つの3角形△OMA、△OMBにおいて、△OMA、△OMB⊂OM　であって、AM＝BM、∠OMA＝∠OMB　であるから、△OMA≡△OMB。
点O∈Pは、O≠Mという条件の下で任意であるから、OをP上においてO≠Mなる条件の下で走らせればよい。