《十分性の証明》
AB=a,AC=b,AD=c,BC=d,CD=e,DB=f
とおく.

球のうち四面体の周及び内部の部分のみを残すと,各面内にはその面の内接円が現れる.全ての内接円は隣り合う面の内接円と接点を共有する.この時,
AB,AC,AD上の接点からAまでの距離は全て等しく,その長さをxとおく.
BA,BC,BD上の接点からBまでの距離は全て等しく,その長さをyとおく.
CA,CB,CD上の接点からAまでの距離は全て等しく,その長さをzとおく.
DA,DB,DC上の接点からAまでの距離は全て等しく,その長さをwとおく.
すると,
x=(a+b-d)/2=(b+c-e)/2=(c+a-f)/2 ･･･①
y=(d+a-b)/2=(a+f-c)/2=(f+d-e)/2 ･･･②
z=(b+d-a)/2=(d+e-f)/2=(e+b-c)/2 ･･･③
w=(f+c-a)/2=(c+e-b)/2=(e+f-d)/2 ･･･④

∴①and②and③and④
⇔a+e=d+c=b+f
⇔(*)

上記の証明を逆に辿れば,
(*)⇒"接点を共有し合う内接円6つが存在する"
は示せます.そこから一気に件の球の存在を断言出来るかどうかが不明です.

私はここで,
6つの接点から八面体を作り,その八面体に外接する球が存在する事から十分性を示す
という方針を思い浮かべましたが,煩雑すぎて断念しました.

他に良い証明法はあるでしょうか.解答をお待ちしています.