この解法の

次に |x| + |y| ≦ n となるx,yの個数は、
|y| = k かつ |x|≦n-k となるxの個数をkについて合計して得られる
すなわち
1≦k≦n のときは |y|=k となるyは2つであることに注意する。

のところがよくわからないのですが、どなたか説明していただけませんか？

ちなみのベストアンサーの方の解答は間違いですよね？
値が違うようですが。