>>542
方程式①において
４つの解をそれぞれα、β、γ、δとして
①は複二次式なのでα^2=β^2 γ^2=δ^2としてよい
このうちの一つの解の組の積が-1になればよい
αβ=-1 or βγ=-1 or γδ=-1 or δα=-1　の場合があり
αβの場合とγδの場合は関係としては対称的なのでαβの場合について考えればよく
βγの場合とδαの場合についてもβγの場合についてのみ考えればよい
以下、β=±α　δ=±γとして考える

(i)αβ=-1のとき（γδ=-1)
±α^2=-1である
β=-α　α^2=１のときこれをみたし
このとき方程式①においてt=±1を解に持ち
このときt^2=1より
t^2=Aとおいて
A^2-4(r^2+1)A+4(1-r^2)=0で
1^2-4(r^2+1)・1＋4(1-r^2)=0が成り立ち
このときr=√2/4

(ii)βγ=-1のとき(δα=-1)
±αγ=-1
α^2・γ^2=1より
t^2=Aとおいて
A^2-4(r^2+1)A+4(1-r^2)=0で
積が１の２つの正数解をもてばよく
4(r^2+1)=1
∴r=√3/2

こういうことでしょうか？
要する解答では上の(i)の場合をα^2=β^2の場合　(ii)の場合をα^2≠β^2としているような感じはするのですが
上でβγ=-1(δα=-1)のときを解答でα^2≠β^2としてまとめられる理由が分かりません