曲線y=e^x上の任意の点をAとする。
曲線y=logx上の任意の点をBとする。
点Aと点Bを結ぶ線分と直線L:y=xとの交点をOとする。
点AからLにおろした垂線とLとの交点をPとする。
点BからLにおろした垂線とLとの交点をQとする。
AB = AO + OB = AO + BO ≧ AP + BQ
AP≧AとLの最短距離
BQ≧BとLの最短距離
であるから、
AP + BQ ≧ AとLの最短距離+BとLの最短距離
2つの曲線はLに対して対称なので、AとLの最短距離とBとLの最短距離は等しくなり、このときのAとBはLに関して対称である
また、このときO,P,Qは一致し、A,B,O,P,Qは全て一直線上にあるから
AP + BQ ≧ 2×AとLの最短距離
よって、曲線y=e^x上の任意の点Aと曲線y=logx上の任意の点Bの距離は
2×AとLの最短距離以上である。