標準誤差について質問です。英語のテキストなので訳が少し変かもしれません・・・
定理4.2.4は「X_nがaに確率収束し実数値関数gがaで連続であるとき、g(X_n)はg(a)に確率収束する」というものです。

X は成功の確率p のベルヌーイ分布に従う確率変数とする。X_1,,,X_n はXの分布からのランダム標本と仮定する。
p^(ハット)= X|(標本平均) は成功の標本割合とする。中心極限定理より、p^ はN(p,p(1-p)/n) に近い分布を持つ。
大数の弱法則よりp^は一致推定量であり、さらに定理4.2.4 からp^(1-p^) はp(1-p) の一致推定量である。
従って、p の(1-α)100%信頼区間は以下によって得られる。
(p^-z_(α/2)√(p^(1-p^)/n) , z_(α/2)√(p^(1-p^)/n)
ここで√(p^(1-p^)/n)はp^の標準誤差と呼ばれる。

まずなぜ標本平均X|が成功の標本割合になるのでしょうか？定理4.2.4の使い方も分かりません
よろしくお願いいたします。