方向微分についての次の定理について質問です。
「E^nをn次ユークリッド空間としてSはE^nの空でない凸集合でf:S→E^1が凸関数とする。ベクトルx_0↑∈Sと非零ベクトルd↑∈E^nに対して
ある正の実数δ>0が存在し0<t<δを満たすすべての実数tについてx_0↑+td↑∈Sを満たしているとする。このとき
f'(x_0↑;d↑)=lim[t→0+]{f(x_0↑+td↑)-f(x_0↑)}/t
　　　　　　　　=inf[t>0]{f(x_0↑+td↑)-f(x_0↑)}/t
は存在する。
すなわちfはx_0↑で方向ベクトルd↑について方向微分可能となる」
証明は
「0<t1<t2<δを満たす任意の実数t1,t2についてfが凸関数より
{f(x_0↑+t1d↑)-f(x_0↑)}/t1≦{f(x_0↑+t2d↑)-f(x_0↑)}/t2となり
0<t<δに対して{f(x_0↑+td↑)-f(x_0↑)}/tは非増加関数であることからこの極限が存在し
lim[t→0+]{f(x_0↑+td↑)-f(x_0↑)}/t
　　　　　　　　=inf[t>0]{f(x_0↑+td↑)-f(x_0↑)}/t
が成立し極限が存在することが示せた」
となっているのですが{f(x_0↑+td↑)-f(x_0↑)}/tはなぜ非増加関数なのでしょうか？
0<t1<t2で{f(x_0↑+t1d↑)-f(x_0↑)}/t1≦{f(x_0↑+t2d↑)-f(x_0↑)}/t2なので増加関数の気がするのですが・・・
そのあとの非増加関数であることより極限が存在するというのは何か定理のようなものがあるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。