√(1/n+√(1/(n+1)+√(1/(n+2)+√…√(1/(n+m)))))
≧√√…√(1/(n+m)) (ただし√はm+1個)
＝e^(-log(n+m)/2^(m+1))
m→∞でlog(n+m)/2^(m+1)→0だからe^(-log(n+m)/2^(m+1))→1
√(1/n+√(1/(n+1)+√(1/(n+2)+√…)))≧1

これでa[n]→0でないことは納得できるか？